El documento describe las propiedades del rectángulo áureo y su relación con la espiral dorada y la proporción áurea. Se puede obtener una infinitud de nuevos rectángulos áureos a partir de uno inicial mediante la construcción de cuadrados. La proporción áurea se encuentra en muchas obras de arte y en la naturaleza.

1. Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado un
rectánguloáureo.Este esun rectángulomuyespecial comoveremos. Los griegos lo consideraban
de particularbellezayloutilizaronasiduamente en su arquitectura. Al parecer a la mayoría de las
personastambién les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre
sus lados.
El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él podemos obtener una
infinidad de nuevos rectángulos áureos.
La Espiral dorada (denominada también espiral áurea) es una espiral logarítmica asociada a las
propiedadesgeométricasdel rectángulo dorado.1 La razón de crecimiento es Φ, es decir la razón
dorada.2 Aparece estaespiral representadaendiversas figuras de la naturaleza (plantas, galaxias
espirales, ), así como en el arte.
Es fácil construir un rectángulo áureo a partir de un segmento de recta inicial, trazarle la
mediatriz,formaruncuadradoa partir del segmentoyluegohacerunacircunferencia con radio el
tramo que va desde el punto medio del segmento hasta el vértice superior derecho.
La ProporciónAurea,tambiénconocidacomoRazónAurea,ProporciónDivina,NúmeroDorado,
etc.es aquellaque cumple que larelaciónentre el sectormayoryel sector menoresigual a la
relaciónentre lasumade las partesy la mayorde ellas.
O sea:
Vale aproximadamenteocho quintos.

2. · Esta relaciónnuméricaposee importantespropiedadesmatemáticas,fue estudiadaporLeonardo
da Vinci,LucaPaccioli,RobinCook,JohannesKepleryPitágorasentre otros.
· Se dice que esta proporcióneslaesenciade labelleza,que aquellasfigurasque poseenla
proporciónaureanosresultanlasmás bellasde todaslasformas,podemosapreciarlaenla
naturalezaporej.enlos caparazonesde ciertosmoluscos:Tambiénse encuentraenel cuerpo
humano,enlaspersonasde mayor atractivo.
Una espiral de Fibonacci se aproxima a la espiral dorada; cuando se inscribe en cuadrados cuyos
lados responden a la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.
La primera referencia a la proporción áurea que se conoce la hace Euclides. En su obra los
Elementosse refiere a la división de un segmento en lo que él denomina su media y su extrema
razón del siguiente modo:
"Se dice que un segmentoestádivididoenmediayextremarazóncuandoel segmentototal esala
parte mayor como la parte mayor es a la menor"
El valor de esta razón se conoce también como número de oro y suele representarse con la letra
griega Φ (se lee Fi), en honor al escultor griego Fidias, que lo tuvo presente en sus obras.
La proporciónáureapuede expresarse de estamanera:Unsegmentose dice que está dividido en
su razónextremaymediacuandoel total del segmentoesala parte mayor como la parte mayor a
la menor. (Euclides)
Así podemos obtener el número áureo:
El hechode que el procesode obtenciónde rectángulosáureos es infinito sugiere que el número
áureo es inconmensurable, es decir, que el número áureo es irracional.
Puesto que el lado de un pentágono regular y su diagonal están en proporción áurea y el
pentágono y el pentagrama fueron los símbolos de los pitagóricos cabe la posibilidad de que se
conociera que la diagonal de un pentágono y su lado son inconmensurables. Siendo éstos los
primeros inconmensurables conocidos. Sin embargo, la primera demostración de la
inconmensurabilidad de dos segmentos de la que tenemos constancia corresponde al lado y
diagonal de un cuadrado (Euclides).
Seguramente Euclides jamás pudo imaginar que esa división de un segmento, que definía
únicamente para propósitos geométricos, llegaría a alcanzar tanta relevancia en la historia de la

3. humanidad. Tal era la atracción que ejercía que Luca Pacioli, matemático italiano del siglo XV, la
denominó divina proporción.
Podemos encontrarla en múltiples situaciones, que van de las artes a las ciencias, apareciendo
como canonde bellezao ligada al crecimiento de especies vegetales o animales o, incluso, en la
estructura de las galaxias. Esta proporción ha fascinado no solamente a muchos grandes
matemáticos a lo largo de la historia, sino también a biólogos, artistas, músicos, historiadores,
arquitectos, psicólogos e incluso místicos.
Para hacer el rectánguloÁUREOdibujamosuncuadrado.Sobre este cuadrado marcamos el punto
medio de uno de los lados. A continuación trazamos un arco de circunferencia cuyo radio sea
desde este puntomedio,hastael vértice superior tratando de encontrar la prolongación del lado
inferior.
Éste va a ser el primer vértice de nuestro rectángulo áureo. El segundo lo obtenemos trazando
paralelasalos ladosdel cuadrado.A partir de ahora obtenerrectángulosáureosesfácil, basta con
trazar solo sobre el lado más largo del rectángulo anterior un cuadrado, y así obtendríamos
nuestro segundo rectángulo áureo.
Si sobre este nuevorectángulo áureo, trazamos otro cuadrado, cuyo lado sea la longitud del lado
mayor del rectángulo, obtendremos un tercer rectángulo áureo. Estos rectángulos tienen una

4. propiedadinteresante:si unimos mediante arcos de circunferencias los vértices consecutivos de
los cuadrados, obtendremos una curva especial que se llama espiral de Durero.
Durero fue uno de los artistas del Renacimiento alemán más importantes de la época. Fue
conocidoentodoel mundopor sus pinturas,dibujos,grabados y escritos teóricos sobre arte, que
ejercieronunaprofundainfluenciaen los artistas y matemáticos (debido a su famosa espiral) del
siglo XV.
Podemos ver que el rectángulo ABDF y el rectángulo CDFH son semejantes y que CDFH se ha
rotado un cuarto de vuelta.
Entonces
Llamaremos O al punto de intersección.
Ahora podemos considerar la recta OC:

5. Puesto que
Entonces OC biseca el ángulo recto BOD
Análogamente
O está en la recta CG. Lo mismo para AE y entonces
Estas cuatro rectas, perpendiculares a pares, contienen todos los vértices de todos los infinitos
rectángulos áureos. Cada pareja es la bisectriz de la otra pareja de rectas.

6. Cuandodividimosun rectánguloáureoenun cuadrado y otrorectánguloeste nuevo rectánguloes
semejante al inicial y es, también, un rectángulo áureo. Podemos repetir este proceso
indefinidamente y obtendremos una sucesión de rectángulos.
Existe un punto especial que llamamos O
Para obtenerel siguiente rectánguloapartirde uno inicial podemos considerar la transformación
que es un producto (composición) de una dilatación de centro O
y una rotación (un cuarto de vuelta en sentido horario o negativo en torno a O)
Esta transformación es una rotación dilatativa.
El número áureo es la relación o proporción que guardan entre sí dos segmentos de rectas. Fue
descubiertoenlaantigüedad,y puede encontrarse no solo en figuras geométricas, sino también
enla naturaleza.A menudose le atribuye uncarácterestéticoespecial alosobjetosque contienen
este número, y es posible encontrar esta relación en diversas obras de la arquitectura u el arte
El descubrimiento de este número se atribuye a la escuela Pitagórica, de hecho los pitagóricos
utilizabancomosímbolola estrella de cinco puntas, en la que aparecen distintas razones áureas.
Es fácil encontrar distintas proporciones áureas en diversas figuras. Este número aparece
repetidamente en el mundo que nos rodea, como elemento de diseño en construcciones

7. arquitectónicas tan antiguas como la pirámide de Keops, o en distintos seres vivos, tanto en el
reinovegetal (flores,semillas,...) como en el reino animal (estrellas de mar, caracolas que crecen
en función de relaciones áureas,...) Leonardo da Vinci en su "Esquema de las proporciones del
cuerpo humano" señala distintas relaciones áureas que existen en el ser humano.
FI (j) Este númerorecibe sunombre del escultor Fidias(sigloV adC,autor del friso y del frontis del
Partenón), quien utilizó ampliamente sus propiedades en su destacada obra artística.
El primeroenhacerun estudioformal sobre el número áureo fue Euclides, unos tres siglos antes
de Cristo, en su obra Los Elementos. Euclides definió su valor diciendo que "una línea recta está
dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el
mayor es al menor."
Se divide un segmento cualquiera en dos partes de forma que la razón entre la totalidad del
segmento y una parte (la mayor) sea igual a la razón entre esta parte y la otra (la menor).
Matemáticamente, siendo las partes a y b:
Esta razón, que cumple lapropiedad,esdenominada razónáurea. Se puede obtener este número
a partir de la expresión anterior:

8. Se puede despejarautilizando la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, teniendo
en cuenta que a > 0 y b > 0, o en otras palabras, tomando su valor positivo:
Dividiendo todo por b se obtiene:
. El valor de esta relación es un número que, como también demostró Euclides, no puede ser
descritocomo la razón de dosnúmerosenteros(esdecir,esirracional yposee infinitosdecimales)
cuyo su valor aproximado es 1,6180339887498...
Sucesión de Fibonacci
En matemática, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.
A cada elementode estasucesiónse le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en
Europa por Leonardode Pisa,matemáticoitalianodelsigloXIIItambiénconocido como Fibonacci.
Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos.
Tambiénaparece enconfiguracionesbiológicas,comoporejemploenlasramas de los árboles, en
la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.
Historia
Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido
descubierta por matemáticos indios tales como Pingala (200 a.c.), Gopala (antes de 1135) y
Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con
sílabaso notas de uno o dospulsos.El númerode talesritmos(teniendo juntos una cantidad n de
pulsos) era fn + 1, que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de
conejos: conocer el número de conejos (parejas de conejos) que habrá en 12 meses, si estos se
reproducen continuamente y cada pareja de conejos produce una nueva pareja de conejos (un
macho y una hembra). Cada conejo se puede cruzar a la edad de un mes, siendo su periodo de
gestación un mes. Siendo así, se tiene que:

9. De estamaneraFibonacci presentólasucesiónensu libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas
propiedadesde la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de
haberla denominado como se la conoce en la actualidad.Nota: al contar la cantidad de letras
distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson
descubrióen1753 que la relaciónentre dosnúmerosde Fibonacci sucesivos fn + 1 / fn se acerca a la
relaciónáureafi cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos
de toda sucesiónrecurrente de ordendostiendeal mismolímite.Estaserie hatenidopopularidad
en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre
como BélaBartók,OlivierMessiaenyDeliaDerbyshire lahanutilizado para la creación de acordes
y de nuevas estructuras de frases musicales.
Propiedades de la sucesión
Los númerosde Fibonacci aparecenennumerosasaplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo,
en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de
longitud n que notienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De
hecho,existe unapublicaciónespecializadallamada Fibonacci Quarterly dedicada al estudio de la
sucesiónde Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de
Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas.
TRIÁNGULOÁUREO YSUCESIÓN DE TRIÁNGULOS ÁUREOS:
Consideremosunode losclásicostriángulosáureos.Se tratadel triánguloisóscelesde ángulos
36º, 72º y 72º que satisface lapropiedad$frac{BC}{AB}=Phi$.Este triánguloisóscelesse conoce
con el nombre de triánguloáureo.
Tiene muchas propiedades interesantes. Una de ellas consiste en que al trazar la bisectriz del
vértice B, el punto D obtenido sobre el lado Ac da lugar a dos nuevos triángulos isósceles, de los
cualesel primero,$triangle DAB$,tiene ángulosiguales a 36º, 72º y 72º, por loque es semejante
al triángulo inicial $triangle ABC$ y por ello también se trata de un triángulo áureo.
Si nos fijamos en el otro triángulo, $triangle BCD$, vemos que sus medidas angulares son 108º,
36º y 36º y se puede comprobar que $frac{BC}{DC}=Phi$, por lo que también se trata de un
triángulo áureo, aunque de características distintas a las del triángulo inicial $triangle ABC$
Si ahora en el triángulo $triangle DAB$ trazamos la bisectriz correspondiente al vértice A
obtenmos un nuevo punto E sobre el lado DB (ver primera imagen), lo que da lugar a un nuevo
triángulo áureo $triangle DEA$, semejante al inicial. El proceso se puede continuar
indefinidamente,obteniéndosecadaveztriángulos áureos semejantes al inicial y más pequeños.
El factor de semejanza es $frac{1}{Phi}$.

10. Existenmuchosmitosacercade que objetos de uso diario contienen las medidas de un triángulo
áurea como el carnet de identidad, una tarjeta de crédito o una cajetilla de tabaco, por eso
nosotros en el siguiente espacio lo comprobaremos para así desmentir o afirmar un mito:
CARNET DE IDENTIDAD
Para esta prueba usaremos un carnet de identidad de los antiguos y que aún tienen validez, tal
como este:
Sus medidassonde 4.5cm de ancho y 7.84cm de largo y en una representación informática como
la siguiente podemos observar que sus medidas no coinciden con un rectángulo aurea.

11. Pincha sobre la imagen para agrandar
Tambiénlopodemosdemostrarde formaanalíticaconlos siguientes cálculos, la división entre el
largo y el ancho es, 7.84/4.5=1,7422222, por tanto no cumple con un rectángulo áureo.
CAJETILLA DE TABACO
También supuestamente una cajetilla de tabaco posee las medidas de un rectángulo áureo
Podemos observar en la siguiente fotografía que esto no es verdad pero sí que es cierto que se
parece bastante:
Pincha sobre la imagen para agrandar

12. TARJETA DE CRÉDITO. DNI ELECTRÓNICO
Otro ejemploesunatarjetade créditode circulaciónlegal porEspaña.Susdimensiones coinciden
con las del DNI electrónico ¿podría cumplir las medidas, o No?
Como en los casos anteriores en este tampoco se cumple un rectángulo áureo en su forma. Sus
medidas son de 5.1cm de ancho y 8.25cm de largo. 8.25/5.1 =1,61764