SlideShare una empresa de Scribd logo
UNED. ELCHE. e-mail: imozas@elx.uned.es
TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º A.D.E.) http://telefonica.net/web/imm
Ejercicios de series numéricas propuestos en exámenes–1/2–
EJERCICIOS DE SERIES NUMÉRICAS PROPUESTOS EN EXÁMENES
1.- Estudie el carácter de la serie numérica ∑
∞
=1n
n
1
. (Febrero 2002, ex. or.)
Solución.- Puesto que
n
1
n
1
≥ , n = 1, 2, 3, ....y la serie ∑
∞
=1n
n
1
es divergente, la serie
propuesta será divergente.
2.- Estudiar el carácter de ∑
∞
=






1n
nln
2
1
.(Febrero 2002, ex. res.)
Solución.- 2ln n
< eln n
= n ⇒
n
1
2
1
nln
≥ , n = 1, 2, 3, ...., luego la serie propuesta diverge.
3.- Utilizando el criterio de D’Alembert, demostrar que ∑
∞
=






1n
n
!n
n
es divergente.
(Septiembre 2002, ex. or.)
Solución.-
( )
( ) n
nn
1n
n
n
1n
n n
1n
·
1n
1n
lim
!n
n
!1n
1n
lim
a
a
lim 




 +
+
+
=
+
+
=
∞→
+
∞→
+
∞→
= e > 1, luego por el criterio de
D’Alembert, la serie dada es divergente.
4.- Utilizando el criterio de D’Alembert, demostrar que
∑
∞
=






1n
n
n
!n
es convergente.
(Septiembre 2002, ex. res.)
Solución.-
( )
( )
e
1
1n
n
·
1n
1n
lim
n
!n
1n
!1n
lim
a
a
lim
n
n
n
1n
n
n
1n
n
=





++
+
=
+
+
=
∞→
+
∞→
+
∞→
< 1 luego por el criterio de
D’Alembert, la serie dada es convergente.
5.- Demuestre si es convergente o no la siguiente serie numérica: ∑
∞
=
−
1n
n2
ne (Enero
2003, ex. or.)
Solución.-
Por el criterio de D’Alembert :
( )
( )
0
e
1
·
e
1
·
n
1n
lim
ne
e)1n(
lim
e
n
e
1n
lim
a
a
lim n2n1n
n
n
n
1n
n
n
1n
n
2
2
2
=




 +
=
+
=
+
=
∞→+∞→
+
∞→
+
∞→
< 1
luego la serie es convergente.
UNED. ELCHE. e-mail: imozas@elx.uned.es
TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º A.D.E.) http://telefonica.net/web/imm
Ejercicios de series numéricas propuestos en exámenes–2/2–
6.- Demuestre si es convergente o no la siguiente serie numérica:
2
n 2
n 1
n
∞
=
− 
 
 ∑
(Enero 2003, ex. res)
Solución.-
Es divergente ya que no cumple la condición necesaria de convergencia. En efecto:
2
n
n n
n 1
lima lim 1 0
n→∞ →∞
− 
= = ≠ 
 
7. Estudiar el carácter de la serie ( )
n
n
n 2
n 1
∞
=
−∑ (Septiembre 2003, ex. res)
Solución.-
Aplicamos el criterio de Cauchy: ( )n nn
n
n n n
lim a lim n 1 lim n 1 1 1 0
→∞ →∞ →∞
= − = − = − = <1 luego
la serie es convergente.
8. Estudiar el carácter de la siguiente serie: ∑
∞
=
+
1n
n
2
na
1n
, a > 0. (Septiembre 2004, ex.
res)
Solución.-
Aplicamos el criterio de D’Alembert:
( )
( ) ( )[ ]
( )( ) a
1
1n1na
n11n
lim
na
1n
a1n
11n
lim
a
a
lim 2
2
n
n
2
1n
2
n
n
1n
n
=
++
++
+
+
++
=
∞→
+
∞→
+
∞→
.
Hay tres casos:
- si 0 < a < 1 → DIVERGENTE
- si a > 1 → CONVERGENTE
- si a = 1 → DIVERGENTE, por que el término general
n
1n2
+
→ ∞.

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

application of partial differentiation
application of partial differentiationapplication of partial differentiation
application of partial differentiation
eteaching
 
Matrices c++
Matrices c++Matrices c++
Matrices c++
huaytaberrocalc
 
Eigen values and eigen vectors
Eigen values and eigen vectorsEigen values and eigen vectors
Eigen values and eigen vectors
Riddhi Patel
 
Divergencia y rotacional
Divergencia y rotacionalDivergencia y rotacional
Divergencia y rotacional
Rodolfo Alcantara Rosales
 
Lecture 5 inverse of matrices - section 2-2 and 2-3
Lecture 5   inverse of matrices - section 2-2 and 2-3Lecture 5   inverse of matrices - section 2-2 and 2-3
Lecture 5 inverse of matrices - section 2-2 and 2-3
njit-ronbrown
 
Methods of variation of parameters- advance engineering mathe mathematics
Methods of variation of parameters- advance engineering mathe mathematicsMethods of variation of parameters- advance engineering mathe mathematics
Methods of variation of parameters- advance engineering mathe mathematics
Kaushal Patel
 
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
Carlos Farley Zamudio Melo
 
Transformada de fourier y transformada inversa de fourier
Transformada de fourier y transformada inversa de fourierTransformada de fourier y transformada inversa de fourier
Transformada de fourier y transformada inversa de fourier
heyner20
 
Practica de matlab
Practica de matlabPractica de matlab
Practica de matlab
CarlosPineda729332
 
PRESENTATION ON INTRODUCTION TO SEVERAL VARIABLES AND PARTIAL DERIVATIVES
PRESENTATION ON INTRODUCTION TO SEVERAL VARIABLES AND PARTIAL DERIVATIVES   PRESENTATION ON INTRODUCTION TO SEVERAL VARIABLES AND PARTIAL DERIVATIVES
PRESENTATION ON INTRODUCTION TO SEVERAL VARIABLES AND PARTIAL DERIVATIVES
Mazharul Islam
 
Chain Rule
Chain RuleChain Rule
Chain Rule
calculusgroup3
 
Metodo del anulador
Metodo del anuladorMetodo del anulador
Metodo del anulador
Makabronero
 
Ejercicios resueltos mm 502
Ejercicios resueltos mm 502Ejercicios resueltos mm 502
Ejercicios resueltos mm 502
Mario José
 
Algebra Lineal ejercicios
Algebra Lineal ejercicios Algebra Lineal ejercicios
Algebra Lineal ejercicios
Cristian Pisco Intriago
 
S9. transformada inversa-de_laplace
S9. transformada inversa-de_laplaceS9. transformada inversa-de_laplace
S9. transformada inversa-de_laplace
Neil Sulca Taipe
 
Algebra de funciones y funcion inversa. 2015
Algebra de funciones y funcion inversa. 2015Algebra de funciones y funcion inversa. 2015
Algebra de funciones y funcion inversa. 2015
María Isabel Arellano
 
Puntos ordinarios y singularidades de una EDO lineal
Puntos ordinarios y singularidades de una EDO linealPuntos ordinarios y singularidades de una EDO lineal
Puntos ordinarios y singularidades de una EDO lineal
Angel Vázquez Patiño
 
Differential Equations
Differential EquationsDifferential Equations
Differential Equations
KrupaSuthar3
 
Presentación muller
Presentación mullerPresentación muller
Presentación muller
Liceth Rodriguez
 
Matriz jacobiana
Matriz jacobianaMatriz jacobiana
Matriz jacobiana
Lisbett Montaño
 

La actualidad más candente (20)

application of partial differentiation
application of partial differentiationapplication of partial differentiation
application of partial differentiation
 
Matrices c++
Matrices c++Matrices c++
Matrices c++
 
Eigen values and eigen vectors
Eigen values and eigen vectorsEigen values and eigen vectors
Eigen values and eigen vectors
 
Divergencia y rotacional
Divergencia y rotacionalDivergencia y rotacional
Divergencia y rotacional
 
Lecture 5 inverse of matrices - section 2-2 and 2-3
Lecture 5   inverse of matrices - section 2-2 and 2-3Lecture 5   inverse of matrices - section 2-2 and 2-3
Lecture 5 inverse of matrices - section 2-2 and 2-3
 
Methods of variation of parameters- advance engineering mathe mathematics
Methods of variation of parameters- advance engineering mathe mathematicsMethods of variation of parameters- advance engineering mathe mathematics
Methods of variation of parameters- advance engineering mathe mathematics
 
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
 
Transformada de fourier y transformada inversa de fourier
Transformada de fourier y transformada inversa de fourierTransformada de fourier y transformada inversa de fourier
Transformada de fourier y transformada inversa de fourier
 
Practica de matlab
Practica de matlabPractica de matlab
Practica de matlab
 
PRESENTATION ON INTRODUCTION TO SEVERAL VARIABLES AND PARTIAL DERIVATIVES
PRESENTATION ON INTRODUCTION TO SEVERAL VARIABLES AND PARTIAL DERIVATIVES   PRESENTATION ON INTRODUCTION TO SEVERAL VARIABLES AND PARTIAL DERIVATIVES
PRESENTATION ON INTRODUCTION TO SEVERAL VARIABLES AND PARTIAL DERIVATIVES
 
Chain Rule
Chain RuleChain Rule
Chain Rule
 
Metodo del anulador
Metodo del anuladorMetodo del anulador
Metodo del anulador
 
Ejercicios resueltos mm 502
Ejercicios resueltos mm 502Ejercicios resueltos mm 502
Ejercicios resueltos mm 502
 
Algebra Lineal ejercicios
Algebra Lineal ejercicios Algebra Lineal ejercicios
Algebra Lineal ejercicios
 
S9. transformada inversa-de_laplace
S9. transformada inversa-de_laplaceS9. transformada inversa-de_laplace
S9. transformada inversa-de_laplace
 
Algebra de funciones y funcion inversa. 2015
Algebra de funciones y funcion inversa. 2015Algebra de funciones y funcion inversa. 2015
Algebra de funciones y funcion inversa. 2015
 
Puntos ordinarios y singularidades de una EDO lineal
Puntos ordinarios y singularidades de una EDO linealPuntos ordinarios y singularidades de una EDO lineal
Puntos ordinarios y singularidades de una EDO lineal
 
Differential Equations
Differential EquationsDifferential Equations
Differential Equations
 
Presentación muller
Presentación mullerPresentación muller
Presentación muller
 
Matriz jacobiana
Matriz jacobianaMatriz jacobiana
Matriz jacobiana
 

Similar a Ejercicios de series numéricas

Sucesiones recurrencia induccion
Sucesiones recurrencia induccionSucesiones recurrencia induccion
Sucesiones recurrencia induccion
Pavel Aliaga
 
Bloque2b series numericas
Bloque2b series numericasBloque2b series numericas
Bloque2b series numericas
Yennyfer Paredes
 
Series1resueltas
Series1resueltasSeries1resueltas
Series1resueltas
Javiera Gallegos Zuñiga
 
Sumatorias
SumatoriasSumatorias
Sumatorias
frojasmatu
 
Analisis
AnalisisAnalisis
Analisis
UNI
 
Inducción matemática
Inducción matemáticaInducción matemática
Inducción matemática
Spacetoshare
 
Series Infinitas, series de potencias y criterios de convergencia.
Series Infinitas, series de potencias y criterios de convergencia.Series Infinitas, series de potencias y criterios de convergencia.
Series Infinitas, series de potencias y criterios de convergencia.
Alejandro Aguirre
 
TALLER unidad 1 y 2.pdf
TALLER unidad 1 y 2.pdfTALLER unidad 1 y 2.pdf
TALLER unidad 1 y 2.pdf
JuanDavila618257
 
Resolucion de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Resolucion de Sistemas de Ecuaciones LinealesResolucion de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Resolucion de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Rene Stalyn Ortega
 
20 calculo-para-la-ingenieria-salvador-vera-tomo-ii
20 calculo-para-la-ingenieria-salvador-vera-tomo-ii20 calculo-para-la-ingenieria-salvador-vera-tomo-ii
20 calculo-para-la-ingenieria-salvador-vera-tomo-ii
JuliocesarBravobravo
 
Unidad 3 ecuaciones
Unidad 3  ecuaciones Unidad 3  ecuaciones
Unidad 3 ecuaciones
Jose cedeño
 
Taller investigación de operaciones ii segundo seguimiento (1)
Taller investigación de operaciones ii   segundo seguimiento (1)Taller investigación de operaciones ii   segundo seguimiento (1)
Taller investigación de operaciones ii segundo seguimiento (1)
Oscar José Ospino Ayala
 
Funciones variable compleja
Funciones variable complejaFunciones variable compleja
Funciones variable compleja
hernanalonso
 
Funciones variable compleja
Funciones variable complejaFunciones variable compleja
Funciones variable compleja
hernanalonso
 
TE1-PE-2014-2S
TE1-PE-2014-2STE1-PE-2014-2S
Números cuánticos
Números  cuánticosNúmeros  cuánticos
Números cuánticos
Giuliana Tinoco
 

Similar a Ejercicios de series numéricas (16)

Sucesiones recurrencia induccion
Sucesiones recurrencia induccionSucesiones recurrencia induccion
Sucesiones recurrencia induccion
 
Bloque2b series numericas
Bloque2b series numericasBloque2b series numericas
Bloque2b series numericas
 
Series1resueltas
Series1resueltasSeries1resueltas
Series1resueltas
 
Sumatorias
SumatoriasSumatorias
Sumatorias
 
Analisis
AnalisisAnalisis
Analisis
 
Inducción matemática
Inducción matemáticaInducción matemática
Inducción matemática
 
Series Infinitas, series de potencias y criterios de convergencia.
Series Infinitas, series de potencias y criterios de convergencia.Series Infinitas, series de potencias y criterios de convergencia.
Series Infinitas, series de potencias y criterios de convergencia.
 
TALLER unidad 1 y 2.pdf
TALLER unidad 1 y 2.pdfTALLER unidad 1 y 2.pdf
TALLER unidad 1 y 2.pdf
 
Resolucion de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Resolucion de Sistemas de Ecuaciones LinealesResolucion de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Resolucion de Sistemas de Ecuaciones Lineales
 
20 calculo-para-la-ingenieria-salvador-vera-tomo-ii
20 calculo-para-la-ingenieria-salvador-vera-tomo-ii20 calculo-para-la-ingenieria-salvador-vera-tomo-ii
20 calculo-para-la-ingenieria-salvador-vera-tomo-ii
 
Unidad 3 ecuaciones
Unidad 3  ecuaciones Unidad 3  ecuaciones
Unidad 3 ecuaciones
 
Taller investigación de operaciones ii segundo seguimiento (1)
Taller investigación de operaciones ii   segundo seguimiento (1)Taller investigación de operaciones ii   segundo seguimiento (1)
Taller investigación de operaciones ii segundo seguimiento (1)
 
Funciones variable compleja
Funciones variable complejaFunciones variable compleja
Funciones variable compleja
 
Funciones variable compleja
Funciones variable complejaFunciones variable compleja
Funciones variable compleja
 
TE1-PE-2014-2S
TE1-PE-2014-2STE1-PE-2014-2S
TE1-PE-2014-2S
 
Números cuánticos
Números  cuánticosNúmeros  cuánticos
Números cuánticos
 

Más de Kike Prieto

Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Kike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Kike Prieto
 
Sistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferencialesSistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferenciales
Kike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceEcuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Kike Prieto
 
Soluciones por series
Soluciones por seriesSoluciones por series
Soluciones por series
Kike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no linealesEcuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Kike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Kike Prieto
 
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónEcuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Kike Prieto
 
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones DiferencialesIntroduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
Kike Prieto
 
Series numéricas
Series numéricasSeries numéricas
Series numéricas
Kike Prieto
 
Problemario de Series de Fourier
Problemario de Series de FourierProblemario de Series de Fourier
Problemario de Series de Fourier
Kike Prieto
 
Fórmulas de Taylor
Fórmulas de TaylorFórmulas de Taylor
Fórmulas de Taylor
Kike Prieto
 
Desarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de TaylorDesarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de Taylor
Kike Prieto
 
Criterios Series infinitas
Criterios Series infinitasCriterios Series infinitas
Criterios Series infinitas
Kike Prieto
 
Series
SeriesSeries
Series
Kike Prieto
 
Aplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la IntegralAplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la Integral
Kike Prieto
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definida
Kike Prieto
 
Sucesiones
SucesionesSucesiones
Sucesiones
Kike Prieto
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definida
Kike Prieto
 
Capitulo 1.laintegralindefinida
Capitulo 1.laintegralindefinidaCapitulo 1.laintegralindefinida
Capitulo 1.laintegralindefinida
Kike Prieto
 

Más de Kike Prieto (20)

Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
 
Sistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferencialesSistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferenciales
 
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceEcuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
 
Soluciones por series
Soluciones por seriesSoluciones por series
Soluciones por series
 
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no linealesEcuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
 
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
 
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónEcuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
 
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones DiferencialesIntroduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
 
Series numéricas
Series numéricasSeries numéricas
Series numéricas
 
Problemario de Series de Fourier
Problemario de Series de FourierProblemario de Series de Fourier
Problemario de Series de Fourier
 
Fórmulas de Taylor
Fórmulas de TaylorFórmulas de Taylor
Fórmulas de Taylor
 
Desarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de TaylorDesarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de Taylor
 
Criterios Series infinitas
Criterios Series infinitasCriterios Series infinitas
Criterios Series infinitas
 
Series
SeriesSeries
Series
 
Aplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la IntegralAplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la Integral
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definida
 
Sucesiones
SucesionesSucesiones
Sucesiones
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definida
 
Capitulo 1.laintegralindefinida
Capitulo 1.laintegralindefinidaCapitulo 1.laintegralindefinida
Capitulo 1.laintegralindefinida
 

Último

Presentación simple corporativa degradado en violeta blanco.pdf
Presentación simple corporativa degradado en violeta blanco.pdfPresentación simple corporativa degradado en violeta blanco.pdf
Presentación simple corporativa degradado en violeta blanco.pdf
eleandroth
 
proyectoszona21para el logro de real.pptx
proyectoszona21para el logro de real.pptxproyectoszona21para el logro de real.pptx
proyectoszona21para el logro de real.pptx
ChristianGmez48
 
MATERIAL ESCOLAR 2024-2025. 4 AÑOS CEIP SAN CRISTOBAL
MATERIAL ESCOLAR 2024-2025. 4 AÑOS CEIP SAN CRISTOBALMATERIAL ESCOLAR 2024-2025. 4 AÑOS CEIP SAN CRISTOBAL
MATERIAL ESCOLAR 2024-2025. 4 AÑOS CEIP SAN CRISTOBAL
Ana Fernandez
 
CINE COMO RECURSO DIDÁCTICO para utilizar en TUTORÍA
CINE COMO RECURSO DIDÁCTICO para utilizar en TUTORÍACINE COMO RECURSO DIDÁCTICO para utilizar en TUTORÍA
CINE COMO RECURSO DIDÁCTICO para utilizar en TUTORÍA
Fernández Gorka
 
Mi Comunidad En El Sector Monterrey-Poste Blanco
Mi Comunidad En El Sector Monterrey-Poste BlancoMi Comunidad En El Sector Monterrey-Poste Blanco
Mi Comunidad En El Sector Monterrey-Poste Blanco
Ruth Noemí Soto Villegas
 
Eureka 2024 ideas y dudas para la feria de Ciencias
Eureka 2024 ideas y dudas para la feria de CienciasEureka 2024 ideas y dudas para la feria de Ciencias
Eureka 2024 ideas y dudas para la feria de Ciencias
arianet3011
 
REGIMÉN ACADÉMICO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA - RESOC-2024-1650-GDEBA-DGC...
REGIMÉN ACADÉMICO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA - RESOC-2024-1650-GDEBA-DGC...REGIMÉN ACADÉMICO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA - RESOC-2024-1650-GDEBA-DGC...
REGIMÉN ACADÉMICO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA - RESOC-2024-1650-GDEBA-DGC...
carla526481
 
Los Dominios y Reinos de los Seres Vivos
Los Dominios y Reinos de los Seres VivosLos Dominios y Reinos de los Seres Vivos
Los Dominios y Reinos de los Seres Vivos
karlafreire0608
 
Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.
Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.
Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.
genesiscabezas469
 
Prueba/test conoce tus heridas de la infancia
Prueba/test conoce tus heridas de la infanciaPrueba/test conoce tus heridas de la infancia
Prueba/test conoce tus heridas de la infancia
LudmilaOrtega3
 
ANALISIS CRITICO DEL PENSAMIENTO COLONIAL Y DESCOLONIZACION
ANALISIS CRITICO DEL PENSAMIENTO COLONIAL Y DESCOLONIZACIONANALISIS CRITICO DEL PENSAMIENTO COLONIAL Y DESCOLONIZACION
ANALISIS CRITICO DEL PENSAMIENTO COLONIAL Y DESCOLONIZACION
carla466417
 
Gracias papá hombre_letra y acordes de guitarra.pdf
Gracias papá hombre_letra y acordes de guitarra.pdfGracias papá hombre_letra y acordes de guitarra.pdf
Gracias papá hombre_letra y acordes de guitarra.pdf
Ani Ann
 
Lecciones 11 Esc. Sabática. El conflicto inminente docx
Lecciones 11 Esc. Sabática. El conflicto inminente docxLecciones 11 Esc. Sabática. El conflicto inminente docx
Lecciones 11 Esc. Sabática. El conflicto inminente docx
Alejandrino Halire Ccahuana
 
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
LuanaJaime1
 
Ejercicios-de-Calculo-de-Goteo-Enfermeria1-1.ppt
Ejercicios-de-Calculo-de-Goteo-Enfermeria1-1.pptEjercicios-de-Calculo-de-Goteo-Enfermeria1-1.ppt
Ejercicios-de-Calculo-de-Goteo-Enfermeria1-1.ppt
eliseo membreño
 
Hablemos de ESI para estudiantes Cuadernillo
Hablemos de ESI para estudiantes CuadernilloHablemos de ESI para estudiantes Cuadernillo
Hablemos de ESI para estudiantes Cuadernillo
Mónica Sánchez
 
PLAN 365 Presentación Gobierno 2024 (1).pdf
PLAN 365 Presentación Gobierno 2024  (1).pdfPLAN 365 Presentación Gobierno 2024  (1).pdf
PLAN 365 Presentación Gobierno 2024 (1).pdf
ElizabethLpez634570
 
CALCULO DE AMORTIZACION DE UN PRESTAMO.pdf
CALCULO DE AMORTIZACION DE UN PRESTAMO.pdfCALCULO DE AMORTIZACION DE UN PRESTAMO.pdf
CALCULO DE AMORTIZACION DE UN PRESTAMO.pdf
cesareduvr95
 
CORREOS SEGUNDO 2024 HONORIO DELGADO ESPINOZA
CORREOS SEGUNDO 2024 HONORIO DELGADO ESPINOZACORREOS SEGUNDO 2024 HONORIO DELGADO ESPINOZA
CORREOS SEGUNDO 2024 HONORIO DELGADO ESPINOZA
Sandra Mariela Ballón Aguedo
 
Evaluacion-Formativa-Nueva Escuela Mexicana NEM-ok.pdf
Evaluacion-Formativa-Nueva Escuela Mexicana NEM-ok.pdfEvaluacion-Formativa-Nueva Escuela Mexicana NEM-ok.pdf
Evaluacion-Formativa-Nueva Escuela Mexicana NEM-ok.pdf
EfranMartnez8
 

Último (20)

Presentación simple corporativa degradado en violeta blanco.pdf
Presentación simple corporativa degradado en violeta blanco.pdfPresentación simple corporativa degradado en violeta blanco.pdf
Presentación simple corporativa degradado en violeta blanco.pdf
 
proyectoszona21para el logro de real.pptx
proyectoszona21para el logro de real.pptxproyectoszona21para el logro de real.pptx
proyectoszona21para el logro de real.pptx
 
MATERIAL ESCOLAR 2024-2025. 4 AÑOS CEIP SAN CRISTOBAL
MATERIAL ESCOLAR 2024-2025. 4 AÑOS CEIP SAN CRISTOBALMATERIAL ESCOLAR 2024-2025. 4 AÑOS CEIP SAN CRISTOBAL
MATERIAL ESCOLAR 2024-2025. 4 AÑOS CEIP SAN CRISTOBAL
 
CINE COMO RECURSO DIDÁCTICO para utilizar en TUTORÍA
CINE COMO RECURSO DIDÁCTICO para utilizar en TUTORÍACINE COMO RECURSO DIDÁCTICO para utilizar en TUTORÍA
CINE COMO RECURSO DIDÁCTICO para utilizar en TUTORÍA
 
Mi Comunidad En El Sector Monterrey-Poste Blanco
Mi Comunidad En El Sector Monterrey-Poste BlancoMi Comunidad En El Sector Monterrey-Poste Blanco
Mi Comunidad En El Sector Monterrey-Poste Blanco
 
Eureka 2024 ideas y dudas para la feria de Ciencias
Eureka 2024 ideas y dudas para la feria de CienciasEureka 2024 ideas y dudas para la feria de Ciencias
Eureka 2024 ideas y dudas para la feria de Ciencias
 
REGIMÉN ACADÉMICO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA - RESOC-2024-1650-GDEBA-DGC...
REGIMÉN ACADÉMICO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA - RESOC-2024-1650-GDEBA-DGC...REGIMÉN ACADÉMICO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA - RESOC-2024-1650-GDEBA-DGC...
REGIMÉN ACADÉMICO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA - RESOC-2024-1650-GDEBA-DGC...
 
Los Dominios y Reinos de los Seres Vivos
Los Dominios y Reinos de los Seres VivosLos Dominios y Reinos de los Seres Vivos
Los Dominios y Reinos de los Seres Vivos
 
Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.
Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.
Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.
 
Prueba/test conoce tus heridas de la infancia
Prueba/test conoce tus heridas de la infanciaPrueba/test conoce tus heridas de la infancia
Prueba/test conoce tus heridas de la infancia
 
ANALISIS CRITICO DEL PENSAMIENTO COLONIAL Y DESCOLONIZACION
ANALISIS CRITICO DEL PENSAMIENTO COLONIAL Y DESCOLONIZACIONANALISIS CRITICO DEL PENSAMIENTO COLONIAL Y DESCOLONIZACION
ANALISIS CRITICO DEL PENSAMIENTO COLONIAL Y DESCOLONIZACION
 
Gracias papá hombre_letra y acordes de guitarra.pdf
Gracias papá hombre_letra y acordes de guitarra.pdfGracias papá hombre_letra y acordes de guitarra.pdf
Gracias papá hombre_letra y acordes de guitarra.pdf
 
Lecciones 11 Esc. Sabática. El conflicto inminente docx
Lecciones 11 Esc. Sabática. El conflicto inminente docxLecciones 11 Esc. Sabática. El conflicto inminente docx
Lecciones 11 Esc. Sabática. El conflicto inminente docx
 
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
 
Ejercicios-de-Calculo-de-Goteo-Enfermeria1-1.ppt
Ejercicios-de-Calculo-de-Goteo-Enfermeria1-1.pptEjercicios-de-Calculo-de-Goteo-Enfermeria1-1.ppt
Ejercicios-de-Calculo-de-Goteo-Enfermeria1-1.ppt
 
Hablemos de ESI para estudiantes Cuadernillo
Hablemos de ESI para estudiantes CuadernilloHablemos de ESI para estudiantes Cuadernillo
Hablemos de ESI para estudiantes Cuadernillo
 
PLAN 365 Presentación Gobierno 2024 (1).pdf
PLAN 365 Presentación Gobierno 2024  (1).pdfPLAN 365 Presentación Gobierno 2024  (1).pdf
PLAN 365 Presentación Gobierno 2024 (1).pdf
 
CALCULO DE AMORTIZACION DE UN PRESTAMO.pdf
CALCULO DE AMORTIZACION DE UN PRESTAMO.pdfCALCULO DE AMORTIZACION DE UN PRESTAMO.pdf
CALCULO DE AMORTIZACION DE UN PRESTAMO.pdf
 
CORREOS SEGUNDO 2024 HONORIO DELGADO ESPINOZA
CORREOS SEGUNDO 2024 HONORIO DELGADO ESPINOZACORREOS SEGUNDO 2024 HONORIO DELGADO ESPINOZA
CORREOS SEGUNDO 2024 HONORIO DELGADO ESPINOZA
 
Evaluacion-Formativa-Nueva Escuela Mexicana NEM-ok.pdf
Evaluacion-Formativa-Nueva Escuela Mexicana NEM-ok.pdfEvaluacion-Formativa-Nueva Escuela Mexicana NEM-ok.pdf
Evaluacion-Formativa-Nueva Escuela Mexicana NEM-ok.pdf
 

Ejercicios de series numéricas

  • 1. UNED. ELCHE. e-mail: imozas@elx.uned.es TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º A.D.E.) http://telefonica.net/web/imm Ejercicios de series numéricas propuestos en exámenes–1/2– EJERCICIOS DE SERIES NUMÉRICAS PROPUESTOS EN EXÁMENES 1.- Estudie el carácter de la serie numérica ∑ ∞ =1n n 1 . (Febrero 2002, ex. or.) Solución.- Puesto que n 1 n 1 ≥ , n = 1, 2, 3, ....y la serie ∑ ∞ =1n n 1 es divergente, la serie propuesta será divergente. 2.- Estudiar el carácter de ∑ ∞ =       1n nln 2 1 .(Febrero 2002, ex. res.) Solución.- 2ln n < eln n = n ⇒ n 1 2 1 nln ≥ , n = 1, 2, 3, ...., luego la serie propuesta diverge. 3.- Utilizando el criterio de D’Alembert, demostrar que ∑ ∞ =       1n n !n n es divergente. (Septiembre 2002, ex. or.) Solución.- ( ) ( ) n nn 1n n n 1n n n 1n · 1n 1n lim !n n !1n 1n lim a a lim       + + + = + + = ∞→ + ∞→ + ∞→ = e > 1, luego por el criterio de D’Alembert, la serie dada es divergente. 4.- Utilizando el criterio de D’Alembert, demostrar que ∑ ∞ =       1n n n !n es convergente. (Septiembre 2002, ex. res.) Solución.- ( ) ( ) e 1 1n n · 1n 1n lim n !n 1n !1n lim a a lim n n n 1n n n 1n n =      ++ + = + + = ∞→ + ∞→ + ∞→ < 1 luego por el criterio de D’Alembert, la serie dada es convergente. 5.- Demuestre si es convergente o no la siguiente serie numérica: ∑ ∞ = − 1n n2 ne (Enero 2003, ex. or.) Solución.- Por el criterio de D’Alembert : ( ) ( ) 0 e 1 · e 1 · n 1n lim ne e)1n( lim e n e 1n lim a a lim n2n1n n n n 1n n n 1n n 2 2 2 =      + = + = + = ∞→+∞→ + ∞→ + ∞→ < 1 luego la serie es convergente.
  • 2. UNED. ELCHE. e-mail: imozas@elx.uned.es TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º A.D.E.) http://telefonica.net/web/imm Ejercicios de series numéricas propuestos en exámenes–2/2– 6.- Demuestre si es convergente o no la siguiente serie numérica: 2 n 2 n 1 n ∞ = −     ∑ (Enero 2003, ex. res) Solución.- Es divergente ya que no cumple la condición necesaria de convergencia. En efecto: 2 n n n n 1 lima lim 1 0 n→∞ →∞ −  = = ≠    7. Estudiar el carácter de la serie ( ) n n n 2 n 1 ∞ = −∑ (Septiembre 2003, ex. res) Solución.- Aplicamos el criterio de Cauchy: ( )n nn n n n n lim a lim n 1 lim n 1 1 1 0 →∞ →∞ →∞ = − = − = − = <1 luego la serie es convergente. 8. Estudiar el carácter de la siguiente serie: ∑ ∞ = + 1n n 2 na 1n , a > 0. (Septiembre 2004, ex. res) Solución.- Aplicamos el criterio de D’Alembert: ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) a 1 1n1na n11n lim na 1n a1n 11n lim a a lim 2 2 n n 2 1n 2 n n 1n n = ++ ++ + + ++ = ∞→ + ∞→ + ∞→ . Hay tres casos: - si 0 < a < 1 → DIVERGENTE - si a > 1 → CONVERGENTE - si a = 1 → DIVERGENTE, por que el término general n 1n2 + → ∞.