El documento presenta un esquema sobre esfuerzos combinados, describiendo el método para analizar los esfuerzos que actúan en un punto sometido a múltiples cargas, incluyendo cómo usar el círculo de Mohr para determinar los esfuerzos principales, cortantes máximos y esfuerzos en planos inclinados. Explica el procedimiento para dibujar el círculo de Mohr y obtener la orientación de los elementos sometidos a esfuerzos principales y cortantes máximos.

1. AUTOR: ING. RAMÓN VILCHEZ REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” ÁREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MECÁNICA Y TECNOLOGÍA DE LA PRODUCCIÓN CÁTEDRA: RESISTENCIA DE LOS MATERIALES E-mail: [email_address] http://resistenciadelosmaterialesteoria.blogspot.com U N E F M

5. Como se muestra en la siguiente figura

7. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto Introducción ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Metodología de Análisis: Se elige un punto en la estructura para determinar los esfuerzos y las deformaciones unitarias. (por lo general se escoge un punto en una sección transversal, donde los esfuerzos son grandes). Para cada carga sobre la estructura se determinan las resultantes de los esfuerzos en la sección transversal que contenga el punto seleccionado. (Las posibles resultantes de esfuerzos son una fuerza axial, un momento de torsión, un momento flexionante y una fuerza cortante). Se calculan los esfuerzos normal y cortante en el punto seleccionado debidos a cada una de las resultantes de esfuerzos . Rosetas de Deformación

8. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto Introducción ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Los esfuerzos individuales se combinan para obtener los esfuerzos resultantes en el punto seleccionado. En otras palabras, se obtienen los esfuerzos σ x , σ y y τ xy que actúan sobre un elemento de esfuerzo en un punto. Rosetas de Deformación

9. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto Introducción ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en el punto seleccionado se determinan usando las ecuaciones transformación de esfuerzos o el circulo de Mohr. Si es necesario, se encuentran los esfuerzos que actúan sobre lo otros planos inclinados. Rosetas de Deformación Esfuerzo Principal Máximo, σ 1 : Esfuerzo Principal Mínimo, σ 2 : Esfuerzo Cortante Máximo, τ máx

10. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto Introducción ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Un es fuerzo cortante tiene dos subindices, el primero de nota la cara donde actúa y el segundo da el sentido sobre esa cara. Rosetas de Deformación

11. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Esfuerzo en Punto. Calculo analítico De la ecuación deducida para el ángulo, se obtiene el siguiente triangulo: Del cual se obtiene las siguientes relaciones:

12. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Esfuerzo en Punto. Calculo analítico Esfuerzo Principal Máximo, σ 1 : Esfuerzo Principal Mínimo, σ 2 : NOTA: En el elemento en el que actúan los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante es CERO. Esfuerzo Cortante Máximo, τ máx : en la ecuación (4).

13. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Esfuerzo en Punto. Calculo analítico Dividiendo entre cos(2 Φ ): Ángulo que localiza el esfuerzo cortante máximo, τ máx De la ecuación deducida para el ángulo, se obtiene el siguiente triangulo: Del cual se obtiene las siguientes relaciones:

14. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Esfuerzo en Punto. Calculo analítico Esfuerzo Cortante Máximo, τ máx Esfuerzo Normal que actúa en el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo, σ prom

15. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción El circulo Mohr es la representación gráfica de las ecuaciones de transformación para el esfuerzo plano. Esta representación grafica es de gran utilidad porque permite visualizar las relaciones entre los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre varios planos inclinados en un punto de un cuerpo sometido a esfuerzos. Utilidad del circulo de Mohr: Calcular los esfuerzos principales. Los esfuerzos cortantes máximos. Y los esfuerzos en planos inclinados. Permite conocer los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante máximo.

16. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Ecuaciones del Circulo de Mohr. Reordenando la ecuación I. nos queda: I ec. II ec. Por la geometría analítica, reconocemos que ambas son ecuaciones de un circulo en forma paramétrica. El ángulo 2ɵ es el parámetro y los esfuerzos σ x1 y τ x1y1 son las coordenadas.

17. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Para suprimir el parámetro 2 θ , elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación y luego sumamos ambas. El resultado es: IV ec. V ec. Recordando que: VI ec.

18. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Sustituyendo las ecuaciones V y VI en IV, nos queda: VII ec. Es la ecuación de un circulo en forma algebraica estándar. Las coordenadas son σ x1 y τ x1y1 , el radio es R y el centro del circulo tiene las coordenadas σ x1 = σ prom y τ x1y1 =0. Convenciones de signos: Los esfuerzos normales positivos (de tensión) actúan hacia la derecha. los esfuerzos normales negativos (compresión) actúan hacia la izquierda. Los esfuerzos cortantes que tienden a girar al elemento sometido a esfuerzos en sentido horario (SH) se trazan hacia arriba en el eje τ . Los esfuerzos cortantes que tienden a girar al elemento sometido a esfuerzos en sentido antihorario (SAH) se trazan hacia abajo.

19. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Procedimiento para dibujar el circulo de Morh: Identifique la condición de esfuerzo en el punto de interés y represéntelo como un elemento sometido a esfuerzos inicial como se muestra en la figura. La combinación de σ x y τ xy se marca como punto 1. en el plano σ - τ C

20. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Procedimiento para dibujar el circulo de Morh: La combinación de σ y y τ yx se marca como punto 2. observe que τ xy Y τ yx siempre actúa en direcciones opuestas. Por consiguiente, un punto se marcará arriba del eje σ y el otro por debajo. Trace una línea recta entre los puntos . Esta línea cruza el eje σ en el centro del circulo de Mohr, el cual también es el valor del esfuerzo normal promedio aplicado al elemento sometido a esfuerzo inicial. La localización del centro se puede observar con los datos observados para trazar los puntos o se pueden calcular con la ecuación IV. Identifique la línea que pasa por 0 y pasa por el punto 1 ( σ x, τ xy) como eje X. esta línea corresponde al eje X original y es esencial que se correlacionen los datos del circulo de Mohr con las direcciones originales X y Y.

21. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Procedimiento para dibujar el circulo de Morh: Los puntos 0, σ x y el punto 1 forman un importante triangulo rectángulo porque las distancias de 0 al punto 1, la hipotenusa del triangulo, es igual al radio del Circulo, R. la longitud de radio del circulo de Mohr es igual a la magnitud del esfuerzo cortante máximo

22. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Procedimiento para dibujar el circulo de Morh: Dibuje el circulo completo con el centro en O y radio R. Trace el diámetro vertical del circulo. El punto en la parte superior del circulo tiene las coordenadas ( σ prom ; τ máx ), donde el esfuerzo cortante tiene la dirección horaria (SH).el punto en la parte inferior del circulo representa ( σ prom ; τ máx ), donde el esfuerzo tiene la dirección antihoraria (SAH). Identifique los puntos en el eje σ en los extremos del diámetro horizontal como σ 1 a la derecha (el esfuerzo principal máximo) y σ 2 a la izquierda (el esfuerzo principal mínimo). Observe que el esfuerzo cortante en esos puntos es cero. Calcule los valores de σ 1 y σ 2 con: Nota: un concepto importante a recordar es que los ángulos obtenidos con el circulo de Mohr son el doble de los ángulos reales.

23. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Eje x Eje y

24. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Procedimiento para dibujar el circulo de Morh: La orientación del elemento sometido a esfuerzos principal se determina calculando el ángulo del eje x al eje σ 1 , designado como 2 Φ . Dibuje el elemento sometido a esfuerzo principal en su orientación adecuada determinada con el paso 12 con los dos esfuerzos principales σ 1 y σ 2 . Elemento Sometido a Esfuerzo Principales.

25. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Procedimiento para dibujar el circulo de Morh: La orientación del elemento sometido a esfuerzos cortantes máximos se determinan con el ángulo del eje x al eje τ máx, designado 2 Φ ´ principal se determina calculando el ángulo del eje x al eje σ 1 , designado como 2 Φ . Dibuje el elemento sometido a esfuerzos cortantes máximos y esfuerzos promedios. Como se muestra a continuación. Elemento Sometido a esfuerzos cortantes máximos

26. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Considerando que la fuerza P 1 genera un Momento Flector M 1 y la fuerza P 2 genera solamente un esfuerzo axial σ 2 . Distribución de esfuerzos debido a la fuerza P 2 Distribución de esfuerzos debido a la fuerza P 1 C A B D C y σ 1 _compresión σ 1_tensión C M 1

27. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción C A B D Distribución de esfuerzos cortante debido a la fuerza P 1 r r

28. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Entonces en el punto A se ve afectado por el esfuerzo axial generado por la fuerza P 2. el cual es uniforme en toda la sección; a demás de un esfuerzo cortante τ 1 . Por lo tanto el elemento de esfuerzo queda de la siguiente manera: A

29. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Entonces en el punto B se ve afectado por el esfuerzo axial generado por la fuerza P 2. el cual es uniforme en toda la sección; a demás de un esfuerzo flexionante σ 1 . Por lo tanto el elemento de esfuerzo queda de la siguiente manera: B

30. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Entonces en el punto C se ve afectado por el esfuerzo axial generado por la fuerza P 2. el cual es uniforme en toda la sección; a demás de un esfuerzo cortante τ 1 . De igual manera que el punto A. Por lo tanto el elemento de esfuerzo queda de la siguiente manera: C

31. Circulo de Morh Esfuerzo Axial y por Flexión Δ del Esfuerzo con la orientación de elemento Flexión y Torsión Transformación de las componente del esfuerzo Esfuerzo en un Punto ESQUEMA TEMA V. ESFUERZOS COMBINADOS. Rosetas de Deformación Introducción Entonces en el punto D se ve afectado por el esfuerzo axial generado por la fuerza P 2. el cual es uniforme en toda la sección; a demás de un esfuerzo flexionante σ 1 . Pero en este caso este esfuerzo actúa a compresión en la parte inferior del elemento. Por lo tanto el elemento de esfuerzo queda de la siguiente manera: D