1.- Circulo de Mohr. 2.- Circunferencia de Mohr para esfuerzos. 2.1.- Caso bidimensional. 2.2.- Caso tridimensional. 3.- Círculo de Mohr para la tracción simple. 4.- Esfuerzo principal. 5.- Procedimiento para calcular el círculo de Mohr. Ejercicio CONCLUSIÓN REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS

1. "Año de la lucha contra la corrupción e impunidad"
Facultad de ingeniería
Escuela académico profesional de ingeniera civil
Informe de “CIRCULO DE MOHR”
Área:
Resistencia de Materiales
Integrantes:
Crisanto Seminario, Cristhian
Huancay lizana, Edwin
Docente:
Ing. Cristhian Alexander León Panta
Semestre:
2019 - II
PIURA - PERÚ
2019

2. INTRODUCCIÓN
Christian Mohr fue un gran ingeniero civil que hizo grandes aportaciones a la
teoría de estructuras. El más conocido y útil aun en la actualidad a pesar de los
desarrollos tecnológicos es el método para determinar los esfuerzos máximos y
mínimos de compresión y tensión además de los esfuerzos cortantes el cual se lama
Circulo de Mohr, este método fue desarrollado cerca del año 1882.
El método de Mohr consiste en representar el estado plano completo de
esfuerzo mediante el dibujo de un círculo en el plano sT. El círculo de Mohr se dibuja
en un sistema de ejes perpendiculares con el esfuerzo cortante (τ) marcado en el eje
vertical y el esfuerzo normal (σ) en el eje horizontal. A continuación se hará una
breve explicación sobre este método haciendo énfasis en los conceptos más
importantes además de la resolución de problemas empleando este método.

3. ÍNDICE
Pág.
INTRODUCCIÓN
1.- Circulo de Mohr.
2.- Circunferencia de Mohr para esfuerzos.
2.1.- Caso bidimensional.
2.2.- Caso tridimensional.
3.- Círculo de Mohr para la tracción simple.
4.- Esfuerzo principal.
5.- Procedimiento para calcular el círculo de Mohr.
Ejercicio
CONCLUSIÓN
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANEXOS
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1.- Circulo de Mohr
El Círculo de Mohr es una técnica usada
en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico y calcular
con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las
características de una circunferencia (radio, centro, entre otros). También es posible
el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.
Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero
civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918).
2.- Circunferencia de Mohr para esfuerzos
2.1- Caso bidimensional
En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión
máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre
dos ángulos que forman 90º:
Medida 1 (𝝈 𝒙, − 𝝉)
Medida 2 (𝝈 𝒚, 𝝉)
Ha de hacer notar que el eje vertical se encuentra invertido, por lo que
esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte
superior.
Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión
normal (𝝈) y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial (𝝉) para cada
uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados
de la siguiente manera:

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 Centro del círculo de Mohr:
𝑪 ∶= 𝝈 𝒎𝒆𝒅 , 𝟎) = (
𝝈 𝒙 + 𝝈 𝒚
𝟐
, 𝟎)
 Radio de la circunferencia de Mohr:
𝒓 ∶= √(
𝝈 𝒙 − 𝝈 𝒚
𝟐
)
𝟐
+ 𝒓 𝒙𝒚
𝟐
Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas
magnitudes simplemente por:
𝝈 𝒎𝒂𝒙 = 𝝈 𝒎𝒆𝒅 + 𝒓 𝝈 𝒎𝒂𝒙 = 𝝈 𝒎𝒆𝒅 + 𝒓
Estos valores se pueden obtener también calculando los valores
propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:
𝐓| 𝐱 ,𝐲 = [
𝝈 𝐱 𝛕
𝛕 𝝈 𝐲
]
2.2.- Caso tridimensional
El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más
complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que
existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.
𝐓| 𝐱 ,𝐲 ,𝐳 = [
𝝈 𝐱 𝛕 𝐱𝐲 𝛕 𝐱𝐳
𝛕 𝐲𝐱 𝝈 𝐲 𝛕 𝐲𝐳
𝛕 𝐱𝐳 𝛕 𝐲𝐳 𝝈 𝐳
]
En el caso general, las tensiones normal (𝝈) y tangencial (𝛕), medidas sobre
cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (𝝈, 𝛕) caen
siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el

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caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única
circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles
pares (𝝈, 𝛕) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.
3.2.- Círculo de Mohr para la tracción simple.
El círculo de Mohr es un círculo en el que las coordenadas de los puntos de su
circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que existen en una sección
inclinada cualquiera de la barra.
El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar
gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia,
deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo
(radio, centro, entre otros.). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante
máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.
El círculo de Mohr se construye de la siguiente forma:
Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abscisas situamos
las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes.
Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras
perpendiculares definen un diámetro del círculo de Mohr.
Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones perpendiculares son
iguales y de sentido contrario.
Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los
siguientes detalles:
 El sentido de giro del ángulo en el círculo se corresponde con el sentido de
giro del plano AB en la realidad.

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 El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en
sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en
caso contrario.
 El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los
planos reales correspondientes.
4.- Esfuerzos principales.
Los esfuerzos principales son los mayores esfuerzos que actúan sobre el
elemento y se hallan por medio de una rotación de coordenadas. Los esfuerzos
normales principales se notan como 𝝈 𝟏, 𝝈 𝟐, 𝝈 𝟑, y donde 𝝈 𝟏 > 𝝈 𝟐 > 𝝈 𝟑, y en el
ángulo de rotación en el que se dan el esfuerzo cortante es cero. El esfuerzo cortante
máximo absoluto se nota como 𝝉 𝒎𝒂𝒙 y en el ángulo de rotación al que se da los
esfuerzos normales son el promedio de los esfuerzos normales del tensor de
esfuerzos.
5.- Procedimiento para calcular el círculo de Mohr.
Para construir un círculo de Mohr que sirva en la solución de problemas, se usa el
siguiente procedimiento:
1.- Se traza un par de ejes coordenadas tomando a σ como eje de las abscisas ya τ
como eje de las ordenadas.
2.- Se trazan los valores de τ y σ correspondientes a dos superficies mutuamente
perpendiculares del cubo elemental, tales como las caras cd y ac de la Fig.
6.24 (a), obteniendo dos puntos en la periferia del círculo. De acuerdo con la
convención de signos, los esfuerzos de tensión son positivos y los esfuerzos
de compresión, negativos. Los esfuerzos cortantes que tienden a hacer girar al
bloque en sentido de las manecillas del reloj, tales como los de las caras ac y
bd, se consideran negativos. En el círculo de la Fig. 6.24 (b), el punto V con

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coordenadas (+ σ x, + τ), y el punto H con coordenadas (+ σ y, - τ) son los
puntos que se trazarán.
3.- Se traza la línea recta HCV que une estos dos puntos. Esta recta es el diámetro
del círculo cuyo centro es el punto C.
4.- Se completa el círculo tomando como centro el punto C y como radio CV.

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El círculo de Mohr permite el cálculo rápido y exacto de:
(1) Los esfuerzos principales máximo y mínimo.
(2) El esfuerzo cortante máximo.
(3) Los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del
elemento sometido al esfuerzo cortante máximo.

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(4) El esfuerzo normal que existe junto con el esfuerzo cortante máximo sobre el
elemento sometido al esfuerzo cortante máximo.
(5) Condición de esfuerzo en cualquier orientación del elemento sometido a esfuerzo.
El círculo de Mohr se dibuja en un sistema de ejes perpendiculares con el esfuerzo
cortante, τ, marcado en el eje vertical y el esfuerzo normal, σ, en el eje horizontal
como se indica a continuación

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La convención de signos es la siguiente:
(1) Los esfuerzos normales positivos de tensión actúan hacia la derecha.
(2) Los esfuerzos normales negativos de compresión actúan hacia la izquierda.
(3) Los esfuerzos cortantes que tienden a girar al elemento sometido a esfuerzo en
sentido horario (SH) se trazan hacia arriba en el eje τ.
(4) Los esfuerzos cortantes que tienden a girar al elemento sometido a esfuerzo en
sentido anti horario (SAH) se trazan hacia abajo.

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Ejercicio
1. Un elemento de esfuerzo tiene se desea hallar:
a] Los esfuerzos y las direcciones principales, e indicar en el elemento su orientación
correcta (con respecto al sistema xy)
b] Trazar otro elemento que muestre determinando los esfuerzos normales
correspondientes.
Solución:

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El esfuerzo está a 45° respecto a las normales es decir 45°- 25.7°=19.3°

14. CONCLUSIÓN
El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para el cálculo de los
momentos de inercia, esfuerzos y en algunos casos deformaciones. Es un método
simple que opta las mismas características de un círculo (radio, centro, entre otros).
Con este método también es posible el cálculo rápido y exacto de los esfuerzos
principales máximo y mínimo, el esfuerzo cortante máximo, los ángulos de
orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al
esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo normal que existe junto con el esfuerzo
cortante máximo sobre el elemento sometido al esfuerzo cortante máximo. La razón
para este método este en vigencia con tanta tecnología a nuestro alrededor se
encuentra en la información, simultáneamente general y detallada, que el circulo de
Mohr suministra sobre determinados problemas de la ingeniería. Las aplicaciones de
esta construcción grafica tienen su fundamento en las leyes de transformación de
ciertas entidades matemáticas llamadas tensores, a las que el círculo de Mohr
representa con sencillez y claridad. Tan solo es necesario recurrir a relaciones
trigonométricas elementales para obtener ecuaciones de interés en la solución de
algunos problemas propios de la resistencia de materiales. El círculo de Mohr es una
de las pocas construcciones gráficas en ingeniería civil que no ha perdido importancia
con la introducción de las calculadoras y los computadores.

15. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BECARRY, F., 2007 “Circulo de Mohr”. Libro en Línea. Disponible en:
http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/
LUNA, A., 2011 “Circulo de Mohr y Columnas”. Libro en Línea. Disponible en:
http://es.scribd.com/doc/49369439/Mecanica-de-Materiales-Circulo-de-Mohr-
y-Columnas.
CASTRO, C., 2009 “Esfuerzos principales y el Circulo de Mohr”. Libro en Línea.
Disponible en: http://es.scribd.com/doc/13955724/Esfuerzos-principales-y-el-
Circulo-de-Mohr
LEÓN, D., 2006 “Circulo de Mohr”. Libro en Línea. Disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo_de_Mohr

16. ANEXOS