Siguiendo con las normativas APA para realizar nuestro trabajo aquí se lo dejamos, espero sea de gran ayuda para cualquier estudiante o profesor.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
I.U.P SANTIAGO MARIÑO
RESISTENCIA Y ENSAYOS DE LOS MATERIALES
ESTUDIOS DE ESFUERZOS Y
DEFORMACIONES MEDIANTE EL
CÍRCULO DE MOHR
Integrantes:
Pedro Gamboa 29.605.030
Fernando Montanez 27.312.460
Leomar Salas 26.708.099
Germán Rodríguez 27.406.918
Marcos Mendoza 27.528.489
Ciudad Ojeda - Estado Zulia. 2020-07-30

2. Índice
I.- Estado general de esfuerzos
II.- Esfuerzo cortante, normales y tangenciales
2.1.- Tensiones normales en los planos de máxima tensión cortante:
2.2.- Tensión cortante
2.3.- Tipos de esfuerzos fundamentales de carga
2.4.- Esfuerzo Axial
2.5.- Momento Flector
III.- Deformaciones debidas a tensiones cortantes
IV.- Deformación cortante
4.1.- Rosetas de deformación
V.- Medidor de deformación
5.1.- Tipos de medidores de deformación
VI.- Circulo de Mohr
6.1.- Pasos para realizar el círculo de Mohr
6.2.- Pasos para realizar el círculo de Mohr:( incógnitas:σn y £).

3. Introducción
Hasta ahora hemos considerado tensiones en barras sometidas a carga axial, arboles sometidos
a torsión y vigas sometidas a flexión, hay que tomar en cuenta que hemos considerado una barra,
por ejemplo, y hay que determinar el estado de tensiones en estas condiciones. Como las
tensiones normales y cortantes son magnitudes vectoriales, hay que tener mucho cuidado a la
hora de combinar los valores dados por las expresiones para solicitaciones simples. El objeto de
esta tarea es el estudio del estado de tensiones en un plano arbitrario que corta un elemento de un
cuerpo sometido a varias solicitaciones simultáneas.

4. I.- Estado general de esfuerzos:
Los Esfuerzos Combinados son aquellos que actúan en una sección de un elemento cuando
existe una combinación de dos o más de las acciones internas actuando en dicho elemento .Si
consideramos un elemento diferencial cuadrado, notaremos que este tiene 6 caras, y que cada una
de ellas puede existir un esfuerzo normal y dos esfuerzos cortantes. En la figura mostrada, se
muestran solo los esfuerzos de la cara visibles. En las caras visibles, deben ocurrir esfuerzos de la
misma magnitud y sentido contrario para que el elemento este en equilibrio.
II.- Esfuerzo cortante, normales y tangenciales:
El esfuerzo cortante es producido por fuerzas que actúan paralelamente al plano que las
resiste, mientras que los de tensión o de compresión lo son por fuerzas normales al plano sobre el
que actúan. Por esta razón, los esfuerzos de tensión y de compresión se llaman también esfuerzos
normales, mientras que los esfuerzos cortantes pueden denominarse esfuerzo tangencial.
2.1.- Tensiones normales en los planos de máxima tensión cortante:

5. La tensión normal en cada uno de los planos de máxima tensión cortante (que está separado a
90ᵒ) está dada por:
σn = σx + σy / 2
2.2.- Tensión cortante:
El esfuerzo cortante, dividido por la superficie sobre la que actúa, se llama tensión cortante. La
representamos por la letra griega t.
2.3.- Tipos de esfuerzos fundamentales de carga:
Esfuerzo Axial: σ = P/A
P= Fuerza.(Carga aplicada)
A= Área de la sección transversal.
Esfuerzo por carga de Torsión: t = Tρ/ J
T = Esfuerzo Cortante.
Ρ = Distancia del centro al eje.
J = Momento de Inercia Polar.
Esfuerzo por carga de Flexión: σf = My/ I
t = T/A

6. M = Momento Flexionante sobre la sección transversal.
I =Momento de Inercia de la sección transversal.
Y = Distancia desde el centroide hasta el punto de interés sobre la sección transversal.
2.4.- Esfuerzo Axial:
El esfuerzo axial es producido por las fuerzas axiales que actúan a lo largo del eje longitudinal
de la barra.
2.5.- Momento Flector:
Es todo lo que me genera momento, es decir es la suma de todos los momentos aun lado de un
punto cualquiera, sea a la izquierda o sea a la derecha. Los signos de los momentos Flexionantes.
Es positivo si la flexión que produce la barra presenta concavidad hacia arriba y el momento es
negativo si presenta concavidad hacia abajo. Fuerzas hacia arriba me generan momentos
positivos y fuerzas hacia abajo me generan momentos negativos.
Momento positivo. Momento Negativo.
III.- Deformaciones debidas a tensiones cortantes:

7. Consideremos la deformación de un elemento plano rectangular cortado de un sólido, en el
que se sabe que las fuerzas que actúan son tensiones cortantes (t), en la dirección representada en
la figura (a).
Fig. a fig. b
Se supone que las caras del elemento paralelas al plano del papel están exentas de
carga. Como no actúan tensiones normales en el elemento, las longitudes de los lados del
rectángulo elemental original no variaran cuando las tensiones cortantes adopten el valor (t). Sin
embargo, habrá una distorsión de los ángulos del elemento primitivamente rectos, después de
cuya distorsión, debida a las tensiones cortantes, el elemento adopta la configuración por líneas
de trazos en la fig. b anterior.
IV.- Deformación cortante:
La variación del ángulo (A) del elemento se define como la deformación por cortante. Se mide
en radianes y se suele representar por la letra griega ϒ.
4.1.- Rosetas de deformación:
.
t
t
A
ϒ

8. V.- Medidor de deformación:
Es un elemento muy utilizado en ingeniería en el diseño y rediseño de elementos de máquinas.
Este elemento es capaz de proporcionarnos, con los elementos necesarios, la deformación, la
temperatura, la carga que soporta, la presión, entre otros.
El medidor de deformación se puede definir como un elemento cuya propiedad conductiva es
utilizada para registrar una señal mecánica y transformarla en señal eléctrica.
El principio básico del funcionamiento del medidor de formación es el siguiente:
Como se sabe, la resistencia óhmica de un elemento conductor que tenga forma y dimensiones
determinadas, puede calcularse a partir de la siguiente formulas:
R: Representa la resistencia óhmica del material.
F: Representa la resistividad del material (la cual es una constante diferente para cada
material).
R = F × L / A

9. L: Longitud del material.
A: Área de la sección transversal.
Como se ve la resistencia puede variarse, variando las dimensiones del material. Cuando un
material se somete a carga sufre una deformación, aunque esta sea muy pequeña.
Si colocamos el medidor de deformación en un elemento sometido a carga deformaremos el
elemento, así como al medidor de deformación, tanto su área como su longitud inicial van a
cambiar. Al ocurrir esto cambia su resistencia. Este cambio de resistencia lo podemos detectar
con un aparato auxiliar, (un puente de wheatstonegeneralmente) y pasarlos a una escala
conveniente, donde leamos estos cambios ya sea como valores de esfuerzo, deformación,
temperatura, etc. Una vez que conocemos alguno o algunos de los parámetros anteriores podemos
afirmar, como ingenieros, que tan seguro, esta o se encuentra el elemento analizado. En caso de
que este no esté seguro habrá que modificarlo para que su funcionamiento sea eficaz, y evitemos
una posible falla. Estas modificaciones podrían ser en sus dimensiones cambiando el material,
entre otros.
5.1.- Tipos de medidores de deformación:
Simples: Los cuales nos indican la deformación de un elemento en un sentido.
Duales: Los cuales nos indican la deformación de un elemento en dos sentidos.
Múltiples: Los cuales nos indican la deformación de un elemento en tres o más sentidos.
Diafragma: Los cuales nos indican la deformación del elemento en forma radial.
VI.- Círculo de Mohr:

10. El uso del círculo de Mohr permite entender mejor el caso general de esfuerzo en un punto.
Este método fue presentado por primera vez por Otto Mohr en 1895, el círculo permite un cálculo
rápido y exacto de:
 Los esfuerzo principales máximo y mínimo
 El esfuerzo cortante máximo.
 Los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento
sometido al esfuerzo cortante máximo.
 El esfuerzo normal que existe junto con el esfuerzo cortante máximo que actúan en el
elemento sometido al esfuerzo cortante máximo.
 La condición de esfuerzo a cualquier angular del elemento sometido a esfuerzo.
Convenciones de signos:
 Los esfuerzos normales positivos (de tensión) actúan hacia la derecha.
 Los esfuerzos normales negativos (de comprensión) actúan hacia la izquierda
 Los esfuerzos cortantes que tienden a girar el elemento sometido a esfuerzo en sentido
de las manecillas del reloj se marcan hacia arriba en el eje.
 Los esfuerzos cortantes que tienden a girar el elemento sometido a esfuerzo en sentido
contrario al de las manecillas del reloj se marcan hacia abajo.
Procedimiento para trazar un círculo de Mohr:

11.  Identifique la condición de esfuerzo en el punto de interés y represéntelo como el
elemento sometido a esfuerzo inicial.
 La combinación de se marca como punto 1 en el plano
 La combinación de se marca entonces como punto 2. Observe que
siempre actúan en direcciones opuestas. Por consiguiente, un punto se marca arriba del
eje y el otro debajo.
 Trace una línea recta entre los dos puntos.
 Esta línea corta el eje en el centro del círculo de Mohr, el cual también es el valor
del esfuerzo normal promedio aplicado al elemento sometido a esfuerzo inicial. El
centro se localiza con los datos utilizados para marcar los puntos o se calcula con la
ecuación:
Por comodidad, designe el centro como O.
 Identifique la línea que parte del punto O y pasa por el punto 1 como eje x.
 Los puntos O, y el punto 1 forman un triángulo rectángulo importante porque la
distancia del punto O al punto 1, la hipotenusa del triángulo, es igual al radio del
círculo, R, si llamamos a y b a los otros dos lados se pueden hacer los siguientes
cálculos:

12. La longitud del radio del círculo de Mohr es igual a la magnitud del esfuerzo cortante
máximo.
 Trace el circulo completo con el centro en O y el radio R.
 Trace el diámetro vertical del círculo. Las coordenadas del punto situado en la parte
superior del círculo son donde el esfuerzo cortante actúa en sentido de
las manecillas del reloj. El punto situado en la parte inferior del círculo representa
donde el esfuerzo cortante actúa en sentido contrario a las manecillas
del reloj.
 Identifique los puntos en el eje en los extremos del diámetro horizontal como
a la derecha (el esfuerzo principal máximo) y a la izquierda (el esfuerzo principal
mínimo). Obsérvese que el esfuerzo cortante es cero es estos puntos.
 Determine los valores de con:
Donde “O” representa la coordenada del centro del círculo, y r es su radio.

13. Los pasos siguientes determinen los ángulos de orientación del elemento sometido al
esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante máximo un concepto
importante a recordar es que los ángulos obtenidos con el circulo de Mohr son el doble de
los ángulos verdaderos. La razón de esto es que las ecuaciones en las que ésta basado, las
ecuaciones son funciones de
 La orientación del elemento sometido a esfuerzo principal se determina calculando el
ángulo que forma el eje x y con el eje designa con los datos que contiene el
circulo se puede ver que:
El argumento de esta función tangente inversa corresponde al valor absoluto del
argumento mostrado en la ecuación. Los problema que provocan los signos del ángulo
resultante se evitan considerando la dirección del eje x al eje en el círculo, en el
sentido de las manecillas del reloj.
 Trace el elemento sometido a esfuerzo principal en su orientación apropiada determinada
con el paso 12, con los esfuerzos principales mostrados.
 La orientación del elemento sometido a esfuerzo cortante máximo se determina con el
ángulo del eje x al eje designado
 Trace el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo en su orientación apropiada,
determinada con el paso 14, con los esfuerzos cortantes y el esfuerzo normal promedio en
las cuatro caras.

14. El círculo de Mohr sirve para calcular los esfuerzos y la inercia máxima y mínima. A partir
de dos mediciones del esfuerzo normal y del esfuerzo tangencial sobre dos ángulos que
forman 90ᵒ. Además puede representarse gráficamente las tensiones normales sobre el eje
horizontal y las cortantes en el eje vertical.
6.1.- Pasos para realizar el círculo de Mohr:
1. Los esfuerzos normales (σn) se representaran en las abscisas y los esfuerzos cortantes (txy
= £) en las ordenadas.
2. Los esfuerzos normales de tracción (positivos) se ubicaran en la parte derecha de las
abscisas.
3. Los esfuerzos cortantes se tomaran como positivos si en un plano de acción hacen girar al
elemento en sentido contrario a las agujas del reloj.
4. Los esfuerzos cortantes positivos se ubicaran en la parte superior de las ordenadas.
5. Graficamos los puntos (σn y £), que indican los esfuerzos que actúan sobre los planos (x,
y) respectivamente.

15. 6. Luego trazamos una línea recta que pase por el punto de intercepción formados por los
puntos (σn y £).

16. 7. Con ayuda de (2) escuadras, coloco una sobre el trazado de nuestra línea recta que se
formó por la unión de nuestros puntos (σn y £), y la otra escuadra la coloco
perpendicularmente a la primera escuadra tomando en cuenta el punto de intercepción. Ya
con nuestras (2) escuadras bien posicionadas se nos formara una nueva recta (esa nueva
recta que se forma y donde se corte, será mi centro de mi circulo).

17. 8. Una vez que hayamos obtenido el centro de nuestro círculo, procedemos a colocar el
compás en el centro y mido la distancia de mi nueva recta (la que me ubico el centro) con
el compás y trazo mi círculo de Mohr y donde obtenga los nuevos cortes de mi círculo
obtendré los valores de (esfuerzo principal menor y mayor).
9. Luego con la ayuda del transportador procedo a posicionarlo en el centro de mi círculo de
Mohr e indico el grado del ángulo (que obtuvimos de la recta nueva hacia el centro.)

18. Una vez obtenido el ángulo lo multiplico por 2 para tener mi ángulo total.
Parte analítica:

19. 6.2.- Pasos para realizar el círculo de Mohr:( incógnitas:σn y £).
1. Para determinar los valores del esfuerzo normal y tangencial de cualquier plano con
dirección θ, se procede a graficar los valores del esfuerzo principal menor y el esfuerzo
principal menor.
2. Una vez definido esos dos puntos, procedemos a medir la distancia de esos dos puntos
con nuestra regla y dividimos la distancia entre dos para obtener el centro entre ambos
puntos y así luego poder trazar nuestro círculo de Mohr.

20. 3. Ubicamos la escala en la cual vamos a trabajar.
4. Evaluamos el ángulo de inclinación (2θ) y colocamos el transportador en el centro para
marcar el ángulo de (2θ).
5. Luego trazamos una línea recta perpendicular con respecto al ángulo de (2θ).
Obviamente ayudado por el transportador. Donde se corte la línea recta con el círculo
proyecto una vertical hacia abajo y una horizontal hacia el eje de las ordenadas.
6. Seguidamente procedemos a dar lectura verticalmente del corte hasta el eje de las
ordenadas para obtener el valor de la tensión tangencial. (£),

21. 7. Hacemos el mismo procedimiento de lectura con la diferencia que para hallar el valor
del esfuerzo normal (σn) Leeremos de forma horizontal hasta el eje de las ordenadas.

22. Conclusión
La resistencia de materiales amplia el estudio de las fuerzas que se inició en mecánica. En
contraste con la mecánica, la resistencia de materiales estudia y establece las relaciones entre las
cargas exteriores aplicadas y sus efectos en el interior de los sólidos. Además, no supone que los
sólidos son idealmente indeformables, como en la primera, sino que las deformaciones, por
pequeñas que sean, tienen grande interés. La resistencia de materiales estudia la distribución
interna de esfuerzos (cortantes, axiales y torsión) que producen un sistema de fuerzas exteriores
aplicadas.

23. Bibliografía
 Libro: Resistencia de los materiales Singer (cuarta edición).
 Libro: Teoría y problemas de Resistencia de Materiales (serie shaum)
 https://books.google.co.ve/books?id=QVIDfMe5wIQC&lpg=PP1&dq=circulo%20
de%20Mohr&hl=es&pg=PA47#v=onepage&q=circulo%20de%20Mohr&f=false
 https://www.youtube.com/watch?v=BGQjzfuHRJc
 https://www.youtube.com/watch?v=_6-0XmGCex0
 https://www.youtube.com/watch?v=PYK9hNToFNc
 https://es.slideshare.net/250594Richard/problemario-resistencia-3er-parcial