Este documento trata sobre sucesiones en espacios métricos. Contiene definiciones de sucesiones de Cauchy y espacios métricos completos. También incluye proposiciones sobre cómo las isometrías, aplicaciones uniformemente continuas y homeomorfismos uniformes transforman sucesiones de Cauchy. Por último, analiza subespacios completos y la completitud de espacios productos.

1. Sucesiones en espacios métricos.
Sucesiones de Cauchy
Continuidad en espacios métricos
Homeomorfismo en espacio métricos
Integrantes:
RODRIGUEZ DUEÑAS, ALEXANDER HERRERA
HERNANDEZ, JUAN
MARTINEZ VIVAR, SANTIAGO HUAMANI
SULCA, JACINTO
HURTADO RIMAYCUNA, DIEGO
TOPOLOGÍA
Docente: Dr. Gamaniel D Gonzales Salvador

2. Jacinto
1. Sucesiones de Gauchy Espacios
completos
Definición: Sea M=(E,d) un espacio métrico. Una sucesión (𝑥𝑛) n𝜖N de puntos de E se dice que
es una sucesión de Cauchy si y solo si ∀𝜖 > 0, ∃𝑣 ∈ 𝑁 / 𝑝, 𝑞 ≥ 𝑣 → 𝑑(𝑥𝑝; 𝑥𝑝) =< ∈ .
Definición: Un espacio métrico 𝑀 = (𝐸, 𝑑) se dice completo si toda sucesión de Cauchy en E
es convergente.
Ejemplos: (R,|…….|) es un espacio métrico completo, pues toda sucesión de Cauchy en R
convergente hacia un punto de R. Sin embargo, Q con la métrica inducida por la usual de R es
un espacio métrico incompleto, pues existen sucesiones de números racionales de Cauchy que
convergen hacia un numero irracional .
Análogamente, el subespacio ]0,1] es incompleto pues la sucesión (
1
𝑛
)𝑛 ∈ ℕ es una sucesión
de Cauchi de puntos de ]0,1] que no converge en ]0,] , pues (
1
𝑛
)𝑛 → 0 .

3. 1.1 PROPOSICION: El “carácter de Cauchy” de una sucesión y la completitud se mantienen
por isometrías. [*]
Demostrar:
Sean 𝑀1 → 𝑀2 una isometría. Se trata de probar que toda sucesión de Cauchy en 𝑀1 se
transforma por h en una sucesión de Cauchy de 𝑀2 , y recíprocamente, que toda sucesión de
Cauchy de 𝑀2 se transforma en ℎ−1 en una sucesión de Cauche de 𝑀1 .
Si h es una isometría se tienen que ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸1 , 𝑑1 𝑥, 𝑦 =
𝑑2 ℎ 𝑥 , ℎ 𝑦 … . (𝐼)
Sea 𝑥𝑛 𝑛 una sucesión de Cauchy en 𝐸1 . Se trata de ver que ℎ 𝑥𝑛 𝑛
es una sucesión de
Cauchy en 𝐸2 , o bien fue ∀ ∈> 0, ∃ 𝑣 ∈ ℕ / p,q ≥ 𝑣 → 𝑑2 ℎ 𝑥𝑝 , ℎ ( 𝑥𝑞 < 𝜖 .
Siendo 𝑥𝑛 𝑛 de Cauchy, dado ∈> 0, ∃ 𝑣 ∈ ℕ / p,q≥ 𝑣 → 𝑑1 𝑥𝑝 , 𝑥𝑞 < ∈ Entonces según
(Ι)
∀ ∈ > 0, ∃ 𝑣 ∈ ℕ / 𝑝, 𝑞 ≥ 𝑣 → 𝑑2 ℎ 𝑥𝑝 , ℎ 𝑥𝑞 = 𝑑1 𝑥𝑝 , 𝑥𝑞 < ∈ .

4. 1.2 PROPOSICION:
Sean 𝑀1 = 𝐸1 , 𝑑1 𝑦 𝑀2 = 𝐸2 , 𝑑2 dos espacios métricos y 𝑓: 𝐸1 → 𝐸2 una aplicación
uniformemente continua. Entonces la sucesión de los transformados por f de una sucesión de Cauchy
en 𝐸1 es una sucesión de Cauchy en 𝐸2 .
Demostración: Sea 𝑥𝑛 𝑛 una sucesión de Cauchy en 𝐸1. Vemos que 𝑓 𝑥𝑛 𝑛
es una sucesión de Cauchy en 𝐸2 .
Si f es uniformemente continua, se tiene, por definición, que
∀∈> 0, ∃𝛿 > 0 / 𝑑1 𝑥, 𝑦 < 𝛿 → 𝑑2 𝑓 𝑥 , 𝑓(𝑦) < ∈ ( I )
siendo 𝑥𝑛 𝑛 una sucesión de Cauchy dado
𝛿 > 0, ∃ 𝑣 ∈ ℕ / 𝑝, 𝑞 ≥ 𝑣 → 𝑑1 𝑥𝑝, 𝑥𝑞 < 𝛿 ( II )
Entonces según ( I) y (II) :
∀∈> 0, ∃𝑣 ∈ ℕ / 𝑝, 𝑞 ≥ 𝑣 → 𝑑1 𝑥𝑝, 𝑥𝑞 < 𝛿 → 𝑑2 𝑓 𝑥𝑝 , 𝑓 𝑥𝑞 <∈
Lo cual prueba que (𝑓 𝑥𝑛 )𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦

5. 1.3 PROPOSICIÓN :
Sean 𝑀1 = (𝐸1,𝑑1) y 𝑀2 = 𝐸2 , 𝑑2 dos espacios métricos y 𝑓: 𝐸1 → 𝐸2 un homeomorfismo y
uniformemente continua. Entonces, si 𝑀2 = 𝐸2 , 𝑑2 es un espacio completo,
𝑀1 = (𝐸1 , 𝑑1) también es completo (El reciproco, en general, no es cierto).
Demostración: Sea 𝑥𝑛 𝑛 una sucesión de Cauchy en 𝐸1.
Entonces, siendo f uniformemente continua, (𝑓 𝑥𝑛 )𝑛 es de Cauchy en 𝐸2 .
Siendo 𝐸2 completo, (𝑓 𝑥𝑛 )𝑛 convergen hacia un punto y de 𝐸2 .
Si 𝑦 ∈ 𝐸2 , siendo 𝑓 biyectiva, ∃ 𝑥 ∈ 𝐸1 / 𝑦 = 𝑓(𝑥) .
Pero 𝑓 es homeomorfismo, luego 𝑓1
es continua y transforma sucesiones convergentes de 𝐸2 en sucesiones
convergentes de 𝐸1.
Luego: (𝑓 𝑥𝑛 )𝑛 →
𝐸2
𝑓 𝑥 → 𝑓−1
𝑓(𝑥𝑛 𝑛
→
𝐸1
𝑓−1
𝑓(𝑥 = 𝑥
Siendo 𝑓 biyectiva, ∀𝑛 ∈ ℕ , 𝑓−1
𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝑥𝑛 . Luego (𝑥𝑛)𝑛 →
𝐸1
𝑥
Por lo tanto, 𝐸1 es completo.

6. 1.4 TEOREMA:
Si 𝑓 ∶ 𝐸1 → 𝐸2 es un Homeomorfismo uniforme 𝑓 𝑦 𝑓−1
transforman sucesiones de Cauchy en sucesiones de
Cauchy y los espacios métricos 𝐸1 y 𝐸2 son simultáneamente completos o incompletos, es decir, si 𝐸1 es
completo, 𝐸2 es completo y si 𝐸2 es completo , entonces 𝐸1 también lo es. Demostrar : Si 𝑓 es homeomorfismo
uniforme, 𝑓 es homeomorfismo y uniformemente continua, entonces, según las proposiciones 2 y 3 , 𝑓
transforma sucesiones de Cauchy de 𝐸1 también lo es.
Análogamente, 𝑓−1 es homeomorfismo y uniformemente continua, luego transforma sucesiones de Cauchy de
𝐸2 en sucesiones de Cauchy de 𝐸1 , y si 𝐸1 es completo, entonces 𝐸2 también lo es .
Jacinto

7. 2. PROPIEDADES DE LAS
SUCESIONES DE CAUCHY
P.1. Toda sucesión convergente es un espacio métrico
es de Cauchy.
Demostrar: Sea (E,d) un espacio métrico y 𝑥𝑛 𝑛 una sucesión convergente hacia un
punto 𝑥 ∈ 𝐸.
Entonces:
Santi

8. P.2. Toda sucesión parcial de una sucesión de Cauchy es de Cauchy.
Demostrar: Sea 𝑥𝑛 𝑛 una sucesión de Cauchy en E y 𝑥𝑛𝑘 𝑘
una sub-sucesión de ella. Siendo
𝑥𝑛 𝑛 de Cauchy.
Entonces:
Demostrar: Sea 𝑥𝑛 𝑛 una sucesión de Cauchy en E y 𝑥𝑛𝑘 𝑘
una sub-sucesión de ella. Siendo 𝑥𝑛 𝑛 de
Cauchy.
cauchy

9. Entonces:
P.3. Dada una sucesión de Cauchy en E o bien es convergente o no convergente ninguna
sucesión parcial suya .
Probemos que si 𝑥𝑛 𝑛 es una sucesión de Cauchy en E y 𝑥𝑛𝑘 𝑘
es una sub-sucesión
que converge hacia un punto 𝑥 ∈ 𝐸, entonces 𝑥𝑛 𝑛 también converge.
Entonces:

10. P.4 El conjunto de puntos de una sucesión de Cauchy, en un espacio
métrico, es acotado.
Demostrar: Sea 𝐴 = 𝑥𝑛 𝑛 ∈ ℕ , queremos probar que el diámetro 𝐴, 𝛿 𝐴 =
sup 𝑑 𝑥𝑝 , 𝑥𝑞 , es finito.
Entonces:

11. Th.1. un espacio métrico M=(E,d) es completo si y solo si para toda sucesión decreciente
de cerrados de E no vacíos, 𝐹1 ⊃ 𝐹2 ⊃ ⋯ ⊃ 𝐹𝑛 ⊃ ⋯ , con 𝛿(𝐹𝑛 )𝑛 → 0 su intersección es
no vacía.
Demostrar: Supongamos que M=(E,d) es un espacio completo sea 𝐹1 ⊃ 𝐹2 ⊃ ⋯ ⊃ 𝐹𝑛 ⊃ ⋯
una sucesión decreciente de cerrados no vacíos de E de modo que la sucesión de los
diámetros tiende a cero. Probemos que la intersección de dichos cerrados es no vacía.

12. Entonces:

13. Santi

14. 4. SUBESPACIOS COMPLETOS Y
ESPACIOS PRODUCTOS
COMPLETOS
• En general, todo subpespacio métrico de un espacio métrico completo no es,
necesariamente, completo. Sin embargo:
PROPOSICION:
a) Todo subespacio métrico cerrado de un espacio métrico completo es completo.
b) Si M=(E,d) es un espacio métrico y N=(A,d) es un subespacio métrico de M completo, entonces
A es cerrado.
Demostr:
a) Sea A un subespacio cerrado de E, y (Xn)n una sucesión de Cauchy en A, cualquiera. Veamos
que (Xn)n converge en A. Si (Xn)n es una sucesión de Cauchy en A, es también una sucesión de
Cauchy en E.
Juan

15. b) Por ser E completo, (Xn)n converge hacia un punto x∈E . Veamos que x∈A y el teorema estará
demostrado. Siendo (Xn)n una sucesión de puntos de A que converge hacia x∈E, sabemos que x es un
punto adherente a A,x ∈A.
Siendo A cerrado, A=A. Luego x∈A. Por tanto, (Xn)n converge en A, lo cual prueba que A es completo.
c) Para ver que A es cerrado probaremos que 𝐴 ⊂ 𝐴.
Sea x un punto cualquiera de 𝐴 . Entonces
∃ 𝑥𝑛 𝑛/{𝑥𝑛}𝑛 ⊂ 𝐴 ∧ (𝑥𝑛)𝑛→ 𝑥
Si (𝑥𝑛)𝑛 es convergente, es una sucesión de Cauchy en A.
Pero A es completo, por hipótesis, luego (𝑥𝑛)𝑛 converge en A.
Es decir, ∃ 𝑦 ∈ 𝐴/(𝑥𝑛)𝑛 → 𝑦
Por la unicidad del limite en un espacio métrico se deduce que x=y . Luego, como 𝑦 ∈ 𝐴 , se deduce que
𝑥 ∈ 𝐴 .Por tanto , 𝐴 ⊂ 𝐴 , lo cual prueba que A es cerrado.
Corolario: Antes de estudiar la completitud en los espacios productos vamos a dar unas proposiciones
relativas a los límites de funciones y sucesiones en espacios productos.

16. PROPOSICION: Sea X un espacio topológico, A un subespacio de X e 𝑌 = 𝜋 𝑌𝑖 un espacio
producto. Sea, además , 𝑓: 𝐴 → 𝑌 una aplicación y 𝑥0 un punto de acumulación de A . Entonces
∃ lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 = 𝑙 = 𝑙𝑖 𝑖𝜖𝐽 ↔ ∃ lim
𝑥→𝑥0
𝑓𝑖 𝑥 = 𝑙𝑖
Siendo 𝑓
𝑖 = 𝑝𝑟
𝑖 𝑜 𝑓 para cada 𝑖 ∈ 𝐽 .
Demostr: Supongamos que ∃ lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 = 𝑙 = (𝑙𝑖)𝑖∈𝐽
Veamos que para cada 𝑖 ∈ 𝐽 , ∃ lim
𝑥→𝑥0
𝑓𝑖 𝑥 = 𝑙𝑖
Sea 𝑉𝑖 un entorno cualquiera de 𝑙𝑖 en 𝑌𝑖 .
Consideremos el conjunto 𝒰 = 𝜋 𝒰𝑘 siendo 𝒰𝑘 = 𝑌𝑘 𝑠𝑖 𝐾 ≠ 𝑖 ∧ 𝒰𝑖 = 𝑉𝑖
Evidentemente 𝒰 ∈ √(𝑙) , en Y.
Siendo lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 = 𝑙 , dado 𝒰 ∈ 𝑙, ∃𝑊 ∈ 𝑥0/𝑥 ∈ (𝑤 − 𝑥0 ) ∩ 𝐴 → 𝑓(𝑥) ∈ 𝒰
Si 𝑓 𝑥 ∈ 𝒰 = 𝜋 𝒰𝑘 → 𝑓𝑖 𝑥 ∈ 𝑝𝑟𝑖 𝒰 = 𝒰𝑖 = 𝑉𝑖
Luego ∀ 𝑉𝑖 ∈ 𝑙𝑖, ∃𝑊 ∈ 𝑥0/𝑥 ∈ (𝑊 − 𝑥0 ) ∩ 𝐴 → 𝑓𝑖 𝑥 ∈ 𝑉𝑖
Por tanto, ∃ lim
𝑥→𝑥0
𝑓𝑖 𝑥 = 𝑙𝑖.
Supongamos que ∀𝑖 ∈ 𝐽, ∃ lim
𝑥→𝑥0
𝑓𝑖 𝑥 = 𝑙𝑖

17. Sea 𝒰 = 𝜋 𝒰𝑖 un entorno elemental de l; recodemos que lo podemos tomar elemental pues los entornos
elementales que contienen a un punto de Y constituyen un sistema fundamental de entornos de dicho
punto. Si 𝒰 es entorno elemental se tiene que:
∀𝑖 ∈ 𝐽 − 𝑖1, … , 𝑖𝑘 , 𝒰𝑖 = 𝑌𝑖 ∧ (∀ 𝑟 ∈ 1, … , 𝑘 , 𝒰𝑖𝑟 ∈ (𝑙𝑖𝑟))
Por hipótesis, ∀𝑟 ∈ 1, … , 𝑘 ∃ lim
𝑥→𝑥0
𝑓𝑖𝑟 𝑥 = 𝑙𝑖𝑟 , luego: dado
𝒰𝑖𝑟 ∈ (𝑙𝑖𝑟) , ∃𝑊𝑖𝑟 ∈ √(𝑥0)/𝑥 ∈ (𝑊𝑖𝑟 − {𝑥0}) ∩ 𝐴 → 𝑓𝑖𝑟(𝑥) ∈ 𝒰𝑖𝑟 ( I )
Sea 𝑊 = ∩ 𝒰𝑖𝑟 . 𝑊 ∈ √(𝑥0) por ser una intersección finita de entornos de 𝑥0 .
Veamos entonces que si 𝑥 ∈ 𝑊 − 𝑥0 ∩ 𝐴 → 𝑓(𝑥) ∈ 𝒰.
Si 𝑥𝜖 𝑊 − 𝑥0 ∩ 𝐴 → ∀𝑟 ∈ 1, … , 𝑘 , 𝑓𝑖𝑟(𝑥) ∈ 𝒰𝑖𝑟 , según ( I ), y si
𝑥 ∈ 𝑊 − 𝑥0 ∩ 𝐴 → ∀𝑖 ∈ 𝐽 − 𝑖1, … , 𝑖𝑘 , 𝑓𝑖 𝑥 ∈ 𝒰𝑖, 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝒰𝑖 = 𝑌𝑖 𝑦 𝑓𝑖 𝑋 → 𝑌𝑖
Luego ∀𝑖 ∈ 𝐽, 𝑋 ∈ (𝑊 − {𝑥0} ∩ 𝐴 → 𝑓𝑖(𝑥) ∈ 𝒰𝑖, o bien :
𝑥 ∈ 𝑊 − 𝑥0 ∩ 𝐴 → 𝑓 𝑥 ∈ 𝒰 = 𝜋 𝒰𝑖
Luego ∀𝒰 = 𝜋𝒰𝑖 𝜖 𝑙 , ∃𝑊 ∈ (𝑥0)/𝑥 ∈ (𝑊 − 𝑥0 ) ∩ 𝐴 → 𝑓(𝑥)𝜖𝒰 lo cual significa, por definición de
limite, que lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 = 𝑙

18. PROPOSICION: Sea 𝑋 = 𝜋 𝑋𝑖un espacio producto, y (𝑋𝑛)𝑛 una sucesión de puntos de X.
(∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑋𝑛 = 𝑥𝑛
𝑖
𝑖𝜖𝐽
). Entonces la sucesión (𝑋𝑛)𝑛 converge hacia un punto 𝑥 = (𝑥𝑖
)𝑖∈𝐽 de X si y solo
si las sucesiones coordenadas 𝑥𝑛
𝑖
𝑛𝜖ℕ
, para cada 𝑖 ∈ 𝐽, convergen al correspondiente 𝑥𝑖
.
La demostración de esta proposición es análoga a la demostración de la proposición anterior. Para la
condición necesaria tomamos para cada 𝑖 ∈ 𝐽 un entorno cualquiera 𝑉𝑖 de 𝑥𝑖
y construimos a partir de
el un entorno de 𝑋 y aplicamos luego que lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑥 y encontramos un natural no a partir del cual
Dado un espacio topológico (x,z) metrizable, es decir , sobre el cual podemos definir una distancia de
modo que la topología 𝓏𝑑 inducida por d en X coincida con Z, puede suceder que existan dos
distancias 𝑑1 𝑦 𝑑2, o más , sobre X que induzcan la topología Z y de modo que el espacio métrico
(𝑋, 𝑑1) sea completo y el espacio métrico (𝑋, 𝑑2) no lo sea, Es decir, el hecho de que dos distancias
sobre X, 𝑑1 y 𝑑2, sean topológicamente equivalentes no implica que los espacios métricos (𝑥, 𝑑1) y
(𝑥, 𝑑2) sean simultáneamente completos o incompletos. Entonces:
DEFINICION: Un espacio topológico (X,Z) se dice topológicamente completo si es metrizable y existe
una distancia d sobre X que induce la topología Z y tal que el espacio métrico (X,d) sea completo.
OBSERVACION: Si X e Y son dos espacios topológicos homeomorfos, entonces X e Y son
simultáneamente topológicamente completos o incompletos, pues los abiertos de ambos espacios se
“comportan del mismo modo”. Entonces :

19. PROPOSICION: Sea {𝐸𝑖}𝑖=1
ℎ
una familia finia de espacios topológicos.
Entonces el espacio producto 𝐸 = 𝜋 𝐸𝑖 es topológicamente completo si y solo si los espacios coordenadas son
topológicamente completos.
Demostr: →
𝑁
Si 𝐸 = 𝜋 𝐸𝑖 es un espacio topológicamente completo existe una distancia d sobre E de modo que el
espacio métrico (E,d) es completo.
Consideremos para cada i el subespacio de 𝐸, 𝐹 = 𝑎1 𝑥 𝑎2 𝑥 … 𝑥 𝑎𝑖−1 𝑥 𝐸𝑖 𝑎𝑖+1 𝑥 … 𝑥{𝑎𝑛} , donde
∀𝑗 ∈ 1,2, … , 𝑖 − 1, 𝑖 + 1, … , 𝑛 , 𝑎𝑗 ∈ 𝐸𝑗 . F es un subespacio cerrado de E, por ser un conjunto producto de
cerrados de los respectivos espacios coordenadas.
Por la PROPOSICION 1.6 del tema 6 sabemos que F es homeomorfo a 𝐸𝑖.Entonces , por la OBSERVACION anterior ,
F y 𝐸𝑖 son simultáneamente topológicamente completos o incompletos. F, por ser un subespacio cerrado de E, es
completo, para E es completo .
Luego ∀𝑖 ∈ 1, … , 𝑛 , 𝐸𝑖 es completo. Pero F es , además topológicamente completo pues la restricción de d a F
fase a F completo luego, 𝐸𝑖 es topológicamente completo.
Si ∀𝑖 ∈ 1, … , 𝑛 , 𝐸𝑖 es topológicamente completo, existe para cada i una distancia 𝑑𝑖 sobre 𝐸𝑖 de modo que
( 𝐸𝑖 , 𝑑𝑖 ) es completo.
Juan

20. La distancia 𝑑∞ induce sobre E la topología producto. Probemos que (E, 𝑑∞) es completo, con la cual E será
topológicamente completo.
Sea (𝑥𝑘)𝑘∈ℕ una sucesión de Cauchy en (𝐸, 𝑑∞) .
Entonces ∀∈> 0, ∃𝑣 ∈ ℕ/𝑝, 𝑞 ≥ 𝑣 → 𝑑∞(𝑥𝑝, 𝑥𝑞) < 𝜀.
Siendo 𝑑∞ 𝑥𝑝, 𝑥𝑞 = 𝜔𝑎𝑥 𝑑𝑖 𝑥𝑝
𝑖
, 𝑥𝑞
𝑖
se deduce que si
𝑑∞ 𝑥𝑝, 𝑥𝑞 < 𝜀 → ∀𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}, 𝑑𝑖 𝑥𝑝
𝑖
, 𝑥𝑞
𝑖
< 𝜀
Entonces, ∀𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}, (𝑥𝑘
𝑖
)𝑘∈ℕ es de Cauchy en 𝐸𝑖.
Siendo 𝐸𝑖 , 𝑑𝑖 ) completo, por hipótesis, se deduce que
∀𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}∃ 𝑥𝑖
∈ 𝐸𝑖/(𝑥𝑘
1
)𝑘 → 𝑥𝑖
Si llamamos 𝑥 = (𝑥𝑖)𝑖=1
𝑛
se deduce fácilmente que:
Alex
(𝑥𝑘)𝑘∈ℕ → 𝑥 ∈ 𝐸

21. Basta probar que existe un homeomorfismo uniforme entre (𝐸, 𝑑∞) y
(𝐸, 𝑑𝑝).
La identidad i: 𝐸, 𝑑∞ → (𝐸, 𝑑𝑝) es una biyección . Veamos que 𝑖 𝑒 𝑖−1
con
uniformemente continuas.
Siendo 𝑑∞ y dp u-equivalentes (Tema 3), ∃𝑎, 𝑏 > 0/𝑎𝑑𝑝(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑∞(𝑥, 𝑦) ≤
𝑏𝑑𝑝(𝑥, 𝑦).
Hay que ver que ∀∈> 0, ∃𝛿 >
0
𝑑∞ 𝑥,𝑦
< 𝛿 → 𝑑𝑝 𝑖 𝑥 , 𝑖 𝑦 = 𝑑𝑝 𝑥, 𝑦 < 𝜀
Dado 𝜀 > 0 , es suficiente tomar 𝛿 = 𝑎 𝜀 . Entonces, si 𝑑∞ 𝑥, 𝑦 < 𝑎 𝜀 →
𝑎𝑑𝑝 𝑥, 𝑦 < 𝑎𝜀 → 𝑑𝑝 𝑥, 𝑦 < 𝜀.
Análogamente , 𝑖−1
es uniformemente continua, tomando 𝛿 =
𝜀
𝑏
.
Entonces, por teorema si 𝐸, 𝑑∞ es completo → (𝐸, 𝑑𝑝) es completo.
Como dp induce en E la topología producto, (𝐸, 𝑑𝑝) es topológicamente completo.
Luego, toda sucesión de Cauchy en E es convergente, Por tanto, E es completo.
OBSERVACION: Para demostrar la condición suficiente hemos considerado sobre E la
distancia 𝑑∞ ; la proposición si fue siendo cierta si consideramos sobre E cualquier
distancia sobre E que sea uniformemente equivalente ( o simplemente, equivalente) a
𝑑∞ , como son, por ejemplo, las distancias dp.

22. 5. APLICACIONES CONTRACTIVAS
TEOREMA DEL PUNTO FIJO EN
ESPACIOS COMPLETOS.
DEFINICION: Una aplicación f entre dos espacios
métricos
𝑀1 = 𝐸1, 𝑑1 𝑦 𝑀2 = 𝐸2, 𝑑2 se dice que es contractiva si es
lipschitziana
𝑡𝑒 𝐾 < 1 es decir:
𝑓 𝐸1, 𝑑1 → 𝐸2, 𝑑2 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑑𝑒𝑓
[∃ 𝐾 <1/𝑑2(𝑓 𝑥 , 𝑓 𝑦 ) ≤ 𝐾 𝑑1(𝑥, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸1]

23. 5.1 PROPOSICION: Toda aplicación contractiva es uniformemente
continua .
Demostr: Hay que probar que ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0/𝑑1(𝑥, 𝑦) < 𝛿 →
𝑑2(𝑓 𝑥 , 𝑓 𝑦 ) < 𝜀
Dado 𝜀 > 0 tomamos 𝛿 =
𝜀
𝐾
> 0 ; entonces:
𝑑1 𝑥, 𝑦 <
𝜀
𝐾
→ 𝑑2 𝑓 𝑥 , 𝑓 𝑦 ≤ 𝐾𝑑1 𝑥, 𝑦 < 𝐾 .
𝜀
𝐾
= 𝜀
5.2 TEOREMA: Teorema del punto fijo en espacios completos.
Sea M=E,d) un espacio métrico completo y 𝑇: 𝐸 → 𝐸 una aplicación
contractiva. Entonces la aplicación T tiene un único punto fijo, es
decir ∃𝑥 ∈ 𝐸/𝑇𝑥 = 𝑥
Demostr: Sea 𝑥0 un punto de E Consideremos la sucesión
𝑥1 = 𝑇𝑥0, 𝑥2 = 𝑇𝑥1 = 𝑇2
𝑥0, … , 𝑥𝑛 = 𝑇 𝑥𝑛−1 = 𝑇𝑛
𝑥0, …
Probemos que la sucesión (𝑥𝑛)𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦.
La aplicación T es contractiva, luego ∀𝑦, 𝑧 ∈ 𝐸, 𝑑 𝑇𝑦, 𝑇𝑧 ≤
𝑐𝑑 𝑦, 𝑧 , 0 < 𝑐 < 1.

24. Sean p y q dos naturales cuales quiera. Supongamos p<q, entonces :
𝑑 𝑥𝑝, 𝑥𝑞 ≤ 𝑑 𝑥𝑝, 𝑥𝑞+1 + 𝑑( 𝑥𝑝+1, 𝑥𝑞+2 + ⋯ + 𝑑(𝑥𝑝−1, 𝑥𝑞), por la desigualdad
triangular aplicada repetidamente .
Vamos a acotar, para cada 𝐾 ∈ ℕ , la distancia 𝑑(𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1)
𝑑 𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 = 𝑑 𝑇𝑥𝑘−1, 𝑇𝑥𝑘 ≤ 𝑐 𝑑(𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘)
𝑐 𝑑 𝑇𝑥𝑘−2, 𝑇𝑥𝑘−1 ≤ 𝑐2
𝑑 (𝑑 𝑥𝑘−2, 𝑥𝑘−1 ≤ ⋯ ≤
≤ 𝑐𝑘 𝑑(𝑥0 , 𝑥1)
Entonces 𝑑 𝑥𝑝, 𝑥𝑞 ≤ 𝑐𝑝
𝑑 𝑥0 , 𝑥1 + 𝑐𝑝+1
𝑑 𝑥0, 𝑥1 + ⋯ + 𝑐𝑞−1
𝑑 𝑥0, 𝑥1
𝑐𝑝
1 + 𝑐 + 𝑐2
+ ⋯ + 𝑐𝑞−𝑝−1
𝑑 𝑥0 , 𝑥1
Pero 1 + 𝑐 + 𝑐2 + ⋯ + 𝑐𝑞−𝑝−1 ≤ 𝑛=0
∞
𝑐𝑛 =
1
1−𝑐
Luego 𝑑 𝑥𝑝, 𝑥𝑞 ≤ 𝑐𝑝 1
1−𝑐
𝑑(𝑥0, 𝑥1)
El numero
𝑑(𝑥0,𝑥1)
1−𝑐
= 𝑀 es constante, luego : 𝑑 𝑥𝑝, 𝑥𝑞 ≤ 𝑀 𝑐𝑃
Siendo c < 1 , (𝑀 𝑐𝑝
)𝑝∈ℕ → 0 . Luego tomando p suficientemente
Avanzando podemos hacer 𝑑 𝑥𝑝, 𝑥𝑞 < 𝜀, dado un 𝜀 > 0 fijo . Luego (𝑥𝑛)𝑛 es
una sucesión de Cauchy en M=(E,d), el cual, por hipótesis, es
completo. Luego (𝑥𝑛)𝑛 es convergente en E hacia un punto x. Probemos
que x es punto fijo de T.

25. Siendo T continua, por ser antractiva si (𝑥𝑛)𝑛 → 𝑥 , entonces
(𝑇 𝑥𝑛)𝑛 → 𝑇𝑥 pero ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑇𝑥𝑛 = 𝑥𝑛+1.
Luego (𝑇 𝑥𝑛)𝑛 es una sucesión parcial de (𝑥𝑛)𝑛 obtenida de esta al
suprimir el primer termino. Por tanto
(𝑇 𝑥𝑛)𝑛→ 𝑥
Por la unicidad del limite en un espacio métrico debe ser Tx=x.
Por tanto, existe al menos un punto fijo x de T. Veamos que es
único .
Supongamos que existe otro punto y de E tal que Ty = y.
Entonces 𝑑 𝑇𝑥, 𝑇𝑦 ≤ 𝑐 𝑑 𝑥, 𝑦 , por ser T contractiva pero
𝑇𝑥 = 𝑥 y 𝑇𝑦 = 𝑦 . Luego 𝑑 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑐 𝑑(𝑥, 𝑦)
Entonces de ser 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0, pues si fuese 𝑑 𝑥, 𝑦 > 0, siendo 𝑐 < 1
seria
𝑐 𝑑 𝑥, 𝑦 < 𝑑 𝑥, 𝑦 → 𝑑 𝑥, 𝑦 < 𝑑(𝑥, 𝑦) lo cual es absurdo. Luego 𝑑 𝑥, 𝑦 =
0 → 𝑥 = 𝑦
Alex