En esta presentación aprenderás a resolver un problema de geometría en el espacio. Utilizaremos el concepto de paralelismo para hallar un plano, y utilizaremos los conceptos de distancias para hallar un punto de una recta que equidista de otros dos puntos dados.

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Problemas resueltos: geometría en el espacio
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En este vídeo vas a aprender a resolver un problema de
geometría en el espacio.

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Enunciado:
Considera los puntos A(1,1,2), B(1,-1,-2) y la recta r dada por:
𝑟:
𝑥 = 1 + 2𝑡
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 1
𝑡ϵℝ
a) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a la recta que
pasa por los puntos A y B.
b) Halla el punto de la recta r que está a igual distancia de A y de B.

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a) En este apartado nos piden que hallemos la ecuación general del plano que
contiene a r y que es paralelo a la recta que pasa por A y B.
Llamaremos por π al plano que nos están pidiendo.
Sabemos que π contiene a r, por lo tanto cualquier punto de r estará en el plano y el
vector director de r también será un vector director del plano.
Como nos han dado en el enunciado la ecuación paramétrica de r, es fácil obtener
de ella un punto y el vector director.
Un punto de r será P(1,0,1) y el vector director de r viene dado por 𝑣(2,1,0).
Nos dice el enunciado que el plano π debe ser paralelo a la recta que pasa por A y
B, por lo tanto el vector 𝐴𝐵 debe ser un vector director del plano.
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (0, −2, −4)

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Del plano π conocemos un punto P(1,0,1) y dos vectores directores 𝑣 2,1,0 y 𝐴𝐵 =
(0, −2, −4). Por lo tanto podemos hallar su ecuación general.
La ecuación general viene determinada por:
𝑥 − 1 𝑦 − 0 𝑧 − 1
2 1 0
0 −2 −4
= 0
Al hacer operaciones nos quedará:
π: −4𝑥 + 8𝑦 − 4𝑧 + 8 = 0
O equivalentemente simplificando entre 4:
π: −𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 2 = 0

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Observación:
La ecuación del plano también puede hallarse de otra manera. Una vez que
conocemos los vectores directores del plano 𝑣 2,1,0 y 𝐴𝐵 = (0, −2, −4) podemos
hallar el vector normal del plano
𝑛 = 𝑣 × 𝐴𝐵 = 2,1,0 × 0, −2, −4 = (−4,8, −4)
Por lo tanto el plano π tendrá por ecuación:
π: −4𝑥 + 8𝑦 − 4𝑧 + 𝐾 = 0
Para hallar el valor de K, es suficiente con imponer que P(1,0,1) sea un
punto del plano.
𝑃ϵπ ⇒ −4 1 + 8 0 − 4 1 + 𝐾 = 0
De donde K=8

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Y por lo tanto la ecuación del plano es:
𝜋: −4𝑥 + 8𝑦 − 4𝑧 + 8 = 0
O equivalentemente:
𝜋: −𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 2 = 0
b) A continuación vamos a resolver el apartado b del problema:
En este apartado nos pide que hallemos el punto de la recta r que está a igual
distancia de A y B.
Este apartado se puede resolver de varias formas:
Como nos dan la ecuación paramétrica de r, podemos tomar un punto genérico de
la recta.

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Un punto genérico de la recta r será de la forma.
𝑄(1 + 2𝑡, 𝑡, 1)
Ahora basta con imponer que la distancia de A a Q sea igual que la distancia de B a
Q, esto es:
𝑑 𝐴, 𝑄 = 𝑑 𝐵, 𝑄 ⇒ 2𝑡 2 + (𝑡 − 1)2+12 = (2𝑡)2+(𝑡 + 1)2+(3)2
Ya que:
𝐴𝑄 = 2𝑡, 𝑡 − 1,1 , y 𝐵𝑄 = (2𝑡, 𝑡 + 1,3)
Desarrollando la expresión anterior llegamos a:

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4𝑡2 + 𝑡2 − 2𝑡 + 1 + 1 = 4𝑡2 + 𝑡2 + 2𝑡 + 1 + 9
De donde, elevando al cuadrado y simplificando llegamos a:
5𝑡2
− 2𝑡 + 2 = 5𝑡2
+ 2𝑡 + 10
Resolviendo obtenemos que 𝑡 = −2
Por lo que el punto buscado será 𝑃 −3, −2,1
Otra forma de hacer este apartado sería observar que los puntos que equidistan de
A y B forman el plano mediador, por tanto el punto que equidista de A y B y está en
r, será la intersección del plano mediador con r.

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El plano mediador será el plano que pasa por el punto medio de A y B y es
perpendicular al segmento AB, por lo tanto su vector normal será 𝐴𝐵 =
0, −2, −4 .
Como el punto medio de A y B viene dado por 𝑀𝐴𝐵 = 1,0,0 , obtenemos que el
plano viene dado por.
𝜎: −2𝑦 − 4𝑧 + 𝐾 = 0
Donde para hallar K, imponemos la condición de que el punto medio obtenido sea
un punto del plano.
De esta forma obtenemos que K=0.
Así el plano mediador viene dado por
𝜎: −2𝑦 − 4𝑧 = 0

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Finalmente hallamos la intersección de ese plano con la recta r del enunciado del
ejercicio y resolvemos.
−2𝑦 − 4𝑧 = 0
𝑥 = 1 + 2𝑡
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 1
De aquí obtenemos que t=-2, x=-3, y=-2, z=1.
Por lo tanto el punto Q viene determinado por
𝑄(−3, −2,1)