El documento describe cómo calcular la ecuación de un plano π que contenga una recta r y sea perpendicular a otra recta s, dado sus ecuaciones. Se calculan primero las ecuaciones paramétricas de r y s. Luego, la ecuación del plano π toma la forma 3x + 2y + az + K = 0, donde a es el parámetro que hace que s sea perpendicular a π. Resolviendo este sistema, se obtiene que a = -2 y la ecuación del plano es 3x + 2y - 2z - 3 = 0.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: geometría en el espacio
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Calcular la ecuación general de un plano.
- Calcular las ecuaciones paramétricas de una recta dada en forma continua.
- Calcular un plano que contenga a una recta y sea perpendicular a otra recta dada

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PROBLEMA RESUELTO: geometría en el espacio
ENUNCIADO:
Dadas las rectas:
𝑟:
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2
y 𝑠:
𝑥−4
3
=
𝑦−3
2
=
𝑧
𝑎
Calcula el valor del parámetro a, para que exista un plano 𝜋 que contenga a la recta r y sea
perpendicular a la recta s. Halla la ecuación general de dicho plano.

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PROBLEMA RESUELTO: geometría en el espacio
Observemos que si el plano que estamos buscando, al que denotaremos por 𝜋, es perpendicular a la recta s, entonces el
vector director de la recta s deberá ser un vector ortogonal al plano 𝜋.
Como la recta s viene determinada por:
𝑠:
𝑥 − 4
3
=
𝑦 − 3
2
=
𝑧
𝑎
Entonces un vector director de s es: 𝑣 = (3,2, 𝑎)
Este vector es un vector normal al plano, por lo tanto la ecuación del plano vendrá determinada por:
𝜋: 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑎𝑧 + 𝐾 = 0
Tendremos por tanto que calcular el valor de a, y el valor de K para determinar la ecuación general del plano.

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En el enunciado nos indican que el plano 𝜋 es un plano que contiene a la recta r, por tanto debe contener a todos sus
puntos. (Para comprobar si el plano contiene a la recta es suficiente con probar que contiene a dos puntos distintos de dicha
recta)
Vamos a calcular las ecuaciones paramétricas de r.
Para obtener las ecuaciones paramétricas de r, bastará con resolver el sistema que determinan sus ecuaciones (el sistema
será compatible indeterminado)
𝑟:
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2
𝑟:
𝑥 = 1
𝑦 = 𝛼
𝑧 = 𝛼
𝛼 ∈ ℝ
Calculamos a continuación dos puntos de r, e impondremos que estén en el plano, es decir, sustituiremos las coordenadas
de los puntos en la ecuación del plano.
.

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Para t=0, tenemos el punto 𝐴(1,0,0)
𝐴 ∈ 𝑟 → 𝐴 ∈ 𝜋 por lo tanto tenemos que: 3 1 + 2 0 + 𝑎 0 + 𝐾 = 0 𝐾 = −3
Para t=1, tenemos el punto 𝐵 1,1,1
B ∈ 𝑟 → 𝐵 ∈ 𝜋 por lo tanto tenemos que: 3 1 + 2 1 + 𝑎 1 − 3 = 0 𝑎 = −2
Por tanto para que el plano 𝜋 contenga a r y sea perpendicular a s, tiene que ocurrir que 𝑎 = −2 y en este caso la
ecuación del plano viene dada por:
𝜋: 3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 − 3 = 0