En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de álgebra lineal.

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Problemas resueltos: algebra lineal
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En este vídeo aprenderás a calcular la matriz asociada a una
aplicación lineal

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Ejercicio:
Dados los subconjuntos 𝐵 = 2,0,0 , 1,2,4 , 1, −1,4 y 𝐵´ = 3,1 , 1,1 y la
aplicación lineal 𝑓: ℝ3
→ ℝ2
definida por:
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧, 𝑥
Se pide:
a) Demuestra que B es una base de ℝ3
b) Demuestra que 𝐵´ es una base de ℝ2
c) Calcula la matriz asociada a la aplicación f en las bases 𝐵 y 𝐵´.

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a) En primer lugar vamos a probar que B es una base de ℝ3. Para ello bastará con
demostrar que es linealmente independiente, al ser ℝ3 un espacio vectorial de
dimensión 3 se tendría que es base.
Supongamos que existen valores reales a,b, c tales que:
𝑎 2,0,0 + 𝑏 1,2,4 + 𝑐 1, −1,4 = 0,0,0
Tenemos que probar que en tal caso a=b=c=0.
De la igualdad anterior haciendo operaciones llegamos a:
2𝑎 + 𝑏 + 𝑐, 2𝑏 − 𝑐, 4𝑏 + 4𝑐 = 0,0,0
De donde igualando coordenada a coordenada se tiene:

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2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0
2𝑏 − 𝑐 = 0
4𝑏 + 4𝑐 = 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a a=b=c=0.
Por tanto la única combinación lineal de vectores igualada a (0,0,0) es la que los
coeficientes son nulos, esto nos prueba que B es un sistema linealmente
independiente en ℝ3
, y por lo comentado anteriormente forma una base de ℝ3
.
b) Veamos a continuación que 𝐵´ es una base de ℝ2.
Al igual que en el apartado anterior, como ℝ2
tiene dimensión 2, y 𝐵´ es un sistema
con 2 vectores, si demostramos que son linealmente independientes serán base.
Para ello, procedemos igual que en el apartado anterior, es decir, suponemos que
existen valores reales a,b tales que

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𝑎 3,1 + 𝑏 1,1 = 0,0
Y probaremos que a=b=0.
Si realizamos operaciones en el miembro de la izquierda se llega a:
3𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏 = 0,0
De donde llegamos a:
3𝑎 + 𝑏 = 0
𝑎 + 𝑏 = 0
La solución al sistema es a=b=0.
Por lo tanto 𝐵´ es linealmente independiente en ℝ2
. Esto nos indica que 𝐵´ es una base
de ℝ2.

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c) Tenemos que hallar la matriz de la aplicación lineal
𝑓: ℝ2
→ ℝ3
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥 + 𝑦 − 𝑧, 𝑥)
Para ello tenemos que encontrar las imágenes por f de los elementos de la base B
expresarlos como combinación lineal de los elementos de 𝐵´.
Esto es:
𝑓 2,0,0 = 2,2 = 𝑎 3,1 + 𝑏(1,1)
Calculamos a y b.
2 = 3𝑎 + 𝑏
2 = 𝑎 + 𝑏
De aquí sacamos que b=2, a=0.

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De esta forma tenemos que:
𝑓 2,0,0 = 0 3,1 + 2(1,1)
Hacemos lo mismo con los otros dos elementos de la base, esto es:
𝑓 1,2,4 = −1,1 = 𝑎 3,1 + 𝑏(1,1)
De aquí obtenemos que:
−1 = 3𝑎 + 𝑏
1 = 𝑎 + 𝑏
Resolviendo tenemos que: a=-1, b=2.
Por lo tanto
𝑓 1,2,4 = −1 3,1 + 2(1,1)

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Finalmente
𝑓 1, −1,4 = −4,1 = 𝑎 3,1 + 𝑏(1,1)
De donde:
−4 = 3𝑎 + 𝑏
1 = 𝑎 + 𝑏
Por tanto 𝑎 =
−5
2
, b =
7
2
Es decir
𝑓 1, −1,4 =
−5
2
3,1 +
7
2
(1,1)

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Por lo tanto tenemos que:
𝑓 2,0,0 = 0 3,1 + 2(1,1)
𝑓 1,2,4 = −1 3,1 + 2(1,1)
𝑓 1, −1,4 =
−5
2
3,1 +
7
2
(1,1)
Y en consecuencia la matriz de f en las bases B y B´ viene determinada por:
𝑚 𝑓, 𝐵, 𝐵´ =
0 2
−1 2
−5
2
7
2