Una variable aleatoria es una función que asigna números reales a los resultados posibles de un experimento aleatorio. Una variable aleatoria puede ser discreta, si su rango es un conjunto discreto de números, o continua, si su rango abarca un intervalo de números reales. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria describe las probabilidades de cada posible resultado mediante una función.

1. Variable aleatoria
En gran número de experimentos aleatorios es necesario, para su
tratamiento matemático, cuantificar los resultados de modo que se asigne
un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De
este modo se establece una relación funcional entre elementos del
espacio muestral asociado al experimento y números reales.
Formalmente se dice que una variable aleatoria (v.a.) X es una función
real definida en el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio,
Ω.[1] [2]
Se llama rango de una v.a. X y lo denotaremos RX, al conjunto de los
valores reales que esta puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro
modo, el rango de una v.a. es el recorrido de la función por la que esta
queda definida:
Ejemplo
Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral,
esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al
experimento, es
Ω = {cc, cs, sc, ss},
Donde (c representa "sale cara" y s, "sale sello").
Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el
número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria
X como la función dada por
El recorrido o rango de esta función, RX, es el conjunto
RX = {0, 1, 2}
Tipos de variables aleatorias
Para comprender de una manera más amplia y rigurosa los tipos de
variables, es necesario conocer la definición de conjunto discreto. Un

2. conjunto es discreto si está formado por un número finito de elementos, o
si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya
un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así
sucesivamente.[3]
 Variable aleatoria discreta: una v.a. es discreta si su recorrido es
un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta.
Sus probabilidades se recogen en la función de cuantía (véanse las
distribuciones de variable discreta).
 Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido
no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el
conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo
de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura
a una persona extraída de una determinada población es una
variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos
por caso, 0 y 2,50 m, es posible.[4] (véanse las distribuciones de
variable continua)
Distribución de probabilidad de una v.a.
La distribución de probabilidad de una v.a. X, también llamada
función de distribución de X es la función FX(x), que asigna a cada
evento definido sobre X una probabilidad dada por la siguiente
expresión:
y de manera que se cumplan las siguientes condiciones:
Es continua por la derecha.
Es monótona no decreciente.
La distribución de probabilidad de una v.a. describe teóricamente la
forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio.
Intuitivamente se trataría de una lista de los resultados posibles de un

3. experimento con las probabilidades que se esperarían ver asociadas
con cada resultado.
Función de densidad de una v.a. continua [editar]
La función de densidad de probabilidad (FDP) o, simplemente, función
de densidad, representada comúnmente como f(x), se utiliza con el
propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un
suceso o evento, en relación al resultado del suceso.
La FDP es la derivada (ordinaria o en el sentido de las
distribuciones) de la función de distribución de probabilidad F(x), o de
manera inversa, la función de distribución es la integral de la función
de densidad:
La función de densidad de una v.a. determina la concentración de
probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria
continua.