El Teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de las causas de un suceso a partir de los efectos observados, siguiendo el proceso inverso al Teorema de la probabilidad total. Fue publicado por primera vez en 1763 tras la muerte de Thomas Bayes. La fórmula de Bayes calcula la probabilidad a posteriori de un suceso A, dado que ha ocurrido un suceso B, a partir de las probabilidades a priori de A y la probabilidad condicional de B dado A. Se proveen dos ejemplos para ilustrar cómo aplicar la fórmula de Bayes

1. TEOREMA DE BAYES Sigue el proceso inverso que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total

2. Reseña En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.

3. Teorema de la probabilidad total A partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

4. Teorema de Bayes Partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?). La fórmula del Teorema de Bayes es:

5. Ejemplo: Parte meteorológico ha anunciado posibilidad para el fin de semana: Que llueva: probabilidad del 50%. Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: Si llueve: probabilidad de accidente del 10%

6. Solución: La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.

7. Ejemplo: Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

8. Solución: Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.

9. La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

10. Gracias