Presentación de Introducción a la Estadística y a la Probabilidad para alumnos de 1º ESO (12-13 años)

3.  Estadística es la rama de las Matemáticas que estudia los métodos
científicos para recoger, resumir y organizar datos y obtener
conclusiones y tomar decisiones a partir del análisis de esos datos.
 Población es el conjunto de elementos u objetos sobre los que se
realiza un estudio estadístico.
 Individuo es cada uno de los elementos de la población.
 Muestra es un subconjunto de la población.
 Tamaño de la muestra es el número de individuos que la forman.
Población
(N individuos)
Muestra
(n individuos)

4.  Las muestras son útiles si:
 La población es excesivamente numerosa.
 La población es muy difícil o imposible de controlar.
 El proceso de medición es destructivo.
 Se desea conocer rápidamente ciertos datos de la población y se tardaría
demasiado en consultar a todos.
 Características de una muestra representativa:
 La elección de los individuos debe ser aleatoria.
 Debe ser similar a la población.
 Debe ser suficiente.

5. Ejemplo:
Se desea estudiar las actividades que realizan preferentemente los
adolescentes burgaleses en su tiempo libre. Para ello se realiza una
encuesta a 1000 alumnos de los distintos centros de Educación
Secundaria de la provincia.
 Población: Los adolecentes burgaleses.
 Muestra: Los alumnos encuestados en los centros de Educación
Secundaria.
 Tamaño de la muestra: n=1000.

6.  Carácter estadístico es una propiedad objeto de estudio en una
población.
 Tipos:
 Cualitativo: si el carácter estadístico no se puede expresar o medir con un
número.
 Cuantitativo: si el carácter estadístico se puede expresar o medir
numéricamente.
Ejemplo: Se desea estudiar cuántos televisores hay en cada hogar español.
Se realiza una encuesta a 500 personas de cada capital de
provincia.
 Carácter estadístico: Número de televisores por hogar.

7. Ejemplo: Se desea estudiar el deporte o la actividad física practicados por
los jubilados de una ciudad.
 Carácter estadístico cualitativo: deporte o actividad física
practicados. (Respuestas posibles: Caminar, Golf, Ciclismo, …)
Ejemplo: Se desea estudiar cuántas veces al año van al médico los
españoles.
 Carácter estadístico cuantitativo: número de veces que va al
médico cada español. (Resultados posibles: 0 veces, 1 vez, 2
veces, 3 veces, 4 veces, …)
 Modalidad es cada una de las respuestas posibles en el estudio de un
carácter estadístico cualitativo.
Ejemplo: Se considera el carácter estadístico cualitativo Destino de las
últimas vacaciones.
 Modalidades posibles: Propia localidad, otra provincia de
España, otro país europeo, otro país del resto del mundo.

8.  Variable estadística es el conjunto de valores que puede tomar un
carácter estadístico cuantitativo.
 0,1, 2,3, ...
Ejemplo: Se desea estudiar cuántos libros leen al año los niños españoles
entre 6 y 16 años.
 Carácter estadístico cuantitativo: Número de libros leídos al
año.
 Variable estadística:
 Tipos:
 Discreta: si la variable solo puede tomar valores aislados.
 Continua: si la variable puede tomar cualquier valor intermedio entre
otros dos.

9. Ejemplo: Se desea estudiar cuántas asignaturas suspenden los alumnos de
un instituto en una evaluación.
 Carácter estadístico cuantitativo: Número de asignaturas
suspensas.
 Variable estadística discreta: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (No
suspenden asignatura y media o tres cuartos de asignatura…)
Ejemplo: Se desea estudiar cuánto miden los alumnos de una facultad de
cierta universidad.
 Carácter estadístico cuantitativo: Estatura de los alumnos.
 Variable estadística continua: [90, 250] (cm) (Entre un alumno
que mide 170 cm y otro que mide 171 cm puede haber otro
que mida 170,4 cm ; entre un alumno que mide 170,4 cm y
otro que mide 170,5 cm puede haber otro que mida 170,45
cm…)

10.  Estadística Descriptiva es la rama de la Estadística que trata de
describir y analizar algunos caracteres de los individuos de un
grupo dado.
 Estadística Inferencial es la rama de la Estadística que pretende
extraer conclusiones sobre el comportamiento de una población a
partir del estudio de una muestra de dicha población.

12.  Frecuencia absoluta fi de una modalidad o valor xi de la variable
estadística es el número de veces que aparece dicha modalidad o
valor.
Se cumple:
donde k = número de modalidades o valores distintos que toma el carácter
estadístico
n = tamaño de la muestra.
Es decir:
1 2 3 1... k kf f f f f n     
1
k
i
i
f n



13. 1
1
k
i
i
h


1 2
1 2 ... ... 1k
k
f f f n
h h h
n n n n
        
 Frecuencia relativa o proporción hi de una modalidad o valor xi de
la variable estadística es el cociente que resulta al dividir su
frecuencia absoluta entre el número total de individuos de la
muestra.
Se cumple:
donde k = número de modalidades o valores distintos que toma el carácter
estadístico
n = tamaño de la muestra
Es decir:
Es decir:
i
i
f
h
n
 ( 0  hi  1)

14. 1
100
k
i
i
p


100 100i
i i
f
p h
n
   
 Frecuencia porcentual o porcentaje pi de una modalidad o valor xi
de la variable estadística es el tanto por ciento que representa esta
modalidad o valor respecto del total de la muestra.
Se cumple:
donde k = número de modalidades o valores distintos que toma el carácter
estadístico
n = tamaño de la muestra
Es decir:
 1 1... 100 ... 100 1 100k kp p h h        
Es decir: ( 0  pi  100)

15.  Para variables discretas:
Ejemplo: Se pregunta a los 20 alumnos de una clase cuántos hermanos
tienen (sin incluirse ellos mismos). Las repuestas obtenidas son:
1, 1, 6, 0, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2
Construimos la correspondiente tabla de frecuencias:
Nºhermanos
xi
fi hi pi
0 5 5/20=0,25 25%
1 10 10/20=0,5 50%
2 3 3/20=0,15 15%
3 1 1/20=0,05 5%
6 1 1/20=0,05 5%
Suma 20 1 100%

16.  Para variables continuas:
Ejemplo: Se pregunta a los 20 alumnos de una clase cuánto miden. Las
repuestas obtenidas son:
158, 162, 165, 178, 151, 169, 173, 172, 185, 158, 160, 157,
168, 170, 165, 171, 152, 169, 161, 167 (cm)
Construimos la correspondiente tabla de frecuencias:
Estatura
(cm)
Marca de
clase
xi
fi hi pi
[150, 160) 155 5 5/20=0,25 25%
[160, 170) 165 9 9/20=0,45 45%
[170, 180) 175 5 5/20=0,25 25%
[180, 190] 185 1 1/20=0,05 5%
Suma 20 1
100
%
Si las variables son continuas, o discretas con muchos valores
distintos, los datos se agrupan en clases o intervalos.
Cada intervalo se representa con su valor medio llamado marca de
clase.

18.  Se dibuja un rectángulo para cada modalidad del carácter
estadístico cualitativo o valor de la variable estadística discreta, con
la longitud o altura proporcional a la frecuencia.
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 6
Nºdealumnos(fi)
Nº de hermanos/alumno
Nº de hermanos de cada alumno de un
grupo de 20 alumnos

19.  Es análogo al diagrama de barras pero para una variable
estadística continua.
0
2
4
6
8
10
Nºdealumnos(fi)
Estatura (cm)
Estatura de los 20 alumnos de un grupo
180150 170160 190

20.  Se obtienen uniendo los puntos medios de las barras mediante una
línea quebrada. Son muy utilizados los que representan las
frecuencias acumuladas en el estudio del crecimiento de ciertos
fenómenos.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
1750 1800 1850 1900 1950 1970 2000
Millonesdehabitantes
Años
Evolución de la población mundial

21.  Se divide un círculo en sectores circulares de amplitud proporcional
a la frecuencia o porcentaje de la modalidad o valor de la variable
estadística correspondiente.
Amplitudde 360i ix h 
Antigua
URSS, 19.7%
Europa
Occidental,
6.2%
Iberoamérica,
11.3%
Norteamérica,
16.6%
Asia y Oceanía,
10.6%
África, 9.3%
Oriente Medio,
26.3%
Producción mundial de petróleo en 1991

23. 1 1 2 2 ... k kx f x f x f
x
n
     

 Media aritmética simple ( ) de una variable estadística es el
cociente que resulta al dividir la suma de todos los valores por el
número total de éstos.
1
k
i i
i
x f
x
n




Es decir:
(Si la variable estadística es continua, se toma como valor de la
variable la marca de la clase.)
x

24. Ejemplo: Las notas de ocho alumnos en el último examen de
Matemáticas fueron: 5, 2, 7, 4, 8, 9, 8, 6.
La media aritmética es:
5 2 7 4 8 9 8 6
8
5 2 7 4 8 2 9 6 49
6,125
8 8
x
      
 
      
  
(Si todos los alumnos hubieran sacado la misma nota,
cada uno habría obtenido un 6,125 para que la suma de las
notas de todos ellos fuera la misma.)

25. 1 1 2 2
1 2
...
...
k k
k
x p x p x p
x
p p p
     

  
 Media aritmética ponderada de una variable estadística es el
cociente que resulta al dividir la suma de los productos de cada dato
por su peso entre el número total de datos multiplicados por sus pesos
correspondientes.
1
1
k
i i
i
k
i
i
x p
x
p






Es decir:

26. Ejemplo: El peso del examen en la nota de la evaluación de Matemáticas
es de un 75% y el de las notas de clase un 25%. María tiene 4
puntos en el examen y 8 en las notas de clase.
La media aritmética es:
4 75 8 25 300 200 500
5
100 100 100
x
   
   

27.  Moda (Mo) de una variable estadística es el valor de la variable que
más se repite (el de mayor frecuencia absoluta).
Si son dos los valores que más se repiten, la distribución se llama
bimodal, si son tres, trimodal…
(Si la variable estadística es continua, la clase que más se repite se
llama clase modal, y puede tomarse como moda la marca de clase de la
clase modal. )
Ejemplo: Las notas de ocho alumnos en el último examen de
Matemáticas fueron: 5, 2, 7, 4, 8, 9, 8, 6.
La moda aritmética es:
8Mo

29.  Experimento aleatorio es aquel en el que es imposible predecir
el resultado concreto, aunque se pueden conocer previamente
todos sus posibles resultados.
Ejemplo: Al lanzar un dado al aire se sabe que los resultados posibles
son los números 1, 2, 3, 4, 5 o 6 pero no es posible predecir
cuál va a ser el resultado concreto del lanzamiento.

30.  Experimento determinista es aquel en el que es posible predecir
el resultado antes de realizarlo.
Ejemplo: Podemos predecir que una persona que camina con una
velocidad de 4 km/h tardará 30 minutos en recorrer una
distancia de 2 km..

31.  Espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de
todos sus posibles resultados. Se representa por E.
Ejemplo: Lanzamiento de un dado.
 Espacio muestral: E={1, 2, 3, 4, 5, 6}

32.  Suceso aleatorio es cualquier conjunto de resultados posibles de un
experimento aleatorio.
Ejemplo: Lanzamiento de un dado.
 Suceso aleatorio: S=“Salir un número par”={2, 4, 6}
 Tipos:
 Suceso elemental: es el formado por un solo elemento del espacio
muestral.
Ejemplo: Lanzamiento de un dado.
 Suceso elemental: “Salir 5”={5}
 Suceso compuesto: es el formado por un varios elementos del espacio
muestral.
Ejemplo: Lanzamiento de un dado.
 Suceso compuesto: “Salir número par”={2, 4, 6}

33.  Suceso seguro: es el que siempre ocurre. (Coincide con el espacio
muestral.)
 Suceso imposible: es el que no ocurre nunca. Se representa por .
 Sucesos incompatibles: son aquéllos que no pueden ocurrir a la vez.
Ejemplo: Lanzamiento de un dado.
 Suceso seguro: E={1, 2, 3, 4, 5, 6}
E 1 2
5
3
46
E
1
5
3
S 2
4 6
S
E E   
Ejemplo: Lanzamiento de un dado.
 Suceso : S=“Salir número par”={2, 4, 6}
 Suceso contrario: S={1, 3, 5}
Se cumple:
 Suceso contrario o complementario de S: es el que ocurre cuando no
ocurre S. Se representa S’, S o SC.
Ejemplo: Lanzamiento de un dado.
 Suceso imposible: “Salir número distinto de 1, 2, 3, 4, 5 o 6”= 
Ejemplo: Lanzamiento de un dado.
 Sucesos incompatibles: A={1, 2} y B={5, 6}

35.  Probabilidad de un suceso es un número entre 0 y 1 que indica la
facilidad con que puede ocurrir.
 La probabilidad del suceso seguro es 1 y la del suceso imposible es 0.
Ejemplo: Lanzamiento de un dado no trucado.
 Probabilidad de un suceso elemental: Todos los resultados
tienen la misma probabilidad de salir. (Si se repite el
lanzamiento del dado un número muy grande de veces, es
de esperar que, aproximadamente, la sexta parte de las
veces salga 1, otra sexta parte salga 2, etc.)
Ejemplo: Lanzamiento de un dado trucado (con cuatro caras marcadas
con el 1, una con el 2 y otra con el 3).
 Probabilidad de un suceso elemental: La probabilidad de
que salga 1 al lanzar el dado es mayor que la de que salga 2
o 3.

36.  Sucesos equiprobables son aquéllos que tienen la misma
probabilidad de ocurrir.
Ejemplo: Lanzamiento de un dado no trucado.
P(1)=P(2)=…=P(6)
 Sucesos equiprobables: Los sucesos elementales {1}, {2}, …, {6}.
Ejemplo: Lanzamiento de un dado no trucado.
E={1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ Cardinal de E=6
P(1)=P(2)=…=P(6)
 Probabilidad del suceso “Sacar 4”= {4}:
1
(4)
6
P 
 Probabilidad de un suceso elemental xi de un experimento
aleatorio cuyos sucesos elementales son equiprobables:
(donde n es el cardinal de E) 
1
iP x
n


37.  
Casos favorables a
Casos posibles
S
P S 
 Ley de Laplace: La probabilidad de un suceso S del espacio de
sucesos de un experimento aleatorio cuyos sucesos elementales son
equiprobables es el cociente entre el número de casos favorables al
suceso y el número de casos posibles.
Ejemplo: Lanzamiento de un dado no trucado.
E={1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ Cardinal de E=Casos posibles=6
A=“Sacar número par”={2, 4, 6} ⇒ Cardinal de A=Casos
favorables=3
 Probabilidad del suceso A:
3
(4) 0,5
6
P  