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fascículo 9 / eNCUESTAS
3. distribución
de frecuencias
Hasta aquí, en nuestros ejemplos, no hemos utilizado variables continuas ni
variables discretas en mayor número, es más, dijimos que tenían un proceso
especial. ¿Qué hacer en esos casos? Veamos.
para
DATOS AGRUPADOS
3.1 ¿Qué hacer para agrupar datos?
A continuación, vamos a sistematizar cómo debemos proceder ordenada-
mente con los datos de una muestra con variable continua:
1. Recoger los datos: tomar datos mediante instrumentos de recolec-
ción de datos (encuesta, fichas de entrevista o de observación).
2. Ordenación de los datos: una vez recogidos los datos, los colocare-
mos en orden creciente o decreciente.
3. Rango: determinar las diferencia entre el mayor y menor de los da-
tos. Se representa por R.
4. Agrupación de datos: agrupar los datos en intervalos de clases, di-
vidiendo el rango entre el número de intervalos. Así, todas las clases
deben tener la misma amplitud o longitud.
Respecto a cuántos intervalos tomar, no hay respuesta única, depende
de los propósitos del estudio. Si el número de intervalos (k) es muy
pequeño, se pierde información; mientras que, si es muy grande, se
introducen distorsiones y no es muy manejable. Existe una regla que
nos puede dar una orientación, se llama Regla de Sturges, cuyo valor
se halla con la siguiente fórmula: K = 1 + 3,3 log N, donde N es el
número de datos; además, cuando K resulte un número decimal, este
valor debe aproximarse al número entero, de acuerdo con las reglas
de aproximación.
5. Determinación de la amplitud o longitud de los intervalos.
Se determina dividiendo el rango entre el número de intervalos:
Recuerda que las variables continuas están representadas por los pesos,
las tallas, las temperaturas.
l =
R
K
Variables continuas
Intervalo de clase
Es el conjunto de todos los números comprendidos entre dos valores dados,
llamados límites inferior y superior del intervalo. Se denota por:
[Li
- Ls
]
Li
es límite inferior
Ls
es límite superior Estrategia de
ingreso al mercado
Primera fase
Acopio Venta Exportación
Segunda fase
Extender la producción Envasado
Exportación peruana
Higos frescos y secos (En US$)
600.000
500.000
400.000
300.000
200.000
100.000
2005 2006
215.493
504.979
134% de
crecimiento
Fuentes: Patricia Zumaeta / ADEX Trade
El Comercio, 18 de marzo de 2007.](https://image.slidesharecdn.com/estadstica-150609014545-lva1-app6891/85/Estadistica-18-320.jpg)
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Fascículo 9 / ENCUESTAS
2. Podemos ordenar los datos de menor a mayor o de mayor a menor. O
podemos organizarlos ya en la tabla después de formados los intervalos
de clases.
3. Por otra parte, determinamos la amplitud de cada intervalo, primero ha-
llamos el rango o recorrido de la variable en estudio:
R = 55 – 36 = 19
4. Usando la regla de Sturges: “k = 1 + 3, 3 log N”
calculamos el número de intervalos. Esto es:
k = 1 + 3, 3 log (72)
k = 1 + 3, 3 (1,86)
k = 7,138 ⇒ k ≈ 8
Luego consideramos 8 intervalos de clase.
5. Calculemos ahora la amplitud de cada intervalo: 19 dividido entre el
número de intervalos, que puede ser 8, da por cociente 2,4 (aproximado
al décimo), pero para facilitar el trabajo sin dejar de incluir algún dato,
decidimos que el valor de la amplitud de cada intervalo sea 2,5.
6. Agrupamos y organizamos los datos y elaboramos una tabla.
[36 – 38,5〉 36; 37,8; 38
[38,5 – 41〉 38,6; 39; 39; 39,1; 39,3; 39,4; 39,6; 39,7; 40; 40; 40; 40; 40,2;
40,2; 40,2; 40,3; 40,4; 40,5; 40,6; 40,7; 40,7;
[41 – 43,5〉 41,2; 41,3; 41,4; 41,5; 41,5; 41,8; 42; 42,4; 42,5; 42,6; 43; 43
[43,5 – 46〉 43,5; 43,5; 44; 44; 44,2; 44,8; 44,9; 45; 45,1; 45,2; 45,5
[46 – 48,5〉 46; 46,3; 46,4; 47; 47,1; 47,2; 47,2; 47,6; 48; 48
[48, 5 – 51〉 48,5; 49; 49; 49,5; 49,5; 49,8; 50; 50,8
[51 – 53,5〉 51; 51,9; 52,3; 53
[53,5 – 56] 53,6; 54; 55
Con la tabla anterior, podemos responder las siguientes preguntas:
a. Los 7 pesos de menor valor son 36; 37,8; 38; 38,6; 39; 39,1; 39,3.
b. 11 estudiantes pesan menos de 40 kg.
Sin embargo, las preguntas restantes y otras más que podrían plantearse,
se responden mejor con ayuda de una tabla de frecuencias, para cuya
confección hacemos primero un conteo de los datos:
Tabla 15
Tabla 14
Intervalo de clase
(peso corporal expresado en kg)
Conteo
[36 – 38,5〉 III
[38,5 – 41〉 IIII IIII IIII IIII I
[41 – 43,5〉 IIII IIII II
[43,5 – 46〉 IIII IIII I
[46 – 48.5〉 IIII IIII
[48,5 – 51〉 IIII III
[51 – 53,5〉 IIII
[53,5 – 56] III
HISTOGRAMA
Intervalos de clase
Polígono de Frecuencia
Curva de frecuencias
PESO CORPORAL DE LOS ESTUDIANTES
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 19Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 19 6/12/07 1:50:34 PM6/12/07 1:50:34 PM](https://image.slidesharecdn.com/estadstica-150609014545-lva1-app6891/85/Estadistica-20-320.jpg)
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Serie 1 / DE LA PRENSAA LA
MATEMÁTICA
En la tabla de frecuencias aparecen, además de cada uno de los ocho inter-
valos de clase y sus respectivas frecuencias, las marcas de clase obtenidas
mediante la semisuma de los respectivos valores extremos de cada uno de
los intervalos. Así, la marca de clase del primer intervalo es el número que
representa al intervalo de clase. Esto es:
Marca de clase del intervalo 36 38 5
2
37 25
+
=
,
, → xi
= 37,25
La marca de clase nos será útil para graficar los datos agrupados.
Comprueba en la tabla si la marca de clase obtenida es la que corresponde a
cada intervalo de clase.
Recordemos que la amplitud de un intervalo de clase es la diferencia entre
los límites superior e inferior de un intervalo de clase.
Si todos los intervalos tienen la misma amplitud, podemos simbolizarlo
con “c”. Así, en este caso todos los intervalos tienen la misma amplitud:
(c = 2,5)
En adelante, para simplificar nuestro aprendizaje, asumiremos que todos los
intervalos de clase presentan la misma amplitud.
Como se puede observar en la tabla, la penúltima columna corresponde a la
frecuencia relativa, identificada con el símbolo “h”. Los valores de la fre-
cuencia relativa también se pueden expresar como porcentaje si el cociente
anteriormente señalado es multiplicado por 100:
Frecuencia relativa porcentual: pi
= hi
100%
Con ayuda de la última tabla, damos respuesta a las preguntas:
c. Los estudiantes que pesan entre 46 kg y 56 kg son 25, pues (10 + 8 + 4
+ 3 = 25)
d. El porcentaje de estudiantes que pesan 51 kg o más es 9,73 %.
(5,56 % + 4,17 % = 9,73 %)
7. Elaboramos la tabla estadística:
Peso corporal de los estudiantes
Intervalo
de clase
Marca de
clase ( xi
)
Frecuencia
( fi
)
Frecuencia
relativa ( hi
)
Frecuencia relativa
porcentual (hi
100) %
36 – 38,5〉 37,25 3 0,0417 4,17 %
38,5 – 41〉 39,75 21 0,2917 29,17 %
41 – 43,5〉 42,25 12 0,1667 16,67 %
43,5 – 46〉 44,75 11 0,1528 15,28 %
46 – 48.5〉 47,25 10 0,1389 13, 89 %
48,5 – 51〉 49,75 8 0,1111 11,11 %
51 – 53,5〉 52,25 4 0,0556 5,56 %
53,5 – 56] 54,75 3 0,0417 4,17 %
n = 72
Tabla 16
John Forbes Nash. Matemático
estadounidense.
Premio Nobel 1994.
Nació el 13 de junio de 1928 en
Bluefield, Virginia.
Contribuyó en el desarrollo de la
Teoría de Juegos.
http://www.adeptis.ru/vinci/john_
forbes_nash10.jpg
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 20Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 20 5/28/07 10:35:29 PM5/28/07 10:35:29 PM](https://image.slidesharecdn.com/estadstica-150609014545-lva1-app6891/85/Estadistica-21-320.jpg)
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Fascículo 9 / ENCUESTAS
Peso corporal de los estudiantes
Intervalo
de clase
Marca de clase
( xi
)
Frecuencia
( fi
)
Hi
[36 – 38,5〉 37,25 3 3
[38,5 – 41〉 39,75 21 24
[41 – 43,5〉 42,25 12 36
[43,5 – 46〉 44,75 11 47
[46 – 48.5〉 47,25 10 57
[48,5 – 51〉 49,75 8 65
[51 – 53,5〉 52,25 4 69
[53,5 – 56] 54,75 3 72
n = 72
2
37,25 39,75 42,25 44,75 47,25 49,75 52,25
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
3.3 Gráfico de datos agrupados
¿Cómo representar los datos agrupados en intervalos de clase?
Se construirán en forma similar al gráfico de barras y se les llamará histo-
gramas.
Histogramas y polígonos de frecuencia
Histogramas: son un conjunto de rectángulos que tienen:
a. Sus bases sobre el eje x, con centros en las marcas de clase y longitud
igual a la amplitud de los intervalos. Por tanto, sus lados laterales son
comunes.
b. Superficies proporcionales a las frecuencias de clase. Si los intervalos
de clase tienen todos iguales tamaños, las alturas de los rectángulos son
proporcionales a las frecuencias de clase.
Ejemplo: Considerando las frecuencias absolutas de los pesos del ejemplo
anterior, ordenados en la tabla tenemos:
10
37,25 39,75 42,25 44,75 47,25 49,75 52,25
0
20
30
40
50
60
70
80
90
Asimismo, su representación gráfica en un histograma se observa en el gráfico
10(a) y la ojiva de sus frecuencias absolutas acumuladas en el gráfico 10(b).
Tabla 17
Gráfico 10 (b)Gráfico 10 (a)
platicúrtica
normal
leptocúrtica
Distribución simétrica de curvas de
frecuencia
Distribución asimétrica de las
curvas de frecuencia
Asimetría negativa cola a la izquierda
Asimetría positiva cola a la derecha
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 21Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 21 6/12/07 1:50:56 PM6/12/07 1:50:56 PM](https://image.slidesharecdn.com/estadstica-150609014545-lva1-app6891/85/Estadistica-22-320.jpg)
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Fascículo 9 / ENCUESTAS
Media aritmética para datos agrupados
Para hallar la media aritmética en datos agrupados utilizaremos la misma
fórmula. Por ejemplo: considerando el peso de 72 estudiantes, de la siguiente
tabla, queremos saber: ¿cuál es el promedio de los pesos, es decir, su media
aritmética?
Resolución:
Consideremos las marcas de clase y las frecuencias absolutas. Construiremos
una nueva columna, donde colocaremos los productos de las marcas y
frecuencias de cada clase.
Intervalo de clase Marca de clase ( xi
) Frecuencia ( fi
) xi
fi
[36 - 38,5〉 37,25 3 111.75
[38,5 – 41〉 39,75 21 834.75
[41 – 43,5〉 42,25 12 507
[43,5 – 46〉 44,75 11 492.25
[46 – 48.5〉 47,25 10 472.5
[48,5 – 51〉 49,75 8 398
[51 – 53,5〉 52,25 4 209
[53,5 – 56] 54,75 3 164.25
Total 72 3 189,5
x
x f
n
x x
i i
= fi = fi =
 3189 5
72
44 29
,
,
Luego, la media aritmética será 44,29; que significa que el peso promedio de
los 72 estudiantes es de 44,29 kg.
4.2 Moda
Todos hemos oído la expresión “está de moda” o “es la moda”. Si buscamos
el significado de la palabra moda, encontramos: “Costumbre o uso que prima
en un determinado grupo social”.
En Estadística se mantiene este significado.
Moda es entendida como el valor de la variable estadística que tiene
máxima frecuencia. Se simboliza: Mo
Tabla 19
Luego:
La moda puede no ser única. Así, si hay dos modas, la distribución se llama
bimodal, si tiene tres modas, trimodal, y así sucesivamente. Cuando la variable
está agrupada en intervalos de clase, hablaremos de intervalo modal.
Significado de la Moda.- Significa el valor que más número de veces se
repite en una distribución.
Ejemplo:
1. Dadas las edades de un conjunto de niños que viajan en un autobús escolar:
7, 9, 10, 8, 11, 13, 15, 10, 13, 7, 13. ¿Cuál será su moda? MO
= 13
2. Consideremos las calificaciones de 30 estudiantes:
Moda en la vida cotidiana.
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 25Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 25 5/28/07 10:35:31 PM5/28/07 10:35:31 PM](https://image.slidesharecdn.com/estadstica-150609014545-lva1-app6891/85/Estadistica-26-320.jpg)
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Serie 1 / DE LA PRENSAA LA
MATEMÁTICA
Moda para datos agrupados
Si consideramos las edades de 22
personas agrupadas en la siguiente
tabla, podemos hallar su moda en datos
agrupados. Debemos seguir el siguiente
procedimiento:
Edades fi
2 – 6 3
6 – 10 5
10 – 14 8
14 – 18 4
18 – 22 ] 2
22
a. Determinemos la clase modal, es decir, la clase que contiene la moda
Observando la tabla, esta será: [10 – 14? , pues es la que tiene la mayor
frecuencia (8).
b. Luego Li
= 10 (Límite inferior de la clase modal)
C = 4 (Amplitud del intervalo)
c. ∆1
= fi
– fi – 1
∆1 1
= 3
Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase contigua
inferior.
d. ∆2
= fi
– fi + 1
∆2 2
= 4
Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase contigua
superior.
e. Para datos agrupados existe la fórmula siguiente, que aplicaremos para
calcular la moda:
→
→
Reemplazando nuestros datos en la fórmula tenemos:
MO
= 10
3
3 4
4+
+
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜
MO
= 10 + 1,71 luego, la moda será:
MO
= 11,71
Calificaciones 8 9 10 11 13 15 16 17 18
Nº de alumnos 1 2 3 1 8 3 2 8 2
Calcular la moda:
Las modas son: MO
= 13 y MO
= 17, son los valores de la variable que tienen
mayor frecuencia. Es bimodal, significando que la mayor cantidad de veces
que se repiten son las calificaciones de 13 y 17.
Tabla 21
Donde:
M0
es moda
Li
es límite interior del intervalo modal
C es amplitud de clase
fi
es frecuencia del intervalo modal
Lo que significa que: la edad que más veces se repite entre las 22 personas
es aproximadamente 12.
Tabla 20
∆1
= fi
– fi –1
∆2
= fi
– fi +1
Cras Lurigancho
Distribución muestral de
internos por tipo de delito,
según zona de residencia.
Lima-enero 1993.
Fuente: PUCP: Encuesta por
muestreo. Tipo de delito es una
variable nominal, y la moda es la
medida de tendencia central que le
corresponde.
Mo
= Tipo de delito = Robo
Tipo de
delito
Resi-
dencial
Urba-
na
Mar-
ginal
Total
Robo - - 8 8
Tráfico
de
droga
3 1 3 7
Honor
sexual 1 - 3 4
Crimen 1 1 2 4
Otros 1 - 1 2
TOTAL 6 2 17 25
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 26Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 26 5/28/07 10:35:34 PM5/28/07 10:35:34 PM](https://image.slidesharecdn.com/estadstica-150609014545-lva1-app6891/85/Estadistica-27-320.jpg)
Subido porKarlos Rivero
Estadística
1) El documento presenta los resultados de una encuesta realizada sobre el perfil del consumidor en el Perú, incluyendo datos estadísticos sobre jefes de hogar, padres, sus pasatiempos y ocupaciones preferidas. 2) También muestra los resultados de un estudio sobre el gasto realizado con motivo del Día de la Madre, así como las tasas de interés de las Administradoras de Fondos de Pensiones. 3) El objetivo del fascículo es enseñar a los estudiantes conceptos básicos de estadística y cómo constru
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- 1. Matemática Serie 1 paraestudiantes de Secundaria De la prensa a la Matemática Fascículo 9: ENCUESTAS Ministerio de Educación Van de Velde 160, San Borja Primera edición, 2007 Tiraje: 28 000 ejemplares Impreso en Empresa Editora El Comercio S.A. Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318, Chacra Ríos Sur, Lima 01 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nro. 2007-00287 Coordinación y supervisión general MED Antonieta Cubas Mejía Supervisión pedagógica MED Daniel Giovanni Proleón Patricio Verificación de estilo MED Miguel Humberto Fuentes Huerta Autoría Ediciones El Nocedal S.A.C. Coordinador Rubén Hildebrando Gálvez Paredes Elaboración pedagógica Felipe Eduardo Doroteo Petit Itala Esperanza Navarro Montenegro Edgar Justo Chacón Nieto Daniel José Arroyo Guzmán Colaboración especial María Amparo Vega Aguilar Hilda B. Villafane Rodríguez Revisión pedagógica Hno. Marino La Torre Mariño Revisión académica Armando Zenteno Ruiz Diseño y diagramación Virginia Rosalía Artadi León Ilustraciones Patricia Nishimata Oishi Brenda Román González Fotografía Enrique Bachmann Corrector de estilo Marlon Aquino Ramírez c MINISTERIO DE EDUCACIÓN Z_Creditos Ser1 Est. 01-10.indd 9Z_Creditos Ser1 Est. 01-10.indd 9 6/18/07 4:22:24 PM6/18/07 4:22:24 PM
- 2. 1 PRESENTACIÓN El presente fascículoes un material autoinstructivo que facilita el desarrollo de las capacidades fundamentales, específicas, y las capacidades del área de Mate- mática, así como la vivencia de los valores propuestos en el Diseño Curricular Nacional de Educación Básica Regular del nivel de Educación Secundaria. El conocimiento, como representación de la realidad, suele asumir formas com- plejas, pero utilitarias. En muchas áreas del saber hay que establecer formas de simbolización y proyección que exigen del investigador condiciones y capaci- dades que hagan suficientemente fértiles las acciones que van a caracterizar su tarea científica. Uno de esos campos es la Estadística, rama de la Matemática de gran desarrollo y cultivo a partir del siglo pasado, y que en la actualidad es aplicada por políticos, economistas, educadores, militares, antropólogos, mé- dicos, ingenieros, psicólogos, astrónomos, etc. ¿Quién no conoce que en la actualidad la vida social y práctica se organizan en torno a sondeos de opinión, variables y niveles de producción, promedio de cociente intelectual, resultados de evaluación, resultados de experimentos; términos de gran frecuencia en el análisis e interpretación de los datos que la ciencia provee y que nos ayudan a comprender el mundo? En este fascículo se planteará cómo las fuentes de comunicación constituyen los medios básicos de información respecto de los hechos humanos o de la naturaleza, y que además permiten hacer comprensible el mundo donde nos movilizamos. El fascículo contiene las guías y procedimientos que el alumno requiere para concebir e instrumentalizar los modos de acceso en forma técnica, así como el bagaje matemático para entender el entorno y su consecuente manejo prác- tico. Complementamos el fascículo con logros de aprendizaje, recuperación de sa- beres previos, estrategias de aprendizaje, metacognición, evaluación, chistes matemáticos, curiosidades matemáticas, bibliografía y enlaces web.
- 3. Presentación........................................................................................................................... 1 Índice ..................................................................................................................................... 2 Organizadorvisual de contenidos.......................................................................................... 3 Motivación............................................................................................................................. 4 Logros de aprendizaje............................................................................................................ 4 Recuperación de saberes previos .......................................................................................... 4 1. Estadística........................................................................................................................ 5 1.1 Conceptos básicos....................................................................................................... 5 Actividad 1......................................................................................................................... 7 2. Distribución de frecuencias para datos no agrupados.............................................................. 8 2.1 Frecuencia absoluta..................................................................................................... 8 2.2 Frecuencia relativa...................................................................................................... 9 2.3 Frecuencia porcentual................................................................................................. 9 2.4 Gráficos de distribución de frecuencias...................................................................... 9 2.5 Tipos de gráficas.......................................................................................................... 10 2.6 Importancia de los gráficos estadísticos...................................................................... 13 2.7 Partes de un gráfico .................................................................................................... 13 2.8 Frecuencia absoluta acumulada................................................................................... 14 Actividad 2......................................................................................................................... 16 3. Distribución de frecuencias para datos agrupados...................................................... 17 3.1 ¿Qué hacer para agrupar datos? ................................................................................. 17 3.2 Elaboración de tablas estadísticas .............................................................................. 18 3.3 Gráficos de datos agrupados........................................................................................ 21 Actividad 3 ........................................................................................................................ 22 4. Medidas de tendencia central ....................................................................................... 23 4.1 Media aritmética ......................................................................................................... 23 4.2 Moda ........................................................................................................................... 25 4.3 Mediana....................................................................................................................... 27 Actividad 4 ........................................................................................................................ 28 5. Evaluación ....................................................................................................................... 29 6. Metacognición ................................................................................................................ 30 Bibliografía comentada ......................................................................................................... 31 Enlaces web............................................................................................................................ 32 Índice
- 4.
- 5. 4 Serie 1 /DE LA PRENSAA LA MATEMÁTICA LOGROS DE APRENDIZAJE Identifica conceptos básicos de la Estadística, a travésdelaresolucióndesituacionesplanteadas, trabajando cooperativamente. Aplica algoritmos y sigue procesos para la ela- boración de tablas de frecuencia y gráficos de datos agrupados y no agrupados en forma orde- nada y con precisión. Procesa la información mediante la relación, la transformación y la aplicación de medidas de tendencia central, mostrando precisión. Lee atentamente y responde en una hoja aparte. Ordena en forma ascendente los siguientes números: 5; -6; 4; ½; 6; 9; -3; 8, 5; 4,5 Se tiene las calificaciones de 20 estudiantes en el área de Ciencias Histórico Sociales: 14, 16, 12, 08, 17, 06, 08, 11, 12, 10, 15, 14, 12, 11, 13, 17, 15, 16, 14, 16. Ordena en forma ascendente los datos dados. ¿Cuántos estudiantes tienen la menor calificación? ¿Cuántos estudiantes tienen la mayor calificación? ¿Cuál es la calificación/es que más se repite/n? ¿Cuántos estudiantes desaprobaron el área y cuántos aprobaron? Durante el primer bimestre obtuviste las siguientes no- tas de matemáticas: 14; 12; 16; 18. ¿Cuál será tu nota bimestral? RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS ENCUESTAS Motivación Cada cinco años, en nuestro país, vivimos pendientes de las encuestas de los medios de comunicación (periódicos, revistas, radio, TV y la internet) que nos llevarán a determinar quién será el nuevo presidente, quiénes tienen más opciones, qué regiones se inclinan más por uno y por otro candidato. Sin embargo, las encuestas son usadas todo el tiempo, y nos sirven para determinar, por ejemplo, qué productos se cotizan más, cuáles se cotizan menos, etc. Y así, diversas opiniones que nos muestran diferentes situaciones a partir de las cuales podemos decidir. En el recorte periodístico “Conociendo mejor a papá”, se muestra una serie de características de los padres, como sus gustos y costumbres. Asimismo, el otro recorte periodístico nos muestra los porcentajes de los gastos por el “Día de la Madre”, su crecimiento respecto del año anterior, las actividades que se realizaron por dicha celebración, los lugares preferidos para las compras y otros datos. Y el recuadro restante nos presenta las tasas de interés en soles y euros, así como la rentabilidad anual de las Administradoras de Fondos Privados (AFP). El presente fascículo nos permitirá aprender a construir y analizar estos datos empleando la Técnica de la Frecuencia y haciendo uso de las diversas estadísticas. Conociendo mejor a papá Ya que mañana es el Día del Padre resulta jaejrieroiearjo fales feoarejai rajeia gus- mfdiam rfaiejfa oda afj eoirj ae a fiemesa jfieoajraoir eachocola- aej4roai erar ai rpapá ajeirjaiorja merfamilia rejaoijraieraer fueron eiajraoir ar era felices. Sabía que... (%) De los jefes de hogar son hombres De los jefes de familia son mayores de 18 años De los jefes de familia poseen una cuenta de ahorro De los padres tienen un celular De los padres acuden a los centros comerciales De los padres van a los supermercados 81.6 34.7 31.4 47.6 29.7 58.3 Principales pasatiempos (%) 33,0% Escuchan música 28,4% Miran televisión 15,2% Leen libros 11,2% Hacen deportes 3,5% Computación, internet 3,2% Tocan instrumento musical 2,8% Cocinan 2,6% Leen periódicos PERFIL DEL CONSUMIDOR 12 ECONOMÍA Deportes que más practican (%) Fútbol Caminata Gimnasio Natación Correr-Footing Bicicleta Básquet Tenis Ajedrez 37.6 4.4 3.1 2.9 2.8 2.1 1.7 1.6 1.6 Grado de instrucción (%) Secundaria completa Técnica completa Superior completa Secundaria completa Posgrado Superior incompleta Primaria completa Técnica completa Ningún nivel 26.7% 19.8% 18.3% 9.6% 7.3% 5.9% 4.8% 2.9% 0.3% 42.9 28.6 9.1 8.7 5.7 4.1 3.2 3.0 Ocupación (%) Trabajador independiente Empleado Obrero Jubilado Profesional independiente Estudiante Desempleado Ejecutivo empresario Gasto en regalos por el Día de la Madre llegó a S/. 176 millones MARKETING: Estudio 22 9 de setiembre del 2004 / EL PERIODICO Como resultado de la encuesta del periódico, “Conociendo mejor a papá”, en ocupación nos dan como opciones: trabajador independiente, empleado, obrero, etc., a estas opciones se les llama variables cualitativas, y son susceptibles de clasificación, no se pueden medir. Como resultado de la encuesta del periódico, “Conociendo mejor a papá”, en ocupación nos dan como opciones: trabajador independiente, empleado, obrero, etc., a estas opciones se les llama variables cualitativas, y son susceptibles de clasificación, no se pueden medir. En cambio, para edades y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas; por lo general, para las edades y número de vecinos se presentan con números enteros positivos, mientras que para las tallas se presentan con números reales (decimales). A las primeras se les llama variables cuantitativas discretas, se pueden contar, como el número de alumnos de cada aula de tú institución educativa, y en el segundo caso, variables cuantitativas continuas, se pueden medir como en el caso de las tallas, los pesos, el tiempo o la temperatura. Como resultado de la encuesta del periódico, “Conociendo mejor a papá”, en ocupación nos dan como opciones: trabajador independiente, empleado, obrero, etc., a estas opciones se les llama variables cualitativas, y son susceptibles de clasificación, no se pueden medir. En cambio, para edades y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas; por lo general, para las edades y número de vecinos se presentan con números enteros positivos, mientras que para las tallas se presentan con números reales (decimales). En cambio, para edades y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas. Como resultado de la encuesta del periódico, “Conociendo mejor a papá”, en ocupación nos dan como opciones: trabajador independiente, empleado, obrero, etc., a estas opciones se les llama variables cualitativas, y son susceptibles de clasificación, no se pueden medir. En cambio, para edades y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas; por lo general, para las edades y número de vecinos se presentan con números enteros positivos, mientras que para las tallas se presentan con números reales (decimales). A las primeras se les llama variables cuantitativas discretas, se pueden contar, como el número de alumnos de cada aula de tú institución educativa, y en el segundo caso, variables cuantitativas continuas, se pueden medir como en el caso de las tallas, los pesos, el tiempo o la temperatura. En cambio, para edades y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas; por lo general, para las edades y número de vecinos se presentan con números enteros positivos, mientras que para las tallas se presentan con números reales (decimales). A las primeras se les llama variables cuantitativas discretas, se pueden contar, como el número de alumnos de cada aula de tú institución educativa, y en el segundo caso, variables cuantitativas continuas, se pueden medir como en el caso de las tallas, los pesos, el tiempo o la temperatura. Como resultado de la encuesta del periódico, “Conociendo mejor a papá”, en ocupación nos dan como opciones: trabajador independiente, empleado, obrero, etc., a estas opciones se les llama variables cualitativas, y son susceptibles de clasificación, no se pueden medir. En cambio, para edades y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas; por lo general, para las edades y número de vecinos se presentan con números enteros positivos, mientras que para las tallas se presentan con números reales (decimales). En cambio, para edades y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas; por lo general, para las edades y número de vecinos se presentan con números enteros positivos, mientras que para las tallas se presentan con números reales (decimales). A las primeras se les llama variables cuantitativas discretas, se pueden contar, como el número de alumnos de cada aula de tú institución educativa, y en el segundo caso, variables cuantitativas continuas, se pueden medir como en el caso de las tallas, los pesos, el tiempo o la temperatura. A las primeras se les llama variables cuantitativas discretas, se pueden contar, como el número de alumnos de cada aula de tú institución educativa, y en el segundo caso, variables cuantitativas continuas, se pueden medir. Cifra presentó un crecimiento de 21% respecto al gasto realizado en la campaña del 2005 78,0% 29,1% 7,3% 6,6% 3,1% 2,9% Reunión familiar en alguna casa Almuerzo/cena/desayuno fuera de casa Visita al cementerio Paseo familiar Nada Otros ¿Qué hizo usted el Día de la Madre? Con respecto al 2005, crece la proporción que celebra el Día de la Madre comiendo fuera de casa (17% a 29%) Gasto total en regalos Gasto per cápita promedio NSE C 37% S/. 65'557.576 S/. 77 2,9% Gasto per cápita S/. 65'557.576 NSE D 24% S/. 42'097.579 S/. 55 NSE A/B 39% S/. 68'374.379 S/. 104 AFP-Rentabilidad anual del Fondo 2 Cifras provisionales, al 24 de mayo Integra Horizonte Unión Vida Profuturo 22,00% 22,50% 23,00% 23,50% 24,00% Por disposición de la SBS, Prima no puede mostrar rentabilidad hasta que cumpla un año de operaciones. Fuente: SBS Tasas de interés Soles Euros 5,50% 5,18% 4,85% 4,53% 4,20% 3,00% 2,68% 2,35% 2,03% 1,70% ON 7d 30d 60d 90d 180d 360d Fuente: División Mercado de Capitales - Interbank PORTA FOLIO
- 6. fascículo 9 /eNCUESTAS 1. estadística 1.1 Conceptos básicos Definición de Estadística Es una parte de la Matemática aplicada que nos proporciona instrumentos para recopilar, organizar, resumir, presentar, analizar, hacer predicciones e interpretar datos para tomar decisiones sobre determinados hechos o fenó- menos de estudio. Antiguamente la Estadística solo era aplicada a los asuntos del Estado.Ahora, frecuentemente la Estadística se emplea para acontecimientos ordinarios, tales como predicción del tiempo, mediciones, probabilidades futbolísticas, uso popular de productos alimenticios, simpatía de algún personaje público, etc. Pero para ello, es necesario que la Estadística se use adecuadamente para hacer más eficiente las investigaciones que nos proponemos a realizar, por lo que todos los investigadores se deben familiarizar con las técnicas y conceptos básicos de esta ciencia tan útil. Estadística Descriptiva.- Es la parte de la Estadística que se encarga de recolectar, clasificar, organizar, resumir, presentar y analizar en forma descriptiva sin sacar conclusiones de tipo general. Estadística Inferencial.- Es la parte de la Estadística, cuyo propósito es inferir o deducir conclusiones y/o predicciones con respecto a una pobla- ción en estudio a partir de la información de una muestra. Para asegurar la validez de las inferencias utiliza las Probabilidades. Población y muestra Ahora, observa la noticia de la página 4. Como en el recorte periodístico “Conociendo mejor a papá”, tú puedes aplicar una encuesta a tus vecinos que sean padres. Puedes tomar las mismas preguntas: edad, ocupación, grado de instrucción, pasatiempos, deportes que practican o crear otras preguntas. Los padres de la cuadra donde vives serían tu muestra y los vecinos de la manzana la población o universo de tu investigación. Estos son conceptos estadísticos. Población.- Es el conjunto de personas u objetos susceptibles de ser estudiados. Ejemplos: una institución educativa donde se puede estudiar las tallas de los estudiantes, nivel de desnutrición, la procedencia de sus padres. En una ferretería, un stock de focos, etc. Descriptiva Inferencial Estadística Estas dos partes de la Estadística no son mutuamente excluyentes ya que para utilizar los métodos de la estadística inferencial, se requiere conocer los métodos de la estadística descriptiva. PRIMERA DIVISIÓN Equipos PJ PG PE PP GF GC DIF PTS 1. FBC Melgar 8 5 1 2 14 13 +1 16 2.AlianzaAtlético 8 4 3 1 9 4 +5 15 3. Cienciano 8 4 2 2 14 8 +6 14 4. Alianza Lima 8 4 2 2 14 10 +4 14 5. San Martín 8 4 2 2 13 10 +3 14 6. Universitario 8 3 2 3 12 10 +2 11 7. Sporting Cristal 8 2 4 2 11 12 -1 10 8. Sport Boys 7 2 3 2 10 7 +3 9 9. Dep. Municipal 8 2 2 4 11 13 -2 8 10. Sport áncash 7 1 4 2 6 6 0 7 11. Bolognesi 8 1 3 4 5 15 -10 6 12. Total Clean 8 1 0 7 6 17 -11 3 Tabla de posiciones El Comercio, 19 de marzo de 2007.
- 7. 6 Muestra.- Es unsubconjunto de la población, o parte representativa de una población que se desea estudiar. Ejemplo: un grupo de 485 personas de la ciudad de Lima, seleccionado, se le hace una encuesta sobre el programa de erradicación de cultivo de coca. Variables estadísticas y su clasificación En una encuesta como la presentada en la página 4 aparecen características como los nombres de los padres con sus ocupaciones, sus edades y sus ta- llas. A cada una de estas características se les denomina variables. Variable estadística.- Característica o características de una población susceptible de ser medida. Como resultado de la encuesta periodística “Conociendo mejor a papá”, en cuanto a ocupación, nos da como opciones: trabajador independiente, empleado, obrero, etc. A estas opciones se les llama variables cualitativas, son susceptibles de clasificar y no se pueden medir. En cambio, para eda- des y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas. Por lo general, las edades o número de vecinos se presentan con números enteros positivos, mientras que las tallas se presen- tan con números reales, decimales. A las primeras se les llama variables cuantitativas discretas, se pueden contar (por ejemplo, el número de alum- nos/alumnas de cada aula de tu institución educativa); y, en el segundo caso, variables cuantitativas continuas, que se pueden medir (como en el caso de las tallas, los pesos, el tiempo o la temperatura). El siguiente esquema te ilustrará mejor sobre las clases de variables: Variable Nominal Variable Ordinal nacionalidad, sexo, estado civil VARIABLES Cuantitativa (se puede medir) Variable Discreta Variable Continua tallas y pesos de alumnos, temperatura, etc. año, días de la semana, fecha ¿Está de acuerdo o en desacuerdo con el programa de erradicación de cultivo de coca impulsado por el Estado Peruano? De acuerdo 57% En desacuerdo 36% No precisa 7% LAS PROTESTAS Base: total de entrevistados ¿Usted aprueba o desaprueba...? Los movimientos de protesta en general Aprueba 49% Desaprueba 47% No precisa 4% El bloqueo de pistas y carreteras que se producen en los actos de protesta Aprueba 16% Desaprueba 83% No precisa 1% EPOPEYA Base: total de entrevistados que conocen o han oído hablar del documento chileno sobre la Guerra del Pacífico llamado “Epopeya”. ¿Con relación al documental, qué actitud tiene usted? Está bien que el Gobierno Peruano le haya dado importancia, porque perjudica nuestras relaciones con Chile 58% El Gobierno Peruano no debería darle tanta importancia, es sólo un documento 40% No precisa 2% ¿Le gustaría o no ver el documental chileno “Epopeya”? Sí 81% No 19% ENCUESTA LIMA N° de vecinos, N° de CD’s vendidos, N° de hijos, etc. Cualitativa (no se puede medir): es una cualidad o atributo Muestra probabilística de 485 personas El Comercio, 18 de marzo de 2007. Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 6Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 6 5/28/07 10:35:25 PM5/28/07 10:35:25 PM
- 8. 7 Fascículo 9 /ENCUESTAS Actividad 1 Identifica conceptos básicos de la Estadística, a través de la resolución de situaciones planteadas, trabajando cooperativamente. Formen un equipo de cuatro integrantes. – Sorteen cada una de las actividades, escribiendo en un papelito el número de actividad y eligiendo al azar uno de ellos. – Resuelvan la situación que les tocó. – Compartan con los otros integrantes del grupo, el procedimiento que utilizaron para resolver la situa- ción que les tocó. – Escúchense con mucho respeto valorando en todo momento lo que dice la otra persona. 1. Considerando a los estudiantes de tu institución educativa, completa el siguiente cuadro, depen- diendo si el carácter estadístico es constante (in- variable) o variable: 2. Ubica los siguientes caracteres estadísticos en el cuadro según corresponda: a. Profesión de los padres. b. Diámetros de tubos de agua. c. Carrera que deseas estudiar. d. Número de acciones vendidas en la Bolsa. e. Capacidad del depósito de gasolina de un auto modelo Tico. f. Número de granos de una espiga. g. Número de goles marcados en los partidos de fútbol del último domingo. h. Color de ojos del conejo. 3. Llena el siguiente crucigrama estadístico: 4. En la “Encuesta Lima” de la pestaña de la pági- na 6, identifique las variables para los tres casos de encuestas y vea qué clase de variables son. 5. Como te sugeríamos antes, elabora una encuesta a los padres de la cuadra donde vives. En la encuesta puedes tomar las mismas pre- guntas como: edad, ocupación, grado de ins- trucción, pasatiempos, deportes que practican o crear otras. Es muy importante trabajar con res- ponsabilidad y anotar tus datos con veracidad. Los datos de tu encuesta podrías organizarlos en un cuadro como este: Propiedades es ¿Por qué? Sexo variable Estatura N° de cursos primer año Distancia de tu casa a la I.E. constante Mes de nacimiento Orden Cualitativa Discretas Continuas a b c d e f g h Nombres Ocupación Edad Tallas 2 E S T A D I S T I C A F R E C U E N C I A O S 6 4 1 7 5 8 3 9 1. Variable que se puede medir. 2. Conjunto de valores. 3. Variable que no se puede medir. 4. Tipo de variable que se puede contar. 5. Conjunto de personas u objetos a ser estudiados. 6. Característica que se puede medir. 7. Resultado de la observación. 8. Subconjunto de una población. 9. Ciencia que se encarga de recopilar, representar y analizar los datos recolectados de una determi- nada población. NO EESCRIB RIBIRRIRRR RIB SSSCR SES NO NO ESCRIBIR SCR N O E S C R I B I R Serie1-Fasc9-EST.indd 7Serie1-Fasc9-EST.indd 7 5/8/07 9:18:22 PM5/8/07 9:18:22 PM
- 9. Serie 1 /de la prensaa la matemática Observa que en un breve cuadro puedes resumir los datos y tener la facilidad de contestar las siguientes preguntas: – Considerando la Tabla 1: a. ¿Cuántos padres son obreros? b. ¿Cuántos padres son jubilados? c. ¿A qué ocupación se dedica la mayoría de los padres? d. ¿Hay más padres empleados o estudiantes? – Considerando la Tabla 2 a. ¿Cuántos padres tienen menor edad? b. ¿Cuántos padres tienen mayor edad? c. ¿Cuál es la edad que más se repite? Con este mismo proceso puedes seguir organizando las demás preguntas de tu encuesta y cualquier otra investigación. Supongamos que en tu cuadra existen 12 padres, de los cuales: 3 son emplea- dos públicos, 4 obreros, 1 estudiante, 2 empresarios, 2 jubilados; y que sus 2.1 Frecuencia absoluta Ocupación Frecuencia ( fi ) Obreros Empleados Empresarios Jubilados Estudiantes 4 3 2 2 1 Total 12 Tabla 1: Variable cualitativa Edades Conteo Frecuencia ( fi ) 20 años 25 años 38 años 40 años 42 años 58 años 60 años / // /// / // / // 1 2 3 1 2 1 2 Total 12 Tabla 2: Variable cuantitativa discreta Tablas.- Son cuadros que facilitan la comprensión y posterior análisis y utilización de los datos, los cua- les deben constar de: • Un título adecuado que exprese brevemente su contenido. • Considerar fuente de datos. • Las unidades en que se expresan los datos. Frecuencia absoluta.- Número de veces que apa- rece un valor. Se denota por: fi . La Estadística nos permite medir diversos aspectos de la población. 2. distribución de frecuencias DATOS AGRUPADOS para no San Isidro Lima Miraflores Surco San J. de Lurigancho La Victoria La Molina Surquillo Lince San Martín de Porres Ate Barranco Breña Chorrillos Comas El Agustino Jesús María Los Olivos Magdalena Pueblo Libre Rímac San J. de Miraflores San Luis San Borja San Miguel Santa Anita Independencia Villa El Salvador Villa María del Triunfo Ancón Carabayllo Lurín Pachacámac Pucusana Puente Piedra San Bartolo 18 12 9 6 5 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 En Lima existen unos 140 notarios, pero en San Isidro se agrupa la mayor parte de ellos. De otro lado, la comparación de costos que hace el Indecopi respecto a las tarifas notariales regidas o no por un arancel nos da un panorama de cómo variarían los precios. Carta Precio Arancel Var. notarial promedio notarial % emitida * ** en el mismo distrito S/. 18,7 S/. 19,6 4,7 Carta notarial emitada a menos de 15 km del distrito notarial S/. 25,4 S/. 32,7 28,6 Copias certificadas S/. 9,0 S/. 19,6 117,7 Legalización de firmas S/. 9,1 S/. 11,4 25,6 * Vigentes entre el 7 de febrero y el 7 de marzo del año 2003. ** Vigente en 1993. Comparación de precios en servicios notariales Fuente: Página web del Colegio de Notarios/Indecopi El Comercio, 18 de marzo de 2007 “Cuadro de frecuencias de la existencia de notarios en la ciudad de Lima”. edades fueran: 20 años, 38 años, 28 años, 40 años, 25 años, 42 años, 58 años, 60 años, 38 años, 60 años, 42 años, 25 años. Podrías organizarlos en las tablas siguientes, llama- das Tablas de distribución de frecuencias. Así están divididos
- 10. 9 2.2 Frecuencia relativa Vuelvea observar el recorte periodístico de la página 4. En la lámina del recorte periodístico “Conociendo mejor a papá” también puedes observar el grado de instrucción de los padres, pero las frecuencias las dan en porcen- taje, a esta frecuencia se le llama frecuencia relativa. ¿Cómo se obtiene la frecuencia relativa? Si consideramos la Tabla 1, de las ocupaciones, tienes que dividir cada una de las frecuencias absolutas entre el número total de datos (suma de todas las frecuencias absolutas). 4 12 0 33 3 12 0 25 2 12 0 17 1 12 0 08= = = =, ; , ; , ; , Luego, la frecuencia relativa es: Frecuencia relativa.- Es el cociente entre las frecuencias absolutas y el número total de datos. Se denota por: hi . Su tabla de frecuencias relativas y conceptuales será: Ocupación fi absoluta hi relativa pi porcentual Obreros Empleados Empresarios Jubilados Estudiantes 4 3 2 2 1 0.33 0.25 0.17 0.17 0.08 33% 25% 17% 17% 8% Total 12 1.00 100% Completa la tabla de frecuencia relativa y porcentual de la Tabla 2. Edades fi absoluta hi relativa pi porcentual 20 años 25 años 38 años 40 años 42 años 58 años 60 años 1 2 3 1 2 1 2 0.08 0.17 … … … … … 8% 17% … … … … … Total 12 … … 2.4 Gráficos de distribución de frecuencias Los datos también pueden presentarse mediante gráficos, como los de la lámina del recorte periodístico “Conociendo mejor a papá”, la de los gas- tos por regalos realizados en este año por el “Día de la Madre” u otros que seguramente has visto en medios de comunicación (la televisión, los perió- dicos, revistas, etc.). Observa detenidamente los siguientes gráficos: 2.3 Frecuencia porcentual Frecuencia porcentual.- Es la frecuencia relativa expresada en porcen- tajes. Se denota por: pi . Para expresar la frecuencia relativa en porcentaje, se multiplica por 100 a la frecuencia relativa. Tabla 3 Tabla 4 Personajes ¿Cuál cree usted que es la principal razón por la qué Ántero Flores-Aráoz renunció al PPC? (Del total de entrevistados que conocen o han oído hablar sobre la renuncia de Ántero Flores-Aráoz al Partido Popular Cristiano) La actitud poco fraterna de algunos dirigentes del PPC No aceptaba el liderazgo de Lourdes Flores Aspira a ser primer ministro del gobierno de Alan García Lourdes Flores no quiere que compita con ella para la candidatura de las elecciones presidenciales del 2011 No precisa 30% 25% 22% 15% 8% Fuente: Apoyo Opinión y Mercado S.A. ¿Está usted de acuerdo o en desacuerdo con el nombramiento de Julio César Uribe como técnico de la selección peruana? (Del total de entrevistados aficionados al fútbol) 61% 35% 4% De acuerdo En desacuerdo No precisa ¿Cree usted que el Perú clasificará o no clasificará al Mundial de Sudáfrica 2010? (Del total de entrevistados aficionados al fútbol) 32% 54% 14% Clasificará No clasificará No precisa El Comercio, 18 de marzo de 2007. Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 9Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 9 5/28/07 10:35:26 PM5/28/07 10:35:26 PM
- 11. 10 Serie 1 /DE LA PRENSAA LA MATEMÁTICA 2.5 Tipos de gráficas a. Gráfico de líneas ¿Cómo se construyen? Sigue el siguiente proceso: 1º Construye un sistema de coordenadas. 2º Haz corresponder un punto del eje de la abscisa o eje X positivo con los datos de la variable en estudio, cuidando el orden y la proporción de distancias entre dato y dato. Observando el gráfico tenemos: – Que la mayor parte de los padres son tra- bajadores. Gráfico estadístico.- Es la representación de los datos o valores recogidos, en forma de dibujo, de tal modo que se pueda percibir fácilmente los hechos esenciales y compararlos con otros. Permite dar una visión panorámica de la totalidad de la información. 78,0% 29,1% 7,3% 6,6% 3,1% 2,9% Reunión familiar en alguna casa Almuerzo/cena/desayuno fuera de casa Visita al cementerio Paseo familiar Nada Otros ¿Qué hizo usted el Día de la Madre? Con respecto al 2005, crece la proporción que celebra el Día de la Madre comiendo fuera de casa (17% a 29%) Gasto total en regalos Gasto per cápita promedio NSE C 37% S/. 65'557.576 S/. 77 NSE D 24% S/. 42'097.579 S/. 55 NSE A/B 39% S/. 68'374.379 S/. 104 Tasas de interés Soles Euros 5,50% 5,18% 4,85% 4,53% 4,20% 3,00% 2,68% 2,35% 2,03% 1,70% ON 7d 30d 60d 90d 180d 360d Fuente: División Mercado de Capitales - Interbank 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 28 42 Trab. Ind. Obr. Jub. Prof.I. Est. Des. Ejec. variable * * * * * * * f 3º Sobre el eje de la ordenada o eje Y (verti- cal), ubica los valores de la frecuencia ab- soluta o de la frecuencia relativa. 4º Ubica el punto en el primer cuadrante, que represente al par variable y su frecuencia. Considerando la tabla ubicaremos el punto que representa al par (obrero y su respecti- va frecuencia) y demás pares: AFP-Rentabilidad anual del Fondo 2 Cifras provisionales, al 24 de mayo Integra Horizonte Unión Vida Profuturo 22,00% 22,50% 23,00% 23,50% 24,00% Por disposición de la SBS, Prima no puede mostrar rentabilidad hasta que cumpla un año de operaciones. Fuente: SBS Gráfico 3 Gráfico 2 Gráfico 1 ocupación 1990 2000 2001 2002 2003 2004 2005 35 30 25 20 15 10 5 0 26,7 27,9 29,61 29,37 33,45 26,1 26,11 Importación de libros Actualmente el ingreso de los libros al país está gravado con el 12% de aranceles. En millones de dólares. El Comercio, 19 de marzo de 2007. Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 10Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 10 6/13/07 10:36:11 AM6/13/07 10:36:11 AM
- 12. 11 Fascículo 9 /ENCUESTAS Las variables de datos principalmente usadas en los gráficos de barras son las de tipo cualitativo (llamado también categórico) y las variables discretas. Para variables continuas seguiremos un procedimiento espe- cial más adelante. – Un menor número de padres son desempleados y ejecutivos. – Un gran número de padres son empleados. Luego, el gráfico de líneas es la representación de los datos mediante líneas. b. Gráfico de barras Es aquella representación gráfica bidimensional donde los datos son re- presentados por un conjunto de rectángulos dispuestos paralelamente, de manera que la extensión de los mismos es proporcional a la magnitud que se quiere representar. Los rectángulos o barras pueden estar colocados horizontal o vertical- mente. En este último caso reciben también el nombre de gráficos de columnas. Considerando la lámina del periódico, veremos que los caracteres esta- dísticos como edad de los padres, ocupación y deportes que más practi- can, están representados en gráficos de barras horizontales. Considerando la Tabla 2, su gráfico de barras es el siguiente: c. Gráfico circular De los gráficos que se presentan al inicio de la sección 2.4 se observa un informe periodístico sobre las actividades realizadas y el porcentaje de gastos por regalos realizados en el 2006, por el “Día de la Madre”. El primero está representado en un gráfico de barras. El segundo, si obser- vas bien el estuche de Mamá, (pag 10) es también un gráfico estadístico, llamado gráfico circular. Algunos investigadores lo llaman también gráfico de sectores. Edades ( f i ) 20 años 25 años 38 años 40 años 42 años 58 años 60 años 1 2 3 1 2 1 2 Tabla 2 Gráfico 4 0 1 2 3 4 20años 38años 42años 60años Frecuencia ( fi ) Frecuencia ( fi ) 25años 40años 58años 158 1.847 2000 76 1.308 2001 121 2002 211 1.992 2003 309 2.718 2004 336 3.509 2005 1.479 0 Reediciones Primera edición Números de títulos producidos En el Perú Gráfica de producción de libros en el Perú El Comercio, 19 de marzo de 2007. Planifique su rutina diaria Son numerosos las actividades que usted puede realizar a diario, no sólo para mantenerse en forma, sino principalmente para prevenir enfermedades. Escoja las que más prefiere. 1,050 700 700 560 560 560 490 455 420 420 315 315 280 245 210 151 140 105 105Tipear en la computadora Tener sexo Manejar un auto Lavar la ropa Jugar al bowling Bañar al perro Jugar pimpón Bailar Jugar el golf Nadar Mover muebles Practicar aeróbicos Hacer jogging Montar bicicleta (20 km/hora) Hacer abdominales Subir escaleras Correr (10 km/hora) Jugar fútbol Practicar Tae Bo Consumo de calorías por actividad (1 hora) Actividad física recreacional por nivel socioeconómico (Mujeres) Nivel socioeconómico bajo Nivel socioeconómico alto Chile Perú Brasil 3% 13% 7,2% 17% 26,3% 2,8% Plan para una semana Gastar más de 1.500 kcalorías Subir 20 pisos Caminar 15 km 1 kcaloría = 1.000 calorías El Comercio, 18 de marzo de 2007. Fuente: Caloriesperhour.com/ Dr. Víctor Matsudo Gráfica en forma horizontal Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 11Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 11 5/28/07 10:35:28 PM5/28/07 10:35:28 PM
- 13. 12 Observa cómose elabora un gráfico circular con los datos de la tabla. 1º Se reparten los 360º del círculo en partes proporcionales, para lo cual realizamos una regla de tres simple en cada caso: Observa el gráfico adjunto En el recuadro interior nos indican los colores que representan cada va- riable; a este recuadro se le llama leyenda. Este tipo de representación permite visualizar mejor y es más apropiada para reflejar datos cuya variable es cualitativa. También es frecuente su uso para frecuencias relativas. Análisis del gráfico: El sector verde, el más amplio, nos indica que el mayor porcentaje de alum- nos/alumnas viaja en bus escolar, seguido de los que viajan en bus urbano. Número de alumnos Grados sexagesimales 200 360º 80 xº 200 360 30 xº 200 360 50 xº 200 360 40 xº Variable estadística Bus escolar Automóvil Bus urbano Bicicleta Total Frecuencia absoluta (Nº de alumnos) 80 30 50 40 200 USO DE LOS MEDIOS DE TRANSPORTETabla 5 Bus escolar Automóvil Bus urbano Bicicleta Estas medidas permitirán dividir el círculo en sectores que representarán a cada variable Frecuencia absoluta (Nº de alumnos) Bus escolar Automóvil Bus urbano Bicicleta Gráfico 6 El gráfico circular es la representación de datos mediante un círculo, donde se hace corresponder un sector circular con cada una de las variables, de tal manera que el arco del sector sea proporcional a la frecuencia, para lo cual se hace corresponder el número total de datos con los 360º que mide la longitud de la circunferencia. ¿Cómo se construye? Sigue el procedimiento mediante el siguiente ejemplo: Consideraremos los datos de la tabla que co- rresponden a una encuesta hecha a 200 alum- nos/alumnas, teniendo como carácter estadísti- co el medio de transporte que usan para ir de su casa al colegio. La tabla está construida en forma horizontal. Sí No Sí No Acceso a una biblioteca Acceso a Internet 1 ¿Qué le parece más adecuado para la educación de su hijo? 2 Usa Internet como fuente de consulta porque... Es más rápido 79,7% Es más confiable 4,9% Es más barato 4,2% No tiene acceso a una biblioteca 11,2% Respuestas: 757Respuestas: 769 3 ¿Cuán útil cree usted que es Internet para la educación de su hijo? Muy útil 38,9% Útil 45,2% Algo útil 14,4% Nada útil 1,6% Respuestas: 763 6 ¿Cuál cree que es el mayor aporte de Internet a la educación de sus hijos? Mayor acceso a la información 58,6% 21,2% 14,3% 5,9% Respuestas: 760 Los familiariza rápidamente con las nuevas tecnologías Nuevas opciones para aprender Posibilidad de interactuar con otros 4 ¿Cree que Internet estimula la investigación? Respuestas: 758 5 ¿Supervisa usted que su hijo no copie de Internet los trabajos? Respuestas: 755 El Comercio, 18 de marzo de 2007. Fuente: www.elcomercioperu.com.pe 43,3% 56,7% 30,1% 69,9% 48,2%51,8% La red y la educación de sus hijos Un sondeo realizado a través de la página web de El Comecio nos ofrece una imagen de lo que nuestros lectores piensan de Internet como herramienta educativa. Gráfico circular sobre sondeo del uso educativo de Internet Destinos de las exportaciones de libros De libros, folletos e impresos del Perú 2005 Otros 27% Chile 23% EE.UU. 20% México 10% Ecuador 15% El Salvador 15% El Comercio, 19 de marzo de 2007.
- 14. 13 fascículo 9 /eNCUESTAS Con solo observar, podemos decir que la menor cantidad de estudiantes viajan en automóvil. d. Pictogramas Observando la lámina del recorte periodístico “Conociendo mejor a papá”, veremos que la representación gráfica de la frecuencia porcentual de las variables se da mediante imágenes. También podemos encontrar gráficos con representación de objetos y/o personas, a los cuales se les denomina Pictogramas. Ejemplos: 1. Principales pasatiempos El signo musical representa que el 33,0% de padres escucha música. La cuchara nos muestra que a 2,8% de los padres les gusta cocinar. La raqueta nos muestra que el 11,2% de los padres hace deporte. Así puedes deducir en los demás casos. 2. Número de hijos por familia Nos muestra que la mayoría de las familias de la muestra tienen dos hijos, seguidas de las que tienen un solo hijo. Además, que la menor cantidad de familias de la muestra tiene 5 hijos. 2.6 Importancia de los gráficos estadísticos a. Son esenciales en el estudio y presentación de trabajos estadísticos y de investigación. Los datos, al ser transformados en dibujo, permiten un examen visual que constituye, muchas veces, la primera etapa del análi- sis e interpretación de datos. b. Permiten observar en forma instantánea el comportamiento de la varia- ble o variables. c. Permiten formar una idea bastante aproximada sobre la tendencia de las variables en el futuro. 2.7 Partes de un gráfico estadístico Para la presentación de los resultados de un trabajo estadístico debe conside- rarse los siguientes elementos: 1. El título: que exprese el contenido del gráfico. 2. La escala: se utiliza el sistema cartesiano, graduándose cada eje según la naturaleza de las variables y frecuencias. 3. El cuerpo: viene a ser el gráfico en sí. 4. La fuente: indica el origen de los datos estadísticos que se están repre- sentando. Si proviene de una encuesta, quiénes la realizaron y la fecha en que se hizo. 33,0% Escuchan música 28,4% Miran televisión 15,2% Leen libros 11,2% Hacen deportes 3,5% Computación, Internet 3,2% Tocan instrumento musical 2,8% Cocinan 2,6% Leen periódicos 1 2 3 4 5 Cuerpo Fuente Título
- 15. 14 Tabla 6: Númerode hermanos de estudiantes del tercer grado Número de hermanos (xi ) Número de estudiantes ( fi ) 0 1 2 3 4 5 6 3 9 13 2 1 1 1 30 Fuente: Entrevista a alumnos Número de hermanos (xi ) fi Fi 0 1 2 3 4 5 6 3 9 13 2 1 1 1 3 12 25 27 28 29 30 Total 30 Tabla de frecuencias absolutas acumuladas Tabla 7: (xi ) fi Fi Hi 0 1 2 3 4 5 6 3 9 13 2 1 1 1 3 12 25 27 28 29 30 Total 30 3 30 = 0.1 12 30 = 0.4 25 30 = 0.83 27 30 = 0.9 28 30 = 0.93 29 30 = 0.96 30 30 = 1 Tabla 8: A estos valores los llamaremos frecuencia absoluta acumulada. Para el resto de los valores de la variable estadística calcularemos las frecuencias absolutas acumuladas en la Tabla 7, que denominaremos tabla de frecuen- cias absolutas acumuladas. ¿Cuántos estudiantes tienen menos o igual a tres hermanos? Rpta.: 27 ¿Cuántos estudiantes tienen menos o igual a cuatro hermanos? Rpta.: 28 ¿Cuántos estudiantes tienen menos o igual a cinco hermanos? Rpta.: 29 ¿Cuántos estudiantes tienen menos o igual a seis hermanos? Rpta.: 30, que, como observarás, es igual al número total de datos. Luego: Frecuencia absoluta acumulada de un valor de la variable xi , es la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a xi . Se representa por Fi Fi = f1 + f2 + f3 +…+ fi Si existe la frecuencia absoluta acumulada, ¿será posible calcular la fre- cuencia relativa acumulada? ¿Cómo la calculamos? Dividimos cada una de las frecuencias absolutas acumuladas, Fi , entre el número total de los datos, y obtendremos la frecuencia relativa acumulada. La representaremos por Hi es decir: Podemos construir la Tabla 8, que denominaremos tabla de frecuencias relativas acumuladas: H H H H 2 3 7 3 30 2 30 25 30 30 3 ; ; ; ......... ; 00 Sería: 3 + 9 = 12 2. ¿Cuántos estudiantes tienen menos e igual a 2 hermanos? Sería: 3 + 9 + 13 = 25 2.8 Frecuencia absoluta acumulada Consideremos la siguiente situación: a los estudiantes de un aula de tercer grado de una institución educativa se les preguntó el número de hermanos que tenían. De los 30 estudiantes, algunos tenían un solo hermano; la mayoría tenía dos hermanos. En la Tabla 6 presentamos el número de hermanos y el número de estudiantes según la situación indicada. Si nos hacen las siguientes preguntas: 1. ¿Cuántos estudiantes tienen menos de dos hermanos? Tabla de frecuencias relativas acumuladas
- 16. 15 Ejemplos: 1. Construir lastablas de frecuencias absolutas, relativas, acumuladas absolutas y acumuladas relativas, de los si- guientes experimentos: a. Si al lanzar una moneda 100 veces obtenemos: 64 caras y 36 cruces. b. Si al lanzar un dado 1 000 veces obtenemos: uno 170 veces, dos 185 veces, tres 195 veces, cuatro 160 veces, cinco 120 veces y seis 170 veces. Resolución: En las tablas siguientes podemos dar nuestras respuestas: a. xi fi hi Fi Hi Cara 64 0,64 64 0,64 Cruz 36 0,36 100 1 100 1 xi fi hi Fi Hi 1 2 3 4 5 6 170 185 195 160 120 170 0,17 0,185 0,195 0,16 0,12 0,17 170 355 550 710 830 1 000 0,17 0,355 0,550 0,710 0,830 1 1 000 1 b. Teniendo en cuenta los datos de la tabla 10, representaremos gráficamente a las frecuencias absolutas acumuladas o también denominadas “ojiva”. Tabla 9 Tabla 10 xi Fi 1 2 3 4 5 6 170 355 550 710 830 1000 Tabla de frecuencia acumulada Tabla 11 1 2 3 4 5 6 0 500 1000 1500 variable Ojiva frecuenciaacumulada xi Fi Gráfico 7 Luego: Encuestas sobre congresistas OPCIONES Siempre o casi siempre La mayoría de las veces Pocas veces Nunca o casi nunca No Precisa Total % Cumplen las promesas ofrecidas durante ñas campañas electorales 2.0 % 4.0 % 57.0 % 36.0 % 1.0 % 100% Usan sus cargos para benifio personal 53.0 % 33.0 % 11.0 % 2.0 % 2.0 % 100 % Toman las decisiones correctas para el país 5.0 % 13.0 % 64.0 % 16.0 % 3.0 % 100 % ¿Qué tan honestos u honrados cree que son los congresistas? 1% 46% 24% 28% 1% No precisa Mucho Algo Poco honrado Nada FICHA TÉCNICA / Encuestadora: Pontificia Universidad Católica del Perú / Nº de registro: 0108-REE/JNE / Uni- verso: Mayores de 18 años, habitantes de 31 distritos de Lima Metropolitana / Marco Muestral: Se hizo utilizando como marco muestral la cartografía digital del INEI del 2004 / Tamaño de la muestra: 449 personas / Error: ± 4.62% / Nivel de confianza: 95% / Técnica: probabilística polietá- pica / Fecha: 2 y 3 de marzo del 2007 / Financiamiento: Pontificia Universidad Católica del Perú. Ficha completa en página web: www.pucp.edu.pe Fuente: Pontificia Universidad Católica del Perú En general, ¿con qué frecuencia diría Ud. que los congresistas...? ¿Recuerda usted alguna ley aprobada por el Parlamento actual? 10% Sí 90% No La República, 18 de marzo de 2007. Frecuencia relativa acumulada de un valor xi , es el co- ciente entre la frecuencia absoluta acumulada del xi y el número total de datos. La frecuencia absoluta acumulada del valor xi se representa por Hi Ventas totales En el Perú El mercado edito- rial iniciaría una moderada reacti- vación. La Cámara Peruana del Libro considera que este año habrá un creci- miento de 15%. En millones de US$. 30 38 42 55 60 70 10 8 14 11 16 23 12 14 23 15 26 16 2001 2002 2003 2004 2005 2006 La República, 19 de marzo de 2007. 2. Considerando la situación de los estudiantes del tercer grado de una institución educativa, que vimos anterior- mente, sobre el número de hermanos que tenía cada uno de ellos, se informó también que provenían de diferentes Textos escolares Interés general Colecciones placismo
- 17. 16 Serie 1 /de la prensaa la matemática Actividad 2 últimas emergencias Lluvias intensas y heladas se han presentado desde la quincena de febrero en Ayacucho, Huancavelica, Junín, Huánuco, Pasco, Cusco, Cajamarca, Arequipa y Apurímac. En los últimos días se han producido desbordes de ríos y huaicos que han afectado viviendas, centros educativos y áreas de cultivo, informó el Instituto Nacional de Defensa Civil (INDECI). - Forma un equipo de cinco personas. - Analicen y llenen la siguiente tabla. - Interpreten el gráfico correspondiente. EVALUACIÓN DE DAÑOS PRODUCIDOS POR HELADAS Y GRANIZADAS I xi fi Fi hi Hi Cajamarca Huaraz Lima Arequipa Ayacucho 19 7 2 1 1 19 26 28 29 30 30 1 1 xi fi Fi hi Hi % 0 1 2 3 4 5 6 3 9 13 2 1 1 1 3 12 25 27 28 29 30 10 40 83 90 93 96 100 N = 30 1 1 3 30 9 30 13 30 2 30 1 30 1 30 13 30 3 30 12 30 25 30 27 30 28 30 29 30 30 30 19 30 19 30 7 30 26 30 2 30 28 30 1 30 29 30 1 30 30 30 Recuerda que la frecuencia relativa puede expresarse en porcentaje, multiplicando por 100, también se realiza el mismo procedimiento para Hi . Tabla 12 Tabla 13 Región xi fi Afectados Fi fi casas afectadas Fi Ha de cultivo perdido : fi Fi Ayacucho 162,230 475 16,299 Huancavelica 218,600 670 22,306 Junín 2,500 300 3,646 Puno 800 302 4,507 Apurímac 144,630 401 1562 Huánuco 900 200 2,854 Pasco 341 180 887 Arequipa 1,443 396 300 Cusco 1,320 201 2,132 Cajamarca 850 90 54 Total provincias: 19 de ellos eran cajamarquinos, 7 eran huaracinos, dos limeños, un arequipeño y un ayacuchano. Debemos construir las tablas de frecuen- cias absolutas, relativas, acumuladas absolutas y acumuladas relativas, de los lugares de donde provienen y del número de hermanos: Resolución: Como en el caso anterior, daremos las respuestas en una sola tabla: - Representar gráficamente los resultados (mínimo 2 gráficos diferentes) . - Interprete resultados y hagan conclusiones. - ¿Puedes hacer un gráfico con el cual se note claramente que la región más afectada fue Huancavelica en comparación con las otras regiones? - Encuentre dos regiones de tal manera que, al unirlas, el porcentaje de hectáreas afectadas sea del 8,10% con respecto al total de hectáreas afectadas.
- 18. 17 fascículo 9 /eNCUESTAS 3. distribución de frecuencias Hasta aquí, en nuestros ejemplos, no hemos utilizado variables continuas ni variables discretas en mayor número, es más, dijimos que tenían un proceso especial. ¿Qué hacer en esos casos? Veamos. para DATOS AGRUPADOS 3.1 ¿Qué hacer para agrupar datos? A continuación, vamos a sistematizar cómo debemos proceder ordenada- mente con los datos de una muestra con variable continua: 1. Recoger los datos: tomar datos mediante instrumentos de recolec- ción de datos (encuesta, fichas de entrevista o de observación). 2. Ordenación de los datos: una vez recogidos los datos, los colocare- mos en orden creciente o decreciente. 3. Rango: determinar las diferencia entre el mayor y menor de los da- tos. Se representa por R. 4. Agrupación de datos: agrupar los datos en intervalos de clases, di- vidiendo el rango entre el número de intervalos. Así, todas las clases deben tener la misma amplitud o longitud. Respecto a cuántos intervalos tomar, no hay respuesta única, depende de los propósitos del estudio. Si el número de intervalos (k) es muy pequeño, se pierde información; mientras que, si es muy grande, se introducen distorsiones y no es muy manejable. Existe una regla que nos puede dar una orientación, se llama Regla de Sturges, cuyo valor se halla con la siguiente fórmula: K = 1 + 3,3 log N, donde N es el número de datos; además, cuando K resulte un número decimal, este valor debe aproximarse al número entero, de acuerdo con las reglas de aproximación. 5. Determinación de la amplitud o longitud de los intervalos. Se determina dividiendo el rango entre el número de intervalos: Recuerda que las variables continuas están representadas por los pesos, las tallas, las temperaturas. l = R K Variables continuas Intervalo de clase Es el conjunto de todos los números comprendidos entre dos valores dados, llamados límites inferior y superior del intervalo. Se denota por: [Li - Ls ] Li es límite inferior Ls es límite superior Estrategia de ingreso al mercado Primera fase Acopio Venta Exportación Segunda fase Extender la producción Envasado Exportación peruana Higos frescos y secos (En US$) 600.000 500.000 400.000 300.000 200.000 100.000 2005 2006 215.493 504.979 134% de crecimiento Fuentes: Patricia Zumaeta / ADEX Trade El Comercio, 18 de marzo de 2007.
- 19. 18 Serie 1 /DE LA PRENSAA LA MATEMÁTICA Con el fin de que la clasificación sea uniforme, los intervalos se deben construir de tal manera que el extremo superior de una clase coincida con el extremo inferior de la siguiente. Así, en el intervalo [40 – 45 se contabilizan todos los pesos desde los 40 kg (incluido este valor) hasta 45 kg (excluido este valor que se contabiliza en la siguiente clase). Si [a – b es el intervalo de clase, se tiene que: a: Límite inferior o valor mínimo que puede tomar un dato. b: Límite superior que no puede ser igualado ni superado por un dato. 3.2 Elaboración de tablas estadísticas En ella deberán figurar los intervalos de clase, el Conteo. Efectuaremos el recuento de los datos, ubicándolos en la clase respectiva, y las frecuencias, ya sean absolutas, relativas, acumuladas. También se puede hacer una sola tabla donde se incluya las frecuencias absolutas, relativas, acumuladas, ab- solutas acumuladas, las frecuencias relativas acumuladas y los porcentajes. Ejemplo: 1. Recogiendo los pesos de 72 estudiantes de dos secciones del primer gra- do de secundaria del colegio Guadalupe, tenemos: 44; 47,2; 45,5; 40; 41,8; 38; 47,6; 40,4; 51; 49,5; 43,5; 54; 39,4; 44,2; 39; 53,6, 40,2; 41,3; 40,2; 55; 40,7; 53; 43,5; 44; 49; 46,4; 41,2; 45; 44,8; 47,1; 49,5; 50,8; 52,3; 39,7; 49; 36; 42,4; 43; 46; 41,5; 40; 48,5; 45,1; 47,2; 49,8; 43; 41,5; 44,9; 40,2; 47; 38,6; 50; 40,7; 39,6; 51,9; 42; 45,2; 40,3; 40,5; 42,6; 48; 40; 39,3; 46,3; 40,6; 37,8; 39,1; 41,4; 39; 48; 42,5; 40 a. Identifica los 7 datos con menor valor. b. Determina cuántos estudiantes pesan menos de 40 kg c. Determina cuántos estudiantes pesan entre 46 kg y 56 kg d. Determina qué porcentaje de estudiantes pesa 51 kg o más. Resolución: 1. El grupo de datos presenta dos características a resaltar: son muchos y, además, forman un abanico muy grande de valores. Por ello, lo más práctico es agruparlos en intervalos de clase. Marca de clase ( xi ) La marca de clase de un intervalo de clase [ Li - Ls se define como la semisuma de los límites inferior y superior de cada intervalo de clase. Esto es: Donde: xi es marca de clase Ls es límite superior Li es límite inferior El término histograma fue utilizado por primera vez por Karl Pearson (1857-1936) en sus conferencias sobre gráficos estadísticos en 1981. Karl Pearson, inglés, ejerció la abogacía al tiempo que continuaba simultáneamente con sus actividades políticas y literarias. A los veintisiete años comenzó a impartir clases de Matemática aplicada en la Universidad de Londres. Hizo aportes importantísimos a la Estadística, que es la que actualmente tiene mayor influencia en todos los campos del saber.
- 20. 19 Fascículo 9 /ENCUESTAS 2. Podemos ordenar los datos de menor a mayor o de mayor a menor. O podemos organizarlos ya en la tabla después de formados los intervalos de clases. 3. Por otra parte, determinamos la amplitud de cada intervalo, primero ha- llamos el rango o recorrido de la variable en estudio: R = 55 – 36 = 19 4. Usando la regla de Sturges: “k = 1 + 3, 3 log N” calculamos el número de intervalos. Esto es: k = 1 + 3, 3 log (72) k = 1 + 3, 3 (1,86) k = 7,138 ⇒ k ≈ 8 Luego consideramos 8 intervalos de clase. 5. Calculemos ahora la amplitud de cada intervalo: 19 dividido entre el número de intervalos, que puede ser 8, da por cociente 2,4 (aproximado al décimo), pero para facilitar el trabajo sin dejar de incluir algún dato, decidimos que el valor de la amplitud de cada intervalo sea 2,5. 6. Agrupamos y organizamos los datos y elaboramos una tabla. [36 – 38,5〉 36; 37,8; 38 [38,5 – 41〉 38,6; 39; 39; 39,1; 39,3; 39,4; 39,6; 39,7; 40; 40; 40; 40; 40,2; 40,2; 40,2; 40,3; 40,4; 40,5; 40,6; 40,7; 40,7; [41 – 43,5〉 41,2; 41,3; 41,4; 41,5; 41,5; 41,8; 42; 42,4; 42,5; 42,6; 43; 43 [43,5 – 46〉 43,5; 43,5; 44; 44; 44,2; 44,8; 44,9; 45; 45,1; 45,2; 45,5 [46 – 48,5〉 46; 46,3; 46,4; 47; 47,1; 47,2; 47,2; 47,6; 48; 48 [48, 5 – 51〉 48,5; 49; 49; 49,5; 49,5; 49,8; 50; 50,8 [51 – 53,5〉 51; 51,9; 52,3; 53 [53,5 – 56] 53,6; 54; 55 Con la tabla anterior, podemos responder las siguientes preguntas: a. Los 7 pesos de menor valor son 36; 37,8; 38; 38,6; 39; 39,1; 39,3. b. 11 estudiantes pesan menos de 40 kg. Sin embargo, las preguntas restantes y otras más que podrían plantearse, se responden mejor con ayuda de una tabla de frecuencias, para cuya confección hacemos primero un conteo de los datos: Tabla 15 Tabla 14 Intervalo de clase (peso corporal expresado en kg) Conteo [36 – 38,5〉 III [38,5 – 41〉 IIII IIII IIII IIII I [41 – 43,5〉 IIII IIII II [43,5 – 46〉 IIII IIII I [46 – 48.5〉 IIII IIII [48,5 – 51〉 IIII III [51 – 53,5〉 IIII [53,5 – 56] III HISTOGRAMA Intervalos de clase Polígono de Frecuencia Curva de frecuencias PESO CORPORAL DE LOS ESTUDIANTES Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 19Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 19 6/12/07 1:50:34 PM6/12/07 1:50:34 PM
- 21. 20 Serie 1 /DE LA PRENSAA LA MATEMÁTICA En la tabla de frecuencias aparecen, además de cada uno de los ocho inter- valos de clase y sus respectivas frecuencias, las marcas de clase obtenidas mediante la semisuma de los respectivos valores extremos de cada uno de los intervalos. Así, la marca de clase del primer intervalo es el número que representa al intervalo de clase. Esto es: Marca de clase del intervalo 36 38 5 2 37 25 + = , , → xi = 37,25 La marca de clase nos será útil para graficar los datos agrupados. Comprueba en la tabla si la marca de clase obtenida es la que corresponde a cada intervalo de clase. Recordemos que la amplitud de un intervalo de clase es la diferencia entre los límites superior e inferior de un intervalo de clase. Si todos los intervalos tienen la misma amplitud, podemos simbolizarlo con “c”. Así, en este caso todos los intervalos tienen la misma amplitud: (c = 2,5) En adelante, para simplificar nuestro aprendizaje, asumiremos que todos los intervalos de clase presentan la misma amplitud. Como se puede observar en la tabla, la penúltima columna corresponde a la frecuencia relativa, identificada con el símbolo “h”. Los valores de la fre- cuencia relativa también se pueden expresar como porcentaje si el cociente anteriormente señalado es multiplicado por 100: Frecuencia relativa porcentual: pi = hi 100% Con ayuda de la última tabla, damos respuesta a las preguntas: c. Los estudiantes que pesan entre 46 kg y 56 kg son 25, pues (10 + 8 + 4 + 3 = 25) d. El porcentaje de estudiantes que pesan 51 kg o más es 9,73 %. (5,56 % + 4,17 % = 9,73 %) 7. Elaboramos la tabla estadística: Peso corporal de los estudiantes Intervalo de clase Marca de clase ( xi ) Frecuencia ( fi ) Frecuencia relativa ( hi ) Frecuencia relativa porcentual (hi 100) % 36 – 38,5〉 37,25 3 0,0417 4,17 % 38,5 – 41〉 39,75 21 0,2917 29,17 % 41 – 43,5〉 42,25 12 0,1667 16,67 % 43,5 – 46〉 44,75 11 0,1528 15,28 % 46 – 48.5〉 47,25 10 0,1389 13, 89 % 48,5 – 51〉 49,75 8 0,1111 11,11 % 51 – 53,5〉 52,25 4 0,0556 5,56 % 53,5 – 56] 54,75 3 0,0417 4,17 % n = 72 Tabla 16 John Forbes Nash. Matemático estadounidense. Premio Nobel 1994. Nació el 13 de junio de 1928 en Bluefield, Virginia. Contribuyó en el desarrollo de la Teoría de Juegos. http://www.adeptis.ru/vinci/john_ forbes_nash10.jpg Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 20Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 20 5/28/07 10:35:29 PM5/28/07 10:35:29 PM
- 22. 21 Fascículo 9 /ENCUESTAS Peso corporal de los estudiantes Intervalo de clase Marca de clase ( xi ) Frecuencia ( fi ) Hi [36 – 38,5〉 37,25 3 3 [38,5 – 41〉 39,75 21 24 [41 – 43,5〉 42,25 12 36 [43,5 – 46〉 44,75 11 47 [46 – 48.5〉 47,25 10 57 [48,5 – 51〉 49,75 8 65 [51 – 53,5〉 52,25 4 69 [53,5 – 56] 54,75 3 72 n = 72 2 37,25 39,75 42,25 44,75 47,25 49,75 52,25 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 3.3 Gráfico de datos agrupados ¿Cómo representar los datos agrupados en intervalos de clase? Se construirán en forma similar al gráfico de barras y se les llamará histo- gramas. Histogramas y polígonos de frecuencia Histogramas: son un conjunto de rectángulos que tienen: a. Sus bases sobre el eje x, con centros en las marcas de clase y longitud igual a la amplitud de los intervalos. Por tanto, sus lados laterales son comunes. b. Superficies proporcionales a las frecuencias de clase. Si los intervalos de clase tienen todos iguales tamaños, las alturas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de clase. Ejemplo: Considerando las frecuencias absolutas de los pesos del ejemplo anterior, ordenados en la tabla tenemos: 10 37,25 39,75 42,25 44,75 47,25 49,75 52,25 0 20 30 40 50 60 70 80 90 Asimismo, su representación gráfica en un histograma se observa en el gráfico 10(a) y la ojiva de sus frecuencias absolutas acumuladas en el gráfico 10(b). Tabla 17 Gráfico 10 (b)Gráfico 10 (a) platicúrtica normal leptocúrtica Distribución simétrica de curvas de frecuencia Distribución asimétrica de las curvas de frecuencia Asimetría negativa cola a la izquierda Asimetría positiva cola a la derecha Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 21Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 21 6/12/07 1:50:56 PM6/12/07 1:50:56 PM
- 23. 22 Serie 1 /DE LA PRENSAA LA MATEMÁTICA Actividad 3 Aplica algoritmos y sigue procesos para la elaboración de tablas de frecuencia y gráficos de datos agrupados en forma ordenada y con precisión. Resuelve la siguiente situación presentando un informe escrito. Considerando los pesos de 30 estudiantes, completa la siguiente tabla: Apartir de los datos de la tabla: a. Construye su histograma de frecuencia absoluta. b. Grafica su polígono de frecuencia absoluta. c. Grafica su ojiva. ¿Cuántas personas pesan más de 55 kilogramos? y ¿cuántas personas pesan menos de 60 kilogramos? 2 34,75 37,25 39,75 42,25 44,75 47,25 49,75 52,25 54,75 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Peso (Kg) Marca de clase Nº de estudiantes ( fi ) Fi hi Hi [40 – 45 [45 – 50 [50 – 55 [55 – 60 [60 – 65 [65 – 70 [70 – 75 [75 – 80 42,5 47,5 57,5 62,5 72,5 1 3 10 9 4 2 1 1 4 23 27 29 n = 30 1 1 30 3 30 10 30 9 30 4 30 2 30 1 30 30 30 29 30 23 30 14 30 1 30 Observa que el polígono tiene dos ordenadas en cero Polígonos de frecuencia Cuando construimos el histograma, consideramos las marcas de clase. Si ubi- camos los puntos de las marcas de clase en la base de los rectángulos y unimos dichos puntos con el de la frecuencia respectiva, estaremos construyendo un polígono, incluida la porción del eje X. A dicho polígono lo llamaremos Polí- gono de frecuencia. Si con- sideramos la frecuencia rela- tiva, estaríamos graficando el Polígono de frecuencia relativa. El área del polígo- no es igual a la suma de las áreas de los rectángulos del histograma. Gráfico 11 La curva de frecuencia del gráfico 11, comprende a una distribución asimétrica positiva, es decir, con cola a la derecha. Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 22Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 22 5/28/07 10:35:31 PM5/28/07 10:35:31 PM
- 24. 23 Fascículo 9 /ENCUESTAS 4. MEDIDAS de TENDENCIA Cuando quieres saber cómo vas en una determinada área, por ejemplo, Ma- temática, ¿qué haces? Recuerdas tus calificaciones de los indicadores de lo- gro: “Interpretas representaciones gráficas de distribución de frecuencias”; “Aplicas y utilizas algoritmos y procesos para la elaboración de tablas de frecuencia y gráficos de datos agrupados”, además de otros indicadores de participaciones, exposiciones, etc. Luego calculas tu promedio, ¿no es cier- to?, es decir, sumas tus calificaciones y las divides entre el número de cali- ficaciones, obteniendo un número que representa al conjunto de tus notas. Y si tus padres te preguntan: “¿Cómo vas en el área de Ciencia, tecnología y ambiente?”, tú respondes: “De mis siete calificaciones tengo cuatro dieci- séis, un trece y dos doces”. Al dar esta respuesta a tus padres estás haciendo Estadística, estás utilizando estadígrafos. En el primer caso estás calculando la media aritmética y en el segundo caso la moda. A estas medidas se les llama Medidas de Tendencia Central, porque son pocos números que re- sumen o centralizan información en lugar de toda la distribución de frecuen- cias. Sirven para poder relacionar y comparar información de manera más sencilla. Son medidas de tendencia central la Media, la Mediana, la Moda, entre otras. CENTRAL 4.1 Media aritmética Si tus calificaciones en el área de Matemática referentes a: “Interpreta re- presentaciones gráficas de distribución de frecuencias”; “Aplica y utiliza algoritmos y procesos para la elaboración de tablas de frecuencia y gráficos de datos agrupados” y otros indicadores de participaciones, exposiciones, son: 16; 16;13; 12; 16; 12; 16; entonces la media aritmética sería: Tu promedio sería 14. Luego: Llamamos media aritmética de una serie de N valores, al cociente obteni- do al dividir la suma de dichos valores entre el número total de datos (n). La denotamos como x , que representa la media aritmética y x1 , x2 , …, xn son valores dados. Así tenemos: x 16 16 13 12 16 12 16 7 101 7 14 4, Cuando quieres saber cómo te va en determinado curso, utilizas medidas de tendencia central. En una encuesta hecha por estudiantes sobre el número de habitantes por vivienda en el pueblo joven “El Arenal” del distrito de Villa María del Triunfo se obtuvo lo siguiente, en una muestra de 20 viviendas. Número de viviendas Número de habitaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 3 2 5 2 4 2 2 3 2 3 2 2 3 2 1 2 3 2 2 La medida de tendencia central más representativa para esta información está dada por: y significa que el promedio de habitaciones por casa en el pueblo joven “El Arenal” es de 2,45.
- 25. 24 Serie 1 /de la prensaa la matemática Significado de la media aritmética.- La media aritmética significa el valor promedio de la distribución de datos, es el valor promedio en la distribución. Cuando tenemos una serie de datos x1 + x2 + x3 + … + xn , para indicar uno, cualquiera de ellos, escribimos xi . Igualmente, para indicar la suma de todos ellos empleamos la expresión simbólica: xi i n El símbolo ∑ se llama sumatoria. Es la letra mayúscula griega sigma, que equivale a nuestra S, por eso la empleamos para indicar la suma de valores. La expresión se lee: suma de xi desde i igual a 1 hasta n. Si la desarrollamos, obtenemos: x x x xi i n n 2 ... Empleando este símbolo, la fórmula de la media aritmética queda de la si- guiente manera: x x n i i n Características de la media aritmética: - Son las medidas de centralización más utilizadas. - Su cálculo aritmético es sencillo. - Tienen en cuenta todos los datos de la observación. - No son aplicables a variables cualitativas. Ejemplo: 1. Considerando una muestra mayor, tenemos la temperatura de 20 estu- diantes, organizados en la tabla 18: Resolución: Con el fin de facilitar el cálculo podemos multiplicar cada valor de la varia- ble estadística por su frecuencia absoluta correspondiente, sumar los resul- tados y dividir por el tamaño de la muestra: x x 37 2 37 5 4 38 7 38 5 4 39 3 20 38 , , Temperatura xi Nº de alumnos fi 37° 2 37,5° 4 38° 7 38,5° 4 39° 3 Total 20 La expresión general de la media aritmética es: x x f f i i i n i i n En el caso de que la variable sea continua, la media se calcula a partir de la marca de clase o valor medio de cada intervalo: x x fi i i n n Tabla 18 Precio de metales en la Bolsa de Lima Precio de metales $ Enero 2006 Diciembre 2006 Variación Porcentual Oro 520,00 635,00 23% Plata 9,04 12,90 43% Cobre 2,08 2,84 36% Zinc 0,85 1,95 129% Plomo 0,50 0,77 54% Fuente: BOOMBERS LONDON METAL EXCHANGE. Vea usted la manera de calcular el promedio del valor del oro. El promedio del valor del oro es de 567,5 dólares.
- 26. 25 Fascículo 9 /ENCUESTAS Media aritmética para datos agrupados Para hallar la media aritmética en datos agrupados utilizaremos la misma fórmula. Por ejemplo: considerando el peso de 72 estudiantes, de la siguiente tabla, queremos saber: ¿cuál es el promedio de los pesos, es decir, su media aritmética? Resolución: Consideremos las marcas de clase y las frecuencias absolutas. Construiremos una nueva columna, donde colocaremos los productos de las marcas y frecuencias de cada clase. Intervalo de clase Marca de clase ( xi ) Frecuencia ( fi ) xi fi [36 - 38,5〉 37,25 3 111.75 [38,5 – 41〉 39,75 21 834.75 [41 – 43,5〉 42,25 12 507 [43,5 – 46〉 44,75 11 492.25 [46 – 48.5〉 47,25 10 472.5 [48,5 – 51〉 49,75 8 398 [51 – 53,5〉 52,25 4 209 [53,5 – 56] 54,75 3 164.25 Total 72 3 189,5 x x f n x x i i = fi = fi = Â 3189 5 72 44 29 , , Luego, la media aritmética será 44,29; que significa que el peso promedio de los 72 estudiantes es de 44,29 kg. 4.2 Moda Todos hemos oído la expresión “está de moda” o “es la moda”. Si buscamos el significado de la palabra moda, encontramos: “Costumbre o uso que prima en un determinado grupo social”. En Estadística se mantiene este significado. Moda es entendida como el valor de la variable estadística que tiene máxima frecuencia. Se simboliza: Mo Tabla 19 Luego: La moda puede no ser única. Así, si hay dos modas, la distribución se llama bimodal, si tiene tres modas, trimodal, y así sucesivamente. Cuando la variable está agrupada en intervalos de clase, hablaremos de intervalo modal. Significado de la Moda.- Significa el valor que más número de veces se repite en una distribución. Ejemplo: 1. Dadas las edades de un conjunto de niños que viajan en un autobús escolar: 7, 9, 10, 8, 11, 13, 15, 10, 13, 7, 13. ¿Cuál será su moda? MO = 13 2. Consideremos las calificaciones de 30 estudiantes: Moda en la vida cotidiana. Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 25Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 25 5/28/07 10:35:31 PM5/28/07 10:35:31 PM
- 27. 26 Serie 1 /DE LA PRENSAA LA MATEMÁTICA Moda para datos agrupados Si consideramos las edades de 22 personas agrupadas en la siguiente tabla, podemos hallar su moda en datos agrupados. Debemos seguir el siguiente procedimiento: Edades fi 2 – 6 3 6 – 10 5 10 – 14 8 14 – 18 4 18 – 22 ] 2 22 a. Determinemos la clase modal, es decir, la clase que contiene la moda Observando la tabla, esta será: [10 – 14? , pues es la que tiene la mayor frecuencia (8). b. Luego Li = 10 (Límite inferior de la clase modal) C = 4 (Amplitud del intervalo) c. ∆1 = fi – fi – 1 ∆1 1 = 3 Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase contigua inferior. d. ∆2 = fi – fi + 1 ∆2 2 = 4 Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase contigua superior. e. Para datos agrupados existe la fórmula siguiente, que aplicaremos para calcular la moda: → → Reemplazando nuestros datos en la fórmula tenemos: MO = 10 3 3 4 4+ + Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ MO = 10 + 1,71 luego, la moda será: MO = 11,71 Calificaciones 8 9 10 11 13 15 16 17 18 Nº de alumnos 1 2 3 1 8 3 2 8 2 Calcular la moda: Las modas son: MO = 13 y MO = 17, son los valores de la variable que tienen mayor frecuencia. Es bimodal, significando que la mayor cantidad de veces que se repiten son las calificaciones de 13 y 17. Tabla 21 Donde: M0 es moda Li es límite interior del intervalo modal C es amplitud de clase fi es frecuencia del intervalo modal Lo que significa que: la edad que más veces se repite entre las 22 personas es aproximadamente 12. Tabla 20 ∆1 = fi – fi –1 ∆2 = fi – fi +1 Cras Lurigancho Distribución muestral de internos por tipo de delito, según zona de residencia. Lima-enero 1993. Fuente: PUCP: Encuesta por muestreo. Tipo de delito es una variable nominal, y la moda es la medida de tendencia central que le corresponde. Mo = Tipo de delito = Robo Tipo de delito Resi- dencial Urba- na Mar- ginal Total Robo - - 8 8 Tráfico de droga 3 1 3 7 Honor sexual 1 - 3 4 Crimen 1 1 2 4 Otros 1 - 1 2 TOTAL 6 2 17 25 Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 26Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 26 5/28/07 10:35:34 PM5/28/07 10:35:34 PM
- 28. 27 Fascículo 9 /ENCUESTAS Estadísticas deportivas Imagina una gran final de fútbol. Falta muy poco para el final del partido; el marcador señala 0 a 0 y el árbitro pita penal a favor del equipo local. ¿A qué jugador elegirá el entrenador para patearlo? El entrenador ojea los datos que tiene de sus tres mejores tiradores. El primero ha pateado 6 penales esta temporada y ha metido 4; el segundo tiró 7 y metió 6 y el tercero hizo 2 goles en 5 tiros. ¿A cuál de ellos elegirías tú? Como ves, la Estadística ayuda a tomar decisiones en muchos campos. Pero no garantiza el éxito. Quizá el jugador con mejores datos tiene un mal momento, está nervioso o se equivoca y tira el balón a las nubes. Habrá estropeado sus estadísticas y habrá causado un tremendo disgusto a los aficionados. 4.3 Mediana Dadaunavariableestadística,podemosdisponerdevaloresenordencreciente o decreciente. El valor que ocupa el lugar central se llama mediana. Según esto, podemos definirla como: Mediana.- Es el valor de la variable estadística que deja igual número de observaciones inferiores y superiores a ella. La simbolizaremos por Me . En el caso de que el número de datos sea impar, la mediana coincide con uno de los datos. Si el número de datos es par, tenemos dos valores centrales; en este caso se toma como mediana el promedio de los dos. Significado de la mediana: es el dato que divide en dos partes iguales a toda la distribución. Ejemplo: 1. Dada la serie estadística correspondiente a los pesos en kilos de nueve niños: 10; 12; 18; 14; 20; 19; 17; 22; 15, calcular la mediana de dichos pesos. Resolución: primero ordenamos los datos (puede ser en forma ascendente o descendente): 10 – 12 – 14 – 15 – 17 – 18 – 19 – 20 – 22, luego ubicamos el dado central. La media es 17, entonces: Me = 17 Lo mismo que significa que 4 niños tienen pesos de 10 a 15 kilos y los otros 4 niños tienen pesos de 18 a 22 kilos. 2. Si consideramos las edades de 10 personas en un consultorio médico: 50; 25; 12; 20; 45; 08; 15; 24; 60; 17. ¿Cuál será su mediana? Resolución: Como en el caso anterior, ordenamos los datos: 60 – 50 – 45 – 25 – 24 – 20 – 17 – 15 – 12 – 08 En este caso, hay dos valores centrales: 24 y 20; luego, la mediana es: M Mee 24 20 2 22. Lo mismo que significa que el 50% de las personas tienen edades entre 8 y 22 años y el otro 50% de las personas tienen edades comprendidas entre 22 y 60 años. Mediana para datos agrupados Si consideramos los datos agrupados de la siguiente tabla, para determinar la mediana en datos agrupados, debemos seguir el siguiente procedimiento: Edades fi Fi 2 – 6 3 3 6 – 10 5 8 10 – 14 8 16 14 – 18 4 20 18 – 22 2 22 Total 22 Tabla 22 a. Determinemos cuál es la clase que contiene a la mediana, esto es: n 2 22 2 11 (undécima posición), donde n es el número total de datos. Once respecto a la frecuencia acumulada corresponde en la tabla al intervalo de clase [ 10 - 14 . b. Teniendo en cuenta la tabla dada determinaremos algunos datos:
- 29. 28 Actividad 4 Procesa lainformación mediante la relación, la transformación y la aplicación de medidas de tendencia central, mostrando precisión. Organizados en grupo de cuatro estudiantes, resuelvan las situa- ciones planteadas y entréguenlas a su profesor/a para que pueda revisar sus aportes. 1. De acuerdo con el gráfico, basado en un informe de la Cá- mara de Comercio de un país latinoamericano, se nos mues- tra los ingresos de las principales empresas de este país en el Perú. Responde: a. ¿Cuál es la media aritmética de sus ingresos? b. ¿Qué empresa representa la moda? ¿Por qué? c. ¿Qué valor representa la mediana? ¿Qué significa este valor? 2. Elaboren una encuesta para determinar algunas características de los estudiantes de su colegio como: estatura, peso y edad. Elijan una muestra de 50 estudiantes de su grado y entrevístenlos. Cada integrante deberá entrevistar a 10 estudiantes. Elaboren una tabla de frecuencias completa. El Perú es un mercado rentable para las empresas del país latinoamericano S/. 4,379 FACTURACIÓN TOTAL DE LAS EMPRESAS EN EL 2003 INGRESOS DE LAS PRINCIPALES EMPRESASEN EL PERÚ En S/. millones (2003) Nogal S.A. 1,036Tiendas La Estrella S.A. 833Molinosa 337Aerocusco S.A. 300Eterno Perú S.A. 247Clan Vuelo Alto S.A. 215Indama S.A. 200Boticas Unidas S.A. 197Chogun S.A. 178Productos Ricos Perú S.A. 171 Li = 10 (Li es el límite inferior de la clase que contiene la mediana) f3 = 8 (frecuencia absoluta de la tercera clase) F3 = 16 (frecuencia acumulada de la tercera clase) Fi-1 = F3-1 = F2 entonces F2 = 8 (frecuencia acumulada de la clase inferior al de la clase donde se encuentra la mediana) C = 4 (amplitud del intervalo que contiene a la mediana) c. Para datos agrupados existe la fórmula siguiente, la que aplicaremos: Sustituyendo los datos que tenemos en la fórmula tenemos: Me = 0 8 8 4 Me = 10 + 1,5, luego, la mediana será 11,5. Esto es: Me = 11,5 Significa que el 50% de estudiantes tienen edades comprendidas entre 12 y 22 años. Mo Me X X Me Mo X = Me = Mo
- 30. 29 5. EVALUACIÓN Cada alumnoresuelve los problemas o ejercicios formulados. Para luego socializar sus respuestas con su profesor y compañeros. 1. ¿Cuál es la suma de todo los valores de las frecuencias relativas, distribuidos en una tabla de frecuencia? 2. En una distribución de frecuencias en la que se estudia las tallas de 300 personas se sabe que la mediana es igual a 1,66 m ¿Qué nos indica este resultado? 3. ¿Cuál de las medidas de tendencia central depende del orden de los datos? 4. La media y la mediana de un conjunto de cinco números naturales distintos es 7 y el rango es 6. Determina los números. 5. Realiza el siguiente experimento: lanza una moneda de un sol 50 veces y coloca los resultados en la siguiente tabla: 6. A 500 estudiantes de primer grado de Educación Secundaria se les aplicó un test sobre su parecer respecto del colegio y sus respuestas fueron: Elabora una tabla considerando todos los tipos de frecuencias y representalo a través de una gráfica circular. 7. De la tabla de frecuencias siguiente, se tiene: Si la moda es 30, cuya frecuencia es 15: a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? b. ¿Cuántas personas tienen 25 años? c. ¿Cuál es su media aritmética? 8. Las edades de los empleados de una empresa son: 22; 27; 35; 34, 25; 30; 28; 27; 29; 26; 25; 23; 29; 37; 31; 24; 31; 37; 28; 34; 39; 24; 24; 32; 28; 34; 31; 35; 27; 30; 28; 36; 35; 27; 24; 36; 32; 29; 38; 34; 24; 36; 23; 33; 38; 32; 36; 25; 33; 30; 25; 23; 35; 28; 37; 36; 31; 33; 22; 32; 29; 29; 28; 25; 31; 24. a. Elabora una tabla de distribución de frecuencia completa. b. Construye histograma de frecuencias relativas. c. Determina e interpreta sus medidas de tendencia central. 9. En el siguiente cuadro, determina la medida de tendencia central más adecuada para la variable: Tipo de cáncer. Interpreta el resultado. Variable Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Cara Sello Total Gusta mucho Gusta No gusta No gusta nada 15% 56% 19% 10% Edades fi % 20 28 25 32 30 Totales Instituto de Neoplásica Paciente hospitalizados por tipo de cáncer según sexo Tipo de cáncer SEXO Total Masculino(M) Femenino (F) Gástrico 15 10 25 Vejigal 20 8 28 Oseo 5 12 17 Pulmonar 10 6 16 Mamario -- 23 23 Uterino -- 18 18 TOTAL 50 77 128 Sugerencia: Masculino: Mo = Cáncer vejigal Femenino: Mo = Cáncer mamario ¿Por qué? ¡INTERPRÉTALO! Fuente: Realizado PUCP en Instituto Neoplásica: Dpto de Estadística. N O E S C R I B I RB I R N O E Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 29Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 29 5/28/07 10:35:35 PM5/28/07 10:35:35 PM
- 31. 30 Serie 1 /DE LA PRENSAA LA MATEMÁTICA Responde en una hoja aparte: 1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades propuestas? 2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué? 3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo? 4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades? 5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor dificultad? 6. ¿Cómo lograste superar estas dificultades? 7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor dificultad? 8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas dificultades? 9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este fascículo? 10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al finalizar este fascículo? 6. METACOGNICIÓN Metacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir, sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos. Muy bueno Bueno Regular Deficiente ¿Por qué? 11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo? Explica. 12.¿Tuvistelaoportunidaddecompartirtusconocimientosconalgunosdetuscompañeros? ¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho? N O E S C R I B I R Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 30Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 30 5/28/07 10:35:35 PM5/28/07 10:35:35 PM
- 32. 31 fascículo 9 /eNCUESTAS 1. Ángeles Consuelo, Carmen y Adriana La Hoz Mendizabal. Estadística Aplicada a la Educación. Lima. Fondo Editorial de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, 1997. Presenta los aspectos básicos de la Estadística en siete unidades. En la primera lo referente a la presentación de datos, cuadros estadísticos y tablas de frecuencia. La segunda y tercera unidad se refieren al cálculo e interpretación de diferentes estadígrafos que resumen los datos para su análisis. En cuarta unidad hace una descripción e interpretación de distribución de frecuencias. La quinta unidad desarrolla los procesos de regresión y correlación. La sexta, probabilidades; y la séptima unidad trata la teoría del muestreo. 2. Fernández Ch., Juan. J. EstadísticaAplicada. Lima. FondoEditorialdelaUniversidad Nacional Mayor de San Marcos, 1993. Presenta técnicas para la investigación, desarrollo de los conceptos básicos de la Estadística y su aplicación como instrumento para estudiar e investigar en el área de la Ciencias Sociales. 3. Perelman, Y. Matemáticas recreativas. Barcelona. Ediciones Martínez Roca, 1987. El propósito de esta obra, como lo dice su autor, reside expresamente en destacar la parte del juego que tiene la resolución de cualquier acertijo, colección de pasatiempos, rompecabezas e ingeniosos trucos. 4. Timoteo Valentín, Salvador. Historia de la Matemática. Lima. Editorial Ingeniería, 1990. Presenta la historia de la Matemática sobre la base de hechos importantes realzando los aportes matemáticos que han constituido hitos fundamentales en esta ciencia. La primera parte presenta algunos personajes que han contribuido al desarrollo de la Matemática. La segunda es un conjunto de datos históricos y la tercera comprende anécdotas y curiosidades en torno a la Matemática y a los hombres que hicieron aportes a ella. 5. Véliz C, Carlos. Estadística. Lima. Editorial San Marcos, 1993. Contiene los métodos estadísticos que se desarrollan en tres partes esenciales: la Estadística Descriptiva, la Probabilidad y la Estadística Inferencial. Bibliografía comentada
- 33. 32 Serie 1 /de la prensaa la matemática 1. http://platea.pntic.mec.es/jescuder/estadist.htm Contiene curiosidades matemáticas y fórmulas de matemáticas a través del tiempo. 2. www.cortland.edu/flteach/stat-sp.html Contiene conceptos básicos de estadística de manera fundamentada. 3. www. Aulafacil.com/curso Estadística/Lecc-2 thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidácticas/53-1-u-indice.html-4k Los dos últimos contienen cursos de Estadística descriptiva, con ejemplos y problemas resueltos. 4. http://www.cortland.edu/flteach/stats/stat-sp.html Trata de temas didácticos de Estadística general. 5. http://www.pwpamplona.com/wen/descriptiva/descriptiva.htm Contiene temas de Estadística descriptiva y una introducción a la Estadística inferencial organizadas didácticamente. 6. http:// books. google.com.pe Contiene textos con chistes matemáticos diversos y en general humor sobre temas variados. Enlaces web