Estadística Descriptiva - Geometría Analítica - Función Exponencial y Logarítmica - Ecuaciones Trigonométricas

Presentación
La Universidad de Ciencias y Humanidades saluda la participación
de los asesores de las diferentes instituciones educativas en el pre-
sente 19.º Conamat 2016.
La problemática de la realidad educativa nacional, y en espe-
cial de la matemática, no debe ser motivo de desaliento e indi-
ferencia sino, por el contrario, debe incentivar a la investigación
para mejorar e innovar la calidad de la enseñanza en todos los
niveles de la educación.
Entre los objetivos de nuestra institución está el compromiso
no solo con la asesoría a través de seminarios y charlas, sino tam-
bién con la elaboración de material bibliográfico que contribuye a
cubrir los requerimientos de los estudiantes del país.
En esta oportunidad presentamos el material correspondiente
al Seminario para Asesores. Contiene tópicos sobre Estadística des-
criptiva (Aritmética), Geometría analítica (Geometría), Función
exponencial y función logarítmica (Álgebra) y Ecuaciones
trigonométricas (Trigonometría). La teoría sintética y los ejer-
cicios seleccionados que forman parte del contenido permiten
explorar y profundizar algunos de los temas más importantes de
la matemática.
Seguros de la utilidad del presente material, reiteramos nues-
tro saludo por su participación, que realza el desarrollo del presen-
te evento académico.

ÍNDICE
Estadística descriptiva ......................................................... 3
Problemas resueltos ......................................................... 13
Problemas propuestos ......................................................... 21
Geometría analítica ......................................................... 24
Función exponencial y función logarítmica .............................. 37
Ecuaciones trigonométricas ......................................................... 41

SEMINARIO DE ASESORES
3
UNIVERSIDAD DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
INTRODUCCIÓN1
Hoy en día, la estadística es una ciencia que ha cobrado
una gran importancia. Debido al avance de la tecnología,
los procesos estadísticos que antes eran engorrosos se
vuelven más fáciles con la ayuda de un ordenador, y lo que
interesa ahora es poder interpretar los resultados. Para
ello, es necesario que las personas tengan conocimientos
básicos de estadística; por tal razón, actualmente, el curso
de Estadística, al igual que el de Matemática, se ha vuelto
un curso general, pues la mayoría de las especialidades la
consideran dentro de su plan curricular. También en los co-
legios se ha incorporado su enseñanza; desde la primaria
se le enseña al estudiante a elaborar e interpretar cuadros y gráficos estadísticos que tengan que ver
con hechos cotidianos con la finalidad de que su aprendizaje no resulte dificultoso.
Definición2
El término estadística a menudo nos trae a la mente imágenes de números en grandes arreglos y ta-
blas, de volúmenes de cifras relativas a nacimientos, muertes, impuestos, poblaciones, ingresos, deu-
das, créditos, etc. Sin embargo, la estadística es mucho más que solo números y gráficos bonitos, es una
ciencia con tanta antigüedad como la escritura, y es por sí misma auxiliar de todas las demás ciencias.
La medicina, la ingeniería y los Gobiernos, se nombran entre los más destacados clientes de esta.
La estadística que conocemos hoy en día debe gran parte de su realización a los trabajos matemáti-
cos de aquellos hombres que desarrollaron la teoría de las probabilidades, con lo cual se adhirió la
estadística a las ciencias formales. Godofredo Achenwall, profesor de la Universidad de Gotinga, acu-
ñó en 1760 la palabra estadística, que extrajo del término italiano statista (estadista). Creía, y con so-
brada razón, que los datos de la nueva ciencia serían el aliado más eficaz del gobernante consciente.
La raíz remota de la palabra estadística se halla en el término latino status, que significa ‘estado o
situación’. Esta etimología aumenta el valor intrínseco de la palabra, por cuanto la estadística revela
el sentido cuantitativo de las más variadas situaciones. La estadística es una ciencia cuyo objetivo es
reunir una información concerniente a individuos, grupos, series de hechos, etc., y deducir de ello,
gracias al análisis de estos datos, significados precisos o previsiones para el futuro.
La estadística, en general, es la ciencia que trata de la recopilación, organización, presentación, aná-
lisis e interpretación de datos con la finalidad de tomar decisiones.
1 Ruiz Muñoz, David. Manual de Estadística. <books.google.es/books?isbn=8468861537> (Consulta: 05/09/2016)
2 Ídem.

4
19.O
CONCURSO NACIONAL DE MATEMÁTICA UCH 2016
UTILIDAD3
Los métodos estadísticos tradicionalmente
se utilizan para propósitos descriptivos, para
organizar y resumir datos. La estadística des-
criptiva, por ejemplo, trata de la tabulación de
datos, su presentación en forma gráfica o ilus-
trativa y el cálculo de medidas descriptivas.
DIVISIÓN DE LA ESTADÍSTICA
Para un mejor estudio, se ha dividido la estadís-
tica en dos grandes ramas: la estadística des-
criptiva y la estadística inferencial.
Estadística descriptiva
Consiste en la presentación de los datos
utilizando tablas o gráficos. Esta comprende
cualquier actividad relacionada con los datos
y está diseñada para resumir o describir los
mismos, sin intentar inferir nada que vaya más
allá de los datos, como tales.
Estadística inferencial
Analiza una población partiendo de una mues-
tra. Son métodos y técnicas que hacen posible
estimar una o más características de una po-
blación o tomar decisiones sobre la población
basadas en el resultado obtenidas de la mues-
tra. Estas conclusiones no son totalmente váli-
das y tienen cierto margen de error.
3 Ídem.
ALGUNOS TÉRMINOS COMÚNMENTE
UTILIZADOS EN ESTADÍSTICA
Entre algunos términos comúnmente utiliza-
dos en estadística, tenemos
Unidad elemental: es la entidad acerca de la
cual se reúne los datos.
Población: es el conjunto de todas las unidades
elementales en un determinado estudio.
Muestra: es el subconjunto de la población, la
cual debe ser representativa de la misma, pues-
to que dependerá de cuan bien hayamos selec-
cionado la muestra para que las conclusiones
que obtengamos a partir de ellas realmente
representen lo que sucede en la realidad.
Variable: es la característica de interés de las
unidades elementales.
La variable puede ser de dos tipos: cualitativa
y cuantitativa.
• Cualitativa: son aquellas variables que al
ser medidas solo quedan expresadas por
etiquetas o nombres que se utilizan para
identificar una característica o atributo.
Ejemplos
- Marca de gaseosa preferida de los uni-
versitarios del Perú
- Deporte favorito de los empleados de
una empresa
- Color de ojos de los turistas que llegan
a Lima
• Cuantitativa: son aquellas variables que al
ser medidas quedan expresadas por nú-
meros que se utilizan para identificar una
característica o atributo.
Ejemplos
- Número de hijos de las familias del dis-
trito de San Juan de Lurigancho
- Ingreso mensual de los empleados de
una empresa, en soles
- Edad de los universitarios de la UNI, en
años

5
RECOPILACIÓN, ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE LOS DATOS
Recopilación de los datos Presentación de los datos
Los métodos más usados para recopilar da-
tos son los censos y las encuestas.
Una vez recopilados los datos se procede a
organizarlos y presentarlos a través de cua-
dros, tablas o gráficos.
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Es un resumen de un conjunto de datos presentado en una tabla que muestra las frecuencias ab-
solutas, frecuencias relativas o frecuencias porcentuales, para cada una de las categorías o clases.
• Frecuencia absoluta (fi)
Nos indica la cantidad de datos que hay en la clase i o categoría i.
• Frecuencia relativa (hi)
Nos indica la proporción de datos que hay en la clase i o categoría i. Se calcula así:
hi
fi
n
=
donde
- hi: es la frecuencia relativa de la clase i o categoría i.
- fi: es la frecuencia absoluta de la clase i o categoría i.
- n: total de datos.
• Frecuencia porcentual (pi)
Es la frecuencia relativa multiplicada por 100 %. Se calcula así:
pi = hi × 100 %
donde
- pi: es la frecuencia porcentual de la clase i o categoría i.
- hi: es la frecuencia relativa de la clase i o categoría i.

6
19.O
• Frecuencia absoluta acumulada (Fi)
Nos indica la cantidad de datos que hay hasta la clase i o categoría i.
• Frecuencia relativa acumulada (Hi)
Es la proporción de datos que hay hasta la clase i o categoría i. Se calcula así:
Hi
Fi
n
=
donde
- Hi: es la frecuencia relativa acumulada de la clase i o categoría i.
- Fi: es la frecuencia absoluta acumulada de la clase i o categoría i.
- n: total de datos.
• Frecuencia porcentual acumulada (Pi)
Es la frecuencia relativa acumulada multiplicada por 100 %. Se calcula así:
Pi = Hi × 100 %
donde
- Pi: es la frecuencia porcentual acumulada de la clase i o categoría i.
- Hi: es la frecuencia relativa acumulada de la clase i o categoría i.
Ejemplo 1
A continuación, se presenta una tabla de distribución de frecuencias elaborada sobre la base de la
información obtenida de los 40 alumnos del cuarto grado de primaria de la sección A del colegio
Santa María respecto a la pregunta, ¿cuál es su marca de gaseosa favorita?
Distribución de los alumnos del cuarto grado de primaria de la sección A del colegio
Santa María según la marca de gaseosa favorita
marca de gaseosa
favorita
fi hi pi
Inca Kola 8 0,20 20 %
Coca Cola 12 0,30 30 %
Fanta 10 0,25 25 %
Pepsi 4 0,10 10 %
Otros 6 0,15 15 %
Total 40 1,00 100 %

7
Ejemplo 2
A continuación, se presenta una tabla de distribución de frecuencias elaborada sobre la base de la
información obtenida de los 40 alumnos del sexto grado de primaria de la sección A del colegio Santa
María respecto a la pregunta sobre ¿qué opinión tienen acerca del servicio brindado en la biblioteca
del colegio?
Distribución de los alumnos del sexto grado de primaria de la sección A del colegio Santa María
según opinión acerca del servicio brindado en la biblioteca del colegio
opinión acerca del servicio brindado en
la biblioteca del colegio
fi hi pi Fi Hi Pi
Muy malo 4 0,10 10 % 4 0,10 10 %
Malo 8 0,20 20% 12 0,30 30 %
Regular 10 0,25 25% 22 0,55 55 %
Bueno 12 0,30 30% 34 0,85 85 %
Muy bueno 6 0,15 15% 40 1,00 100 %
Total 40 1,00 100 %
Ejemplo 3
A continuación, se presenta una tabla de distribución de frecuencias elaborada en base a la informa-
ción obtenida de los 40 alumnos del sexto grado de primaria de la sección C del colegio Santa María
respecto a la pregunta, ¿cuánto tiempo, en horas, dedican a estudiar durante la semana?
Distribución de los alumnos del sexto grado de primaria de la sección C del colegio Santa María
según el tiempo que dedican a estudiar durante la semana
tiempo que dedican a estudiar durante
la semana, en horas
Xi fi hi pi Fi Hi Pi
[0; 3〉 1,5 6 0,15 15 % 6 0,15 15 %
[3; 6〉 4,5 8 0,20 20 % 14 0,35 35 %
[6; 9〉 7,5 10 0,25 25 % 24 0,60 60 %
[9; 12〉 10,5 12 0,30 30 % 36 0,90 90 %
[12; 15] 13,5 4 0,10 10 % 40 1,00 100 %
Total 40 1,00 100 %

8
19.O
GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
El gráfico estadístico a utilizar para resumir una información depende del tipo de variable que se esté
analizando, por ejemplo
• Si la variable analizada es una variable cualitativa, para resumir la información podría utilizarse
un diagrama de barras, un gráfico circular o el diagrama de Pareto.
• Si la variable analizada es una variable cuantitativa, para resumir la información podría utilizarse
un diagrama de bastones, un histograma, un diagrama escalonado, el polígono de frecuencias o
la ojiva.
John Wilder Tukey (1915 - 2000)
Gran estadístico del siglo xx, con
gran influencia en la visualización
de información.
William Playfair (1759 - 1823)
Economista e ingeniero escocés,
es considerado el pionero de la
estadística gráfica. Fue el creador
del gráfico de barras y el gráfico
circular.
Diagrama circular
Ejemplo Distribución porcentual de los alumnos del cuarto
grado de primaria de la sección A del colegio Santa
María según marca de gaseosa favorita
Inca Kola Coca Cola Fanta Pepsi Otros
10%10%10%
20%20%20%
30%30%30%
15%15%15%
25%25%25%

9
Diagrama de barras
Ejemplo
Distribución porcentual de los alumnos del sexto grado
de primaria de la sección A del colegio Santa María
según opinión acerca del servicio brindado en la
biblioteca del colegio
Muy bueno
15%
Bueno
30%
Regular
25%
Malo
20%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
Muy malo
10%
Porcentajedealumnos
Opinión acerca del servicio brindado en la biblioteca del colegio
Histograma
Ejemplo
Distribución porcentual de los alumnos del sexto grado de
primaria de la sección C del colegio Santa María según tiempo
que dedican a estudiar durante la semana
Porcentajedealumnos
Tiempo que dedican a estudiar durante la semana, en horas
35%
15%
3 6 9 12 15
20%
25%
30%
10%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%

10
19.O
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Deben su nombre al hecho de que sus valores
tienden a ocupar posiciones centrales o inter-
medias entre el menor y el mayor valor del
conjunto de datos. Entre ellas tenemos
• La media aritmética o media (x)
• La mediana (Me) y
• La moda (Mo)
Para un conjunto de datos no clasificados o no
agrupados
La media (x)
En general
Sean los datos: x1; x2; x3; ...; xn.
La media aritmética de ese conjunto de datos
se calcula así:
x
x x x x
n
n
i
i
n
x
n
=
+ + + +
= =
∑
1 2 3 1...
La mediana (Me o xm)
En general
Sean los datos ordenados en forma creciente:
x(1); x(2); x(3); ...; x(n).
La mediana de ese conjunto de datos se calcula
así:
• Si n es es par → xm
n nx x
=
+


 +




2 2
1
2
• Si n es impar → xm nx= +



1
2
La moda (Mo)
La moda es el valor que se repite con mayor
frecuencia.
Aplicación
La profesora Yola tiene a su cargo la sección A
del cuarto grado de primaria del colegio Fe y
Esperanza, en dicha sección hay 20 alumnos. El
primer día de clases ella hizo circular una hoja
en la que pidió a sus alumnos que escribieran
sus nombres y apellidos completos, a su vez,
que indiquen la fecha de su cumpleaños y su
deporte favorito. Con la información obtenida
elaboró los siguientes cuadros y gráficos:
Tabla N.º 1
Distribución de los alumnos del cuarto grado
de primaria de la sección A del colegio Fe y
Esperanza según mes de nacimiento
Mes de nacimiento Número de alumnos
Marzo 2
Abril 4
Mayo 7
Junio 3
Julio 4
Sobre la base de la información proporcionada
en la tabla N.º 1, la profesora Yola les pidió a
sus alumnos que respondan las siguientes pre-
guntas:
a. ¿Cuál es la variable analizada?
b. ¿Qué tipo de variable es la variable anali-
zada?
c. ¿En qué mes hay más niños que cumplen
años?
d. ¿Qué gráfico estadístico se podría utilizar
para resumir dicha información?

11
b. ¿Qué tipo de variable es la variable anali-
zada?
c. ¿Cuál es el nombre del gráfico estadístico
utilizado para resumir la información?
d. ¿Cuántos varones hay en la sección?
Resolución
a. La variable analizada es Género de los
alumnos del cuarto grado de primaria de
la sección A del colegio Fe y Esperanza.
b. La variable analizada es de tipo cualitativa.
c. El nombre del gráfico estadístico utilizado
para resumir la información es gráfico cir-
cular.
d. En esa sección hay 40 %(20) = 8 varones.
Gráfico N.º 2
Distribución de los alumnos del cuarto
grado de primaria de la sección A del
colegio Fe y Esperanza según deporte
favorito
Natación Vóley Fútbol Básquet Tenis Pimpón
1
3
2
7
5
2
7
8
6
5
4
3
2
1
0
Deporte favorito
Númerodealumnos
Resolución
a. La variable analizada es Mes de nacimien-
to de los alumnos del cuarto grado de pri-
maria de la sección A del colegio Fe y Espe-
ranza.
b. La variable analizada es de tipo cualitativa.
c. De la tabla, podemos darnos cuenta que
es el mes de mayo en el cual hay más niños
que cumplen años.
d. Para resumir la información que se aprecia
en la tabla podremos utilizar el diagrama
de barras.
Gráfico N.º 1
Distribución porcentual de los alumnos
del cuarto grado de primaria de la
sección A del colegio Fe y Esperanza
según género
Femenino Masculino
40%40%40%
60%60%60%
Sobre la base de la información proporcionada
en el Gráfico N.º 1, la profesora Yola les pidió a
sus alumnos que respondan las siguientes pre-
guntas:

12
19.O
Sobre la base de la información proporcionada en el gráfico N.º 2, la profesora Yola les pidió a sus alum-
nos que respondan las siguientes preguntas:
b. ¿Cuál es el nombre del gráfico estadístico utilizado para resumir la información?
c. ¿Qué tipo de variable es la variable analizada?
d. ¿Cuál es el deporte menos preferido por dichos alumnos?
Resolución
a. La variable analizada es Deporte favorito de los alumnos del cuarto grado de primaria de la
sección A del colegio Fe y Esperanza.
b. El nombre del gráfico estadístico utilizado para resumir la información es diagrama de barras.
c. La variable analizada es de tipo cualitativa.
d. El deporte menos preferido por los alumnos de dicha sección es el pimpón.

13
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA N.º 1
La siguiente tabla se elaboró con la información obtenida de los pagos mensuales que realizó la
familia De la Cruz con respecto al servicio de agua potable en el primer semestre del presente año.
Mes
Pago de servicios de agua
potable, en soles
Enero 26,95
Febrero 48,47
Marzo 44,51
Abril 52,68
Mayo 42,27
Junio 42,15
¿Cuánto gastó en total en ese servicio de agua potable la familia De la Cruz en el primer
semestre de este año?
Resolución
Calculamos el gasto total en el servicio de agua potable de la familia De la Cruz en el primer
semestre de este año.
Entonces

Gasto total en el servicio de agua
potable de la familia De la Cruz, en
el primer semestre de este año








= S/26,95 + S/48,47 + S/44,51 + S/52,68 + S/42,27 + S/42,15
∴
Gasto total en el servicio de agua
potable de la familia De la Cruz, en
el primer semestre de este año
S/257,








= 003

14
19.O
PROBLEMA N.º 2
El siguiente gráfico se elaboró sobre la base de la información obtenida respecto a la fruta favorita de
los 40 alumnos del sexto grado de primaria de la sección A del colegio Mi Perú.
Distribución de los alumnos del sexto grado de
primaria de la sección A del colegio Mi Perú según su
fruta favorita
6
8
6
7
10
Fruta favorita
Númerodealumnos
Manzana
0
2
4 3
Plátano
4
Mandarina Sandía
3
Naranja
4
Chirimoya Fresa Papaya
4
¿Cuántos alumnos del sexto grado de primaria de la sección A del colegio Mi Perú indicaron que su
fruta favorita es la mandarina y qué tanto por ciento representa ese grupo de alumnos?
Resolución
Distribución de los alumnos del sexto grado de
primaria de la sección A del colegio Mi Perú según su
fruta favorita
Fruta favorita
Númerodealumnos
Manzana
0
2
4
6
8
10
3
Plátano
4
Mandarina
x
Sandía
3
Naranja
4
6
Chirimoya Fresa
7
Papaya
4
Sea x el número de alumnos del sexto grado de primaria de la sección A del colegio Mi Perú que
indicaron que su fruta favorita es la mandarina.
Del diagrama de barras, podemos indicar que
3 + 4 + x + 3 + 4 + 6 + 7 + 4= 40
→ x = 9

15
También necesitamos calcular
y% %=



⋅
9
40
100
→ y % = 22,5 %
Por lo tanto, 9 alumnos de dicha sección indi-
caron que su fruta favorita es la mandarina, y
ellos representan el 22,5 % del total de alum-
nos de dicha sección.
PROBLEMA N.º 3
En el mes de diciembre del año pasado, la pro-
fesora Martha les preguntó a sus 40 alumnos
del quinto grado de primaria de la sección B del
colegio Rayito de Sol sobre el tipo de golosina
que más les gusta, todos ellos sin excepción
indicaron el tipo de golosina que más les gusta.
Tomando en cuenta la información proporcio-
nada por sus alumnos, ella elaboró el siguiente
diagrama circular:
Distribución porcentual de los alumnos del
quinto grado de primaria de la sección B del
colegio Rayito de Sol según el tipo de
golosina que más les gusta
Caramelos Chocolates Chicles Galletas
5%5%5%
25%25%25%
20%20%20%
¿Qué tipo de golosina que más les gusta a los
alumnos de dicha sección tienen mayor por-
centaje de preferencia y a cuántos alumnos les
gusta más dicho tipo de golosina?
Resolución
quinto grado de primaria de la sección B del
colegio Rayito de Sol según el tipo de
golosina que más les gusta
Caramelos Chocolates Chicles Galletas
5%5%5%
25%25%25%
20%20%20%
x%x%x%
Observando el gráfico circular, podemos con-
cluir que el tipo de golosina que más les gusta
a los alumnos de dicha sección que tiene mayor
porcentaje de preferencia son los chocolates.
Consideremos que el número de alumnos de
esa sección cuyo tipo de golosina que más les
gusta son los chocolates, representa el x % del
total de alumnos de dicha sección.
Observando el gráfico circular, podemos indi-
car que
5 % + 25 % + 20 % + x % = 100 %
→ x % = 50 %

16
19.O
También, necesitamos calcular lo siguiente:
•
Número de alumnos de
dicha sección cuyo tipo
de golosina que más les
gusta son los chocolates












= ( )50 40%
•
Número de alumnos de
dicha sección cuyo tipo
de golosina que más les
gusta son los chocolates












= 20
Por lo tanto, el tipo de golosinas que mas les
gusta a los alumnos de dicha sección que tiene
mayor porcentaje de preferencia son los cho-
colates, siendo la cantidad de alumnos que les
gusta ese tipo de golosinas 20.
PROBLEMA N.º 4
El profesor Ricardo anotó en la pizarra las no-
tas de 5 de sus alumnos obtenidas en la última
práctica de matemática, siendo estas notas las
siguientes:
18; 12; 18; 20 y 16
Calcule el promedio de las notas de esos 5
alumnos e interprete el resultado.
Resolución
Calculamos la media de las notas de esos 5
alumnos.
x =
+ + + +18 12 18 20 16
5
→ x = 16,8
Por lo tanto, podemos indicar que, en prome-
dio, cada uno de los 5 alumnos tiene una nota
de 16,8. También podemos indicar que las no-
tas de esos 5 alumnos tienden o están alrede-
dor de 16,8.
PROBLEMA N.º 5
Sandra anotó el peso de 6 de sus compañeros
ensucuaderno,siendoestospesoslossiguientes:
50 kg; 48 kg; 54 kg; 36 kg; 51 kg y 52 kg
Calcule la mediana de los pesos de esos 6 com-
pañeros de Sandra e interprete el resultado.
Resolución
Calculamos la mediana de los pesos de los 6
compañeros de Sandra; para ello, previamente
ordenamos esos pesos de menor a mayor.
Así tenemos
36 kg; 48 kg; 50kg; 51 kg; 52 kg; 54 kg
→ Me =
+50 51
2
kg kg
→ Me = 50,5 kg
Por lo tanto, podemos indicar que el 50 % de
los 6 compañeros de Sandra tienen un peso
menor o igual que 50,5 kg y el otro 50 % tienen
un peso mayor que 50,5 kg.
PROBLEMA N.º 6
Leo preguntó a 8 alumnos que habían asistido
a una conferencia, sus edades, siendo estas las
siguientes:
15 años; 12 años; 16 años; 17 años; 16 años;
14 años; 16 años y 13 años
Calcule la moda de las edades de ese grupo de
alumnos e interprete el resultado.

17
Resolución
Calculamos la moda de las edades de esos 8 alumnos.
15 años; 12 años; 16 años; 17 años; 16 años; 14 años; 16 años y 13 años
→ Mo = 16 años
Por lo tanto, podemos indicar que el valor más frecuente de la edad de esos 8 alumnos es 16 años.
PROBLEMA N.º 7
A 25 familias del distrito de San Juan de Lurigancho se les preguntó sobre el número de
hijos que tenían, con la información obtenida se elaboró la siguiente tabla:
Distribución de las familias del distrito de San juan
de Lurigancho según el número de hijos que tienen
Número de hijos Número de familias
2 4
3 5
4 10
5 6
total 25
Calcule en cuánto excede la mediana del número de hijos por familia al promedio del
número de hijos de esas 25 familias.
Resolución
• Calculamos la mediana del número de hijos de esas 25 familias.
→ Me = 4
• Calculamos la media del número de hijos de esas 25 familias.
x =
( )( )+( )( )+( )( )+( )( )2 4 3 5 4 10 5 6
25
→ x = 3,72
Piden
Me – x = 4 – 3,72
∴ Me – x = 0,28

18
19.O
PROBLEMA N.º 8
Se realizó una encuesta a 200 pasajeros de una aerolínea. Algunas de las variables consideradas para
dicho estudio son las siguientes:
Variable analizada
Edad del pasajero, en años
Género del pasajero
Nacionalidad del pasajero
Opinión del pasajero respecto al servicio brindado (muy malo,
malo, regular, bueno, muy bueno)
Precio del pasaje, en soles
De las variables indicadas, calcule la diferencia entre el número de variables de tipo cualitativas y el
número de variables de tipo cuantitativas.
Resolución
Variable analizada Tipo de variable
Edad del pasajero, en años cuantitativa
Género del pasajero cualitativa
Nacionalidad del pasajero cualitativa
Opinión del pasajero respecto al servicio brindado
(muy malo, malo, regular, bueno, muy bueno)
cualitativa
Precio del pasaje, en soles cuantitativa
De las variables indicadas, podemos indicar que
• el número de variables de tipo cualitativa es 3.
• el número de variables de tipo cuantitativa es 2.
Piden

número de variables
de tipo cualitativa
número de var


 −
iiables
de tipo cuantitativa



 = −3 2
∴
número de variables
de tipo cualitativa
número de var


 −
iiables
de tipo cuantitativa



 =1

19
PROBLEMA N.º 9
Relacione la variable analizada con el gráfico que sería recomendable utilizar para resumir la infor-
mación correspondiente a dicha variable. Dé como respuesta la secuencia que corresponda.
Variable analizada Un posible gráfico a utilizar
a. Peso del equipaje de mano, en kilogramos ( ) Diagrama de barras
b. Opinión respecto al servicio (muy malo, malo, ( ) Gráfico circular
regular, bueno, muy bueno)
c. Género del pasajero ( ) Histograma
Resolución
a. Peso del equipaje de mano, en kilogramos ( b ) Diagrama de barras
b. Opinión respecto al servicio (muy malo, ( c ) Gráfico circular
c. Género del pasajero ( a ) Histograma
Por lo tanto, la secuencia que corresponde es b - c - a.
PROBLEMA N.º 10
José realizó una encuesta a una muestra de 200 pasajeros de la aerolínea WAS, con la información
obtenida realizó el siguiente diagrama de barras:
Distribución porcentual de los pasajeros de la aerolínea
WAS según motivo de viaje
Competencia
deportiva
Estudios Retorno a
casa
Trabajo Turismo Visita
familiar
5%
25%
8%
15%
17%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
Motivo de viaje
Porcentajedepasajeros
Sobre la información proporcionada, responda las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál es el motivo de viaje más frecuente?
b. Calcule el número de pasajeros de la aerolínea WAS de la muestra cuyo motivo de viaje fue
estudios o turismo.

20
19.O
Resolución
Distribución porcentual de los pasajeros de la aerolínea
WAS según motivo de viaje
Competencia
deportiva
Estudios Retorno a
casa
familiar
5 %
25 %
8 %
15 %
x %
17 %
35 %
30 %
25 %
20 %
15 %
10 %
5 %
0 %
Motivo de viaje
Consideremos que x % es el porcentaje de pasajeros de la muestra cuyo motivo de viaje fue estudio.
Del diagrama de barras podemos indicar que:
17 % + x % + 15 % + 8 % + 25 % + 5 % = 100 %
→ x % = 30 %
También del diagrama de barras podemos indicar que
• El motivo de viaje más frecuente es estudios, por representar un 30 %, siendo este porcentaje
mayor al porcentaje de las otras categorías de la variable.
• El total de pasajeros de la aerolínea WAS de la muestra cuyo motivo de viaje fue estudios o
turismo, es (30 % + 25 %)(200) = 110.
Por lo tanto, el motivo de viaje más frecuente es estudios y el número de pasajeros de la aerolínea
WAS de la muestra cuyo motivo de viaje fue estudios o turismo es 110.

21
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. La siguiente tabla se elaboró con la información obtenida de los pagos mensuales que realizó
la familia Villagaray con respecto al servicio de luz en el primer cuatrimestre del presente año.
Mes
Pago por servicios de
luz, en soles
Enero 106,95
Febrero 99,45
Marzo 110,51
Abril 116,68
¿Cuánto gastó en total en ese servicio de luz la familia Villagaray en el primer cuatrimestre de
este año?
2. El siguiente gráfico se elaboró sobre la base de la información obtenida acerca de la fruta favori-
ta de los 40 alumnos del quinto grado de primaria de la sección A del colegio Mi Perú.
Distribución de los alumnos del quinto grado de primaria de
la sección A del colegio Mi Perú según su fruta favorita
Fruta favorita
20,0 %
25,0 %
15,0%
17,5%
Porcentajedealumnos
Manzana
0,0 %
5,0 %
10,0 %
15,0 %
5,0%
Plátano
12,5%
Mandarina Sandía
7,5%
Naranja
10,0%
Chirimoya Fresa Papaya
10,0%
¿Cuántos alumnos del quinto grado de primaria de la sección A del colegio Mi Perú indicaron
que su fruta favorita es la chirimoya?
3. En el mes de abril del presente año, la profesora Silvia les preguntó a sus 40 alumnos del cuarto
grado de primaria de la sección C del colegio Fe y Alegría sobre el tipo de golosina que más les
gusta, todos ellos sin excepción indicaron el tipo de golosina que más les gusta. Tomando en
cuenta la información proporcionada por sus alumnos, ella elaboró el siguiente diagrama circular:

22
19.O
cuarto grado de primaria de la sección C del
colegio Fe y Alegría según el tipo de
golosina que mas les gusta
Caramelos Chocolates Wafer Galletas
37.5%37.5%37.5%
5.0%5.0%5.0%
12.5%12.5%12.5%
¿Cuántos alumnos de esa sección indica-
ron que el tipo de golosina que más les
gusta son los chocolates?
4. El profesor Víctor anotó en la pizarra las
notas de 6 de sus alumnos obtenidas en
la primera práctica de matemática, siendo
estas notas las siguientes:
16; 10; 18; 20; 15 y 17
Calcule el promedio de las notas de esos 6
alumnos.
5. Sayuri anotó el peso de sus 5 hermanos en
su cuaderno, siendo estos los siguientes:
28 kg; 22 kg; 43 kg; 41 kg y 30 kg
Calcule la mediana de los pesos de los 5
hermanos de Sayuri.
6. Leonardo preguntó a 7 personas que ha-
bían asistido a una conferencia, sus eda-
des, siendo estas las siguientes:
25 años; 22 años; 26 años; 27 años; 26
años; 24 años y 26 años
Calcule la moda de las edades de ese gru-
po de personas.
7. A 40 familias del distrito de Chorrillos se
les preguntó sobre el número de hijos que
tienen, con la información obtenida se ela-
boró la siguiente tabla:
Distribución de las familias del distrito de
Chorrillos según el número de hijos que
tienen
Número de hijos Número de familias
2 7
3 8
4 9
5 13
6 3
total 40
Calcule en cuánto excede la moda del nú-
mero de hijos a la mediana del número de
hijos de esas 40 familias.
8. Se realizó una encuesta a 120 alumnos del
colegio Santa María. Algunas de las varia-
bles consideradas para dicho estudio son
las siguientes:
Variable analizada
Edad del alumno, en años
Género del alumno
Opinión del alumno respecto al servicio que
brinda la biblioteca del colegio (muy malo,
Gasto que realiza el alumno en el quiosco del
colegio, en soles
¿Cuántas de las variables indicadas son de
tipo cuantitativa?

23
9. Relacione la variable analizada con el gráfico que sería recomendable utilizar para resumir la in-
formación correspondiente a dicha variable. Dé como respuesta la secuencia que corresponda.
a. Peso del alumno, en kilogramos ( ) Diagrama de barras
b. Color de cabello del alumno (negro, ( ) Gráfico circular
castaño y rubio)
c. Opinión del alumno respecto al servicio ( ) Histograma
que brinda el quiosco que se encuentra
dentro de las instalaciones del colegio
(muy malo, malo, regular, bueno, muy
bueno)
10. Miguel realizó una encuesta a una muestra de 100 pasajeros de la aerolínea WIRA, con la infor-
mación obtenida realizó el siguiente diagrama de barras:
Distribución porcentual de los pasajeros de la aerolinea
WIRA según motivo de viaje
Motivo de viaje
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
Competencia
deportiva
Estudios Retorno a
casa
familiar
14%
30%
5%
0%
8%
8%
3%
Sobre la información proporcionada en dicho diagrama de barras, responda las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál es el motivo de viaje más frecuente?
b. Calcule el número de pasajeros de la aerolínea WIRA de la muestra cuyo motivo de viaje fue
estudios o trabajo.

24
19.O
GEOMETRÍA ANALÍTICA
PLANO CARTESIANO
Es el plano determinado por dos rectas numé-
ricas, secantes y perpendiculares llamadas ejes
coordenados.
10
–1
1
2
3
4
–2
–3
–4
–1–2–3–4 2 3 4 X
Y eje de ordenadas
eje de abscisas
I CuadranteII Cuadrante
IV CuadranteIII Cuadrante
El punto de intersección de los ejes es el origen
de coordenadas 0 = (0; 0).
Al eje de abscisas le llamaremos eje X.
Al eje de ordenadas le llamaremos eje Y.
Los ejes coordenados dividen al plano cartesia-
no en cuatro cuadrantes.
Consideraremos al sentido antihorario como
sentido positivo (+) y al sentido horario como
sentido negativo (–).
Par ordenado
Son un par de números de la forma (a; b) que
fijan la posición de un punto en el plano car-
tesiano, donde a es el número que se asocia
al punto en el eje de abscisas y b es el número
que se asocia al punto en el eje de ordenadas.
10
–1
1
2
b
3
4
–2
–3
–4
–1–2–3–4 2
P(a; b)
A(–3; 2)
C(2; –4)
B(–2; –2)
3 a 4 X
Y
(a; b) representa las coordenadas del punto P
en el plano cartesiano.
Los puntos A, B y C tienen coordenadas (– 3; 2);
(–2; – 2) y (2; – 4), respectivamente.
En el plano cartesiano solo existe un único
punto que tiene coordenadas (a; b).
Nota
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es la longitud del
segmento de recta que los une.
xb
xb–xa
yb–ya
xa
ya
yb
B
A
Y
X
O
d

25
Esta distancia es igual a la raíz cuadrada de la
suma de los cuadrados de la diferencia de abs-
cisas y la diferencia de ordenadas.
AB d x x y yb a b a= = −( ) + −( )2 2
d x y= ∆( ) + ∆( )2 2
Punto medio de un segmento
Es el punto que pertenece al segmento y que lo
divide en dos segmentos parciales congruentes.
Las coordenadas del punto medio de un seg-
mento de recta es igual a la semisuma de abs-
cisas y ordenadas de sus extremos.
xb
xm
ya
ym
xm
xb
yb
xa
xa
O
A
M
B
Y
X
ya
ym
yb
Sea M el punto medio del segmento AB.
Del gráfico, observamos que xm; ym son las lon-
gitudes de las bases medias de los trapecios
que se forman al trazar desde los extremos,
perpendiculares a los ejes de abscisas y orde-
nadas, respectivamente.
Luego, las coordenadas de M son
M x y
x x y y
m m
a b a b
= ( )=
+ +


; ;
2 2
De lo anterior, se puede expresar las coorde-
nadas de M como
M
x y x y A Ba a b b
=



 =
+;
;
;
2 2 2
.
Nota
División de un segmento en una razón r
Sea P un punto del segmento AB que divide a
dicho segmento en una razón r
AP
PB
r=



.
xb
xp
ya
yp
xp
xb
yb
xa
xa
O
A
P
B
Y
X
ya
yp
yb

r
En el gráfico, sea PB = µ y AP = rµ, entonces
AP
PB
r= .
En el trapecio sombreado
x
x x r
r
x rx
r
p
a b a b
=
⋅ + ⋅( )
+
=
+
+
µ µ
µ µ 1
,
análogamente hallamos
y
y y r
r
y ry
r
p
a b a b
=
⋅ + ⋅( )
+
=
+
+
µ µ
µ µ 1
Entonces, las coordenadas del punto P son
P x y
x rx
r
y ry
r
p p
a b a b
= ( )=
+
+
+
+



; ;
1 1
También podemos expresar a P como
P
x y
r
r x y
r
A rB
r
a a b b
=
+( )
+
( )
+



 =
+
+1 1 1
;
;

26
19.O
Aplicación 1
Dado un triángulo ABC, donde A = (xa; yb),
B = (xb; yb) y C = (xc; yc). Halle las coordenadas
del baricentro del triángulo. (Baricentro es el
punto de concurrencia de las medianas de un
triángulo).
Resolución
B(xb; yb)
A
(xa; ya)
(xc; yc)
C
B + C
2
M =
G2

Sea G el baricentro del triángulo ABC y M el
punto medio de BC, entonces M
B C
=
+
2
; luego
2M = B + C.
Sabemos que el baricentro (G) divide a la
mediana AM en la razón de 2: 1, entonces
AG = 2GM, luego r
AG
GM
= = 2.
Ahora usamos la fórmula para calcular las co-
ordenadas de G.
G
A rM
r
A M A M A B C
=
+
+
=
+
+
=
+
=
+ +
1
2
1 2
2
3 3
Entonces
G
x y x y x ya a b b c c
=
( )+( )+( ); ; ;
3
G
x x x y y y
G Ga b c a b c
x y=
+ +( ) + +( )


 =( )3 3
; ;
Luego
G
x x x
x
a b c
=
+ +( )
3
; G
y y y
y
a b c
=
+ +( )
3
Ángulo de inclinación de una recta
Es el ángulo que forma una recta y el eje de las
abscisas.
Y
XO
α2 α1
L2 L1
α1 es la medida del ángulo de inclinación de la
recta L1 y α2 es la medida del ángulo de incli-
nación de la recta L2.
• La medida del ángulo de inclinación de una
recta se realiza a partir del eje de abscisas,
en sentido antihorario, hacia la recta.
Pendiente de una recta (m)
Es la tangente del ángulo de inclinación de la
recta.
O
m
α
α
L
xb – xa
yb – ya
A(xa; ya)
B(xb; yb)
Y
X
Sea a la medida del ángulo de inclinación,
entonces la pendiente (m) de la recta L es
m = tana.

27
Sila recta pasa por los puntos A(xa; ya)yB (xb; yb),
entonces la pendiente de la recta (m = tana), lo
calculamos como m
y
x
y y
x x
b a
b a
=
∆
∆
=
−
−
.
Ángulo entre dos rectas
Para medir el ángulo entre dos rectas es nece-
sario conocer las pendientes de ambas rectas y,
a partir de ello, calcular la medida de su ángu-
lo de inclinación. Luego, la medida del ángulo
buscado es igual a la diferencia de los ángulos
de inclinación de las rectas.
L2L1
O X
Y
θ
α2
α1
m2 m1
Del gráfico, a1 = q + a2, entonces q = a1 – a2;
luego, tanq = tan(a1 – a2).
→ tan
tan tan
tan tan
θ
α α
α α
=
−( )
+ ⋅( )
1 2
1 21
tanθ =
−
+ ⋅
m m
m m
1 2
1 21
Finalmente
θ = ⋅
−
+ ⋅



arc tan
m m
m m
1 2
1 21
• Si α1 = α2, entonces las rectas son paralelas.
• Si q = 90º, entonces tanq es indetermi-
nado; luego, 1 + m1 · m2 = 0, de donde
m1 · m2 = – 1.
L1 L2
m1 =m2
m1 m2
m1� m2 = –1
L2
m2
L1
m1
• Si las rectas son paralelas, las pendientes
de dichas rectas son iguales.
• Si las rectas son perpendiculares, el pro-
ducto de sus pendientes es – 1.
Observación
Aplicación 2
Halle la medida del ángulo que forman dos rec-
tas cuyas pendientes son −
1
2
y – 3, respectiva-
mente.
Resolución
Sea q la medida del ángulo que nos piden cal-
cular, entonces tanθ =
−
+ ⋅
m m
m m
1 2
1 21
, donde m1 y
m2 son las pendientes de las rectas. Entonces,
si m1
1
2
=− , luego m2 = – 3 y reemplazando en
la ecuación anterior tanθ =
− +
+ ⋅
= =
1
2
3
1
1
2
3
5
2
5
2
1, de
donde q = 45º.

28
19.O
Si m1 = – 3 y m2
1
2
=− , entonces tan q = – 1, de
donde q = 135º.
Este problema tiene dos posibles respuestas,
45º y 135º.
ecuación de una recta
Es la ecuación de todos los puntos del plano
cartesiano de la forma (x; y) que pertenecen a
una recta del plano.
Las ecuaciones más usuales son
Ecuación punto - pendiente
Es la ecuación de la recta que se despren-
de de conocer un punto de paso y la pen-
diente de la recta.
Sea L una recta del plano que pasa por el
punto P0 = (x0; y0) y tiene pendiente m.
O
m
X
Y
P0 (x0; y0)
P(x; y)
x –x0
y –y0
Todo punto P del plano cartesiano tiene la for-
ma (x; y), entonces la pendiente de PP0 debe
ser m.
Luego,
y y
x x
m
−
−
=0
0
de donde
(y – y0) = m(x – x0).
Entonces, la ecuación de la recta L del plano
cartesiano, son todos los puntos (x; y) que sa-
tisfacen la ecuación
L : (y – y0) = m(x – x0).
Ecuación canónica de la recta
Es la ecuación que se desprende de cono-
cer la pendiente de la recta y la intersec-
ción de la recta con el eje de ordenadas (se
conoce la ordenada en el origen).
Sea m la pendiente de la recta y b la orde-
nada en el origen, entonces la intersección
de la recta L con el eje de ordenadas es el
punto P0 = (0; b).
O
b m
X
Y
L
P0 = (0; b)
y = mx + b
A partir de la ecuación punto - pendiente,
la ecuación de L : (y – b) = m(x – 0), de don-
de expresamos la ecuación canónica como
L : y = mx + b.
A esta ecuación también se le conoce
como la ecuación pendiente con intersec-
ción en la ordenada.

29
Ecuación simétrica
Es la ecuación que relaciona las coorde-
nadas de los puntos de intersección de la
recta con los ejes coordenados.
O
a
b
X
Y
L
(0; b)
(a; 0)
x
a
y
b
+ = 1
Sea a la abscisa en el origen y b la ordena-
da en el origen, entonces las coordenadas
de los puntos de intersección de la recta
con los ejes de abscisas y ordenadas son,
respectivamente, (a; 0) y (0; b).
Calculamos la pendiente m de la recta L
como m
b
a
b
a
=
−
−
= −
0
0
.
Reemplazando en la ecuación canónica de
la recta, tenemos
L : y
b
a
x b= −



 +
de donde
L :
x
a
y
b
+ =1
Ecuación con intersección a los ejes coor-
denados.
Ecuación general
Es la ecuación de la recta que tiene la for-
ma Ax + By + C = 0, donde A; B y C son nú-
meros reales.
O X
Y
(0; b)
(a; 0)
Ax+By+C=0
L
Si la recta L interseca al eje de abscisas en
(a; 0) y al eje de ordenadas en (0; b), en-
tonces la ecuación de la recta es
L :
x
a
y
b
+ =1
Si multiplicamos toda la expresión por
a · b, resulta L : bx + ay – a · b = 0.
Sea b = A, a = B y – a · b = C, entonces la
ecuación puede expresarse como
L : Ax + By + C = 0.
La pendiente de L es m
b
a
A
B
= − = − .
Observación

30
19.O
Distancia de un punto a una recta
Es la longitud del segmento perpendicular, tra-
zado desde dicho punto a una recta dada.
P0 =(x0; y0)
d L : Ax+By+C=0
Sea P0 = (x0; y0) un punto exterior a la recta
L : Ax + By + C = 0, entonces la distancia de P0 a
la recta L es
d
A x B y C
A B
=
⋅ + ⋅ +
+
0 0
2 2
.
La distancia entre dos rectas paralelas es
igual a la longitud del segmento perpendicu-
lar a ambas rectas comprendido entre dichas
rectas.
d
L 2: Ax+By+D=0
L 1: Ax+By+C=0
Sean las rectas
L1: Ax + By + C = 0 y L2: Ax + By + D = 0,
entonces la distancia entre las rectas es
d
C D
A B
=
−
+2 2
.
Observación

31
PROBLEMA N.º 1
En el plano cartesiano, las rectas
L1: 3x + by – 12 = 0 y L2 : ax – 4y + 8 = 0 son per-
pendiculares. Halle
a b
a
+
.
Resolución
Sabemos que si la ecuación general de una rec-
ta es Ax + By + C = 0, entonces la pendiente de
dicha recta es m
A
B
= − .
Entonces, en el problema, las rectas L1 y L2
tienen pendientes m
b
1
3
= − y m
a
2
4
= .
Como las rectas son perpendiculares, entonces
el producto de sus pendientes es – 1.
Luego, −







 = −
3
4
1
b
a
, de donde
b
a
=
3
4
.
∴
a b
a
+
=
+
=
4 3
4
7
4
PROBLEMA N.º 2
Calcule el área de la región limitada por las rectas
L1: 3x + 4y – 12 = 0 y L2: 4x + 3y = 24 y los ejes
coordenados.
Resolución
Si expresamos las ecuaciones de las rectas de la
forma simétrica L1
4 3
1:
x y
+ = , entonces la recta
L1 corta al eje x en el punto B(4; 0) y al eje y
en el punto A(0; 3). Análogamente hacemos lo
mismo con la recta L2, entonces L2
6 8
1:
x y
+ =
y corta al eje x en D(6; 0) y al eje y en C (0; 8).
0
C
Y
D
X
B
A
0
1
1
2
2 3 4 5 6
x
4
y
3
+ = 1
x
6
y
8
+ = 1
3
4
5
6
7
8
9
– 3 – 2 – 1
– 1
7
L2
L1
Ahora calculamos el área de la región compren-
dida entre las rectas y los ejes coordenados.
Por diferencia de áreas: [ACDB] = [COD] – [AOB]
∴ ACDB[ ]= × − ×( )=
1
2
6 8 3 4 18 2
u
PROBLEMAS RESUELTOS

32
19.O
PROBLEMA N.º 3
La ecuación de una recta es ax + by + c = 0. Si dicha recta pasa por el punto (4; 6) y tiene pendiente
– 3/4, halle
a b
c
⋅
.
Resolución
Si la recta tiene pendiente −
3
4
, entonces
a
b
=
3
4
, luego a = 3k y b = 4k.
Como la recta pasa por el punto (4; 6), entonces 3k(4) + 4k(6) + c = 0, de donde c = – 36k.
Como a; b y c son enteros positivos y la expresión ax + by + c es irreductible, entonces
a = 3; b = 4 y c = – 36.
∴
a b
c
⋅
= −
1
3
PROBLEMA N.º 4
En el plano cartesiano, O es el origen de coordenadas, ABC es un triángulo equilátero y la pendiente
de la recta PC es 1. Halle la pendiente de la recta PB.
O B
A
C
Y
P
X
30º
Resolución
En el triángulo equilátero ABC, la m ACB = 60º, entonces el triángulo CAO es rectángulo recto en A,
en donde B es punto medio de OC.
Trazamos PH ⊥ x

H xen

( ).
Si la pendiente de la reta PC es 1, entonces la m PCH = 45º. Luego, si PH = 2a, entonces HC = 2a y
OC a= −( )2 3 1 , de donde BC a= −( )3 1 , luego BH a= +( )3 1 .
Por lo tanto, la pendiente de PB esm =
+
= −
2
3 1
3 1.

33
PROBLEMA N.º 5
En el plano cartesiano, se ubica el punto M
en el semieje positivo de las abscisas A(0; 7).
Además, el punto I(7; 12), la m IAM = 90º y la
proyección del punto I, respecto del eje de las
ordenadas, es el punto R. Si G es el incentro de
la región triangular ROM, y se trazan GN y GF
perpendiculares a los ejes coordenados (N y F
en los ejes), halle las coordenadas del baricen-
tro de la región triangular ONF. Considere que
O es el origen de coordenadas.
Resolución
Gráficamente
(7; 12)
MF(2;0)
2
5
12
7
5
2
(0;0)
R
Y
I
A
α
α
(0;7)
N(0;2)
XO
G
Q
Del dato I = (7; 12), entonces IR = 7 y OR = 12.
Como A = (0; 7), entonces OA = 7 y en conse-
cuencia AR = 5. Luego, si la m IAM = 90º, en-
tonces los triángulos IRA y AOM son congruen-
tes (caso L-A-L), de lo cual se concluye que
OM = 5.
En el triángulo rectángulo ROM, OR = 12 y
OM = 5, entonces RM = 13. Aplicando el teore-
ma de Poncelet, 12 + 5 = 13 + 2r.
Hallamos el inradio r = 2, luego GN = GF = 2, de
donde las coordenadas de N y F son (0; 2) y
(2; 0), respectivamente.
Como el problema nos pide calcular las coor-
denadas del baricentro de NOF; por lo tanto,
Q
N O F
=
+ +
=
( )+( )+( )
=




3
0 2 0 0 2 0
3
2
3
2
3
; ; ;
; .
PROBLEMA N.º 6
Se tienen los puntos A(0; 5), B(12; 0) y C ubi-
cado en el primer cuadrante. Si AC = CB y la
m ACB = 90º, halle la ecuación de la recta que
contiene a la bisectriz exterior en el vértice C
del triángulo OCB, donde O es el origen de co-
ordenadas.
Resolución
Gráficamente
α
α
O
45º
2
2
5
10H B
I
45º
45º
45º+α
45º+α
45º
A
C
Y
X
Como AC = CB
→ m CAB = m CBA = 45º

34
19.O
También, podemos observar que el cuadrilátero
OACB es inscriptible (m ACB + m AOB = 180º);
luego, por propiedad de estos cuadriláteros, la
m AOC = m COB = 45º.
Si desde B trazamos la bisectriz BI (siendo I el
incentro de AOB), la m ABI = mOBI = a. En-
tonces, la medida de los ángulos formados por
la bisectriz exterior trazada desde C en el trián-
gulo OCB es 45º + a.
Luego, podemos observar que dicha bisectriz
exterior es paralela con la recta BI; por lo tanto,
la pendiente de la bisectriz exterior es – 1/5.
Para hallar la ecuación de la bisectriz, solo falta
conocer las coordenadas del punto de paso C.
Del gráfico, observamos que
mBIC = mCBI = 45º + a,
→ CI = CB = AC =
13 2
2
.
Como OI = 2 2, entonces OC =
17 2
2
, de don-
de las coordenadas de C es
17
2
17
2
;



.
Ahora hallamos la ecuación de L, la bisectriz
exterior del triángulo OCB, entonces
L : y x−



 = − −




17
2
1
5
17
2
. Multiplicando todo
por 10, se obtiene L : 10y – 85 = – 2x + 17,
de donde L : 2x + 10y – 102 = 0; por lo tanto,
L : x + 5y – 51 = 0.

35
1. Si la medida del ángulo entre dos rectas
es 45º, entonces la relación entre sus pen-
dientes es (m1 y m2 son las pendientes de
dichas rectas)
A) m1 – m2 – m1 · m2 = 0.
B) m1 – m2 – m1 · m2 = 1.
C) m1 – m2 – m1 · m2 = – 1.
D) m1 – m2 + m1 · m2 = 1.
2. En el plano cartesiano se encuentra un
triángulo rectángulo ABC, recto en B. Si la
mBCA = 30º, A = (– 1; 1) y C = (3; 5), halle
las coordenadas del pie de la altura traza-
da desde B.
A) (2; 4)
B) (0; 2)
C) (1; 3)
D) (– 2; 0)
3. Se tiene un segmento AB, A = (– 2; 2)
y B = (4; 8). Se ubica P en AB, tal que
AP = 5(BP). Halle la suma de las coordena-
das del punto P.
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
4. En un plano cartesiano, el centro de coor-
denadas es el centro de una circunferencia
de radio 1. En en un punto P el mismo pla-
no tiene por coordenadas (3; 4). Calcule la
distancia de P a dicha circunferencia.
A) 2 B) 4
C) 6 D) 8
5. En un triángulo rectángulo ACB, recto en C,
A(– 8; 2) y B(4; 6). Determine las coordena-
das del vértice C si se sabe que pertenece
al semieje positivo de ordenadas.
A) (0; 2)
B) (0; 4)
C) (0; 10)
D) (0; 12)
6. En el gráfico, calcule las coordenadas del
punto medio de AB.
A
B
Y
X
(9; 3)
(a; 4)
A) (4; 3)
B) (2; 4)
C)
11
2
7
2
;




D)
13
2
7
2
;





36
19.O
7. En el gráfico, la m AB = 37º. Calcule
a
b
.
O
A
Y
X
(a; b)
B
A) 2 B)
1
2
C) 2 D)
3
5
8. En el gráfico, ABCD es un cuadrado. Halle
las coordenadas del baricentro de la re-
gión MAN.
DA
N
B
Y
M(6; 3)
(0; 0)
C
F
A) (8; 3) B)
8
3
3;




C) (3; 3) D) 3
8
3
;





37
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA
INTRODUCCIÓN
Las funciones son importantes y aún más
cuando se utilizan en el caso de modelos ma-
temáticos, en esta oportunidad se hablará de
la función exponencial y logarítmica y sus apli-
caciones en los modelos matemáticos.
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Una función exponencial tiene la siguiente for-
ma:
f(x) = ax; a > 0 ∧ a ≠ 1
El dominio de la función son los números rea-
les y su rango son los números reales positivos,
tiene dos gráficas posibles.
I. Si a > 1
f(x) =ax
Y
X
La función es creciente; además, si a > 1,
entonces am > an → m > n.
II. Si 0 < a < 1
X
Y
f(x) =ax
La función es decreciente; además, si
0 < a < 1, entonces am > an → m < n.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La función logarítmica tiene la siguiente forma:
f(x) = logax; a > 0 ∧ a ≠ 1
El dominio de la función son los números rea-
les positivos y su rango son los números reales,
tiene dos gráficas posibles.
I. Si a > 1
f(x) =logax
La función es creciente; además, si a > 1,
entonces logam > logan → m > n.

38
19.O
II. Si 0 < a < 1
f(x) =loga
x
La función es decreciente; además, si
0 < a < 1, entonces
logam > logan → m < n
Aplicación 1
Los médicos emplean yodo radioactivo como
trazador para diagnosticar ciertos trastornos
de la glándula tiroides. Este tipo de yodo se
desintegra de tal manera que la masa restan-
te después de t días se determina mediante la
función
m(t) = G · e – 0,069t
donde m(t) se mide en gramos. ¿Cuántos días
tienen que pasar para que se reduzca a la mi-
tad la masa inicial?
Considere Ln2 = 0,69
Resolución
La masa inicial se encuentra cuando t = 0, tene-
mos
m(0) = G · e – 0,069(0) → m(0) = G
Se pide
m t
G
G e t( )= = ⋅ − ( )
2
0 069,
Reduciendo

1
2
0 069
= −
e t,
Tomando logaritmo natural a ambos lados, nos
queda
Ln Ln
1
2
0 069


 = −
e t.
→ – Ln2 = – 0,069t = – 0,69
Entonces
t = 10
Por lo tanto, después de 10 días la masa será la
mitad de la masa inicial.
Aplicación 2
Se tiene una población de conejos que se com-
porta de acuerdo con el siguiente modelo:

n t t
( )=
+ × −
300
0 05 2 9 2 0 5
, , ,
donde t está en años. ¿Cuántos años tiene que
pasar para que la población sea de 200 conejos?
Resolución
Se busca el tiempo t tal que n(t) = 200, luego

n t t
( )=
+ ×
=−
300
0 05 2 9 2
2000 5
, , ,
Luego
1,5 = 0,05 + 2,9 × 2– 0,5t → t = 2
Por lo tanto, luego de 2 años la población de
conejos será 200 conejos.

39
Aplicación 3
La intensidad acústica de una onda sonora se
mide en decibelios (dB) y se calcula por
B
I
I
=



10
0
log
donde I es la intensidad acústica en la esca-
la lineal (W/m2), I0 es el umbral de audición
(10 – 12 W/m2). ¿Cuál será la intensidad acústi-
ca (I) que se genera en una biblioteca si genera
20 dB?
Resolución
Tenemos que

B
I
I
I
= =



 =



−
20 10 10
100
12
dB log log
Nos queda
2 = logI + 12 → I = 10 – 10
Por lo tanto, la biblioteca genera una intensi-
dad de 10 – 10 W/m2.
Aplicación 4
ParaencontrarelpH(potencialdehidrógeno)en
una disolución, se puede encontrar a través de
pH = – log[H+]
donde [H+] indica la concentración de iones de
hidrógeno. Si la cerveza tiene un pH igual a 4,5,
¿qué concentración de iones de hidrógenos
tiene la cerveza?
Resolución
Sabemos que
pH = 4,5 = – log[H+]
Luego
[H+] = 10 – 4,5 = 3,1622
Por lo tanto, la concentración de iones de hi-
drógeno que tiene la cerveza es 3,1622.
Aplicación 5
Un condensador cuya constante de tiempo es
20 acumula voltaje y al quitar la fuente de ali-
mentación se empieza a descargar por medio
de
v t v ef
t
( )= −( )−
1 20 .
Si vF = 240 V, ¿qué tiempo debe pasar para que
el voltaje sea 120 V?
Resolución
Del problema, sabemos que
v t e
t
( )= −( )=
−
240 1 12020
Luego
e
t
−
=20 0 5,
Usando logaritmo natural, tenemos

− = → =
t
t
20
0 5 13 86Ln , , s
Por lo tanto, dentro de 13,86 segundos el capa-
citor tendrá un voltaje de 120 V.

40
19.O
1. Un condensador cuya constante de tiempo
es 40 acumula voltaje y, al quitar la fuente
de alimentación, se empieza a descargar
por medio de
v t v eF
t
( )= −( )−
1 40
donde t es el tiempo en segundos. ¿Cuán-
to tiempo debe pasar para que el conden-
sador tenga la mitad del voltaje inicial?
A) 26,7 s B) 28,7 s
C) 26,7 s D) 27,7 s
2. Para encontrar el pH (potencial de hidró-
geno) en una disolución, se puede encon-
trar a través de
pH = – log[H+]
donde [H+] indica la concentración de io-
nes de hidrógeno. Una disolución es ácida
si su pH < 7, y es alcalina si pH > 7. Calcule
el pH del vinagre si su [H+] = 0,001995 e in-
dique si es alcalino o ácido.
A) 7,6 - alcalino
B) 2,7 - ácido
C) 2,9 - ácido
D) 7,3 - alcalino
3. La intensidad acústica de una onda sonora
se mide en decibelios (dB) y se calcula por

B
I
I
=



10
0
log
donde I es la intensidad acústica en la es-
cala lineal (W/m2), I0 es el umbral de audi-
ción (10 – 12 W/m2).
Si el umbral del dolor es de 140 dB y es al-
canzado por el motor de un coche de fór-
mula 1, ¿qué intensidad acústica (W/m2)
alcanza dicho motor?
A) 100 B) 1000
C) 500 D) 800
4. Se tiene el modelo logístico que determi-
na el crecimiento de una población de una
bacteria por medio de

x t
e
e
rt
rt
( )=
+ −( )
400
200 2 1
donde t es el tiempo en horas y r es una
constante de crecimiento. Si dentro de una
hora la cantidad de bacterias se duplicó,
¿dentro de cuánto tiempo se cuadriplicará
la población inicial?
A) 1 h 42 m B) 1 h 24 m
C) 1 h 34 m D) 1 h 12 m
5. El crecimiento poblacional de ciertos in-
sectos se puede encontrar por
P(t) = A · ekt
donde t es el tiempo en días, además A y
K son constantes. Si la población inicial es
2500, y dentro de una semana la población
es de 5000, ¿dentro de cuánto tiempo, en
días, se triplicará la población inicial?
A) 10,3 B) 14,4
C) 12,2 D) 11,1

41
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Concepto
Es una igualdad condicional entre dos expre-
siones trigonométricas, donde existe por lo
menos una variable denominada incógnita. Por
su estructura, una ecuación trigonométrica es
clasificada como una ecuación trascendental o
ecuación no algebraica.
Ejemplos
• cos2x = 1 + sen2x
• cot2x = 1 – tan2x
• senx = cosy
• sen2x = 2 · tanx
Solución de una ecuación
Es aquel valor que toma la incógnita y convierte
la ecuación en una identidad, es decir, hace ve-
rificar la ecuación. La ecuación trigonométrica
se puede definir en el estudio de las funciones
en variable real o a nivel de funciones aplicati-
vas en otras variables como la variable angular,
variable tiempo, etc., y en el campo complejo
con variable compleja.
Ejemplos
• Si senx =
1
2
; x ∈ 〈0; 1〉
En variable real, el número real
0,523598775598
o también representado por
p
6
es solución
de la ecuación.
• Si senα =
1
2
; a ∈ 〈0º; 90º〉
En variable angular, 30º es solución de la
ecuación.
Conjunto solución (CS)
Es el conjunto en el que todos los elementos
son una solución de la ecuación en discusión.
Ejemplos
• senx =
1
2
; x ∈ 〈0; p〉
Esta ecuación se verifica solo si x =
π
6
;
x =
5
6
π
. Entonces, siendo x variable real
CS =






π π
6
5
6
; .
• senx = 0
Esta ecuación en variable real establece
que
CS = {nπ}; n ∈ Z
•
3
2
0
tanx −
=
Esta ecuación no admite algún valor real
para x, entonces CS = { }.

42
19.O
Clasificación de una ecuación
según su conjunto solución
Ecuación compatible
Es toda ecuación que al menos tiene una so-
lución.
• Si el número de soluciones es finito, se le
denomina compatible determinada.
Por ejemplo, si senx = 0, x ∈ [0; p]; enton-
ces, su conjunto solución es {0; p}.
• Si el número de soluciones es infinito, se le
denomina compatible indeterminada.
Por ejemplo, si senx = 0, entonces su con-
junto solución asume infinitos valores re-
presentados por np.
Ecuación incompatible
Es aquella ecuación que no tiene solución, es
decir, su conjunto solución no tiene elementos.
También se le denomina ecuación inconsistente.
Por ejemplo, si resolvemos la ecuación

3
2
2 4
3
2tan
·tan
tanx
x
x−
+ = +
−
entonces la ecuación es incompatible debido a
que la igualdad nunca se verifica.
EcuaciónTrigonométricaElemental
Es aquella ecuación trigonométrica donde una
de las expresiones contiene un único operador
trigonométrico y la otra expresión es una cons-
tante real.
Las formas generales de las ecuaciones trigo-
nométricas más frecuentes son
sen(Bx + C) = N
cos(Bx + C) = N
tan(Bx + C) = N
En donde a x se le denomina la incógnita y es
considerada como una variable real, así como
también B; C y N son consideradas como cons-
tantes reales y B ≠ 0.
Criterios para resolver una ecuación trigono-
métrica
Para resolver una ecuación trigonométrica ele-
mental para el cálculo de la incógnita, se puede
emplear el criterio de la circunferencia trigono-
métrica o el de las gráficas de funciones según
se analice y se vea lo más conveniente.
Es así que se establecen las soluciones ya ge-
neralizadas para cada caso de cada ecuación
elemental, en donde N es una constante real y
x una incógnita.
senx = N ↔ x = np + (– 1)n arcsen(N); n ∈Z
cosx = N ↔ x = 2np ± arccos(N); n ∈Z
tanx = N ↔ x = np + arctan (N) ; n ∈Z

43
Criterio general para resolver
una ecuación trigonométrica
No existe un método único para resolver una
ecuación trigonométrica; sin embargo, en al-
gún caso siempre y cuando se pueda aplicarlo,
se recomienda emplear los siguientes criterios:
• Establecer la existencia de cada expresión
trigonométrica y de las posibles restricciones
que admita la variable, solo de ser necesario.
• Simplificar, de ser posible, la ecuación tri-
gonométrica hasta formar una ecuación
trigonométrica elemental empleando di-
versos criterios, uno de los más emplea-
dos es el de las identidades trigonométri-
cas o algebraicas, según sea el caso. Otro
criterio, dependiendo de la ecuación; por
ejemplo, puede realizarse por medio de
factorización del aspa simple, etc.
• A partir de la ecuación trigonométrica
elemental obtenida, se despeja la varia-
ble incógnita de acuerdo a los criterios
ya indicados según la complejidad de la
ecuación y su despeje de la incógnita.
Ejemplo
Calcule el conjunto solución de la siguiente
ecuación:
cotx – tanx = 2
Resolución
Nos piden el conjunto solución de la ecuación
dada.
Por identidad trigonométrica
cotx – tanx = 2cot2x
Luego
cot tanx x− = 2
2cot2x = 2
cot2x = 1
tan2x = 1
Entonces 2x = np + arctan(1)
x
n
= + ⋅
π π
2
1
2 4
∴ CS = +{ } ∈
n
n
π π
2 8
; Z

44
19.O
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA N.º 1
Calcule la menor solución positiva de la ecua-
ción sen2x + sen6x – 2sen4x = 0.
Resolución
Nos piden la menor solución positiva.
En la ecuación, no es necesario realizar restric-
ciones.
A partir de la ecuación trigonométrica dada.
sen2x + sen6x = 2sen4x
Aplicamos transformaciones trigonométricas.
2sen4xcos2x = 2sen4x
Analizando el operador cancelado, tenemos
que sen4x = 0; entonces, para esta ecuación, la
menor solución positiva es x =
π
4
.
Retomamos el análisis con los operadores que
quedaron en la ecuación, entonces cos2
1
2
x = ;
luego, la menor solución para esta ecuación es
x =
π
6
.
Por lo tanto, la menor solución positiva es
x =
π
6
.
PROBLEMA N.º 2
Calcule el conjunto solución de la ecuación
cos cos4
1
2
arc x( )= − .
Resolución
Nos piden el conjunto solución de la ecuación
cos cos4
1
2
arc x( )= − .
Empleamos las soluciones generales en una
ecuación trigonométrica elemental.
4 2
2
3
arccosx n= ±π
π
; n ∈ Z
arccos · ;x n n= ±( ) ∈6 2
12
π
Z
Analizando valores para n.
• Si n = 0, entonces x = cos
π
6
.
π
3
∧ x = cos
2
3
π
.
5
6
π
.
Por lo tanto, a partir de lo anterior, establece-
mos que
CS = ± ±






1
2
3
2
; .

45
PROBLEMA N.º 3
Calcule la suma de soluciones en el intervalo de
[0; p] en la ecuación
senx(senx + 1) + cosx(cosx + 1) + sen2x + cos2x = 0.
Resolución
Nos piden la suma de soluciones de la ecuación
dada.
Analizamos la ecuación.
senx(senx + 1) + cosx(cosx + 1) + sen2x + cos2x = 0
sen2x + senx + cos2x + cosx + sen2x + cos2x = 0
1 + cos2x + cosx + senx + sen2x = 0
2cos2x + cosx + senx + 2senxcosx = 0
senx + cosx + 2cosx(senx + cosx) = 0
(senx + cosx)(2cosx + 1) = 0
Analizamos cada factor en el intervalo de [0; p].
• Si senx + cosx = 0, entonces tanx = – 1,
por lo que x =
3
4
π
.
• Si 2cosx + 1 = 0, entonces cosx = −
1
2
,
por lo que x =
2
3
π
.
Por lo tanto, la suma de soluciones es
17
12
p
.
PROBLEMA N.º 4
Calcule la solución general de la ecuación
9 6 24 9 6 12sen senx x x x+ − =cos cos .
Resolución
Analizamos la ecuación.
9 6 24 9 6 12sen senx x x x+ − =cos cos
9 6 12 1 2 0sen cos senx x x x−( )− −( )=cos
9 6 12 0
2
sen cos senx x x x−( )− −( ) =cos
3 3 6 4 0sen senx x x x−( ) − −( )( )=cos cos
Analizando los factores
• senx – cosx = 0
tanx = 1 → x k= +π
π
4
; k ∈ Z
• 3 6 4 0− −( )=senx xcos → x = { }
Por lo tanto, de lo anterior, podemos afirmar
que
CS = +{ } ∈k kπ
π
4
; Z.
PROBLEMA N.º 5
Calcule el conjunto solución de la ecuación
2
3
1
2
3
2
sen
senπ πx x


 = −



cos
cos
.

46
19.O
Resolución
Analizando la ecuación dada
2
3
1
2
3
2
sen
senπ π·
cos
cosx x


 = −




2
3
2
3
2 2
sen
sen
sen
π π· cosx x


 =




sen
sen
sen2 2
3 3
0
π π· cosx x


 −



 =

sen sen sen sen
π π
3 3
0x x x x+( )


 −( )


=cos · cos
De la ecuación anterior podemos afirmar que

π
π
3
senx x k k±( )


 = ∈cos ; Z.
El único valor para k que hace que verifique la
ecuación es para k = 0.
→ senx ± cosx = 0
tanx = ±1
x k k= ± ∈π
π
4
; Z
∴ CS = ±{ } ∈k kπ
π
4
; Z

47
1. Al resolver la ecuación (tanx)2 + (cotx)2 = 2
y x ∈ IIC, calcule el valor de la expresión
sen2x + cos4x.
A) 0,6 B) – 2
C) 0,3 D) – 0,4
2. Si q es solución de la ecuación
cosx x− =sen 2,
calcule el valor de
cos5q + senq · cosq + sen5q.
A) 4 B) – 1/2
C) – 5 D) – 1
3. Dada la ecuación
tan cot cosx x x x+( ) − +( )=
2
2 2 0sen ,
indique el número de soluciones en 〈0; 2p〉.
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
4. De la ecuación senx = senx + cosx, calcule
la suma de soluciones en 〈0; 2p〉.
A)
7
4
p
B)
9
4
p
C)
12
5
p
D)
11
4
p
5. Resuelva la siguiente ecuación trigonomé-
trica
4 6 2 16 33
tan tan csc tanx x x x= + ( ) +
A)
k
k
π π
2 4
−{ } ∈; Z
B)
k
k
π π
2 12
±{ } ∈; Z
C)
k
k
π π
2 12
−{ } ∈; Z
D)
k
k
kπ π
2
1
12
+ −( ){ } ∈; Z
6. Halle la solución general de la ecuación
sen5x – senx = 3cos3x.
A)
k
k
π π
3 6
+{ } ∈; Z
B) 2
4
k kπ
π
+{ } ∈; Z
C) π
π
k k+{ } ∈
2
; Z
D) π
π
k k+{ } ∈
4
; Z

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