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Facultad de Ingeniería Hidráulica I
GENERALIDADES Y PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
1.1. Introducción.
1.1.1. Características de los fluidos.
De acuerdo al aspecto físico la materia puede Sólido
presentarse en la naturaleza en tres estados : Líquidos.
Gaseoso.
Los fluidos son substancias capaces de fluir y que se adaptan a la forma de los recipientes que lo contienen.
A diferencia de los sólidos y por su constitución molecular, los fluidos pueden cambiar continuamente la
posición de sus moléculas sin ofrecer resistencia al desplazamiento entre ellas.
El proceso de deformación continua que sufre un fluido en presencia de una fuerza se denomina Fluidez.
Cuando están en reposo, en el interior de los fluidos, no existen fuerzas tangenciales o cortantes a superficie
alguna, estas solo se presentan cuando el fluido esta en movimiento.
Todos los fluidos son compresibles en cierto grado y ofrecen poca resistencia a los cambios de formas,
adoptando la forma de los recipientes que los contiene.
Los fluidos no tienen forma propia.
Los fluidos poseen una propiedad característica de resistencia a la deformación cuando son sometidos a
esfuerzos tangenciales o de corte. Esta resistencia se llama “viscosidad”.
Ha diferencia de los sólidos los esfuerzos tangenciales que se producen en un fluido no dependen de las
deformaciones que experimentan, si no de la rapidez con que esta se produce, tal es así que la ley de
variación de los esfuerzos tangenciales y la rapidez con que se producen las deformaciones es distinta según
el fluido que se trate, dicha variación permite dividir los fluidos en dos grupos : Fluidos Newtonianos y los
Fluidos No Newtonianos.
En los fluidos Newtonianos el esfuerzo tangencial es directamente proporcional a la rapidez de deformación
angular a partir de valores cero. Los fluidos Newtonianos son el aire, agua y algunos fluidos minerales. En
los fluidos No Newtonianos la variación entre los esfuerzos tangencial y rapidez de deformación no es lineal
y depende de otros factores como son el tiempo, la temperatura, etc., por ejemplo: el betún, pinturas al aceite,
grasas, alquitrán, jabones. Etc.
τ
τ = Esfuerzo Tangencial
dy
dv = Rapidez de Deformación
dy
dv
Fluidos
Fluido No Newtoniano
Fluido Newtoniano.
1
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Los fluidos también pueden clasificarse según a la propiedad llamada “Compresibilidad, se clasifican en
líquidos y gases”.
Los líquidos tienen y ocupan un volumen definido que varía ligeramente con la presión y temperatura, al
colocar una cierta cantidad de un determinado líquido en un recipiente de mayor volumen este adopta la
forma del mismo y deja una superficie libre o de contacto entre el mismo fluido y su propio vapor, la
atmósfera u otro gas presente, en cambio los gases son fluidos que se expanden hasta ocupar el máximo
volumen que se les permita sin presentan una superficie libre alcanzando así su equilibrio estático.
En los sólidos las moléculas se encuentran relativamente cerca y ejercen fuerzas moleculares grandes que
hacen muy difícil su cambio de forma y volumen.
En los líquidos las fuerzas moleculares son suficientemente grandes para conservar el volumen pero no la
forma.
En los gases las distancias entre moléculas son grandes y las fuerzas intermoleculares son pequeñas, esto
hace que los gases cambien de forma y de volumen.
Los fluidos son considerados como un medio continuo para el estudio de las aplicaciones propias de la
ingeniería, ya que tomaremos parámetros o condiciones medias de la velocidad, presión, temperatura,
densidad, etc. Es por esto que en lugar de estudiar por separado la conglomeración, se supone que el fluido
tiene una distribución continua de materia sin espacios vacíos estudiándola como un todo.
1.1.2. Mecánica de Fluidos.
Es la ciencia en la cual los principios fundamentales de la mecánica general se aplican en el estudio del
comportamiento de los fluidos tanto en reposo como en movimiento y son los siguientes.
• Conservación de la materia
• Conservación de la energía.
• Las leyes de movimiento de Newton.
• Algunas leyes de termodinámica cuando se estudian fluidos compresibles.
1.1.3. Hidráulica.
Es la aplicación de la mecánica clásica al estudio del agua en específico, por ejemplo :
• Dotación de agua.
• Generación de energía.
• Diseño de presas y tanques de almacenamiento.
• Diseño de redes de alcantarillado.
• Riego.
En resumen tenemos que : Mecánica de Fluidos.............Estudio de todos los Fluidos.
Hidrodinámica......................Estudio de todos los Líquidos.
Hidráulica.............................Estudio solo del Agua
Esto se cumple para los fluidos tanto en reposo como en movimiento.
2
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1.2. Sistema de unidades.
1.2.1. Sistema Internacional de unidades (SI).
• La longitud [L] su unidad es el metro [m].
• La masa [M] su unidad es el kilogramo [kg].
• El tiempo [T] su unidad es el tiempo [s].
1.2.2. Sistema técnico de unidades (ST).
• La longitud [L] su unidad es el metro [m].
• La fuerza [F] su unidad es el kilogramo fuerza [kg-f].
• El tiempo [T] su unidad es el tiempo [s].
1.3. Propiedades de los fluidos.
1.3.1. Densidad, Peso específico y Densidad relativa.
La densidad [ρ] es la masa contenida en la unidad de volumen, sus dimensiones son [ML-3
]. Desde el
punto de vista matemático viene dada por :
V
M
Lim
V ∆
∆
=
→∆ 0
ρ
V
m
=ρ Unidades : SI ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3
m
kg
ST ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3
m
UTM
La densidad de los líquidos varía con la temperatura y no así con la presión.
Peso especifico [℘] es el peso por unidad de volumen, sus dimensiones son [FL-3
]. La densidad y el peso
especifico están relacionados por la gravedad.
g*ρ=℘ Unidades : SI ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3
m
N
ST ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
3
m
fkg
El peso específico además de variar con la temperatura varia con la aceleración de la gravedad.
Densidad relativa [δ] es un valor adimensional que viene dado por la relación del peso, masa, densidad o
peso especifico de un cuerpo con relación de una sustancia que se toma como referencia, las muestras
relacionadas o comparadas deben tener el mismo volumen. Los sólidos y líquidos se refieren al agua (a
20ºC), mientras que los gases se refieren a el aire.
f
S
f
S
f
S
f
S
m
m
W
W
ReReReRe ρ
ρ
δ =
℘
℘
===
Volumen especifico [VS] es el inverso de la densidad, es mas que todo usado en el estudio de los gases.
ρ
1
=SV
3
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Las propiedades de los fluidos caracterizan la condición o estado de un fluido y representan la estructura
molecular y el movimiento.
1.3.2. Propiedades relacionadas con la temperatura.
En un fluido la temperatura se relaciona con la actividad molecular que resulta de la transferencia de calor.
Las escalas de medidas se definen en los términos de expansión volumétrica de ciertos líquidos comúnmente
es utilizado el mercurio.
1.3.3. Viscosidad.
La viscosidad de un fluido es una medida de resistencia a fluir opuesta a las fuerzas cortantes, la viscosidad
se debe primordialmente como resultado de la interacción y cohesión de las moléculas del fluido.
El esfuerzo cortante [τ] es directamente proporcional al gradiente de velocidad, esa constante de
proporcionalidad es la viscosidad dinámica o absoluta :
dy
dv
µτ = O también
A
F
=τ
La viscosidad dinámica o absoluta [µ] tiene dimensiones de [FTL-2
] y sus unidades son :
Unidades : SI [ segPa
m
segN
*
*
2
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
] ST ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
2
*
m
segfkg
Para efectos prácticos conviene usar la viscosidad Cinemática, esta tiene las siguientes dimensiones [L2
T-1
] y
está dada matemáticamente por la siguiente expresión :
ρ
µ
γ = Unidades : ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
seg
m2
Para ambos sistemas.
1.3.4. Compresibilidad.
La compresibilidad en un fluido es una medida de cambio de volumen que experimenta y en consecuencia un
cambio en su densidad, pero mantiene constante su masa, esto cuando es sometido a diversas presiones.
Solo en fenómenos donde se producen incrementos o cambios violentos de temperatura y presión como ser
flujos con transferencia de calor, flujos a gran velocidad, el golpe de ariete, es que existen variaciones de
volumen y densidad que pueden ser consideradas, en otros casos no
Entonces, como no hay variación en la masa, decimos que dm=0 y con esta consideración obtenemos lo
siguiente:
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VE
d
dP
V
dV
dP
dP
ddV
V
dVdV
dVdVVddm
Vmdm
==−
=−
−=
=+==
==
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρρρ
ρ
/*
**
0**)(
0
De esta manera obtenemos el Módulo de Elasticidad Volumétrico [EV], el cual tiene las siguientes
dimensiones: [FL-2
], la mayoría de los líquidos tienen un modulo de elasticidad volumétrico grande que
depende de la temperatura.
El módulo se define como el cambio de presión dividido entre el cambio de volumen por unidad de volumen
o el cambio de densidad por unida de densidad.
El modulo de elasticidad volumétrico del agua varia principalmente con la temperatura.
La compresibilidad es el reciproco de el módulo de elasticidad volumétrico.
VE
1
=β
1.3.5. Tensión superficial [σ].
La tensión superficial describe las fuerzas que actúan en la interfaz de un gas y un líquido por ejemplo agua
y aire, entre dos líquidos ejemplo el agua y el aceite y entre un sólido y un gas, entre varios líquidos, en fin es
decir actúa en una frontera entre dos sustancias. Por ejemplo supongamos que tenemos una arandela
cuadrada con un lado móvil, la cual se encuentra con jabón formando una capa o pared como la de una
burbuja.
∆x
∆A
F
L
5
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Si queremos mover el lado móvil de la orquilla necesitaremos una fuerza F (considerando que no hay fuerza
de rozamiento al arrastrar la orquilla), ya que esta capa de jabón ejerce una fuerza contraria tratando de
impedir que esta capa sea rota o modificada, esta fuerza necesaria esta dada por :
LF **2 σ= Donde σ es la tensión superficial.
La tensión superficial tiene dimensiones de [FL-1
]. En ocasiones es mas conveniente utilizar términos de
energía de superficie en vez de tensión superficial.
La tensión superficial es el trabajo que hay que realizar para llevar moléculas en un número suficiente del
interior del fluido a la superficie para crear una nueva superficie libre.
W = F * ∆x
W = (2 * L * σ )* ∆x
W = 2 * σ * ∆A
1.3.6. Capilaridad.
La capilaridad es un fenómeno que esta íntimamente relacionado con la tensión superficial. La elevación o
descenso de un líquido en un medio capilar poroso no solo depende de la tensión superficial, depende
también de la cohesión de las moléculas que componen el líquido y de la adhesión de estas moléculas a la
superficie de contacto. Los líquidos ascienden en tubos que mojan (adhesión>cohesión) y descienden en
tubos a los que no mojan (cohesión>adhesión)
La capilaridad tiene importancia en tubos de diámetros aproximadamente menores de 10mm. Para tubos de
diámetros mayores de 12mm el efecto de la capilaridad es despreciable.
r
h
*
cos**2
℘
=
θσ
Donde :
σ = Tensión Superficial.
θ = Angulo entre la dirección
de la fecha y el eje de simetría.
℘ = Peso específico del líquido.
r = Radio del tubo.
h = Altura por capilaridad.
Si el tubo esta limpio, θ es 0º para el agua y 140º para el mercurio.
1.3.7. Presión de vapor o vaporización.
Cuando tiene lugar el fenómeno de la evaporación dentro de un espacio cerrado, la presión parcial a que dan
lugar las moléculas de vapor se llama presión de vapor.
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Es la presión que se encuentra el fluido en un ambiente cerrado que permite que las moléculas pasen del
estado líquido al gaseoso. Presión de vapor es debido a las partículas evaporadas. Presión de saturaciones
cuando alcanza el equilibrio entre las moléculas que pasan de líquido a gas y viceversa.
La presión de vapor depende de la temperatura.
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HIDROSTÁTICA
2.1. Introducción.
La estática de los fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo y cuando se trata
solamente de líquidos se denomina hidrostática. Desde el punto de vista de ingeniería civil es importante el
estudio de los líquidos en reposo y en particular el estudio del agua.
2.2. Presión.
El término presión se refiere a los efectos de una fuerza que actúa distribuida sobre una superficie. La fuerza
puede ejercerla un sólido, líquido o un gas. Frecuentemente, la fuerza causante de una presión es
simplemente el peso de una cuerpo o material.
La presión es una propiedad muy importante de los fluidos, la mayoría de los problemas de la mecánica de
fluidos implican la determinación de la presión de dicho fluido y los efectos que esta ocasiona sobre las
superficies que se encuentran en contacto con él, a diferencia de la densidad que generalmente es una
cantidad conocida en los problemas, la presión es una cantidad desconocida que se determina mediante el
análisis o la experimentación.
La presión de un fluido se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y actua normalmente a
cualquier superficie plana.
La presión se define como la fuerza compresiva normal por unidad de área que actúa sobre una superficie,
tiene dimensiones de [FL-2
], esta dada según :
Unidades: SI ST
A
F
p N
∆
∆
=
A
F
p = [ ]Pa
m
N
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
22
cm
fkg
m
fkg
Presión Absoluta = Presión Atmosférica Local + Presión Manométrica
La presión absoluta es aquella presión que esta referida a la presión cero, que es la mínima presión
alcanzable, es decir al vacío absoluto (valor de presión = cero).
Pm = Presión manométrica.
P abs = Presión absoluta. A
P abs(B)P = 0 (Vació absoluto)
B
P0 = Presión atmosférica local
Pm(A)
Pm(B) Pabs(A)
P abs = P0 + Pm
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La presión manométrica, relativa o diferencial, es aquella que se mide con la ayuda del manómetro y que se
encuentra referida a la presión atmosférica (como referencia) , los instrumentos usados para medir la presión,
en realidad miden la presión manométrica.
Se entiende el termino vacío, como el espacio donde la presión es menor que la presión atmosférica, esta
presión tiende a cero y vacío absoluto, cuando la presión en dicho espacio es cero.
2.3. Presión en un punto (Ley de Pascal).
En cualquier punto fijo de un fluido en estado de reposo tiene un único valor que es independiente de la
dirección, este postulado se conoce como la Ley de Pascal.
Si tomamos un elemento diferencial de una forma cualquiera, haciendo el análisis tenemos que :
ds
dx
ΣFx = 0 F2 – F3 sen θ = 0
P2dydz – P3dsdy sen θ = 0
ΣFy = 0 F1 – dw – F3 cos θ = 0
P1dxdy – dw – P3dsdy cos θ = 0
dz = ds senθ dx = ds cos θ
P2dyds sen θ - P3dsdy sen θ = 0
P2 = P3
Reemplazando.
P1dxdy - 1/2℘ dxdydz – P3dxdy = 0
P1 = P3
P1 = P2 = P3
F3
θ
Z
F2
dz
X
W F1
2.4. Ecuación fundamental de la hidrostática.
Aún cuando en un fluido estático la presión en un punto es la misma en todas las direcciones, esta puede
variar entre un punto y otro para evaluar esta variación examinaremos un elemento diferencial cúbico de un
fluido en reposo.
dzdxdy
y
P
2
1
P ••⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
+
dxdydz
z
P
2
1
P ••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
+
dzdxdx
x
P
2
1
P ••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
+
dydxdz
z
P
2
1
P ••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
−
dzdxdy
y
P
2
1
P ••⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
−
dzdydx
x
P
2
1
P ••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
−
dw
9
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0=
∂
∂
y
P
0=
∂
∂
x
P
Con estas ecuaciones demostramos que en un líquido en reposo no hay variación de presión en planos
horizontales.
La ecuación 2.7 demuestra que la presión varia con la profundidad es decir que la presión aumenta si se
desciende y disminuye si se asciende.
000
0
2
1
2
1
0
=
∂
∂
⇒=
∂
∂
⇒=•••
∂
∂
−
=••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
+−••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
−⇒=∑
y
P
x
P
dzdydx
x
P
dzdydx
x
P
Pdzdydx
x
P
PFx
g
z
P
ρ−=
∂
∂
Con esta ecuación podemos ver que la presión varía según la profundidad, el signo negativo es debido a que
la variación del eje z (profundidad) se mide a partir de la superficie libre del fluido hacia a dentro, entonces
viene a ser una distancia negativa relativamente cuyo signo se anula con el de la ecuación anteriormente
mencionada y así nos da una presión positiva.
g
z
P
dzdygdxdzdydx
z
P
dzdygdxdydxdz
z
P
Pdydxdz
z
P
PFz
ρρ
ρ
−=
∂
∂
=••−•••
∂
∂
−
=••−••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
−−••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
−⇒=∑
0
0
2
1
2
1
0
2.5. Variación de la presión en un fluido de densidad constante.
Si la ecuación del fluido es constante la ecuación 2.8 se puede integrar fácilmente.
o
P
( ) ZPPZZgPP
gdzdP
P
P
Z
Z
℘−=⇒−−=−
−=∫ ∫
000
0 0
ρ
ρ Donde la P0 = es la presión para Z0
Z = - h
Po
Z0
h
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La presión hidrostática es independiente del volumen o de la forma del recipiente que contiene el fluido en
estudio como se ha mostrado en las anteriores figuras (cuadrado, circulo, triangulo), únicamente depende de
la profundidad a la que se encuentra el punto en estudio.
Para Z tomamos como nivel cero la superficie libre de fluido, por lo tanto Z es negativo.
2.6. Diagrama de distribución de presiones.
A partir de la ecuación 2.10 se puede determinar la variación de la presión a lo largo de una determinada
superficie y graficar dicha variación obteniendo el respectivo diagrama de distribución de presiones.
El volumen (en modulo) que encierra el diagrama de presiones es igual a la fuerza hidrostática que ejerce
esta presión y la resultante siempre pasa por el centro de masa de dicho diagrama.
Superficie
P0
h
P0 ℘h
h
℘h
P0
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MEDICION DE PRESIONES
3.1. Manómetros simples.
Entre los manómetros simples mas importantes están:
Barómetro con el se pueden medir presiones atmosféricas.
Tubo piezométrico sirve para medir las presiones moderadas pequeñas y consiste en un tubo de sección
circular cuyo extremo superior esta en contacto con la atmósfera mientras que el interior se conecta con
la tubería o corriente en la que se pretende medir la presión.
2 1
La presión puede tener unidades de columna de fluido.
Nota. Si queremos tener unidades de altura de columna de fluido despejamos h.
Como en el punto 1 y el punto 2 el nivel es el mismo entonces:
P1 = P2
0 + ℘Hg * h = Patm
Patm = 760 mmHg = 1 atmósfera
A
Este piezómetro nos permite medir
presiones mayores a las atmosféricas
℘
h PA = ℘ * h
12
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0
P1 = P2
PB + ℘ * h = Patm
PB = - ℘ * h
h
B
1 2
Este piezómetro nos permite medir
presiones menores ala atmosférica.
PA = ℘Hg hHg +℘hh
A
B
hHg
3.2. Manómetros diferenciales.- Sirven para medir diferencia de presiones entre dos o mas puntos.
B
A
hM hB
hA
PA – PB =℘M hM - hB℘B +℘AhA
3.3. Manómetros Metálicos.
El mas usado el es llamado BOURDON, que nos permite medir presiones manométricas.
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Importante.- Para la solución de problema es muy útil tomar las siguientes consideraciones :
Cuando tengamos un manómetro y necesitemos calcular la presión manométrica, comenzamos de un
punto con una presión ‘P’, luego, si bajamos una altura ‘h1’ de un ‘X1’ fluido sumamos la presión
manométrica correspondiente, si subimos una altura ‘h2’ de un fluido ‘X2’ restamos la respectiva presión
manométrica. Por ejemplo :
Para calcular la presión en el punto A :
- Primero sabemos que : PH = PG , PF = PE , PD = PC
- Comenzamos en el punto I, donde la presión es igual
a la presión atmosférica local.
- Entonces : Ao PhhhhP =℘−℘+℘−℘+ 34231211
- De esa manera tenemos el valor de PA.
- Si queremos encontrar una diferencia de presiones entre un punto A y un punto B, únicamente lo que
hacemos es encontrar las presiones de cada punto por separado mediante el método anteriormente usado y
luego hacemos una resta común y corriente de ambas presiones.
Cuando tenemos un gas como fluido, la presión es la misma en cualquier punto que se encuentre en el
fluido, entonces en este caso la presión es independiente de la posición, sea en un plano horizontal o un
plano vertical, esto se debe a que como la densidad de un gas es muy pequeña, entonces se puede
despreciar, por lo tanto también podemos despreciar la presión que ejerce.
º A
PA = PB = PC
GAS º B
º C La presión es la misma en todos los puntos
independientemente de la posición.
Cuando tenemos los siguientes casos :
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Ejemplo 1.- Una altura de presión de 30 cm de mercurio a que altura de agua equivale, a que altura de aceite
equivale.
hHg * ϕHg = hH2O * ϕH2O hHg * ϕHg = hAceite * ϕAceite
hH2O = (hHg * ϕHg) / ϕH2O hAceite = (hHg * ϕHg) / ϕAceite
hH2O = (13.6 * 30) / 1 hAceite = (13.6 * 30) / 0.85
hH2O = 408 cm H2O hAceite = 480 cm Aceite
Cuanto equivale a [kg / cm2
].
P = 0.3 mm Hg * 13600 [kg /m3
]
P = 4080 [kg / m2
]
P = 0.408 [kg / cm2
]
Ejemplo 2.- Un líquido con viscosidad dinámica ν=1.5E-3
[ Kg–s /m2
] fluye sobre una pared horizontal,
calcular el gradiente de velocidades y el esfuerzo cortante en la pared a 2-3 cm de la misma. Suponiendo:
a) Una distribución lineal de velocidades.
b) Una distribución parabólica de velocidades.
Y = 0.03 [m] ν=1.5E-3
[ Kg–s /m2
]
V = 0.45 [m/s]
dx
dy
Solución a)
Para Y = 0; V = 0
v = 15 * y
[ ]
[ ]m03.0
s/m45.0
dy
dv
=
[ ]1
s15
dy
dv −
=
2
3
m
Kg
0225.0
5.1E5.1
dy
dv
=τ
∗=τ
∗µ=τ
−
15
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Solución b)
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
Y30Y500X
0X002.0Y06.0Y
45.0x0005.0403.0Y
0005.0P
045.0P4003.0
xxP4yy
2
2
2
2
0
2
0
+−=
=∗+∗−
−∗∗=−
=
−∗∗=−
−∗∗=−
)
v = -500Y2
+30Y
30Y1000
dy
dv
+−=
( )30Y1000E5.1
dy
dv
3
+−=τ
∗µ=τ
−
Y = 0.03 [m] ν=1.5E-3
[ Kg–s /m2
]
V = 0.45 [m/s]
Y(m) V (m/s) Y’ (s-1
) τ (Kg / m2
)
0 0.0000 30 0.0450
0.005 0.1375 25 0.0375
0.01 0.2500 20 0.0300
0.015 0.3375 15 0.0225
0.02 0.4000 10 0.0150
0.025 0.4375 5 0.0075
0.3 0.4500 0 0.0000
16
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Ejemplo 3.- ¿ En que dirección y con que valor debemos mover la placa inferior para que la placa del
centro este estática?
V = 2000Y
[ ]
[ ]m001.0
s/m0.2
dy
dv
=
[ ]1
s2000
dy
dv −
=
[ ]s/m55.8vGasolina
dy
725E6448.0
205.0
dv
8.9
1000
725.0OH
dy
205.0
dv
dy
dv
m
Kg
205.0
2000E25.10
dy
dv
002.0
0
6
VGasolina
0
2
Gasolina
Gasolina
2
5
=
∗
∗
=
∗=ρ⇒ρ∗δ=ρ
∗⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ρ∗ν
=
∗µ=τ
=τ
∗=τ
∗µ=τ
∫∫ −
−
δ Gasolina = 0.725
0.10 [cm]
0.20 [cm]Gasolina ν = 0.648E-6
[m2
/s]
H2O µ = 10.25E-5
[Kg-s /m2
]
V = 2 [m/s]
17
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Ejemplo 4.- La lectura del manómetro A colocado en el interior de un deposito de presión es 0.9 [Kg/ cm2
].
Otro manómetro B colocado en el exterior del deposito de presión conectado con el marca 1.4 [Kg /cm2
] de
presión y un barómetro marca 700 [mmHg]. Hallar la presión absoluta que mide A en [mmHg].
Datos
PA = 0.9 [Kg /cm2
]
PB = 1.4 [Kg /cm2
]
Patm = 750 [mmHg]
PA = P1 – P2 y PB = P2 – P3
P2 = PB + P3 P1 = PA + PB + P3
P1 = (0.9 + 1.4) [Kg /cm2
] + 750 [mmHg]
P1 = [23000/13600] + 750
P1 = 2441 [mmHg]
Ejemplo 5.- Determinar la cota en A.
P1 = P2 P2 = 0.2 [Kg/ cm2
] + 1000 [Kg/ m3
]*H
3
2
1
A B
P1 = P2h
h = 85.8 -A
H = 87.6 - A
Cota = ¿?
87.6 [m]
85.8[m]
90 [m]
δ = 1.60
δ =0.8
Aire
Aire
-23 [cmHg]
0.2 [Kg /cm2
]
18
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P1 = - 23 [cmHg] + 0.8*1000[Kg/ m3
]*4.2[m]+1.6*1000[Kg/ m3
]*h
P2 = 2000 + 1000*[87.6-A]
P1 = - 0.23*13600+3360+1600*[85.8-A]
P2 = 89600 – 1000 * A
P1 = 137512 – 1600 * A
600 * A [Kg/ m3
] = 47912 [Kg/ m2
]
A = 79.85 [m].
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FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS
4.1. Modulo de la fuerza.
θ
h = y * senθ
dF
hcg = ycg * senθ
cg
P = ℘ * h F = ℘ sen (θ) * ∫A y dA
dF = P * dA Pero : ∫A y dA = ycg A
dF = ℘h * dA F = ℘ *sen (θ) * ycg * A
dF = ℘sen (θ) y * dA F = ℘ * hcg * A ..... (4.1)
La ecuación (4.1) expresa que la fuerza que ejerce un líquido estático sobre una superficie plana sumergida
en el, es igual al producto de su peso específico por la profundidad de su centro de gravedad y el área de la
superficie de contacto.
El centro de gravedad es el punto de aplicación de la fuerza del peso en un cuerpo y que no varía su posición,
sea cual sea la posición del cuerpo.
4.2. Centro de presiones.- El centro de presiones es el punto donde se aplica la resultante de la fuerza
hidrostática, esta fuerza es siempre perpendicular a la superficie sobre la que se aplica.
y
X
Y
cp
F = ℘ hCG A dM1 = y dF
dA
h h CG
y
y CG
X
Y
dA
h
dFF
yCP
20
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dM1 = y ℘ sen(θ) y dA ⇒ M1 = ℘ sen(θ) ∫A y2
dA
M2 = yCP F ⇒ M2 = yCP ℘ sen(θ) ∫A y dA
Por el teorema de Barignon tenemos: M1 = M2
⇒ ℘ sen(θ) ∫A y2
dA = yCP ℘ sen(θ) ∫A y dA
∫
∫
=
A
A
2
CP
ydA
dAy
y
Y
CG
CP
X
En conclusión tenemos que :
cg
cg
cg
cp y
Ay
I
y +=
* θ
θ
sen
h
Ah
senI
y
cg
cg
cg
cp +=
*
*
Donde : Icg = Momento de inercia de la superficie.
A = Área de la superficie (de contacto).
ycg = Profundidad del centro de masa medida desde el eje coordenado inclinado (Y)
de referencia.
hcg = Profundidad del centro de masa medida desde la superficie libre del fluido.
θ = Ángulo de inclinación de la superficie plana.
IXX = ICG + A y2
CG
∫ y dA = yCG A
CG
CG
CG
CP y
Ay
I
y +
×
=
θsen
h
y cg
cg =
yCP yCG
21
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FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE SUPERFICIES ALABEADAS
5.1. Determinación de la componente de la fuerza en las tres direcciones.
Y , X forman la superficie libre del fluido.
dFx = ℘•z•ds•cos(α) ds•cos(α) = ds YZ
ds•cos(β) = ds XZ
ds•cos(Ω) = ds XY
dFx = ℘•z•ds•ds YZ Fx = ℘∫A z•ds YZ
Z
ds cos(Ω )
ds cos(α)
ds
Proyección
β
α
Ω
X
Y
( )
( )Ω••℘=
β••℘=
α••℘=
•℘=
•=
cosSdzFzd
)cos(SdzFyd
cosSdzFxd
SdzFd
SdpFd
Fx = ℘*ZYZ * Aproy YZ
Fy = ℘*ZXZ * Aproy XZ
dFz = ℘•z•ds•cos(Ω) dFz = ℘•z•ds XY
dFz = ℘•d VOL
Fz = W
La componente vertical de la fuerza es igual al peso del prisma de líquido que tiene por sección la superficie
alabeada y la proyección en un plano horizontal. Este volumen del prisma puede ser real o imaginario.
22
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∇
FV
YCP
FH
El punto de aplicación de la fuerza vertical coincide con el CG del volumen
del fluido que ejerce dicha fuerza sobre la superficie alabeada.
22
FVFHFR +=
FR
FV
FH
br
2
FV 2
××
π
×℘=
Volumen
resultante
V2
FV2
V1
FV1
R 2R
HCG YCP
FH
FV
Z
23
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En la anterior figura mostramos las fuerzas hidrostáticas sobre una compuerta circular, para el cálculo de las
componentes, vertical y horizontal, seguimos los siguientes pasos :
Para el cálculo de la componente horizontal :
Esta componente es igual a la fuerza que ejerce el fluido sobre la proyección de la superficie curva en un
plano vertical, es decir que proyectamos esta superficie curva sobre un plano vertical y hacemos el
estudio de esta proyección tomándola como una superficie plana y de esta manera obtenemos la
componente horizontal asiendo un análisis como en el capítulo anterior de fuerza hidrostática sobre
superficies planas.
Para el cálculo de la componente vertical :
En este caso la fuerza que ejerce el fluido es igual al peso del volumen de fluido que se encuentra sobre la
compuerta o superficie curva, este volumen puede ser real o imaginario, es decir que muchas veces no
hay fluido sobre la compuerta pero se considera como que si lo hubiera ya que la fuerza hidrostática es de
todas maneras equivalente a ese peso del volumen de fluido.
En la figura anterior podemos ver que son dos volúmenes los que se encontraban sobre la compuerta, un
volumen sobre la parte superior de la compuerta (cuarta circunferencia) el cual ejerce una fuerza
hidráulica vertical hacia arriba y otro sobre la parte inferior de la compuerta (la restante cuarta
circunferencia) que ejerce una fuerza hidráulica vertical hacia abajo, entonces lo que hacemos es una
resta de estos dos volúmenes y tendremos un volumen resultante que ejerce una fuerza hacia abajo que es
igual al peso de dicho volumen resultante. En este caso el volumen V1 es imaginario y V2 es en su mayor
parte imaginario, pero el volumen resultante es real.
En el caso anterior hubo que hacer una diferencia de volúmenes ya que en la compuerta se podían
presentar dos volúmenes sobre ella debido a su forma, en otros casos el volumen que se encuentra sobre
la superficie es único.
5.2. Tensión de tracción en una tubería.
Una tubería de sección circular sometido a la acción de una presión interna presentan esfuerzos de tracción
en su periferia.
La fuerza horizontal actúa sobre la proyección de la superficie curva.
FH = 2 * P * R [Kg/ m] Se toma por un centímetro de tubería
T1 = T2 = T = P * R
t
RP
t
T
STracción
×
=== t : Espesor de la tubería.
FH R
T2 = F tracción
T1 = F tracción
La presión del fluido se transforma
24
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Ejemplo.
Una tubería de acero de 10 cm de diámetro interior tiene una pared de 5 mm de espesor por una tensión de
tracción permitida de 25 [Kg/ mm2
.
Determinar la presión máxima que soporta.
Solución :
[ ]
[ ]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×
×⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
×
=→→
×
=
2
2
250
105
525
cm
Kg
P
cm
mm
cm
mm
mm
Kg
P
R
tS
Psabemos
t
RP
S
Altura de columna de agua :
[ ]
[ ]( )
[ ]OmmHh
cm
m
m
Kg
cm
Kg
P
hhP 2
3
3
3
2
2500
100
1
1000
250
=⇒
×⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
℘
=⇒×℘=
25
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EMPUJE Y FLOTACIÓN
6.1. Principio de Arquímedes.
La resultante de las fuerzas ejercidas por un fluido en reposo sobre un cuerpo sumergido o flotante se llama
empuje. El empuje siempre actúa verticalmente hacia arriba, las componentes horizontales de las fuerzas
hidrostáticas que actúan sobre el cuero se anulan siendo la resultante horizontal igual a cero.
V1
V2
...... (6.1)
La ecuación (6.1) es la interpretación matemática del Principio de Arquímedes que dice : todo cuerpo
sumergido en un líquido experimenta un empuje vertical ascendente igual al peso del volumen del líquido
desalojado. El punto de aplicación del empuje coincide con en centro de gravedad del volumen desalojado y
se conoce como Centro de flotación o de Carena.
( )
( )[ ]
6.2. Condiciones de equilibrio de los cuerpos flotantes.
El equilibrio de un cuerpo flotante se clasifica en tres tipos: Estable, Inestable e Indiferente.
Si una fuerza externa actúa sobre este cuerpo origina una inclinación lateral desestabilizando al mismo,
cuando esta fuerza deja de actuar el cuerpo vuelve a su posición original, entonces se dice que este cuerpo
está en equilibrio estable. Este tipo de equilibrio lo tienen los cuerpos con centro de gravedad bajo.
Un cuerpo tiene un equilibrio inestable cuando si la fuerza que actúa sobre el hace que este cambie de
posición, es decir que cuando la fuerza deja de actuar el cuerpo no vuelve a su posición inicial. Este
equilibrio lo tienen los cuerpos con centro de gravedad alto.
El cuerpo tiene un equilibrio indiferente si cuando actúa una fuerza sobre el, esta ocasiona que el cuerpo
comience a rodar manteniendo su posición de equilibrio. Esto sucede cuando el cuero tiene un centro de
gravedad medio. Por ejemplo una esfera.
En la siguiente figura daremos unos ejemplos de cómo son las formas de equilibrio y daremos una
equivalencia mecánica para un mejor entendimiento del procedimiento.
F1 = P0 dA
F2 = (P0 +℘z) dA
2V
00
12
2
dAzF
dAPdAzPF
dFdFF
R
V
A
R
A
R
A
R
℘
•℘=
•−•℘+=
−=
∫∫
∫∫
∫∫
43421
P0
dA
z
E
F =
26
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Equivalencias
F F
F
Inestable IndiferenteEstable
6.3. Estabilidad de cuerpos totalmente sumergidos.
Los submarinos y los globos meteorológicos son el ejemplo de cuerpos totalmente sumergidos.
La condición para estabilidad de cuerpos totalmente sumergidos en un fluido radica en que el centro de
gravedad del cuerpo debe estar por debajo del centro de flotación o Carena.
Por ejemplo supongamos un cuerpo cualquiera en ambas condiciones, primero que su centro de gravedad
este pro debajo del centro de flotación y segundo que su centro de gravedad este por encima del centro de
flotación, si aplicamos una fuerza para desestabilizar el cuerpo y luego la quitamos, esto es lo que sucede:
Condición estable Si aplicamos la fuerza y luego la quitamos :
E E E
C G
C
G G C
W
W W
(C arriba de G) (G arriba de C)
(se estabiliza) (se voltea)
F
F F
6.4. Estabilidad de cuerpos flotantes.
El metacentro (M), es la intersección del eje de simetría del cuerpo y la vertical que pasa por el nuevo centro
de flotación (C’) en la nueva posición.
27
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Un cuerpo flotante es estable si su centro de gravedad (G) esta por debajo del metacentro (M).
M CM = Altura del metacentro
c C CG = Altura del centro de
gravedad.
GM = Altura metacéntrica.
El calado de un cuerpo flotante (c) es la distancia mayor que se encuentra sumergido el cuerpo, esta distancia
es medida verticalmente desde la superficie libre del fluido.
G
W
E
C’
W
a G
C
E
b
W =E
℘S * a * b * d = ℘ * c * b * d
de esta manera obtenemos el calado de
un cuerpo (c) que esta dado por :
ac S
•
℘
℘
=
6.4.1. Determinación de la altura metacéntrica.
F
Vista lateral
G θ
Vista superior
∆W = ∆E = ∆F = Fuerza en las cuñas
Tomando momentos en C: E’r = ∆F•S
G
C
dA
X
∆E
y
Ereal Eoriginal
C’ C
dA
X
∆W
M
S
28
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dv = y •dA tg θ = y / x
dv = x •Tg (θ) •dA dE = ℘•dv
dE = ℘ • x • Tg (θ) • dA dM0 = dE • x
dE = ℘ • x2
• Tg (θ) • dA
M0 = ∫∫A ℘ • x2
• Tg (θ) • dA = ∆F • S
∆F • S = ℘ • Tg (θ) ∫∫A x2
• dA
∆F • S = ℘ • Tg (θ) • Ix
E’ = ℘ V Sumergido r = MC sen(θ)
E’S = ∆F•S
℘ VS• MC sen(θ) = ℘ • Tg (θ) • Ix
Para θ ≈ 0 (muy pequeño) ⇒ sen(θ) ≅ tg(θ)
SV
I
MC = GCMCMG ±= GC
V
I
MG
S
±=
Habrá estabilidad siempre y cuando MG > 0 ⇒ MC > GC.
Donde : I = Momento de inercia de la sección del cuerpo en contacto con el fluido (visto de planta).
VS = Volumen de cuerpo sumergido.
CM = Altura del metacentro.
GM = Altura metacéntrica.
CG = Altura del centro de gravedad.
Nota : El momento de inercia es de la sección del cuerpo que tiene contacto con el fluido, esto visto desde
arriba, es como que si hiciéramos un corte siguiendo la superficie libre del fluido y que corte el cuerpo, esa
sección que nos queda es sobre la cual sacamos el momento de inercia respecto del eje que pasa por su centro
de gravedad.
Utilizamos el signo (-) si el centro de gravedad (G) esta por encima del centro de flotación (C).
Utilizamos el signo (+) si el centro de gravedad (G) esta por debajo del centro de flotación (C).
6.5. Aplicaciones.
El densímetro ó hidrómetro se basa en el principio de Arquímedes y sirve para medir la densidad relativa de
un líquido en base al agua.
El experimento se presenta de la siguiente manera:
29
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De la anterior ecuación despejamos δx y obtenemos la densidad relativa que buscamos ya que los demás
parámetros son datos que se tienen o se pueden medir.
a
℘x
∆Η
a
℘0 V0 = ℘x (V0 – a * ∆Η)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−×=∆Η
+
×℘
×℘
−=∆Η
x
x
a
V
a
V
a
V
δ
1
10
000
℘0
W = ℘0 V0 W = ℘x (V0 – a * ∆Η)
30
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EQUILIBRIO RELATIVO
7.1. Introducción.
Se dice que un fluido esta en equilibrio relativo cuando estando en movimiento no cambia la posición relativa
de sus partículas comportándose como un sólido.
7.2. Aceleración lineal uniforme.
dw
Σ FX = dm • aX Σ FX = dm • aY
( )
YX
X
X
a
y
P
a
x
P
adzdydxdzdydx
x
P
admydzddx
x
P
Pdzdydx
x
P
P
ρρ
ρ
=
∂
∂
−=
∂
∂
−
•••=••
∂
∂
−
•=•⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−•⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
2
1
.
2
1
Σ FZ = dm • aZ
( ) ( )
( )Z
Z
Z
ag
Z
P
gdzdydxadzdydxdzdydx
Z
P
admdWdydxdz
z
P
Pdydxdz
z
P
P
+⋅=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
••••+••••=••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
•=−•⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−+•⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−
ρ
ρρ
2
1
2
1
Z
dydzdx
x
P
2
1
P ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
dxdydz
z
P
2
1
P ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
dydzdx
x
P
2
1
P ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
X
dxdydz
z
P
2
1
P ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
31
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Integrando la anterior ecuación tenemos que :
( ) ZagP Z ⋅±⋅−= ρ pero sabemos que : Z = - h
⇒ ( ) hagP Z ⋅±⋅= ρ
Esta ecuación nos permite calcular la presión de un fluido que se encuentra sometido a una aceleración lineal
constante sobre el eje vertical. Esta aceleración será (+) si el sistema esta ascendiendo y será (-) si el sistema
esta descendiendo.
Nota : La anterior ecuación sirve únicamente cuando el sistema se esta moviendo sobre el eje vertical (eje z),
en otro caso no sirve.
Cuando tenemos el caso que el sistema tiene una aceleración en una dirección cualquiera con un ángulo ¨α¨
de inclinación respecto de la horizontal (este ángulo no tiene nada que ver con las fórmulas que vamos a
encontrar), entonces dicha aceleración tendrá dos componentes (ax , az), entonces tendremos que :
( )( )
( )
( )
( )
dx
dz
tgademás
ag
a
dx
dz
dzgadxaaSi
dzgadyadxa
dzgadyadxadP
dz
z
P
dy
y
P
dx
x
P
dP
Z
X
ZXy
ZyX
ZyX
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
±
±
−=
=•++•⇒=
=•++•+•
=•+•+••+••−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
θ
ρρρ
:
00
0
0
Donde : θ = Es el ángulo que se inclina la superficie del fluido cuando este está en movimiento.
ax = Componente horizontal de la aceleración.
az = Componente vertical de la aceleración.
La componente vertical de la aceleración [az] es (+) cuando el sistema asciende y (-) cuando el sistema
desciende. Para el caso de la componente horizontal [ax] es (+) cuando el sistema va hacia la derecha y (-)
cuando el sistema va hacia la izquierda.
+z
En pocas palabras hay que tomar los signos de los ejes coordenados :
-x +x
-z
32
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La componente horizontal de la aceleración forma un ángulo ¨α¨ con la horizontal, no confundir este ángulo
con el ángulo ¨θ¨ de inclinación del fluido en movimiento el cual es usado en la anterior fórmula de la
tangente.
Si el sistema se mueve sobre el eje x ⇒ az = 0, lo único que hacemos es reemplazar este valor de az = 0 en la
anterior ecuación, entonces lo que nos queda es :
Z
X
ag
a
dx
dz
tg
±
±
−==θ ⇒
g
a
dx
dz
tg X±
−==θ
7.3. Velocidad angular constante.
Z
X
La anterior expresión, es la ecuación de la parábola que forma el fluido al estar sometido a un movimiento
giratorio, como el que se ve en la anterior figura.
Para el cálculo de las presiones en cualquiera de los casos tenemos que considerar los mismos conceptos de
un sistema estático donde P = ρgh solo que hay que considerar la presencia de la nueva aceleración o
aceleraciones y tomar en cuenta la deformación del fluido.
w
x
dP = - ρaX dx - ρaY dy - ρ(g + aZ)dz
aX dx + g dz = 0 pero : aX = aC w 2
x
⇒ w 2
x dx + g dz = 0
Integrando : ∫ w 2
x dx + ∫ g dz = ∫ 0
Cgz
x
w =+
2
2
2
Podemos concluir que :
2
2
2
x
g
w
z ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
33
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Ejemplo 1.- Hallar la fuerza de presión hidrostática.
Ejemplo 2.- Determinar el centro de presiones de la siguiente distribución de presiones.
Ejemplo 3.- Hallar la fuerza resultante sobre la compuerta.
FH = ℘ hCG A PROY
2
2
1
3
14
61000FH
×π
×⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π×
×
+×= FH = 10091.445[Kg]
Nota : - La fuerza horizontal se la calcula solo en la figura proyectada, tomando el centro de gravedad
de la misma figura proyectada.
H
A
B
θ
℘ hCG
F = ℘ hCG A
CG
CG
CG
CP y
Ay
I
y +
×
=
h
3
2
y
2
h
h
2
h
12
h
y
CP
3
CP
=
+
×
=
1 [m]
h
6 [m]
R = 1[m]H2O
34
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- Mientras que la fuerza vertical se la calcula en la superficie de la figura.
FV = ℘ VESFERA ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×π×××= 3
1
3
4
4
1
1000FV FV = 1047.1975[Kg]
22
FVFHFR += FV = 10145.633[Kg]
Ejemplo 4.- La compuerta articulada en B tiene dimensiones de altura 4 metros, ancho 3 metros y soporta
los tirantes de agua de 5 metros y 2 metros, entonces se requiere hallar:
a) La reacción en el apoyo en A .
b) La magnitud de la tensión necesaria para mover la compuerta, considerando despreciable la
fricción en la articulación.
F1 = ℘* hCG * A1 F1 = 6000 [Kg]
F2 = ℘* hCG * A2 F2 = 36000 [Kg]
1CG
11CG
1X
1CP Y
AY
I
Y +
×
= YCP1 = 1.333 [m]
2CG
22CG
2X
2CP Y
AY
I
Y +
×
= YCP2 = 3.444 [m]
Σ FX = 0 F1 – F2 + T cos(60) = 0
T = 60000 [Kg]
Σ MB = 0
T * cos(60) * 4[m] – F1 * YCP1 + F2 * (YCP2 – 1) = RA * 4 [m]
RA = 50000 [Kg]
3 m
4 m
F1
T
F21 m
2 m A
60º
5 m
4 m
35
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Ejemplo 5.- Determinar las presiones en A y B y cual es el volumen que se derrama del recipiente.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−=θ
ga
a
)(Tg
Z
X
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
∗
=θ
g30sen*a
30cosa
arcTg θ = 4.80º
X
h
)(Tg
∆
=θ
2
L
*X*)(Tgh θ=∆
2
1
*168.0h =∆ ∆h = 0.0839 [m]
Como la altura libre del fluido es 0.05 [m] y el ∆h = 0.0839 [m] se derrama líquido.
V Escurrido = V0 - VF V0 = 2 [m3
] y = 2 * Tg(θ)
y = 0.1679 [m] h? = 1.05 – 0.1679 h? = 0.882 [m]
[ ] [ ] [ ] [ ]m1*m2*
2
m882.0m05.1
VF
+
= VF = 1.932 [m3
]
V Escurrido = 0.068 [m3
]
PA = ℘* hA PA = 1000 [Kg /m3
] * 1.050 [m] PA = 1050 [Kg /m2
]
PB = ℘* hB PB = 1000 [Kg /m3
] * 0.882 [m] PB = 882 [Kg /m2
]
a = 1 [m / s]
30º
1.05 m 1 m
2 m
∆h
1 m
Y
h?
36
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Ejemplo 6.- Un cilindro de altura 6 metros y ancho 3 metros contiene agua hasta los 5 metros y se hace girar
a una velocidad angular de 40 rpm. Se quiere saber si se derrama agua y hallar la presión en B.
2
2
x
g2
w
Z = w = 40 rpm ⇒ w = 4.1888 [rad / seg]
( )2
2
2
m2
seg
m
81.92
seg
rad
1888.4
Z
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= Z = 3.5772 [m] ½Z = 1.7886 [m]
Como la superficie libre del cilindro sin líquido es 1 metro y ½Z = 1.7886 metros el cual es mayor se
derrama líquido.
PB = ℘* hB PB = 1000 [Kg /m3
] * (6 - 1.7886)[m] PB = 4211.4 [Kg /m2
]
Z
½ Z
½ Z
2 m 1m
5 m
w = 40 rpm
6 m
37
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HIDRODINÁMICA
8.1. Introducción.
La hidrodinámica trata de los fluidos en movimiento, a nosotros nos va a interesar como siempre estudiar el
agua. A lo largo de la historia los científicos han deducido ecuaciones empleando la teoría y la
experimentación para poder entender los fenómenos que se dan en el movimiento del fluido.
8.2. Campos de flujo.
Campo de flujo es cualquier región en el espacio donde hay un fluido en movimiento, en cada punto de este
flujo es posible determinar o especificar una serie de magnitudes físicas, que pueden se escalares, vectoriales
y tensoriales a su vez cada una de sus magnitudes forman campos.
Un campo escalar se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la cantidad física a lo cual
corresponde: la presión, densidad, temperatura.
Un campo vectorial además de la magnitud necesita definir una dirección y un sentido para la cantidad física
a la que corresponde estos son tres valores escalares.
Un campo tensorial requiere nueve o más componentes escalares como por ejemplo: Esfuerzo, Deformación
unitaria y Momento de Inercia.
Los campos escalares y vectoriales de un campo de flujo en general son funciones del espacio y del tiempo
ya que su magnitud puede variar no solo de un punto a otro sino también de un instante a otro.
8.3. Clasificación de los fluidos.
Existen diferentes criterios para clasificar un flujo y estos criterios han dado como resultado por ejemplo:
- Flujo Permanente y no permanente.
- Flujo Uniforme y o uniforme.
- Flujo Tridimensional, Bidimensional y Unidimensional.
- Flujo Laminar y turbulento.
- Flujo Incompresible y compresible.
- Flujo rotacional y irrotacional.
Cada un de estos flujos esta relacionado con cada efecto físico.
Se dice que un flujo es permanente cuando las características mecánicas del mismo no varían en el tiempo
pero pueden variar de un punto a otro.
Un flujo es permanente cuando: 000 =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
t
Q
tt
v ρ
Un fluido no es permanente cuando: 000 ≠
∂
∂
≠
∂
∂
≠
∂
∂
t
Q
tt
v ρ
38
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Un flujo uniforme es cuando la variación de la velocidad se mantiene constante en el espacio: 0
s
v
=
∂
∂
.
Un flujo no es uniforme cuando: 0
s
v
≠
∂
∂
.
Un flujo es tridimensional cuando las características varían en el espacio o sea que en el gradiente del flujo
existen tres direcciones, que es el caso mas general del flujo.
Un flujo es bidimensional cuando sus características son idénticas sobre una familia de planos paralelos no
habiendo componente en la dirección perpendicular de dichos planos es decir que el flujo tiene gradiente de
velocidad, de presión o ambas en dos direcciones exclusivamente.
Un flujo es unidimensional cuando sus características varían como funciones del tiempo y de una
coordenada curvilínea en el espacio, usualmente la distancia medida a lo largo del eje de conducción.
La clasificación de los flujos en laminar y turbulento es el resultado propiamente de la viscosidad del fluido
y no habría distinción entre ambos en ausencia de la misma..
En un instante (t)
En un instante (∆t)
No varían V, ρ, P en
un flujo permanente.V3, ρ3, P3
V2, ρ2, P2
V1, ρ1, P1
V1 = V2 = V3 en un tiempo (t)
V’1 = V’2 = V’3 en un tiempo (∆t)
V ≠ V’
V1, ρ1, P1
V3, ρ3, P3
V1, ρ1, P1
2D
3D
39
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El flujo laminar se caracteriza porque el movimiento de las partículas se produce siguiendo trayectorias
separadas perfectamente definidas, no necesariamente paralelas, sin existir mezcla macroscópica o
intercambio transversal entre ellos, si se inyecta un colorante de la misma densidad del líquido dentro de un
flujo laminar este se mueve como un filamento delgado que sigue la trayectoria del fluido.
El flujo turbulento se caracteriza porque las partículas se mueven en trayectorias totalmente caóticas
desordenadas, pero es lo que se da en la realidad.
La clasificación de los flujos en compresible o incompresible son el resultado propio de la densidad.
Un flujo es compresible cuando se tiene una variación de la densidad.
Un flujo es incompresible se tiene un densidad constante.
Se dice que el flujo es rotacional cuando el flujo además de que sus partículas fluyen también rotan, esto
sucede cuando las partículas se encuentran apegadas a las paredes y un flujo es irrotacional cuando sus
partículas se encuentran en movimiento pero no rotan.
8.4. Métodos para describir un flujo.
Con el fin de obtener la representación completa de un fluido es necesario determinar la presión de cada
partícula en cada instante y después identificar la velocidad en cada posición a medida que el tiempo
transcurre.
Método de Euler (Euleriano). Consiste en determinar las características cinemáticas en cada punto de un
flujo y en cada instante sin considerar el destino que tenga cada partícula individual, elegida la posición de
una partícula en el espacio en las cuales sus características cinemáticas son funciones del tiempo.
Método de Lagrange. Consiste en determinar las características cinemáticas del movimiento de cada
partícula en cada instante siguiendo su recorrido, entonces cada característica es función del espacio y del
tiempo.
Euler evalúa a la partícula en una
ventana sin que le involucre el
origen y el destino.
r1
r2
r3
Lagrange sigue la trayectoria de la partícula
8.5. Líneas de corriente, trayectoria y tubo de flujo.
De este flujo conocemos su campo de velocidad, se define flujo de corriente a toda línea trazada idealmente
en el interior de un campo de flujo de manera que la tangente en cada uno de sus puntos proporcione la
dirección del vector velocidad correspondiente al punto mismo.
40
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Pueden ser representadas por ecuaciones:
Z
Z
Y
Y
X
X
ZZ
YY
XX
V
d
V
d
V
d
dtVd
dtVd
dtVd
dtVds
dt
ds
V
==
•=
•=
•=
•=⇒=
Tubo de corriente es l agrupación de varias líneas de corriente.
La trayectoria es la línea que describe idealmente una partícula de flujo al moverse.
Cuando un flujo es permanente la línea de corriente coincide con la trayectoria de las partículas.
V1
V2
Las líneas de corriente de
flujo no se cortan
Tubo de corriente
Línea de corriente
Trayectoria de la partícula (No
coincide con la línea de flujo en
general).
41
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8.6. Concepto de gasto o caudal.
dS
dA
S
V
dVol = dS • dA
dS = V • dt
dVol = V • dA • dt
AVQ
A
Q
V
A
dAV
V
dAVQ
dAV
dt
dVol
dQ
A
A
⋅=⇒=
•
=
•=
•==
∫∫
∫∫
V dA
8.7. Ecuación fundamental de la hidráulica.
a) Conservación de la materia. (Principio de continuidad)
b) Segunda Ley de Newton. (Impulso y cantidad de movimiento)
c) Conservación de la energía. (Primera Ley de la termodinámica).
d) Segunda Ley de la termodinámica.
El principio de conservación de la materia o movimiento nos permite derivar la primera ecuación
fundamental o de continuidad que admite diferentes simplificaciones de acuerdo al tipo de flujo que se trate o
de la hipótesis que se deseen considerar.
La segunda Ley de Newton establece la relación fundamental entre la resultante de las fuerzas que actúan
sobre la partícula y la variación en el tiempo de la cantidad de movimiento de acuerdo a la forma en que este
se aplique puede conducir a dos ecuaciones la primera que es una componente escalar según el flujo
llamada de energía que permite calcular las diferentes transformaciones de la energía mecánica dentro del
flujo y las cantidades disipadas en energía calorífica que en el caso de los líquidos no se aprovecha. La
segunda de tipo vectorial llamada de impulso y de cantidad de movimiento permite determinar algunas
fuerzas que produce el flujo si se conoce el cambio e cantidad de movimiento y las restantes fuerzas.
8.8. Volumen de control.
Un volumen de control es un espacio imaginario que esta dentro de un campo de flujo fijo dentro de un
sistema de coordenadas y de forma y magnitud constantes, el contorno de dicho volumen se llama superficie
de control. En el análisis se considera el intercambio de masa, energía, cantidad de movimiento a través de
las fronteras del volumen de control que pueden ser de diferente tamaño diferencial o de magnitud finita la
integración aproximada de las ecuaciones del movimiento dentro de una vena líquida o tubo de flujo,
simplifica la solución y equivale a utilizar volúmenes finitos de control.
42
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El procedimiento consiste el suponer que el movimiento del líquido en cualquier conducción se estudia
como si fuera una vena líquida o tubo de flujo tanto en el caso de conducciones forzadas o a presión
(tuberías) por las paredes rígidas de la frontera, como el caso de conducciones abiertas (canales) en parte por
paredes rígidas y en parte con la superficie libre del fluido en contacto con la atmósfera.
Vena líquida o tubo de
flujo, la pared coincide
con la superficie del
cuerpo.
8.9. Ecuación de continuidad.
Se deriva del principio de conservación de la materia.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 0
0
2
1
2
1
=
∂
•••∂
+•••⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
•••
∂
∂
•••
∂
∂
•••
∂
∂
=••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
−−••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
+
t
dzdydx
dzdydx
z
V
y
V
x
V
dydxdz
z
V
dzdxdy
y
V
dzdydx
x
V
dzdydx
x
V
Vdzdydx
x
V
V
ZYX
ZYX
X
X
X
X
ρρρρ
ρρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
QQ
( )
dzdydx
x
V
2
1
V X
X ••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
ρ∂
−ρ
ρV
( )
dzdydx
x
V
2
1
V X
X ••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
ρ∂
+ρ
dy dx
dz
43
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Como el volumen de control no cambia en el tiempo (t) toma la siguiente forma:
( ) ( ) ( )
( ) 0
0
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
t
Vdiv
tz
V
y
V
x
V ZYX
ρ
ρ
ρρρρ
Las ecuaciones anteriores son dos formas de expresar la ecuación diferencial de continuidad que vale en
general para un flujo compresible y no permanente.
a) Compresible y permanente. 0
t
=
∂
ρ∂
div(ρV) = 0
b) Incompresible y no permanente ρ = Cte. div(V) = 0
c) Incompresible y permanente ρ = Cte. div(V) = 0 0
t
=
∂
ρ∂
8.9.1. Ecuación de continuidad para una vena líquida o una vena de corriente.
( ) ( ) ( ) ( )
0
dt
d1
dt
dA
A
1
s
V
0
dt
ds
dt
d
t
1
t
A
dt
dA
s
A
As
V
A
1
0
dt
ds
st
A
t
A
dt
ds
s
A
s
V
A
dt
ds
V0
t
a
t
A
s
VA
s
V
A
s
A
A
0
t
A
s
VA
0ds
t
A
ds
s
VA
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ρ
ρ
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ρ
+
∂
ρ∂
ρ
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂ρ
+
∂
∂
ρ
⇒=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
ρ+
∂
∂
ρ
=⇔=
∂
ρ∂
+
∂
∂
ρ+
∂
ρ∂
+
∂
∂
ρ+
∂
∂
ρ
=
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
⇒=•
∂
ρ∂
+•
∂
ρ∂
La anterior ecuación de continuidad donde se produce un flujo no permanente y compresible.
Si el flujo es permanente la ecuación tendría la siguiente forma:
-VAρ
dA dS
V2 A2 ρ2
V1 A1 ρ1
dS
( ) ds
s
VA
VA •
∂
ρ∂
+ρ
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( ) .cteVA0
s
VA
0
t
0
t
V
=ρ⇒=
∂
ρ∂
⇒=
∂
ρ∂
⇒=
∂
∂
Si el flujo es permanente y incompresible tendría la siguiente forma:
( )
QAVAV
.cteVA.cte0
s
VA
2211 ==
=⇒=ρ⇒=
∂
ρ∂
Esta última ecuación es la de continuidad para una avena líquida donde se produce un flujo permanente e
incompresible.
8.10. Ecuación de la energía.
dndbds
s
P
2
1
••⎟
⎠
⎞
⎜
⎛
•
∂
∂
+τ
⎝
dndbds
s
P
2
1
••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
−τ
dsdbdn
n
P
2
1
P ••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
−
dbdnds
s
P
2
1
P ••⎟
⎠
⎞
⎝
•
∂
∂
+⎜
⎛
dsdbdn
n
P
2
1
P ••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
+
dndbds
s
P
2
1
P ••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
−
db
ds
dn
ρg•db•ds•dn
P, V, ρ, τ
Z
a) dbdnds
s
P
dndbds
s
P
2
1
Pdndbds
s
P
2
1
P •••
∂
∂
−=••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
+−••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
−
b) dbdsdn
n
P
dbdsdn
n
P
2
1
dbdsdn
n
P
2
1
•••
∂
∂
−=••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
+τ−••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
−τ
45
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( ) ( )
s
z
dndsdbg
s
z
coscosdndsdbg
∂
∂
••••ρ−∴
∂
∂
=θ⇒θ••••ρ−
t
v
dt
ds
s
v
s
z
g
n
1
s
P1
t
v
dt
ds
s
v
dndbdsgdndbds
s
z
g
ns
P
t
v
dt
ds
s
v
adt
t
s
ds
s
v
dv
ds
dv
a
adndbdsgdndbds
s
z
g
ns
P
adm
s
z
dndbdsgdbdsdn
n
dbdnds
s
P
admF
S
S
SS
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
τ∂
ρ
+
∂
∂
ρ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
••••ρ=••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
•ρ−
∂
τ∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=∴•
∂
∂
+•
∂
∂
=⇒=
••••ρ=••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
•ρ−
∂
τ∂
+
∂
∂
−
•=
∂
∂
••••ρ−•••
∂
τ∂
+•••
∂
∂
−
•=∑
Esta última es la ecuación diferencial del movimiento o ecuación diferencial de Euler.
1 2 3 4 5
1) Se debe a la diferencia de presión (gradiente) en la línea de corriente.
2) Fuerza por unidad de masa debido a la fricción interna entre partículas del fluido que se oponen al
movimiento (disipación de energía a calor).
3) Es la fuerza por unidad de masa debido al peso del elemento que estamos considerando.
4) Representa el cambio de energía cinética que experimenta, la masa a lo largo de toda la línea de
corriente.
5) Es la aceleración local que experimenta la unidad de masa.
En el sentido normal:
R
v
n
z
g
s
P
R
v
dndbdsgdndbds
n
z
g
s
P
adm
n
z
dndbdsgdndbds
s
P
2
2
n
−=
∂
∂
•ρ−
∂
∂
−
••••ρ−=•••⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
•ρ−
∂
∂
−
•=
∂
∂
••••ρ−•••
∂
∂
−
Nos permite hacer el análisis de las fuerzas en sentido normal a la superficie [F m].
Análisis en el sentido de la binormal ( no existe aceleración).
0
P
z
g
b
P1
=
∂
∂
•−
∂
∂
ρ
−
Ecuaciones del movimiento para flujos compresibles y no permanentes.
46
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8.10.1. Ecuación del movimiento para una línea de corriente.
( )tcds
t
v
g
1
ds
ng2
vP
z
ds
t
v
g
1
ds
n
dzdvv
g
1
dP
1
ds
t
v
g
1
ds
n
ds
ds
dz
ds
ds
dv1
ds
ds
dP1
ds
t
v
g
1
ds
s
v
v
g
1
ds
s
z
dn
n
1
ds
s
P1
)ds(dividido
t
v
g
1
s
v
v
g
1
s
z
n
1
s
P1
2
+
∂
∂
+−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
℘
τ
∂
∂
−+
℘
+
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
℘
τ
∂
∂
−=−•+
℘
−
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
℘
τ
∂
∂
−=−
℘
+
℘
−
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
τ∂
℘
+
∂
∂
℘
−
⇒
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
τ∂
℘
+
∂
∂
℘
−
∫
∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
℘
τ
∂
∂
− ds
n
: Es la energía por unidad de peso utilizada para vencer las fuerzas de fricción, se transforma
en energía calorífica no aprovechable por esta razón se la considera como perdida de energía; por ello se lo
denomina hf.
∫ +
∂
∂
−=−+
℘
+ )t(cds
s
v
g
1
hf
g2
vP
z
2
a) Permanente 1Chf
g2
vP
z0
t
v 2
=−+
℘
+∴=
∂
∂
b) Sin fricción .cte
g2
vp
z0
2
=+
℘
+∴=τ
A la ecuación anterior se la conoce con el nombre de ecuación de Bernoulli para una línea de corriente. Para
la normal se tiene la siguiente ecuación.
.
1
1
2
2
ctez
P
R
g
dn
R
v
dzdP
g
dn
entredividiendo
R
v
n
z
g
n
P
=+
℘
∞=⇒−=−−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⇒−=
∂
∂
−
∂
∂
−
ρ
ρ
47
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8.10.2. Ecuación de la energía para un tubo de corriente o una vena líquida.
∫∑
∫∫
∫∫
•
∂
∂
−α+
℘
+=−α+
℘
+
α+
℘
++•
∂
∂
−=•⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
℘
τ
∂
∂
−α+
℘
+
•⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=β
•
∂
∂
−=•⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
℘
τ
∂
∂
−•α+
℘
+
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
A
2
ds
t
BV
g
1
g2
VP
Zhf
g2
VP
Z
g2
VP
Zds
t
BV
g
1
ds
ng2
VP
Z
dA
V
v
A
1
ds
t
BV
g
1
ds
n
dvv
g
1
dP
1
dz
Donde:
Z: Energía potencial por unidad de peso, carga de posición en que esta referido a un plano horizontal de
referencia [FL/F] ⇒ [L].
P/℘: Energía por unidad de peso correspondiente al trabajo mecánico, ejecutado por las fuerzas debidas a la
presión, también conocida como carga de presión.
V2
/2g: Energía cinética del tubo de corriente por unidad de peso conocida también como carga de
velocidades.
Σhf: Perdida de energía por unidad de peso debido a las fuerzas cortantes internas que tiene el fluido o
perdida de carga.
cte
g2
vP
z
2
=α+
℘
+
v
La velocidad no se distribuye.
dA
V
v
A
1
3
A
•⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=α ∫∫
A: Área de la sección.
v: Distribución de velocidades
V: Velocidad media
α: Coeficiente de Coriolis.
V
48
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∫ •
∂
∂
2
1
ds
t
BV
g
1
: Energía por unidad de peso debido a la variación local de velocidad.
a) ∫ •
∂
∂
2
1
ds
t
BV
g
1
[Permanente] b) Σhf [Sin fricción]
g2
VP
Z
g2
VP
Z
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 α+
℘
+=α+
℘
+
Ecuación de Bernoulli para un tuno de corriente.
La línea de energía o de alturas totales unen los puntos que indican en cada sección, la energía total de la
corriente; es decir la energía debida a la presión, velocidad y potencial.
Esta línea no puede ser horizontal y decrece en sentido del flujo, si no se añada energías externas..
La diferencia de nivel de la línea de corriente entre dos puntos representa la perdida de carga o disipación de
la energía por unidad de peso del líquido que fluye.
La línea piezométrica une los puntos que marcan en cada sección, la suma de las energías debido a la
posición y a la presión, esta línea esta separada de la línea de energía una distancia igual a
g2
V2
2
2α .
La línea de energía y la línea piezométrica son paralelas en tramos donde se tiene sección constante estas
líneas se unen en puntos donde el fluido esta en reposo. En los tramos donde la línea piezométrica se
encuentran por debajo del eje de simetría del tubo de corriente se producen presiones negativas.
Σhf
g2
V2
2
2α
P1 /℘
P2 /℘
Z 2Z 1
Línea de energía o línea de energías totales.
Línea piezométrica.
g2
V2
1
1α
49
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Generalización de la ecuación de Bernoulli.
g2
VP
ZHHH
g2
VP
Z
2
2
2
2
2LEA
2
1
1
1
1 α+
℘
+=−−+α+
℘
+
HA: Energía por unidad de peso que se añade al flujo en el tramo considerado.
HE: Energía por unidad de peso que se extrae del flujo en el tramo considerado.
HL: Energía por unidad de peso perdida en el tramo considerado.
P Negativa
Carga de presión
8.10.3. Potencia hidroeléctrica generada.
h
Energía entre el punto 1 – 2.
g2
VP
ZHHH
g2
VP
Z
2
2
2
2
2LEA
2
1
1
1
1 α+
℘
+=−−+α+
℘
+
No existe energía añadida de fuera del sistema. V1 = 0
0
50
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g2
V
ZHHZ
2
2
22LE1 α+=−−
[ ]WattsHQP
g2
V
HhH
g2
V
HZZH
EG
2
2
2LE
2
2
2L21E
××℘×η=
α−−=
α−−−=
Donde: η: Representa el rendimiento del conjunto de una turbina, generador, resulta de la multiplicación de
la eficiencia de la turbina, eficiencia del generador y la eficiencia del transformador las cuales nos da el
fabricante.
η = ηT · ηG · ηTRANS
8.10.4. Potencia de bombeo.
En el anterior caso extraíamos energía mientras en este caso generamos energía.
g2
VP
ZHHH
g2
VP
Z
2
2
2
2
2LEA
2
1
1
1
1 α+
℘
+=−−+α+
℘
+
V1 = 0; V2 = 0; atm
PP 21
=
℘
=
℘
Z1 + HA – HL = Z 2 HA = Z 2 – Z1 + HL HA = h - HL
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −⋅⋅℘
=
s
mKgHQ
P A
B
η
h
2
1
0
51
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Donde: η: Eficiencia de la bomba que depende de la eficiencia volumétrica [ηV]; eficiencia mecánica [ηM]
y la eficiencia hidráulica [ηH]. Estos dados por el fabricante.
[ ] [ ]HP
HQ
PCV
HQ
P A
B
A
B
ηη ×
××℘
=
×
××℘
=
7675
Aplicación del tubo de Pitot (Sirve para determinar velocidades en el flujo).
g2
VP
ZHHH
g2
VP
Z
2
2
2
2
2LEA
2
1
1
1
1 α+
℘
+=−−+α+
℘
+
Z1 = Z 2; V2 = 0;
P1 = ℘· h; P2 = ℘[h · ∆h]
Por consiguiente: hgV ∆⋅⋅= 21
Aplicación del tubo Venturi o venturímetro. (sirve para determinar caudales).
g2
VP
ZHHH
g2
VP
Z
2
2
2
2
2LEA
2
1
1
1
1 α+
℘
+=−−+α+
℘
+
V1A1 = V2A2 = Q pero sabemos que:
2
2
1
1 ;
A
Q
V
A
Q
V ==
1 2
h
∆h
52
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( )
( )( )
( )
( ) ( )
2
2
2
1
21
2
1
2
2
22
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1212
12
21
2121
2
2
2
1
2
2112
2
2
2
0
2
;
11
2
1
AA
gh
AAQ
AAQAAhg
AA
AA
g
Q
h
AA
AA
g
Q
ZZhZZ
ZZh
PP
yPZZyhP
AAg
Q
PPZZ
−
=
−=⋅⋅⋅−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
−
+=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
−
+−+=−
−+=
℘
−
⋅℘=−++⋅℘=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+−
℘
=−
Con esta última determinamos el caudal teórico.
V1
V2
h
y
Z 2 – Z 1
2
1
8.11. Ecuación de la cantidad de movimiento.
La ecuación de la cantidad de movimiento proviene de la consideración del carácter vectorial de la 2º
principio de Newton y establece que el impulso es igual a la cantidad de movimiento siendo ambas
cantidades vectoriales. El impulso es la resultante de las fuerzas que actúan sobre un determinado volumen
de control multiplicado por el tiempo que ellas actúan. La cantidad de movimiento es el producto de la masa
por la velocidad que por supuesto tiene la misma dirección de la fuerza resultante señalada.
dFx•dt = d[MV]X dFx•dt = ρdA•ds•VX dM = ρdA•ds
Donde:
dFx: Será la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el elemento diferencial proyectadas
según el eje X.
21dA
ds
53
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( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )1Z2Z
1Y2Y
1X2X
A
3
1X2X
2
1
X
2
1
X
XX
QQFz
QQFy
QQFx
dA
V
v
A
1
dQVVFx
tetanconsQ
dQds
s
V
dFx
dQdAV
dtVds
ds
s
V
dsdAdtdFx
dt
t
V
ds
s
V
dsdAdtdFx
dt
t
V
ds
s
V
dV
βρ−βρ=
βρ−βρ=
βρ−βρ=
•⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=β
•−ρ=∆
=
•⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
ρ=
=•
•=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
••ρ=•
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
∂
∂
+•
∂
∂
••ρ=•
•
∂
∂
+•
∂
∂
=
∑
∑
∑
∫∫
∫∫
La ecuación general es: ( )VQF
rr
⋅⋅⋅∆=∑ βρ Determina la fuerza en un tubo.
54
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Ejemplo 1.- El sistema mostrado en la figura debe transportar 160 litros por segundo de una aceite de peso
específico igual a 760 [Kg / m3
] del recipiente A hacia el B, suponiendo que la perdida de energía entre A-B
es de 2.5[m] y entre el tamo C-D es de 6.5[m].
Determinar la potencia de la bomba suministrada al sistema y dibujar la línea de energía y la línea
piezométrica, y la presión en el punto C y B.
g2
VP
ZHHH
g2
VP
Z
2
2
2
2
2LEA
2
1
1
1
1 α+
℘
+=−−+α+
℘
+
HA = Z 2 – Z1 + HL HL = HAB + HCD
HA = 60 – 15 + 2.5 + 6.5 [m] HA = 54 [m]
[ ]
[ ]
[ ]HPP
HP
s
mKg
m
s
m
m
Kg
HP
HQ
P
B
A
B
4.86
176
54160.01000
76
3
3
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
×
×⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
×
××℘
=
η
Punto Cota V2
/ 2g HA HL Cota Piezo P / ℘ L. Energía
A 15 0 0 0 15 0 15
B 3 0,26 0 2,5 12,24 9,24 12,5
C 3 0,26 54 2,5 66,24 63,24 66,5
D 60 0 54 9 60 0 60
Bomba
φ = 3 [m]
1-A
2-BElev. 15 [m]
Elev. 60 [m]
Elev. 3 [m]
φ = 3 [m]
55
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Graficando la solución:
Sabemos que : 24.63
P
24.9
P CB
=
℘
⇔=
℘
Entonces se tiene que: PB = 9.24 ×℘ PB = 7022.4 [Kg / m2
]
PC = 63.24 ×℘ PC = 48062.4 [Kg / m2
]
Ejemplo 2.- Calcular la lectura del manómetro colocado en el estanque de la figura para las condiciones
indicadas de Potencia 2.5 [HP]; rendimiento 0.8y un caudal de 20 [lt/s].
H1-2 = 2V2
/2g, H3-4 = 1.5V2
/2g ; y H4-5 = ¿?.
g2
VP
ZHHH
g2
VP
Z
2
4
4
4
4LEA
2
1
1
1
1 α+
℘
+=−−+α+
℘
+
66.5 – 66.24
12.5 – 12.24
Elev. 1 [m]
5
3
1
P = ? φ = 5 [cm]
φ = 8 [cm]
Bomba 0.2 [m]
0.22 [m]
Elev. 0 [m]
2
4
Elev. 10[m]
Elev. 2[m]
56
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[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] ( )[ ] [ ]
( )
( ) ( )
[ ]
[ ]mH
mH
HVV
g
PPZZH
m
Kg
PHH
g
VP
ZZP
KgPm
m
Kg
m
Kg
mP
mH
s
m
m
Kg
HP
H
Q
P
H
HQ
P
mHmH
s
m
V
m
s
m
V
A
Q
V
s
m
V
m
s
m
V
A
Q
V
H
g
VP
Z
P
Z
L
AAL
LA
AA
B
A
A
B
A
4936.11
19336.
2
11
12260
2
230022.02.010001360020.0
6.7
02.01000
8.0765.276
76
94.762.1
186.10
025.0
02.0
978.3
04.0
02.0
2
54
2
5
2
1515
21
2
44
141
4334
3
3
4321
322
3
3
3
3
222
3
2
2
2
2
4
4
4
4
1
1
−=
−=
−−+−
℘
+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−+
℘
+−℘=
=⇒+×⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×=
=⇒
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
××
=⇒
×℘
××
=⇒
×
××℘
=
=⇒=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⇒
×
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⇒=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⇒
×
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⇒=
−+
℘
+=
℘
+
−
−−
η
η
π
π
α
Ejemplo 3.- Calcular la reacción Fx de la superficie sobre la cual choca el chorro de agua.
V2 = V1·cosθ = Vo
V2
V2
Fx
Volumen de control
V1
A0
57
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( )
( )
( )
( )
( )
( )1cos
1cos
cos
1
2
00
2
00
0000
12
12
1122
−=
−=
−=
−=
===
−=
∆=∑
θρ
θρ
θρ
ρ
βββ
ββρ
βρ
VARx
VAFx
VVVAFx
VVQFx
VVQFx
VQF
XX
XX
Ejemplo 4.- Una tubería de 60 [cm] de diámetro que transporta 900 litros por segundo de aceite de densidad
relativa de 0.85 tiene un codo de 90º en un plano horizontal. La perdida de energía que se produce en el codo
es de 1.10 [m], la presión en la entrada del codo es de 10 [Kg / cm2
]. Determinar la fuerza resultante que el
aceite ejerce sobre el codo.
( )VQF βρ∆=∑
( )
( ) 2
00
2
00
2
00
2
00
VA2Rx11VARx
180
VARx10VARx
90
ρ−=⇒−−ρ=
°=θ
ρ−=⇒−ρ=
°=θ
90º
Sección 1
P1
Sección 2
P2
R
Ry
Rx
58
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Análisis en el eje X
( )
( )
[ ]
[ ]
[ ]Kg78.8730Rx
m3.0
s
m
9.0
s
m
8.9
m
Kg
1000
85.0m3.0
m
Kg
30000Rx
A
Q
QRxRP
A
Q
V0V
VVQRxAP
1
VQVQFx
22
23
2
2
3
22
2
1
2
11
X1X2
X1X211
21
X11X22
=
×π
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×+×π×⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ρ=−π
=∴=
−ρ=−
=β=β=β
βρ−βρ=∑
Análisis en el eje Y.
( )
Y222
Y1Y1Y2
QVRyAP
0VVVQFx
ρ=+−
=⇒−ρ=∑
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
°=θ⇒⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=θ
=⇒+=
=
×π×⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
×π
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
×⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
℘×−=
+
℘
+=+
℘
+
−
12.44
Rx
Ry
Tg
Kg52.12161RRyRxR
Kg177.8466Ry
m3.0
m
Kg
29065
m3.0
s
m
9.0
s
m
8.9
m
Kg
1000
85.0Ry
m
Kg
29065P
85.0
m
Kg
100010.1
m
Kg
30000P
10.1PP
g2
VP
Z
g2
VP
Z
1
22
22
222
23
2
2
3
22
222
ACEITE12
2
12
2
2
11
1
59
Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta
Facultad de Ingeniería Hidráulica I
FLUJO EN TUBERÍAS
9.1. Introducción.
En los capítulos anteriores no se han considerado las perdidas de energía por fricción por tratarse de un
problema localizado de flujo sin embargo en estructuras muy largas las perdidas de energía por fricción son
muy importantes por este motivo se han investigado teórica y experimentalmente para cuantificar las
perdidas por fricción apelando a formulas que nos permitan determinar estas perdidas.
9.2. Flujo laminar.
El flujo laminar tiene las siguientes características:
- Las partículas se mueven según trayectorias paralelas formando el conjunto de ellas capas o
láminas.
- Los módulos de las velocidades de capas adyacentes no tienen el mismo valor.
- El flujo laminar esta gobernado por la ley que relaciona la tensión de corte con la velocidad
angular de deformación, y que viene dada por la siguiente ecuación:
dy
dv
µ=τ
- Otra característica es que la viscosidad del fluido es la magnitud física predominante y su acción
amortigua cualquier tendencia a la turbulencia.
9.3. Número de Reynolds.
En 1883 este científico sobre la base de experimentos fue el primero que propuso un criterio para distinguir
al flujo laminar del turbulento mediante el número que lleva su nombre el cual permite evaluar la
preponderancia de las fuerzas viscosas sobre las de inercia, para el caso de un conducto de sección circular
que funciona a presión el número de Reynolds tiene la siguiente expresión:
℘
×
=
dV
Re
Donde:
[V] = Velocidad media del flujo [m/s]
[d] = Diámetro de la sección de la tubería [m]
[℘]= Viscosidad cinemática del fluido [m2
/s]
En el caso de conductos de sección recta no circular se utiliza la longitud característica el radio hidráulico
que es el cociente del área mojada d la sección recta sobre el perímetro majado de la misma y el número de
Reynolds tiene la siguiente expresión.
60
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Sin presión
ρ
=
A
R
Funcionando a presión
cuando el fluido cubre
toda la sección
b
h
( )
bh2
bh
Re
R4V
Re
+
×
=
℘
×
=
Tirante hidráulico
9.4. Velocidad crítica.
La velocidad crítica de interés práctico para el ingeniero es aquella velocidad por debajo de la cual toda
turbulencia es amortiguada por la acción de la viscosidad del fluido , la experiencia demuestra que el límite
superior para el régimen laminar en tuberías tiene fijado por valor del número de Reynolds que esta alrededor
de 2000.
arminLa2000Re
Turbulento2000Re
2000
dV
Re
→<
→>
≈
℘
×
=
Un limite entre el flujo turbulento y laminar se da para un número de Re ≤ 2000.
9.5. Análisis del flujo totalmente desarrollado en tuberías.
El flujo totalmente desarrollado es aquel que presenta idéntica distribución de velocidades en cada una de sus
secciones.
61
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9.6. Tensión de corte en una sección de la pared de la tubería.
Para y = 0 ⇒ τ = 0
Para y = r ⇒ τ = τ max
τ max
τ max
x
y
dx
r
y
τ
τ
P P- dP
Para un flujo permanente se tiene que aX =0
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=τ
πτ−π−−π
•=∑
dx
dP
2
y
ydx2ydPPyP
admFx
22
X
Si el flujo es totalmente desarrollado se tiene:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=τ
−
=
∆
∆
=
=
L
PP
2
y
L
PP
x
P
dx
dP
cte
dx
dP
21
21
Esta última valida para flujo laminar y turbulento
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=τ
L
PP
2
r 21
MAX
g2
VP
ZHHH
g2
VP
Z
2
2
2
2
2LEA
2
1
1
1
1 α+
℘
+=−−+α+
℘
+
1 2
62
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( )
r
L2
H
y
L2
H
L
PP
2
y
PP
H
PP
1
HZZH
L
MAX
L21
21
L
21L21L
℘
=τ
℘
=τ⇒⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=τ
℘
−
=
−
℘
=⇒−=
El esfuerzo cortante será mayor cuando la rugosidad en la tubería sea mayor.
9.7. Flujo laminar.
( )22L
2L
LL
yr
L4
H
v
ry0vy
L4
H
v
ydy
L2
H
dv
dy
dv
y
L2
H
dy
dv
−
µ
℘
−=
=∴=⇒
µ
℘
−=
µ
℘
−=⇒µ=
℘
µ−=τ
velocidad para una tubería de flujo laminar
( )
2L
MEDIA2
r
0
22L
MEDIA
r
0
MEDIA
2L
MAX
2L
MAX
r
L8
H
V
r
ydyyr
L4
H
2
V
A
ydyv2
A
dAv
A
Q
V
d
L4
H
Vr
L4
H
V
µ
℘
=⇒
π
−
µ
℘
π
=
π
=
•
==
µ
℘
=⇒
µ
℘
=
∫
∫∫
Velocidad máxima Velocidad media
63
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π
µ
℘
=
π
µ
℘
==⇒=
4L
22L
MAXMEDIA
r
L8
H
Q
rr
L8
H
VAQV
2
1
V
9.8. Formula de Darsicy – Weisbach.
Estos dos investigadores han hallado empíricamente una relación para hallar las perdidas en tuberías de
diámetro constante para un flujo permanente.
Donde: f = Factor de fricción [adimensional].
L = Longitud de la tubería donde se evalúa las perdidas por fricción [m].
V = Velocidad media del flujo [m/s].
d = Diámetro de la tubería [m].
g = Aceleración de la gravedad [m/s2
].
hF = perdida de energía por fricción [m].
Donde : f = f ( ε/d, Re)
ε = Rugosidad medida en milímetros.
f = f (ε/d, Re).
g2
v
d
L
fh
2
F =
ε
64
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9.9. Coeficiente de fricción para flujo laminar.
Re
64
f
gd2
LV
Re
64
H
d
1
g2
V
Re
L64
H
Vd
Re
d
1
g2
V
dV
L64
H
gVd2
VL64
H
V2
V2
gd
VL32
H
g
4
d
VL8
H
2
d
r
gr
VL8
H
g
rV
rH
L8
H
4
d
VQVAQ
rH
QL8
Hr
L8
H
Q
2
L
2
L
2
L
2
2
L2L2L
2L
2
4
L
L
2
4
L
L
4L
=⇒⇒=
=⇒
γ
=⇒
γ
=
γ
=⇒×
γ
=⇒
γ
=
=⇔
γ
=⇒
γ
=
℘
µ
⇒π
π℘
µ
=
π
=⇒=⇒
π℘
µ
=⇒
µ
π℘
=
Cuando es laminar existe solo Reynolds Re < 2000.
2
AV
dAv
3
4
AV
dAv
3
3
2
2
==α⇒==β
∫∫
9.10.Flujo turbulento.
En un flujo turbulento nos interesa determinar los factores de fricción:
F = f (ε /d, Re).
Si se tiene tuberías completamente lisas f = f (Re).
Para tuberías totalmente rugosas el coeficiente de fricción depende solamente de la rugosidad relativa.
f
Re
(ε /d)(ε /d, Re)(Re)
ε /d
ε /d
65
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( )
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
ε
−=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ ε
−=
−=
fRe
51.2
7.3
dlog2
f
1
7.3
dlog2
f
1
8.0fRelog2
f
1
El diagrama de MOODY nos permite hallar el coeficiente de fricción.
Ecuación de PRANDTL
Para flujo turbulento en tuberías lisas.
Ecuación de KARMMAN
Flujo totalmente turbulento en
tuberías rugosas.
Ecuación de COLEBROOK
Formula universal para tuberías lisas
y rugosas.
Zona Laminar Zona Crítica Zona de transición Zona Turbulenta
f = f (Re) Flujo caótico f = f (ε /d, Re) F = f (ε /d)
Re ≤ 2000 2300 > Re > 4000 Re > 4000
9.11.Perdidas locales.
Se refiere a las perdidas por artefactos como: llaves, codos, salidas o entradas a tanques.
g2
V
Kh
g2
V
d
L
fh
hhH
2
K
2
F
KFL
=⇒=
+= ∑∑
ΣhF = Perdidas por fricción.
ΣhK = Perdidas por artefacto.
K = 0.5
K = 0.8
K = 1.5
K = 2
K = 0.3
66
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SISTEMA DE TUBERÍAS
10.1. Formula de Hazen – Williams.
Esta formula es una de las mas utilizadas en el sistema de análisis de sistemas de conducción de agua, su uso
es limitado al flujo de agua en conductos mayores a 5 [cm] y mayores a 2 [m] de diámetro, la velocidad no
debe exceder a los 3 [m/s] además que fue desarrollada para una temperatura de 5ºC el tratamiento a
temperaturas mucho mayores podría dar algún error.
La formula por ser empírica es especifica en las unidades.
Para el sistema internacional de unidades:
V = 0.8424 CR0.63
S0.54
Donde: V = Velocidad media del flujo [m/s].
C = Coeficiente de rugosidad de Hazen – Williams [adimensional].
R = Radio hidráulico [m].
S = Pendiente de alturas piezométricas.
Una ventaja que tiene la formula es que el coeficiente C depende únicamente de la viscosidad relativa esta
hace que pueda ser utilizada en conductos que no siempre sean circulares.
- Tuberías rectas y muy lisas. C = 140
- Tuberías, alcantarillas vitrificadas. C = 110
- Tuberías para fundición en malas condiciones. C = 80
10.2. Tuberías en serie.
El mas sencillo de los sistemas consiste en único conducto alimentado en el extremo aguas arriba por un
recipiente una bomba y con descarga libre o a otro recipiente, el conducto pude tener cambios geométricos
o artefactos de modo que se producen perdidas de energía locales o por fricción.
Para el análisis de tuberías en serie se utilizan, la ecuación de continuidad y la ecuación de energía.
LN, dN, QN, KN
K2, L2, Q2, d2, K3
L1, d1, Q1,K1
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g2
V
hhH
g2
VP
ZH
g2
VP
Z
VAQ
2
S
KFL
2
2
2
2
2L
2
1
1
1
1
++=
α+
℘
+=−α+
℘
+
=
∑∑
g2
V2
S
Carga de velocidad en la sección final, en el caso de la descarga libre o a la atmósfera, o es la perdida de
descarga en otro recipiente.
En los sistema de tuberías en serie el caudal que pasa por los diferentes conductos es el mismo y la perdidas
totales la suma de todas las perdidas locales y por fricción que se dan en un tramo considerado.
g2
V
hhH
Q......QQ
2
S
KFL
N21
++=
===
∑∑
a) Teniendo como datos: h, Li, di, γ, ε i podemos calcular Q = ¿?.
b) Teniendo como datos: h, Li, di, Q, γ, ε i menos un diámetro podemos calcularlo d =¿?.
Solución a.
g2
VP
ZHHH
g2
VP
Z
2
2
2
2
2LEA
2
1
1
1
1 α+
℘
+=−−+α+
℘
+
Z1 – Z 2 = HL
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++=
++= ∑∑
...
g2
V
K
g2
V
K...
g2
V
d
L
f
g2
V
d
L
f
g2
V
H
g2
V
hhH
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
S
2
S
2
1
E
2
1
F
H
2
1
68
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γ
=⇒⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
==⇒=
=
ε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++++++=
∑
=
11
1
22111SS
N
1i
2
1
1
2
i
i
i
i
S
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
S
dV
Re
s
m
#V
AVAVQAVQ
#
d
g2
V
K
g2
V
d
L
f1
gH2
V
...
g2
V
K
g2
V
K...
g2
V
d
L
f
g2
V
d
L
f1
g2
V
H
- Tantear en la zona de transición.
- Hallamos VS para obtener en caudal para todas las tuberías.
- Calculamos el numero de Reynolds para obtener una f.
- Determinar con la f hallada todo nuevamente .
- Obtener una f que no varíe de la anterior con lo cual el ejemplo ya esta resuelto.
Solución b.
d
Q4
Ref
Hg
LQ8
d
dg
LQ8
fH
gd2
LV
fH
5
2
52
22
πγ
=⇒
π
=
π
=⇒=
- Primero hallamos la diferencia de alturas H.
- Seguidamente el primer diámetro
- Luego calcular el número de Reynolds.
- Calculamos ε/d , con ello hallamos nuevamente f.
- Calcular el diámetro nuevo y el número de Reynolds que no debe variar.
d = ¿?
H
2
1
69
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10.3. Tuberías equivalentes.
Los problemas de tuberías en serie pueden resolverse por el método de longitudes equivalentes. Se dice que
dos sistemas de tuberías son equivalentes cuando la misma pérdida de energía produce el mismo caudal en
ambos sistemas.
Tubería 1:
g
Q8
d
L
fh
4
d
Q
A
Q
V
gd2
VL
fh 2
2
5
1
1
11F2
1
1
1
1
1
1
2
11
11F
π
=⇒
π
==⇒=
Tubería 2:
g
Q8
d
L
fh
4
d
Q
A
Q
V
gd2
VL
fh 2
2
5
2
2
22F2
2
2
2
2
2
2
2
212
22F
π
=⇒
π
==⇒=
83
26
2
9.0
5
1
2
2
1
125
2
22
5
1
11
212F1F
1010
1010
Re
74.5
d7.3
log25.0f
d
d
f
f
LL
d
Lf
d
Lf
QQhh
<ε<
<ε<
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
ε
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⇒=
=⇒=
−−
Esta última formula es la de SWAMER Y JAIN
10.4. Tuberías en paralelo.
En ocasiones es necesario derivar varios ramales de un mismo conducto como se muestra en la figura.
En estos sistemas a diferencia de las tuberías en serie, donde el mismo caudal fluye a través de la tubería.
h 1 = h 2 = h 3 = .......= h n
Q = Q1 + Q2 + Q3 + ....+ Q n
B
A
1
2
3
.
i
n
L. E.
∆H
70
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a) Conociendo la perdida entre los puntos A y B se desea determinar el caudal que va a circular por
cada tubería.
b) Conociendo el caudal total se desea determinar la perdida de energía entre los puntos A y B y los
caudales que circulan por cada una de las tuberías.
Solución a.
∑
∑
∑
∑
∑
⇒=⇒=
+=⇒
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
+=
iiii
i
i
j
i
i
ii
j
i
i
i
i
j
i
i
i
2
i
2
i
j
2
i
i
i
i
QQAVQ
K
gH2
V
K
d
L
fK
K
d
L
f
gH2
V
K
d
L
f
g2
V
H
g2
V
K
g2
V
d
L
fH
Solución b (primer método).
1) Suponer un caudal Q1’ a través de la tubería 1.
Q
L
d
L
d
Q
i
2
i
1
2
1
'
1 ×
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∑
2) Con este caudal hallemos la perdida de carga H1’.
3) Utilizando esta perdida hallamos los caudal Q 2, Q 3,....,Q i, ...., Q n.
4) Determinamos los caudales para una perdida común, hallamos los caudales.
Q
Q
Q
Q.....Q
Q
Q
QQ
Q
Q
Q '
'
n
n'
'
2
2'
'
1
1 ×=⇒⇒×=⇒×=
∑∑∑
5) Comparar la exactitud de los valores hallados comparando las perdidas.
Q1 → H1 H1 → 7.391
Q2 → H2 H2 → 7.392
Q3 → H3 H3 → 7.389
: : : :
Qn → Hn Hn → 7.390
Solución b (segundo método).
Se supone la existencia de una tubería que transporta un caudal equivalente a todos los ramales.
71
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Tubería equivalente He.
He = H1 = H2 = H3
Q = Q1 + Q2 + Q3 +....+ Qn
Ve Ae = V1A1 + V2A2 + V3A3 +......+ Vn An
Además la velocidad de la tubería equivalente es:
g
Q
K
d
H
gd
KQ
H
g
V
KH
K
dd
K
K
d
K
d
d
K
gHd
K
gHd
K
gHd
K
gHd
K
gH
d
A
K
gH
V
n
i i
e
ee
e
n
i i
e
e
n
i ee
e
n
n
ne
e
e
e
e
e
e
e
2
2
1
2
1
42
22
2
1
2
1
4
1
2
1
2
22
3
3
3
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
8
8
2
1
4
2
...
4
2
4
2
4
2
4
2
4
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=⇒=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⇒
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
++++=
=⇒=
∑
∑
∑
=
=
=
π
π
πππππ
π
Tubería ficticia
A BA B
10.5. Redes abiertas.
Se dice que una red es abierta cuando los tubos o cañerías que la componen se ramifican sucesivamente sin
interceptarse formando circuitos. Los tramos finales de las ramificaciones pueden terminare un recipiente o
descargar libre a la atmósfera.
72
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⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=⇒=
+
℘
+=−+
℘
+
∑∑ g
V
ZZhhH
g
VP
ZH
g
VP
Z
i
ji
j
i
j
i
jj
j
ii
i
2
22
2
22
Z j es el nivel libre de la superficie de agua, si el tubo descarga a un recipiente o bien el centro de gravedad
de la sección final si el tubo descarga a la atmósfera.. el subíndice j corresponde a las características
hidráulicas de la sección j.
∑
j
1
h Es la suma de las perdidas de energía por fricción y por artefactos que se dan en el recorrido desde el
punto 1 hasta el punto j, toma signo positivo en aquellos elementos en que la dirección del flujo coincide con
la dirección del recorrido y negativo en caso contrario.
Por ejemplo para el extremo 7 tenemos lo siguiente:
1366221
2
13
131
733221
2
7
71
2
2
−−−
−−−
−−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−
++=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−
hhh
g
V
ZZ
hhh
g
V
ZZ
Además en cada nudo o punto de ramificación se debe cumplir la siguiente ecuación de continuidad y se
establece como convención que los caudales que entran al nudo son negativos y los que salen de el son
positivos.
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 Nodos
73
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ΣQ = 0
Positivo (+)
Negativo (-) Negativo (-)
Positivo (+)
10.6. Redes cerradas.
Se conoce como red cerrada a aquella en la cual los conductos que la componen se cierran formando
circuitos, estas redes tienen la distribución de agua potable en ciudades y en industrias.
Caudal de demanda
Q
74
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Ejemplo 1.- Determinar la perdida de carga en un extremo de tubería nueva de fundición sin recubrimiento
de diámetro igual a 30 [cm] y 1000 [m] de longitud cuando fluye agua a 15ºC con una velocidad de 1.5 [m/s].
Datos:
d = 30 [cm] L = 1000 [m] v = 1.5 [m/s]
ε = 0.024 [cm] γ = 1.13E-6
[m2
/s]
[ ]
[ ]
[ ]mhh
g
V
d
L
fh
f
dcm
cm
d
RE
E
RE
Vd
RE
FFF 45.7
81.92
5.1
30.0
1000
0195.0
2
0195.0008.0
30
024.0
088.398230
13.1
3.05.1
22
6
=⇒
×
××=⇒=
=⇔=⇒=
=⇒
×
=⇒= −
εε
γ
Ejemplo 2.- En la figura se muestra una tubería simple formada por tres tramos, el tercero de los cuales tiene
intercalado dos codos, cual será el caudal que circula cuando la válvula esta totalmente abierta.
Datos:
L1 = 500 [m] L2 = 1000 [m] L3 = 600 [m]
d1 = 0.2 [m] d2 = 0.4 [m] d3 = 0.2 [m]
Tubería de hierro colado ε = 0.00026 [m] γ = 1E-6
[m2
/s]
K1 = 0.5 K2 = 0.57 K3 = 0.37
K4 – K5 = 0.20 K6 = 0.20
K5 K6
K1 K2 K3 K4
150 [m.s.n.m.]
200 [m.s.n.m.]
75
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[ ]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⇔=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
++++++++
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++++++++=
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0898.0
4
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021.0018.0021.0
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222
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572000285600572000
86.286.2714.0
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⎢
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⎡
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⎦
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⎦
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⎢
⎣
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A
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litros
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76
Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta
Facultad de Ingeniería Hidráulica I
Ejemplo 3.- Calcular el caudal que circula en el sistema en paralelo mostrado en la figura. La presión en el
punto A es de 530 [kPa] y en el nudo B es de 130 [kPa], ambas presiones son manométricas y las tuberías
son de hierro fundido.
Datos:
PA = 530 [kPa] PB = 130 [kPa] ε = 0.15 [mm]
ρ = 999.1 [Kg/m3
] γ = 1.141E-6
[m2
/s]
L1 = 278 [m] L2 = 230 [m] L3 = 200 [m]
d1 = 0.15 [m] d2 = 0.21 [m] d3 = 0.25 [m]
ΣK1 = 7.4 ΣK2 = 6.1 ΣK3 = 8.0
[ ] [ ]
[ ]
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1
23
22
1935.0588.50178.0
809.1028540588.50178.0
975.1022878557.50181.000071.0
078.0417.40181.0
780.580448415.4018.0
230.562573243.40196.0001.0
85.40
81.91000
130000530000
4.7
2
=⇔=⇒=⇒=
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=⇔=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
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⎢⎣
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−
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Facultad de Ingeniería Hidráulica I
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295.0006.601774.0
283.1316017005.60177.0
564.132426204.60174.00006.0
=⇒++=
=⇔=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=⇒=
ε
Ejemplo 4.- Calcular la perdida en el tramo A-B de la siguiente figura.
Datos:
PA = 6 [Kg/cm2
] ZA = 30 [m] QT = ¿?
γ =31E-6
[m/s] ZB = 25 [m] PB = ¿?
L1 = 900 [m] L2 = 600 [m] L3 = 1200 [m]
d1 = 0.3 [m] d2 = 0.2 [m] d3 = 0.4 [m]
ε1 = 0.0003 [m] ε2 = 0.00003 [m] ε3 = 0.00024 [m]
1
2
3
A B
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Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta
Facultad de Ingeniería Hidráulica I
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0006.00015.0001.0
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113.034.0
1200
4.0
600
2.0
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3.0
900
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321
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×
×
=⇒=
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∑
∑
εεε
ππ
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401.4710.4201.4
553.0148.0297.0
210.00565.0113.0
672.1801.1748.7
0181.00156.00197.0
333.5825333374005050000
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549.0159.0290.0
214.0701.1
2
0621.0976.1
2
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∑
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Propiedades y clasificación de fluidos

  • 1. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I GENERALIDADES Y PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 1.1. Introducción. 1.1.1. Características de los fluidos. De acuerdo al aspecto físico la materia puede Sólido presentarse en la naturaleza en tres estados : Líquidos. Gaseoso. Los fluidos son substancias capaces de fluir y que se adaptan a la forma de los recipientes que lo contienen. A diferencia de los sólidos y por su constitución molecular, los fluidos pueden cambiar continuamente la posición de sus moléculas sin ofrecer resistencia al desplazamiento entre ellas. El proceso de deformación continua que sufre un fluido en presencia de una fuerza se denomina Fluidez. Cuando están en reposo, en el interior de los fluidos, no existen fuerzas tangenciales o cortantes a superficie alguna, estas solo se presentan cuando el fluido esta en movimiento. Todos los fluidos son compresibles en cierto grado y ofrecen poca resistencia a los cambios de formas, adoptando la forma de los recipientes que los contiene. Los fluidos no tienen forma propia. Los fluidos poseen una propiedad característica de resistencia a la deformación cuando son sometidos a esfuerzos tangenciales o de corte. Esta resistencia se llama “viscosidad”. Ha diferencia de los sólidos los esfuerzos tangenciales que se producen en un fluido no dependen de las deformaciones que experimentan, si no de la rapidez con que esta se produce, tal es así que la ley de variación de los esfuerzos tangenciales y la rapidez con que se producen las deformaciones es distinta según el fluido que se trate, dicha variación permite dividir los fluidos en dos grupos : Fluidos Newtonianos y los Fluidos No Newtonianos. En los fluidos Newtonianos el esfuerzo tangencial es directamente proporcional a la rapidez de deformación angular a partir de valores cero. Los fluidos Newtonianos son el aire, agua y algunos fluidos minerales. En los fluidos No Newtonianos la variación entre los esfuerzos tangencial y rapidez de deformación no es lineal y depende de otros factores como son el tiempo, la temperatura, etc., por ejemplo: el betún, pinturas al aceite, grasas, alquitrán, jabones. Etc. τ τ = Esfuerzo Tangencial dy dv = Rapidez de Deformación dy dv Fluidos Fluido No Newtoniano Fluido Newtoniano. 1
  • 2. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Los fluidos también pueden clasificarse según a la propiedad llamada “Compresibilidad, se clasifican en líquidos y gases”. Los líquidos tienen y ocupan un volumen definido que varía ligeramente con la presión y temperatura, al colocar una cierta cantidad de un determinado líquido en un recipiente de mayor volumen este adopta la forma del mismo y deja una superficie libre o de contacto entre el mismo fluido y su propio vapor, la atmósfera u otro gas presente, en cambio los gases son fluidos que se expanden hasta ocupar el máximo volumen que se les permita sin presentan una superficie libre alcanzando así su equilibrio estático. En los sólidos las moléculas se encuentran relativamente cerca y ejercen fuerzas moleculares grandes que hacen muy difícil su cambio de forma y volumen. En los líquidos las fuerzas moleculares son suficientemente grandes para conservar el volumen pero no la forma. En los gases las distancias entre moléculas son grandes y las fuerzas intermoleculares son pequeñas, esto hace que los gases cambien de forma y de volumen. Los fluidos son considerados como un medio continuo para el estudio de las aplicaciones propias de la ingeniería, ya que tomaremos parámetros o condiciones medias de la velocidad, presión, temperatura, densidad, etc. Es por esto que en lugar de estudiar por separado la conglomeración, se supone que el fluido tiene una distribución continua de materia sin espacios vacíos estudiándola como un todo. 1.1.2. Mecánica de Fluidos. Es la ciencia en la cual los principios fundamentales de la mecánica general se aplican en el estudio del comportamiento de los fluidos tanto en reposo como en movimiento y son los siguientes. • Conservación de la materia • Conservación de la energía. • Las leyes de movimiento de Newton. • Algunas leyes de termodinámica cuando se estudian fluidos compresibles. 1.1.3. Hidráulica. Es la aplicación de la mecánica clásica al estudio del agua en específico, por ejemplo : • Dotación de agua. • Generación de energía. • Diseño de presas y tanques de almacenamiento. • Diseño de redes de alcantarillado. • Riego. En resumen tenemos que : Mecánica de Fluidos.............Estudio de todos los Fluidos. Hidrodinámica......................Estudio de todos los Líquidos. Hidráulica.............................Estudio solo del Agua Esto se cumple para los fluidos tanto en reposo como en movimiento. 2
  • 3. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I 1.2. Sistema de unidades. 1.2.1. Sistema Internacional de unidades (SI). • La longitud [L] su unidad es el metro [m]. • La masa [M] su unidad es el kilogramo [kg]. • El tiempo [T] su unidad es el tiempo [s]. 1.2.2. Sistema técnico de unidades (ST). • La longitud [L] su unidad es el metro [m]. • La fuerza [F] su unidad es el kilogramo fuerza [kg-f]. • El tiempo [T] su unidad es el tiempo [s]. 1.3. Propiedades de los fluidos. 1.3.1. Densidad, Peso específico y Densidad relativa. La densidad [ρ] es la masa contenida en la unidad de volumen, sus dimensiones son [ML-3 ]. Desde el punto de vista matemático viene dada por : V M Lim V ∆ ∆ = →∆ 0 ρ V m =ρ Unidades : SI ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 3 m kg ST ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 3 m UTM La densidad de los líquidos varía con la temperatura y no así con la presión. Peso especifico [℘] es el peso por unidad de volumen, sus dimensiones son [FL-3 ]. La densidad y el peso especifico están relacionados por la gravedad. g*ρ=℘ Unidades : SI ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 3 m N ST ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 3 m fkg El peso específico además de variar con la temperatura varia con la aceleración de la gravedad. Densidad relativa [δ] es un valor adimensional que viene dado por la relación del peso, masa, densidad o peso especifico de un cuerpo con relación de una sustancia que se toma como referencia, las muestras relacionadas o comparadas deben tener el mismo volumen. Los sólidos y líquidos se refieren al agua (a 20ºC), mientras que los gases se refieren a el aire. f S f S f S f S m m W W ReReReRe ρ ρ δ = ℘ ℘ === Volumen especifico [VS] es el inverso de la densidad, es mas que todo usado en el estudio de los gases. ρ 1 =SV 3
  • 4. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Las propiedades de los fluidos caracterizan la condición o estado de un fluido y representan la estructura molecular y el movimiento. 1.3.2. Propiedades relacionadas con la temperatura. En un fluido la temperatura se relaciona con la actividad molecular que resulta de la transferencia de calor. Las escalas de medidas se definen en los términos de expansión volumétrica de ciertos líquidos comúnmente es utilizado el mercurio. 1.3.3. Viscosidad. La viscosidad de un fluido es una medida de resistencia a fluir opuesta a las fuerzas cortantes, la viscosidad se debe primordialmente como resultado de la interacción y cohesión de las moléculas del fluido. El esfuerzo cortante [τ] es directamente proporcional al gradiente de velocidad, esa constante de proporcionalidad es la viscosidad dinámica o absoluta : dy dv µτ = O también A F =τ La viscosidad dinámica o absoluta [µ] tiene dimensiones de [FTL-2 ] y sus unidades son : Unidades : SI [ segPa m segN * * 2 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ] ST ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 * m segfkg Para efectos prácticos conviene usar la viscosidad Cinemática, esta tiene las siguientes dimensiones [L2 T-1 ] y está dada matemáticamente por la siguiente expresión : ρ µ γ = Unidades : ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ seg m2 Para ambos sistemas. 1.3.4. Compresibilidad. La compresibilidad en un fluido es una medida de cambio de volumen que experimenta y en consecuencia un cambio en su densidad, pero mantiene constante su masa, esto cuando es sometido a diversas presiones. Solo en fenómenos donde se producen incrementos o cambios violentos de temperatura y presión como ser flujos con transferencia de calor, flujos a gran velocidad, el golpe de ariete, es que existen variaciones de volumen y densidad que pueden ser consideradas, en otros casos no Entonces, como no hay variación en la masa, decimos que dm=0 y con esta consideración obtenemos lo siguiente: 4
  • 5. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I VE d dP V dV dP dP ddV V dVdV dVdVVddm Vmdm ==− =− −= =+== == ρ ρ ρ ρ ρρ ρρρ ρ /* ** 0**)( 0 De esta manera obtenemos el Módulo de Elasticidad Volumétrico [EV], el cual tiene las siguientes dimensiones: [FL-2 ], la mayoría de los líquidos tienen un modulo de elasticidad volumétrico grande que depende de la temperatura. El módulo se define como el cambio de presión dividido entre el cambio de volumen por unidad de volumen o el cambio de densidad por unida de densidad. El modulo de elasticidad volumétrico del agua varia principalmente con la temperatura. La compresibilidad es el reciproco de el módulo de elasticidad volumétrico. VE 1 =β 1.3.5. Tensión superficial [σ]. La tensión superficial describe las fuerzas que actúan en la interfaz de un gas y un líquido por ejemplo agua y aire, entre dos líquidos ejemplo el agua y el aceite y entre un sólido y un gas, entre varios líquidos, en fin es decir actúa en una frontera entre dos sustancias. Por ejemplo supongamos que tenemos una arandela cuadrada con un lado móvil, la cual se encuentra con jabón formando una capa o pared como la de una burbuja. ∆x ∆A F L 5
  • 6. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Si queremos mover el lado móvil de la orquilla necesitaremos una fuerza F (considerando que no hay fuerza de rozamiento al arrastrar la orquilla), ya que esta capa de jabón ejerce una fuerza contraria tratando de impedir que esta capa sea rota o modificada, esta fuerza necesaria esta dada por : LF **2 σ= Donde σ es la tensión superficial. La tensión superficial tiene dimensiones de [FL-1 ]. En ocasiones es mas conveniente utilizar términos de energía de superficie en vez de tensión superficial. La tensión superficial es el trabajo que hay que realizar para llevar moléculas en un número suficiente del interior del fluido a la superficie para crear una nueva superficie libre. W = F * ∆x W = (2 * L * σ )* ∆x W = 2 * σ * ∆A 1.3.6. Capilaridad. La capilaridad es un fenómeno que esta íntimamente relacionado con la tensión superficial. La elevación o descenso de un líquido en un medio capilar poroso no solo depende de la tensión superficial, depende también de la cohesión de las moléculas que componen el líquido y de la adhesión de estas moléculas a la superficie de contacto. Los líquidos ascienden en tubos que mojan (adhesión>cohesión) y descienden en tubos a los que no mojan (cohesión>adhesión) La capilaridad tiene importancia en tubos de diámetros aproximadamente menores de 10mm. Para tubos de diámetros mayores de 12mm el efecto de la capilaridad es despreciable. r h * cos**2 ℘ = θσ Donde : σ = Tensión Superficial. θ = Angulo entre la dirección de la fecha y el eje de simetría. ℘ = Peso específico del líquido. r = Radio del tubo. h = Altura por capilaridad. Si el tubo esta limpio, θ es 0º para el agua y 140º para el mercurio. 1.3.7. Presión de vapor o vaporización. Cuando tiene lugar el fenómeno de la evaporación dentro de un espacio cerrado, la presión parcial a que dan lugar las moléculas de vapor se llama presión de vapor. 6
  • 7. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Es la presión que se encuentra el fluido en un ambiente cerrado que permite que las moléculas pasen del estado líquido al gaseoso. Presión de vapor es debido a las partículas evaporadas. Presión de saturaciones cuando alcanza el equilibrio entre las moléculas que pasan de líquido a gas y viceversa. La presión de vapor depende de la temperatura. 7
  • 8. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I HIDROSTÁTICA 2.1. Introducción. La estática de los fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo y cuando se trata solamente de líquidos se denomina hidrostática. Desde el punto de vista de ingeniería civil es importante el estudio de los líquidos en reposo y en particular el estudio del agua. 2.2. Presión. El término presión se refiere a los efectos de una fuerza que actúa distribuida sobre una superficie. La fuerza puede ejercerla un sólido, líquido o un gas. Frecuentemente, la fuerza causante de una presión es simplemente el peso de una cuerpo o material. La presión es una propiedad muy importante de los fluidos, la mayoría de los problemas de la mecánica de fluidos implican la determinación de la presión de dicho fluido y los efectos que esta ocasiona sobre las superficies que se encuentran en contacto con él, a diferencia de la densidad que generalmente es una cantidad conocida en los problemas, la presión es una cantidad desconocida que se determina mediante el análisis o la experimentación. La presión de un fluido se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y actua normalmente a cualquier superficie plana. La presión se define como la fuerza compresiva normal por unidad de área que actúa sobre una superficie, tiene dimensiones de [FL-2 ], esta dada según : Unidades: SI ST A F p N ∆ ∆ = A F p = [ ]Pa m N =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 22 cm fkg m fkg Presión Absoluta = Presión Atmosférica Local + Presión Manométrica La presión absoluta es aquella presión que esta referida a la presión cero, que es la mínima presión alcanzable, es decir al vacío absoluto (valor de presión = cero). Pm = Presión manométrica. P abs = Presión absoluta. A P abs(B)P = 0 (Vació absoluto) B P0 = Presión atmosférica local Pm(A) Pm(B) Pabs(A) P abs = P0 + Pm 8
  • 9. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I La presión manométrica, relativa o diferencial, es aquella que se mide con la ayuda del manómetro y que se encuentra referida a la presión atmosférica (como referencia) , los instrumentos usados para medir la presión, en realidad miden la presión manométrica. Se entiende el termino vacío, como el espacio donde la presión es menor que la presión atmosférica, esta presión tiende a cero y vacío absoluto, cuando la presión en dicho espacio es cero. 2.3. Presión en un punto (Ley de Pascal). En cualquier punto fijo de un fluido en estado de reposo tiene un único valor que es independiente de la dirección, este postulado se conoce como la Ley de Pascal. Si tomamos un elemento diferencial de una forma cualquiera, haciendo el análisis tenemos que : ds dx ΣFx = 0 F2 – F3 sen θ = 0 P2dydz – P3dsdy sen θ = 0 ΣFy = 0 F1 – dw – F3 cos θ = 0 P1dxdy – dw – P3dsdy cos θ = 0 dz = ds senθ dx = ds cos θ P2dyds sen θ - P3dsdy sen θ = 0 P2 = P3 Reemplazando. P1dxdy - 1/2℘ dxdydz – P3dxdy = 0 P1 = P3 P1 = P2 = P3 F3 θ Z F2 dz X W F1 2.4. Ecuación fundamental de la hidrostática. Aún cuando en un fluido estático la presión en un punto es la misma en todas las direcciones, esta puede variar entre un punto y otro para evaluar esta variación examinaremos un elemento diferencial cúbico de un fluido en reposo. dzdxdy y P 2 1 P ••⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ + dxdydz z P 2 1 P ••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ + dzdxdx x P 2 1 P ••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ + dydxdz z P 2 1 P ••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ − dzdxdy y P 2 1 P ••⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ − dzdydx x P 2 1 P ••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ − dw 9
  • 10. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I 0= ∂ ∂ y P 0= ∂ ∂ x P Con estas ecuaciones demostramos que en un líquido en reposo no hay variación de presión en planos horizontales. La ecuación 2.7 demuestra que la presión varia con la profundidad es decir que la presión aumenta si se desciende y disminuye si se asciende. 000 0 2 1 2 1 0 = ∂ ∂ ⇒= ∂ ∂ ⇒=••• ∂ ∂ − =••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ +−••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ −⇒=∑ y P x P dzdydx x P dzdydx x P Pdzdydx x P PFx g z P ρ−= ∂ ∂ Con esta ecuación podemos ver que la presión varía según la profundidad, el signo negativo es debido a que la variación del eje z (profundidad) se mide a partir de la superficie libre del fluido hacia a dentro, entonces viene a ser una distancia negativa relativamente cuyo signo se anula con el de la ecuación anteriormente mencionada y así nos da una presión positiva. g z P dzdygdxdzdydx z P dzdygdxdydxdz z P Pdydxdz z P PFz ρρ ρ −= ∂ ∂ =••−••• ∂ ∂ − =••−••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ −−••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ −⇒=∑ 0 0 2 1 2 1 0 2.5. Variación de la presión en un fluido de densidad constante. Si la ecuación del fluido es constante la ecuación 2.8 se puede integrar fácilmente. o P ( ) ZPPZZgPP gdzdP P P Z Z ℘−=⇒−−=− −=∫ ∫ 000 0 0 ρ ρ Donde la P0 = es la presión para Z0 Z = - h Po Z0 h 10
  • 11. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I La presión hidrostática es independiente del volumen o de la forma del recipiente que contiene el fluido en estudio como se ha mostrado en las anteriores figuras (cuadrado, circulo, triangulo), únicamente depende de la profundidad a la que se encuentra el punto en estudio. Para Z tomamos como nivel cero la superficie libre de fluido, por lo tanto Z es negativo. 2.6. Diagrama de distribución de presiones. A partir de la ecuación 2.10 se puede determinar la variación de la presión a lo largo de una determinada superficie y graficar dicha variación obteniendo el respectivo diagrama de distribución de presiones. El volumen (en modulo) que encierra el diagrama de presiones es igual a la fuerza hidrostática que ejerce esta presión y la resultante siempre pasa por el centro de masa de dicho diagrama. Superficie P0 h P0 ℘h h ℘h P0 11
  • 12. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I MEDICION DE PRESIONES 3.1. Manómetros simples. Entre los manómetros simples mas importantes están: Barómetro con el se pueden medir presiones atmosféricas. Tubo piezométrico sirve para medir las presiones moderadas pequeñas y consiste en un tubo de sección circular cuyo extremo superior esta en contacto con la atmósfera mientras que el interior se conecta con la tubería o corriente en la que se pretende medir la presión. 2 1 La presión puede tener unidades de columna de fluido. Nota. Si queremos tener unidades de altura de columna de fluido despejamos h. Como en el punto 1 y el punto 2 el nivel es el mismo entonces: P1 = P2 0 + ℘Hg * h = Patm Patm = 760 mmHg = 1 atmósfera A Este piezómetro nos permite medir presiones mayores a las atmosféricas ℘ h PA = ℘ * h 12
  • 13. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I 0 P1 = P2 PB + ℘ * h = Patm PB = - ℘ * h h B 1 2 Este piezómetro nos permite medir presiones menores ala atmosférica. PA = ℘Hg hHg +℘hh A B hHg 3.2. Manómetros diferenciales.- Sirven para medir diferencia de presiones entre dos o mas puntos. B A hM hB hA PA – PB =℘M hM - hB℘B +℘AhA 3.3. Manómetros Metálicos. El mas usado el es llamado BOURDON, que nos permite medir presiones manométricas. 13
  • 14. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Importante.- Para la solución de problema es muy útil tomar las siguientes consideraciones : Cuando tengamos un manómetro y necesitemos calcular la presión manométrica, comenzamos de un punto con una presión ‘P’, luego, si bajamos una altura ‘h1’ de un ‘X1’ fluido sumamos la presión manométrica correspondiente, si subimos una altura ‘h2’ de un fluido ‘X2’ restamos la respectiva presión manométrica. Por ejemplo : Para calcular la presión en el punto A : - Primero sabemos que : PH = PG , PF = PE , PD = PC - Comenzamos en el punto I, donde la presión es igual a la presión atmosférica local. - Entonces : Ao PhhhhP =℘−℘+℘−℘+ 34231211 - De esa manera tenemos el valor de PA. - Si queremos encontrar una diferencia de presiones entre un punto A y un punto B, únicamente lo que hacemos es encontrar las presiones de cada punto por separado mediante el método anteriormente usado y luego hacemos una resta común y corriente de ambas presiones. Cuando tenemos un gas como fluido, la presión es la misma en cualquier punto que se encuentre en el fluido, entonces en este caso la presión es independiente de la posición, sea en un plano horizontal o un plano vertical, esto se debe a que como la densidad de un gas es muy pequeña, entonces se puede despreciar, por lo tanto también podemos despreciar la presión que ejerce. º A PA = PB = PC GAS º B º C La presión es la misma en todos los puntos independientemente de la posición. Cuando tenemos los siguientes casos : 14
  • 15. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Ejemplo 1.- Una altura de presión de 30 cm de mercurio a que altura de agua equivale, a que altura de aceite equivale. hHg * ϕHg = hH2O * ϕH2O hHg * ϕHg = hAceite * ϕAceite hH2O = (hHg * ϕHg) / ϕH2O hAceite = (hHg * ϕHg) / ϕAceite hH2O = (13.6 * 30) / 1 hAceite = (13.6 * 30) / 0.85 hH2O = 408 cm H2O hAceite = 480 cm Aceite Cuanto equivale a [kg / cm2 ]. P = 0.3 mm Hg * 13600 [kg /m3 ] P = 4080 [kg / m2 ] P = 0.408 [kg / cm2 ] Ejemplo 2.- Un líquido con viscosidad dinámica ν=1.5E-3 [ Kg–s /m2 ] fluye sobre una pared horizontal, calcular el gradiente de velocidades y el esfuerzo cortante en la pared a 2-3 cm de la misma. Suponiendo: a) Una distribución lineal de velocidades. b) Una distribución parabólica de velocidades. Y = 0.03 [m] ν=1.5E-3 [ Kg–s /m2 ] V = 0.45 [m/s] dx dy Solución a) Para Y = 0; V = 0 v = 15 * y [ ] [ ]m03.0 s/m45.0 dy dv = [ ]1 s15 dy dv − = 2 3 m Kg 0225.0 5.1E5.1 dy dv =τ ∗=τ ∗µ=τ − 15
  • 16. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Solución b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Y30Y500X 0X002.0Y06.0Y 45.0x0005.0403.0Y 0005.0P 045.0P4003.0 xxP4yy 2 2 2 2 0 2 0 +−= =∗+∗− −∗∗=− = −∗∗=− −∗∗=− ) v = -500Y2 +30Y 30Y1000 dy dv +−= ( )30Y1000E5.1 dy dv 3 +−=τ ∗µ=τ − Y = 0.03 [m] ν=1.5E-3 [ Kg–s /m2 ] V = 0.45 [m/s] Y(m) V (m/s) Y’ (s-1 ) τ (Kg / m2 ) 0 0.0000 30 0.0450 0.005 0.1375 25 0.0375 0.01 0.2500 20 0.0300 0.015 0.3375 15 0.0225 0.02 0.4000 10 0.0150 0.025 0.4375 5 0.0075 0.3 0.4500 0 0.0000 16
  • 17. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Ejemplo 3.- ¿ En que dirección y con que valor debemos mover la placa inferior para que la placa del centro este estática? V = 2000Y [ ] [ ]m001.0 s/m0.2 dy dv = [ ]1 s2000 dy dv − = [ ]s/m55.8vGasolina dy 725E6448.0 205.0 dv 8.9 1000 725.0OH dy 205.0 dv dy dv m Kg 205.0 2000E25.10 dy dv 002.0 0 6 VGasolina 0 2 Gasolina Gasolina 2 5 = ∗ ∗ = ∗=ρ⇒ρ∗δ=ρ ∗⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ρ∗ν = ∗µ=τ =τ ∗=τ ∗µ=τ ∫∫ − − δ Gasolina = 0.725 0.10 [cm] 0.20 [cm]Gasolina ν = 0.648E-6 [m2 /s] H2O µ = 10.25E-5 [Kg-s /m2 ] V = 2 [m/s] 17
  • 18. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Ejemplo 4.- La lectura del manómetro A colocado en el interior de un deposito de presión es 0.9 [Kg/ cm2 ]. Otro manómetro B colocado en el exterior del deposito de presión conectado con el marca 1.4 [Kg /cm2 ] de presión y un barómetro marca 700 [mmHg]. Hallar la presión absoluta que mide A en [mmHg]. Datos PA = 0.9 [Kg /cm2 ] PB = 1.4 [Kg /cm2 ] Patm = 750 [mmHg] PA = P1 – P2 y PB = P2 – P3 P2 = PB + P3 P1 = PA + PB + P3 P1 = (0.9 + 1.4) [Kg /cm2 ] + 750 [mmHg] P1 = [23000/13600] + 750 P1 = 2441 [mmHg] Ejemplo 5.- Determinar la cota en A. P1 = P2 P2 = 0.2 [Kg/ cm2 ] + 1000 [Kg/ m3 ]*H 3 2 1 A B P1 = P2h h = 85.8 -A H = 87.6 - A Cota = ¿? 87.6 [m] 85.8[m] 90 [m] δ = 1.60 δ =0.8 Aire Aire -23 [cmHg] 0.2 [Kg /cm2 ] 18
  • 19. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I P1 = - 23 [cmHg] + 0.8*1000[Kg/ m3 ]*4.2[m]+1.6*1000[Kg/ m3 ]*h P2 = 2000 + 1000*[87.6-A] P1 = - 0.23*13600+3360+1600*[85.8-A] P2 = 89600 – 1000 * A P1 = 137512 – 1600 * A 600 * A [Kg/ m3 ] = 47912 [Kg/ m2 ] A = 79.85 [m]. 19
  • 20. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS 4.1. Modulo de la fuerza. θ h = y * senθ dF hcg = ycg * senθ cg P = ℘ * h F = ℘ sen (θ) * ∫A y dA dF = P * dA Pero : ∫A y dA = ycg A dF = ℘h * dA F = ℘ *sen (θ) * ycg * A dF = ℘sen (θ) y * dA F = ℘ * hcg * A ..... (4.1) La ecuación (4.1) expresa que la fuerza que ejerce un líquido estático sobre una superficie plana sumergida en el, es igual al producto de su peso específico por la profundidad de su centro de gravedad y el área de la superficie de contacto. El centro de gravedad es el punto de aplicación de la fuerza del peso en un cuerpo y que no varía su posición, sea cual sea la posición del cuerpo. 4.2. Centro de presiones.- El centro de presiones es el punto donde se aplica la resultante de la fuerza hidrostática, esta fuerza es siempre perpendicular a la superficie sobre la que se aplica. y X Y cp F = ℘ hCG A dM1 = y dF dA h h CG y y CG X Y dA h dFF yCP 20
  • 21. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I dM1 = y ℘ sen(θ) y dA ⇒ M1 = ℘ sen(θ) ∫A y2 dA M2 = yCP F ⇒ M2 = yCP ℘ sen(θ) ∫A y dA Por el teorema de Barignon tenemos: M1 = M2 ⇒ ℘ sen(θ) ∫A y2 dA = yCP ℘ sen(θ) ∫A y dA ∫ ∫ = A A 2 CP ydA dAy y Y CG CP X En conclusión tenemos que : cg cg cg cp y Ay I y += * θ θ sen h Ah senI y cg cg cg cp += * * Donde : Icg = Momento de inercia de la superficie. A = Área de la superficie (de contacto). ycg = Profundidad del centro de masa medida desde el eje coordenado inclinado (Y) de referencia. hcg = Profundidad del centro de masa medida desde la superficie libre del fluido. θ = Ángulo de inclinación de la superficie plana. IXX = ICG + A y2 CG ∫ y dA = yCG A CG CG CG CP y Ay I y + × = θsen h y cg cg = yCP yCG 21
  • 22. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE SUPERFICIES ALABEADAS 5.1. Determinación de la componente de la fuerza en las tres direcciones. Y , X forman la superficie libre del fluido. dFx = ℘•z•ds•cos(α) ds•cos(α) = ds YZ ds•cos(β) = ds XZ ds•cos(Ω) = ds XY dFx = ℘•z•ds•ds YZ Fx = ℘∫A z•ds YZ Z ds cos(Ω ) ds cos(α) ds Proyección β α Ω X Y ( ) ( )Ω••℘= β••℘= α••℘= •℘= •= cosSdzFzd )cos(SdzFyd cosSdzFxd SdzFd SdpFd Fx = ℘*ZYZ * Aproy YZ Fy = ℘*ZXZ * Aproy XZ dFz = ℘•z•ds•cos(Ω) dFz = ℘•z•ds XY dFz = ℘•d VOL Fz = W La componente vertical de la fuerza es igual al peso del prisma de líquido que tiene por sección la superficie alabeada y la proyección en un plano horizontal. Este volumen del prisma puede ser real o imaginario. 22
  • 23. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I ∇ FV YCP FH El punto de aplicación de la fuerza vertical coincide con el CG del volumen del fluido que ejerce dicha fuerza sobre la superficie alabeada. 22 FVFHFR += FR FV FH br 2 FV 2 ×× π ×℘= Volumen resultante V2 FV2 V1 FV1 R 2R HCG YCP FH FV Z 23
  • 24. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I En la anterior figura mostramos las fuerzas hidrostáticas sobre una compuerta circular, para el cálculo de las componentes, vertical y horizontal, seguimos los siguientes pasos : Para el cálculo de la componente horizontal : Esta componente es igual a la fuerza que ejerce el fluido sobre la proyección de la superficie curva en un plano vertical, es decir que proyectamos esta superficie curva sobre un plano vertical y hacemos el estudio de esta proyección tomándola como una superficie plana y de esta manera obtenemos la componente horizontal asiendo un análisis como en el capítulo anterior de fuerza hidrostática sobre superficies planas. Para el cálculo de la componente vertical : En este caso la fuerza que ejerce el fluido es igual al peso del volumen de fluido que se encuentra sobre la compuerta o superficie curva, este volumen puede ser real o imaginario, es decir que muchas veces no hay fluido sobre la compuerta pero se considera como que si lo hubiera ya que la fuerza hidrostática es de todas maneras equivalente a ese peso del volumen de fluido. En la figura anterior podemos ver que son dos volúmenes los que se encontraban sobre la compuerta, un volumen sobre la parte superior de la compuerta (cuarta circunferencia) el cual ejerce una fuerza hidráulica vertical hacia arriba y otro sobre la parte inferior de la compuerta (la restante cuarta circunferencia) que ejerce una fuerza hidráulica vertical hacia abajo, entonces lo que hacemos es una resta de estos dos volúmenes y tendremos un volumen resultante que ejerce una fuerza hacia abajo que es igual al peso de dicho volumen resultante. En este caso el volumen V1 es imaginario y V2 es en su mayor parte imaginario, pero el volumen resultante es real. En el caso anterior hubo que hacer una diferencia de volúmenes ya que en la compuerta se podían presentar dos volúmenes sobre ella debido a su forma, en otros casos el volumen que se encuentra sobre la superficie es único. 5.2. Tensión de tracción en una tubería. Una tubería de sección circular sometido a la acción de una presión interna presentan esfuerzos de tracción en su periferia. La fuerza horizontal actúa sobre la proyección de la superficie curva. FH = 2 * P * R [Kg/ m] Se toma por un centímetro de tubería T1 = T2 = T = P * R t RP t T STracción × === t : Espesor de la tubería. FH R T2 = F tracción T1 = F tracción La presión del fluido se transforma 24
  • 25. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Ejemplo. Una tubería de acero de 10 cm de diámetro interior tiene una pared de 5 mm de espesor por una tensión de tracción permitida de 25 [Kg/ mm2 . Determinar la presión máxima que soporta. Solución : [ ] [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × ×⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = × =→→ × = 2 2 250 105 525 cm Kg P cm mm cm mm mm Kg P R tS Psabemos t RP S Altura de columna de agua : [ ] [ ]( ) [ ]OmmHh cm m m Kg cm Kg P hhP 2 3 3 3 2 2500 100 1 1000 250 =⇒ ×⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ℘ =⇒×℘= 25
  • 26. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I EMPUJE Y FLOTACIÓN 6.1. Principio de Arquímedes. La resultante de las fuerzas ejercidas por un fluido en reposo sobre un cuerpo sumergido o flotante se llama empuje. El empuje siempre actúa verticalmente hacia arriba, las componentes horizontales de las fuerzas hidrostáticas que actúan sobre el cuero se anulan siendo la resultante horizontal igual a cero. V1 V2 ...... (6.1) La ecuación (6.1) es la interpretación matemática del Principio de Arquímedes que dice : todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje vertical ascendente igual al peso del volumen del líquido desalojado. El punto de aplicación del empuje coincide con en centro de gravedad del volumen desalojado y se conoce como Centro de flotación o de Carena. ( ) ( )[ ] 6.2. Condiciones de equilibrio de los cuerpos flotantes. El equilibrio de un cuerpo flotante se clasifica en tres tipos: Estable, Inestable e Indiferente. Si una fuerza externa actúa sobre este cuerpo origina una inclinación lateral desestabilizando al mismo, cuando esta fuerza deja de actuar el cuerpo vuelve a su posición original, entonces se dice que este cuerpo está en equilibrio estable. Este tipo de equilibrio lo tienen los cuerpos con centro de gravedad bajo. Un cuerpo tiene un equilibrio inestable cuando si la fuerza que actúa sobre el hace que este cambie de posición, es decir que cuando la fuerza deja de actuar el cuerpo no vuelve a su posición inicial. Este equilibrio lo tienen los cuerpos con centro de gravedad alto. El cuerpo tiene un equilibrio indiferente si cuando actúa una fuerza sobre el, esta ocasiona que el cuerpo comience a rodar manteniendo su posición de equilibrio. Esto sucede cuando el cuero tiene un centro de gravedad medio. Por ejemplo una esfera. En la siguiente figura daremos unos ejemplos de cómo son las formas de equilibrio y daremos una equivalencia mecánica para un mejor entendimiento del procedimiento. F1 = P0 dA F2 = (P0 +℘z) dA 2V 00 12 2 dAzF dAPdAzPF dFdFF R V A R A R A R ℘ •℘= •−•℘+= −= ∫∫ ∫∫ ∫∫ 43421 P0 dA z E F = 26
  • 27. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Equivalencias F F F Inestable IndiferenteEstable 6.3. Estabilidad de cuerpos totalmente sumergidos. Los submarinos y los globos meteorológicos son el ejemplo de cuerpos totalmente sumergidos. La condición para estabilidad de cuerpos totalmente sumergidos en un fluido radica en que el centro de gravedad del cuerpo debe estar por debajo del centro de flotación o Carena. Por ejemplo supongamos un cuerpo cualquiera en ambas condiciones, primero que su centro de gravedad este pro debajo del centro de flotación y segundo que su centro de gravedad este por encima del centro de flotación, si aplicamos una fuerza para desestabilizar el cuerpo y luego la quitamos, esto es lo que sucede: Condición estable Si aplicamos la fuerza y luego la quitamos : E E E C G C G G C W W W (C arriba de G) (G arriba de C) (se estabiliza) (se voltea) F F F 6.4. Estabilidad de cuerpos flotantes. El metacentro (M), es la intersección del eje de simetría del cuerpo y la vertical que pasa por el nuevo centro de flotación (C’) en la nueva posición. 27
  • 28. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Un cuerpo flotante es estable si su centro de gravedad (G) esta por debajo del metacentro (M). M CM = Altura del metacentro c C CG = Altura del centro de gravedad. GM = Altura metacéntrica. El calado de un cuerpo flotante (c) es la distancia mayor que se encuentra sumergido el cuerpo, esta distancia es medida verticalmente desde la superficie libre del fluido. G W E C’ W a G C E b W =E ℘S * a * b * d = ℘ * c * b * d de esta manera obtenemos el calado de un cuerpo (c) que esta dado por : ac S • ℘ ℘ = 6.4.1. Determinación de la altura metacéntrica. F Vista lateral G θ Vista superior ∆W = ∆E = ∆F = Fuerza en las cuñas Tomando momentos en C: E’r = ∆F•S G C dA X ∆E y Ereal Eoriginal C’ C dA X ∆W M S 28
  • 29. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I dv = y •dA tg θ = y / x dv = x •Tg (θ) •dA dE = ℘•dv dE = ℘ • x • Tg (θ) • dA dM0 = dE • x dE = ℘ • x2 • Tg (θ) • dA M0 = ∫∫A ℘ • x2 • Tg (θ) • dA = ∆F • S ∆F • S = ℘ • Tg (θ) ∫∫A x2 • dA ∆F • S = ℘ • Tg (θ) • Ix E’ = ℘ V Sumergido r = MC sen(θ) E’S = ∆F•S ℘ VS• MC sen(θ) = ℘ • Tg (θ) • Ix Para θ ≈ 0 (muy pequeño) ⇒ sen(θ) ≅ tg(θ) SV I MC = GCMCMG ±= GC V I MG S ±= Habrá estabilidad siempre y cuando MG > 0 ⇒ MC > GC. Donde : I = Momento de inercia de la sección del cuerpo en contacto con el fluido (visto de planta). VS = Volumen de cuerpo sumergido. CM = Altura del metacentro. GM = Altura metacéntrica. CG = Altura del centro de gravedad. Nota : El momento de inercia es de la sección del cuerpo que tiene contacto con el fluido, esto visto desde arriba, es como que si hiciéramos un corte siguiendo la superficie libre del fluido y que corte el cuerpo, esa sección que nos queda es sobre la cual sacamos el momento de inercia respecto del eje que pasa por su centro de gravedad. Utilizamos el signo (-) si el centro de gravedad (G) esta por encima del centro de flotación (C). Utilizamos el signo (+) si el centro de gravedad (G) esta por debajo del centro de flotación (C). 6.5. Aplicaciones. El densímetro ó hidrómetro se basa en el principio de Arquímedes y sirve para medir la densidad relativa de un líquido en base al agua. El experimento se presenta de la siguiente manera: 29
  • 30. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I De la anterior ecuación despejamos δx y obtenemos la densidad relativa que buscamos ya que los demás parámetros son datos que se tienen o se pueden medir. a ℘x ∆Η a ℘0 V0 = ℘x (V0 – a * ∆Η) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −×=∆Η + ×℘ ×℘ −=∆Η x x a V a V a V δ 1 10 000 ℘0 W = ℘0 V0 W = ℘x (V0 – a * ∆Η) 30
  • 31. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I EQUILIBRIO RELATIVO 7.1. Introducción. Se dice que un fluido esta en equilibrio relativo cuando estando en movimiento no cambia la posición relativa de sus partículas comportándose como un sólido. 7.2. Aceleración lineal uniforme. dw Σ FX = dm • aX Σ FX = dm • aY ( ) YX X X a y P a x P adzdydxdzdydx x P admydzddx x P Pdzdydx x P P ρρ ρ = ∂ ∂ −= ∂ ∂ − •••=•• ∂ ∂ − •=•⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +−•⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − 2 1 . 2 1 Σ FZ = dm • aZ ( ) ( ) ( )Z Z Z ag Z P gdzdydxadzdydxdzdydx Z P admdWdydxdz z P Pdydxdz z P P +⋅=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ••••+••••=••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − •=−•⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −+•⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +− ρ ρρ 2 1 2 1 Z dydzdx x P 2 1 P ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − dxdydz z P 2 1 P ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + dydzdx x P 2 1 P ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + X dxdydz z P 2 1 P ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − 31
  • 32. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Integrando la anterior ecuación tenemos que : ( ) ZagP Z ⋅±⋅−= ρ pero sabemos que : Z = - h ⇒ ( ) hagP Z ⋅±⋅= ρ Esta ecuación nos permite calcular la presión de un fluido que se encuentra sometido a una aceleración lineal constante sobre el eje vertical. Esta aceleración será (+) si el sistema esta ascendiendo y será (-) si el sistema esta descendiendo. Nota : La anterior ecuación sirve únicamente cuando el sistema se esta moviendo sobre el eje vertical (eje z), en otro caso no sirve. Cuando tenemos el caso que el sistema tiene una aceleración en una dirección cualquiera con un ángulo ¨α¨ de inclinación respecto de la horizontal (este ángulo no tiene nada que ver con las fórmulas que vamos a encontrar), entonces dicha aceleración tendrá dos componentes (ax , az), entonces tendremos que : ( )( ) ( ) ( ) ( ) dx dz tgademás ag a dx dz dzgadxaaSi dzgadyadxa dzgadyadxadP dz z P dy y P dx x P dP Z X ZXy ZyX ZyX =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ± ± −= =•++•⇒= =•++•+• =•+•+••+••−= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = θ ρρρ : 00 0 0 Donde : θ = Es el ángulo que se inclina la superficie del fluido cuando este está en movimiento. ax = Componente horizontal de la aceleración. az = Componente vertical de la aceleración. La componente vertical de la aceleración [az] es (+) cuando el sistema asciende y (-) cuando el sistema desciende. Para el caso de la componente horizontal [ax] es (+) cuando el sistema va hacia la derecha y (-) cuando el sistema va hacia la izquierda. +z En pocas palabras hay que tomar los signos de los ejes coordenados : -x +x -z 32
  • 33. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I La componente horizontal de la aceleración forma un ángulo ¨α¨ con la horizontal, no confundir este ángulo con el ángulo ¨θ¨ de inclinación del fluido en movimiento el cual es usado en la anterior fórmula de la tangente. Si el sistema se mueve sobre el eje x ⇒ az = 0, lo único que hacemos es reemplazar este valor de az = 0 en la anterior ecuación, entonces lo que nos queda es : Z X ag a dx dz tg ± ± −==θ ⇒ g a dx dz tg X± −==θ 7.3. Velocidad angular constante. Z X La anterior expresión, es la ecuación de la parábola que forma el fluido al estar sometido a un movimiento giratorio, como el que se ve en la anterior figura. Para el cálculo de las presiones en cualquiera de los casos tenemos que considerar los mismos conceptos de un sistema estático donde P = ρgh solo que hay que considerar la presencia de la nueva aceleración o aceleraciones y tomar en cuenta la deformación del fluido. w x dP = - ρaX dx - ρaY dy - ρ(g + aZ)dz aX dx + g dz = 0 pero : aX = aC w 2 x ⇒ w 2 x dx + g dz = 0 Integrando : ∫ w 2 x dx + ∫ g dz = ∫ 0 Cgz x w =+ 2 2 2 Podemos concluir que : 2 2 2 x g w z ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 33
  • 34. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Ejemplo 1.- Hallar la fuerza de presión hidrostática. Ejemplo 2.- Determinar el centro de presiones de la siguiente distribución de presiones. Ejemplo 3.- Hallar la fuerza resultante sobre la compuerta. FH = ℘ hCG A PROY 2 2 1 3 14 61000FH ×π ×⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π× × +×= FH = 10091.445[Kg] Nota : - La fuerza horizontal se la calcula solo en la figura proyectada, tomando el centro de gravedad de la misma figura proyectada. H A B θ ℘ hCG F = ℘ hCG A CG CG CG CP y Ay I y + × = h 3 2 y 2 h h 2 h 12 h y CP 3 CP = + × = 1 [m] h 6 [m] R = 1[m]H2O 34
  • 35. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I - Mientras que la fuerza vertical se la calcula en la superficie de la figura. FV = ℘ VESFERA ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ×π×××= 3 1 3 4 4 1 1000FV FV = 1047.1975[Kg] 22 FVFHFR += FV = 10145.633[Kg] Ejemplo 4.- La compuerta articulada en B tiene dimensiones de altura 4 metros, ancho 3 metros y soporta los tirantes de agua de 5 metros y 2 metros, entonces se requiere hallar: a) La reacción en el apoyo en A . b) La magnitud de la tensión necesaria para mover la compuerta, considerando despreciable la fricción en la articulación. F1 = ℘* hCG * A1 F1 = 6000 [Kg] F2 = ℘* hCG * A2 F2 = 36000 [Kg] 1CG 11CG 1X 1CP Y AY I Y + × = YCP1 = 1.333 [m] 2CG 22CG 2X 2CP Y AY I Y + × = YCP2 = 3.444 [m] Σ FX = 0 F1 – F2 + T cos(60) = 0 T = 60000 [Kg] Σ MB = 0 T * cos(60) * 4[m] – F1 * YCP1 + F2 * (YCP2 – 1) = RA * 4 [m] RA = 50000 [Kg] 3 m 4 m F1 T F21 m 2 m A 60º 5 m 4 m 35
  • 36. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Ejemplo 5.- Determinar las presiones en A y B y cual es el volumen que se derrama del recipiente. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + −=θ ga a )(Tg Z X ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∗ =θ g30sen*a 30cosa arcTg θ = 4.80º X h )(Tg ∆ =θ 2 L *X*)(Tgh θ=∆ 2 1 *168.0h =∆ ∆h = 0.0839 [m] Como la altura libre del fluido es 0.05 [m] y el ∆h = 0.0839 [m] se derrama líquido. V Escurrido = V0 - VF V0 = 2 [m3 ] y = 2 * Tg(θ) y = 0.1679 [m] h? = 1.05 – 0.1679 h? = 0.882 [m] [ ] [ ] [ ] [ ]m1*m2* 2 m882.0m05.1 VF + = VF = 1.932 [m3 ] V Escurrido = 0.068 [m3 ] PA = ℘* hA PA = 1000 [Kg /m3 ] * 1.050 [m] PA = 1050 [Kg /m2 ] PB = ℘* hB PB = 1000 [Kg /m3 ] * 0.882 [m] PB = 882 [Kg /m2 ] a = 1 [m / s] 30º 1.05 m 1 m 2 m ∆h 1 m Y h? 36
  • 37. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Ejemplo 6.- Un cilindro de altura 6 metros y ancho 3 metros contiene agua hasta los 5 metros y se hace girar a una velocidad angular de 40 rpm. Se quiere saber si se derrama agua y hallar la presión en B. 2 2 x g2 w Z = w = 40 rpm ⇒ w = 4.1888 [rad / seg] ( )2 2 2 m2 seg m 81.92 seg rad 1888.4 Z ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = Z = 3.5772 [m] ½Z = 1.7886 [m] Como la superficie libre del cilindro sin líquido es 1 metro y ½Z = 1.7886 metros el cual es mayor se derrama líquido. PB = ℘* hB PB = 1000 [Kg /m3 ] * (6 - 1.7886)[m] PB = 4211.4 [Kg /m2 ] Z ½ Z ½ Z 2 m 1m 5 m w = 40 rpm 6 m 37
  • 38. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I HIDRODINÁMICA 8.1. Introducción. La hidrodinámica trata de los fluidos en movimiento, a nosotros nos va a interesar como siempre estudiar el agua. A lo largo de la historia los científicos han deducido ecuaciones empleando la teoría y la experimentación para poder entender los fenómenos que se dan en el movimiento del fluido. 8.2. Campos de flujo. Campo de flujo es cualquier región en el espacio donde hay un fluido en movimiento, en cada punto de este flujo es posible determinar o especificar una serie de magnitudes físicas, que pueden se escalares, vectoriales y tensoriales a su vez cada una de sus magnitudes forman campos. Un campo escalar se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la cantidad física a lo cual corresponde: la presión, densidad, temperatura. Un campo vectorial además de la magnitud necesita definir una dirección y un sentido para la cantidad física a la que corresponde estos son tres valores escalares. Un campo tensorial requiere nueve o más componentes escalares como por ejemplo: Esfuerzo, Deformación unitaria y Momento de Inercia. Los campos escalares y vectoriales de un campo de flujo en general son funciones del espacio y del tiempo ya que su magnitud puede variar no solo de un punto a otro sino también de un instante a otro. 8.3. Clasificación de los fluidos. Existen diferentes criterios para clasificar un flujo y estos criterios han dado como resultado por ejemplo: - Flujo Permanente y no permanente. - Flujo Uniforme y o uniforme. - Flujo Tridimensional, Bidimensional y Unidimensional. - Flujo Laminar y turbulento. - Flujo Incompresible y compresible. - Flujo rotacional y irrotacional. Cada un de estos flujos esta relacionado con cada efecto físico. Se dice que un flujo es permanente cuando las características mecánicas del mismo no varían en el tiempo pero pueden variar de un punto a otro. Un flujo es permanente cuando: 000 = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ t Q tt v ρ Un fluido no es permanente cuando: 000 ≠ ∂ ∂ ≠ ∂ ∂ ≠ ∂ ∂ t Q tt v ρ 38
  • 39. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Un flujo uniforme es cuando la variación de la velocidad se mantiene constante en el espacio: 0 s v = ∂ ∂ . Un flujo no es uniforme cuando: 0 s v ≠ ∂ ∂ . Un flujo es tridimensional cuando las características varían en el espacio o sea que en el gradiente del flujo existen tres direcciones, que es el caso mas general del flujo. Un flujo es bidimensional cuando sus características son idénticas sobre una familia de planos paralelos no habiendo componente en la dirección perpendicular de dichos planos es decir que el flujo tiene gradiente de velocidad, de presión o ambas en dos direcciones exclusivamente. Un flujo es unidimensional cuando sus características varían como funciones del tiempo y de una coordenada curvilínea en el espacio, usualmente la distancia medida a lo largo del eje de conducción. La clasificación de los flujos en laminar y turbulento es el resultado propiamente de la viscosidad del fluido y no habría distinción entre ambos en ausencia de la misma.. En un instante (t) En un instante (∆t) No varían V, ρ, P en un flujo permanente.V3, ρ3, P3 V2, ρ2, P2 V1, ρ1, P1 V1 = V2 = V3 en un tiempo (t) V’1 = V’2 = V’3 en un tiempo (∆t) V ≠ V’ V1, ρ1, P1 V3, ρ3, P3 V1, ρ1, P1 2D 3D 39
  • 40. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I El flujo laminar se caracteriza porque el movimiento de las partículas se produce siguiendo trayectorias separadas perfectamente definidas, no necesariamente paralelas, sin existir mezcla macroscópica o intercambio transversal entre ellos, si se inyecta un colorante de la misma densidad del líquido dentro de un flujo laminar este se mueve como un filamento delgado que sigue la trayectoria del fluido. El flujo turbulento se caracteriza porque las partículas se mueven en trayectorias totalmente caóticas desordenadas, pero es lo que se da en la realidad. La clasificación de los flujos en compresible o incompresible son el resultado propio de la densidad. Un flujo es compresible cuando se tiene una variación de la densidad. Un flujo es incompresible se tiene un densidad constante. Se dice que el flujo es rotacional cuando el flujo además de que sus partículas fluyen también rotan, esto sucede cuando las partículas se encuentran apegadas a las paredes y un flujo es irrotacional cuando sus partículas se encuentran en movimiento pero no rotan. 8.4. Métodos para describir un flujo. Con el fin de obtener la representación completa de un fluido es necesario determinar la presión de cada partícula en cada instante y después identificar la velocidad en cada posición a medida que el tiempo transcurre. Método de Euler (Euleriano). Consiste en determinar las características cinemáticas en cada punto de un flujo y en cada instante sin considerar el destino que tenga cada partícula individual, elegida la posición de una partícula en el espacio en las cuales sus características cinemáticas son funciones del tiempo. Método de Lagrange. Consiste en determinar las características cinemáticas del movimiento de cada partícula en cada instante siguiendo su recorrido, entonces cada característica es función del espacio y del tiempo. Euler evalúa a la partícula en una ventana sin que le involucre el origen y el destino. r1 r2 r3 Lagrange sigue la trayectoria de la partícula 8.5. Líneas de corriente, trayectoria y tubo de flujo. De este flujo conocemos su campo de velocidad, se define flujo de corriente a toda línea trazada idealmente en el interior de un campo de flujo de manera que la tangente en cada uno de sus puntos proporcione la dirección del vector velocidad correspondiente al punto mismo. 40
  • 41. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Pueden ser representadas por ecuaciones: Z Z Y Y X X ZZ YY XX V d V d V d dtVd dtVd dtVd dtVds dt ds V == •= •= •= •=⇒= Tubo de corriente es l agrupación de varias líneas de corriente. La trayectoria es la línea que describe idealmente una partícula de flujo al moverse. Cuando un flujo es permanente la línea de corriente coincide con la trayectoria de las partículas. V1 V2 Las líneas de corriente de flujo no se cortan Tubo de corriente Línea de corriente Trayectoria de la partícula (No coincide con la línea de flujo en general). 41
  • 42. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I 8.6. Concepto de gasto o caudal. dS dA S V dVol = dS • dA dS = V • dt dVol = V • dA • dt AVQ A Q V A dAV V dAVQ dAV dt dVol dQ A A ⋅=⇒= • = •= •== ∫∫ ∫∫ V dA 8.7. Ecuación fundamental de la hidráulica. a) Conservación de la materia. (Principio de continuidad) b) Segunda Ley de Newton. (Impulso y cantidad de movimiento) c) Conservación de la energía. (Primera Ley de la termodinámica). d) Segunda Ley de la termodinámica. El principio de conservación de la materia o movimiento nos permite derivar la primera ecuación fundamental o de continuidad que admite diferentes simplificaciones de acuerdo al tipo de flujo que se trate o de la hipótesis que se deseen considerar. La segunda Ley de Newton establece la relación fundamental entre la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula y la variación en el tiempo de la cantidad de movimiento de acuerdo a la forma en que este se aplique puede conducir a dos ecuaciones la primera que es una componente escalar según el flujo llamada de energía que permite calcular las diferentes transformaciones de la energía mecánica dentro del flujo y las cantidades disipadas en energía calorífica que en el caso de los líquidos no se aprovecha. La segunda de tipo vectorial llamada de impulso y de cantidad de movimiento permite determinar algunas fuerzas que produce el flujo si se conoce el cambio e cantidad de movimiento y las restantes fuerzas. 8.8. Volumen de control. Un volumen de control es un espacio imaginario que esta dentro de un campo de flujo fijo dentro de un sistema de coordenadas y de forma y magnitud constantes, el contorno de dicho volumen se llama superficie de control. En el análisis se considera el intercambio de masa, energía, cantidad de movimiento a través de las fronteras del volumen de control que pueden ser de diferente tamaño diferencial o de magnitud finita la integración aproximada de las ecuaciones del movimiento dentro de una vena líquida o tubo de flujo, simplifica la solución y equivale a utilizar volúmenes finitos de control. 42
  • 43. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I El procedimiento consiste el suponer que el movimiento del líquido en cualquier conducción se estudia como si fuera una vena líquida o tubo de flujo tanto en el caso de conducciones forzadas o a presión (tuberías) por las paredes rígidas de la frontera, como el caso de conducciones abiertas (canales) en parte por paredes rígidas y en parte con la superficie libre del fluido en contacto con la atmósfera. Vena líquida o tubo de flujo, la pared coincide con la superficie del cuerpo. 8.9. Ecuación de continuidad. Se deriva del principio de conservación de la materia. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 1 2 1 = ∂ •••∂ +•••⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ••• ∂ ∂ ••• ∂ ∂ ••• ∂ ∂ =••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ −−••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ + t dzdydx dzdydx z V y V x V dydxdz z V dzdxdy y V dzdydx x V dzdydx x V Vdzdydx x V V ZYX ZYX X X X X ρρρρ ρρρ ρ ρ ρ ρ QQ ( ) dzdydx x V 2 1 V X X ••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ρ∂ −ρ ρV ( ) dzdydx x V 2 1 V X X ••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ρ∂ +ρ dy dx dz 43
  • 44. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Como el volumen de control no cambia en el tiempo (t) toma la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 = ∂ ∂ + = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ t Vdiv tz V y V x V ZYX ρ ρ ρρρρ Las ecuaciones anteriores son dos formas de expresar la ecuación diferencial de continuidad que vale en general para un flujo compresible y no permanente. a) Compresible y permanente. 0 t = ∂ ρ∂ div(ρV) = 0 b) Incompresible y no permanente ρ = Cte. div(V) = 0 c) Incompresible y permanente ρ = Cte. div(V) = 0 0 t = ∂ ρ∂ 8.9.1. Ecuación de continuidad para una vena líquida o una vena de corriente. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 dt d1 dt dA A 1 s V 0 dt ds dt d t 1 t A dt dA s A As V A 1 0 dt ds st A t A dt ds s A s V A dt ds V0 t a t A s VA s V A s A A 0 t A s VA 0ds t A ds s VA =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ρ ρ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ρ + ∂ ρ∂ ρ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ρ + ∂ ∂ ρ ⇒=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ρ∂ + ∂ ρ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ+ ∂ ∂ ρ =⇔= ∂ ρ∂ + ∂ ∂ ρ+ ∂ ρ∂ + ∂ ∂ ρ+ ∂ ∂ ρ = ∂ ρ∂ + ∂ ρ∂ ⇒=• ∂ ρ∂ +• ∂ ρ∂ La anterior ecuación de continuidad donde se produce un flujo no permanente y compresible. Si el flujo es permanente la ecuación tendría la siguiente forma: -VAρ dA dS V2 A2 ρ2 V1 A1 ρ1 dS ( ) ds s VA VA • ∂ ρ∂ +ρ 44
  • 45. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I ( ) .cteVA0 s VA 0 t 0 t V =ρ⇒= ∂ ρ∂ ⇒= ∂ ρ∂ ⇒= ∂ ∂ Si el flujo es permanente y incompresible tendría la siguiente forma: ( ) QAVAV .cteVA.cte0 s VA 2211 == =⇒=ρ⇒= ∂ ρ∂ Esta última ecuación es la de continuidad para una avena líquida donde se produce un flujo permanente e incompresible. 8.10. Ecuación de la energía. dndbds s P 2 1 ••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎛ • ∂ ∂ +τ ⎝ dndbds s P 2 1 ••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ −τ dsdbdn n P 2 1 P ••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ − dbdnds s P 2 1 P ••⎟ ⎠ ⎞ ⎝ • ∂ ∂ +⎜ ⎛ dsdbdn n P 2 1 P ••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ + dndbds s P 2 1 P ••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ − db ds dn ρg•db•ds•dn P, V, ρ, τ Z a) dbdnds s P dndbds s P 2 1 Pdndbds s P 2 1 P ••• ∂ ∂ −=••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ +−••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ − b) dbdsdn n P dbdsdn n P 2 1 dbdsdn n P 2 1 ••• ∂ ∂ −=••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ +τ−••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ −τ 45
  • 46. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I ( ) ( ) s z dndsdbg s z coscosdndsdbg ∂ ∂ ••••ρ−∴ ∂ ∂ =θ⇒θ••••ρ− t v dt ds s v s z g n 1 s P1 t v dt ds s v dndbdsgdndbds s z g ns P t v dt ds s v adt t s ds s v dv ds dv a adndbdsgdndbds s z g ns P adm s z dndbdsgdbdsdn n dbdnds s P admF S S SS ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ τ∂ ρ + ∂ ∂ ρ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ••••ρ=••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ •ρ− ∂ τ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ =∴• ∂ ∂ +• ∂ ∂ =⇒= ••••ρ=••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ •ρ− ∂ τ∂ + ∂ ∂ − •= ∂ ∂ ••••ρ−••• ∂ τ∂ +••• ∂ ∂ − •=∑ Esta última es la ecuación diferencial del movimiento o ecuación diferencial de Euler. 1 2 3 4 5 1) Se debe a la diferencia de presión (gradiente) en la línea de corriente. 2) Fuerza por unidad de masa debido a la fricción interna entre partículas del fluido que se oponen al movimiento (disipación de energía a calor). 3) Es la fuerza por unidad de masa debido al peso del elemento que estamos considerando. 4) Representa el cambio de energía cinética que experimenta, la masa a lo largo de toda la línea de corriente. 5) Es la aceleración local que experimenta la unidad de masa. En el sentido normal: R v n z g s P R v dndbdsgdndbds n z g s P adm n z dndbdsgdndbds s P 2 2 n −= ∂ ∂ •ρ− ∂ ∂ − ••••ρ−=•••⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ •ρ− ∂ ∂ − •= ∂ ∂ ••••ρ−••• ∂ ∂ − Nos permite hacer el análisis de las fuerzas en sentido normal a la superficie [F m]. Análisis en el sentido de la binormal ( no existe aceleración). 0 P z g b P1 = ∂ ∂ •− ∂ ∂ ρ − Ecuaciones del movimiento para flujos compresibles y no permanentes. 46
  • 47. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I 8.10.1. Ecuación del movimiento para una línea de corriente. ( )tcds t v g 1 ds ng2 vP z ds t v g 1 ds n dzdvv g 1 dP 1 ds t v g 1 ds n ds ds dz ds ds dv1 ds ds dP1 ds t v g 1 ds s v v g 1 ds s z dn n 1 ds s P1 )ds(dividido t v g 1 s v v g 1 s z n 1 s P1 2 + ∂ ∂ +−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ℘ τ ∂ ∂ −+ ℘ + ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ℘ τ ∂ ∂ −=−•+ ℘ − ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ℘ τ ∂ ∂ −=− ℘ + ℘ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ τ∂ ℘ + ∂ ∂ ℘ − ⇒ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ τ∂ ℘ + ∂ ∂ ℘ − ∫ ∫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ℘ τ ∂ ∂ − ds n : Es la energía por unidad de peso utilizada para vencer las fuerzas de fricción, se transforma en energía calorífica no aprovechable por esta razón se la considera como perdida de energía; por ello se lo denomina hf. ∫ + ∂ ∂ −=−+ ℘ + )t(cds s v g 1 hf g2 vP z 2 a) Permanente 1Chf g2 vP z0 t v 2 =−+ ℘ +∴= ∂ ∂ b) Sin fricción .cte g2 vp z0 2 =+ ℘ +∴=τ A la ecuación anterior se la conoce con el nombre de ecuación de Bernoulli para una línea de corriente. Para la normal se tiene la siguiente ecuación. . 1 1 2 2 ctez P R g dn R v dzdP g dn entredividiendo R v n z g n P =+ ℘ ∞=⇒−=−− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⇒−= ∂ ∂ − ∂ ∂ − ρ ρ 47
  • 48. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I 8.10.2. Ecuación de la energía para un tubo de corriente o una vena líquida. ∫∑ ∫∫ ∫∫ • ∂ ∂ −α+ ℘ +=−α+ ℘ + α+ ℘ ++• ∂ ∂ −=•⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ℘ τ ∂ ∂ −α+ ℘ + •⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =β • ∂ ∂ −=•⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ℘ τ ∂ ∂ −•α+ ℘ + 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 A 2 ds t BV g 1 g2 VP Zhf g2 VP Z g2 VP Zds t BV g 1 ds ng2 VP Z dA V v A 1 ds t BV g 1 ds n dvv g 1 dP 1 dz Donde: Z: Energía potencial por unidad de peso, carga de posición en que esta referido a un plano horizontal de referencia [FL/F] ⇒ [L]. P/℘: Energía por unidad de peso correspondiente al trabajo mecánico, ejecutado por las fuerzas debidas a la presión, también conocida como carga de presión. V2 /2g: Energía cinética del tubo de corriente por unidad de peso conocida también como carga de velocidades. Σhf: Perdida de energía por unidad de peso debido a las fuerzas cortantes internas que tiene el fluido o perdida de carga. cte g2 vP z 2 =α+ ℘ + v La velocidad no se distribuye. dA V v A 1 3 A •⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =α ∫∫ A: Área de la sección. v: Distribución de velocidades V: Velocidad media α: Coeficiente de Coriolis. V 48
  • 49. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I ∫ • ∂ ∂ 2 1 ds t BV g 1 : Energía por unidad de peso debido a la variación local de velocidad. a) ∫ • ∂ ∂ 2 1 ds t BV g 1 [Permanente] b) Σhf [Sin fricción] g2 VP Z g2 VP Z 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 α+ ℘ +=α+ ℘ + Ecuación de Bernoulli para un tuno de corriente. La línea de energía o de alturas totales unen los puntos que indican en cada sección, la energía total de la corriente; es decir la energía debida a la presión, velocidad y potencial. Esta línea no puede ser horizontal y decrece en sentido del flujo, si no se añada energías externas.. La diferencia de nivel de la línea de corriente entre dos puntos representa la perdida de carga o disipación de la energía por unidad de peso del líquido que fluye. La línea piezométrica une los puntos que marcan en cada sección, la suma de las energías debido a la posición y a la presión, esta línea esta separada de la línea de energía una distancia igual a g2 V2 2 2α . La línea de energía y la línea piezométrica son paralelas en tramos donde se tiene sección constante estas líneas se unen en puntos donde el fluido esta en reposo. En los tramos donde la línea piezométrica se encuentran por debajo del eje de simetría del tubo de corriente se producen presiones negativas. Σhf g2 V2 2 2α P1 /℘ P2 /℘ Z 2Z 1 Línea de energía o línea de energías totales. Línea piezométrica. g2 V2 1 1α 49
  • 50. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Generalización de la ecuación de Bernoulli. g2 VP ZHHH g2 VP Z 2 2 2 2 2LEA 2 1 1 1 1 α+ ℘ +=−−+α+ ℘ + HA: Energía por unidad de peso que se añade al flujo en el tramo considerado. HE: Energía por unidad de peso que se extrae del flujo en el tramo considerado. HL: Energía por unidad de peso perdida en el tramo considerado. P Negativa Carga de presión 8.10.3. Potencia hidroeléctrica generada. h Energía entre el punto 1 – 2. g2 VP ZHHH g2 VP Z 2 2 2 2 2LEA 2 1 1 1 1 α+ ℘ +=−−+α+ ℘ + No existe energía añadida de fuera del sistema. V1 = 0 0 50
  • 51. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I g2 V ZHHZ 2 2 22LE1 α+=−− [ ]WattsHQP g2 V HhH g2 V HZZH EG 2 2 2LE 2 2 2L21E ××℘×η= α−−= α−−−= Donde: η: Representa el rendimiento del conjunto de una turbina, generador, resulta de la multiplicación de la eficiencia de la turbina, eficiencia del generador y la eficiencia del transformador las cuales nos da el fabricante. η = ηT · ηG · ηTRANS 8.10.4. Potencia de bombeo. En el anterior caso extraíamos energía mientras en este caso generamos energía. g2 VP ZHHH g2 VP Z 2 2 2 2 2LEA 2 1 1 1 1 α+ ℘ +=−−+α+ ℘ + V1 = 0; V2 = 0; atm PP 21 = ℘ = ℘ Z1 + HA – HL = Z 2 HA = Z 2 – Z1 + HL HA = h - HL ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⋅⋅℘ = s mKgHQ P A B η h 2 1 0 51
  • 52. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Donde: η: Eficiencia de la bomba que depende de la eficiencia volumétrica [ηV]; eficiencia mecánica [ηM] y la eficiencia hidráulica [ηH]. Estos dados por el fabricante. [ ] [ ]HP HQ PCV HQ P A B A B ηη × ××℘ = × ××℘ = 7675 Aplicación del tubo de Pitot (Sirve para determinar velocidades en el flujo). g2 VP ZHHH g2 VP Z 2 2 2 2 2LEA 2 1 1 1 1 α+ ℘ +=−−+α+ ℘ + Z1 = Z 2; V2 = 0; P1 = ℘· h; P2 = ℘[h · ∆h] Por consiguiente: hgV ∆⋅⋅= 21 Aplicación del tubo Venturi o venturímetro. (sirve para determinar caudales). g2 VP ZHHH g2 VP Z 2 2 2 2 2LEA 2 1 1 1 1 α+ ℘ +=−−+α+ ℘ + V1A1 = V2A2 = Q pero sabemos que: 2 2 1 1 ; A Q V A Q V == 1 2 h ∆h 52
  • 53. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 21 2 1 2 2 22 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1212 12 21 2121 2 2 2 1 2 2112 2 2 2 0 2 ; 11 2 1 AA gh AAQ AAQAAhg AA AA g Q h AA AA g Q ZZhZZ ZZh PP yPZZyhP AAg Q PPZZ − = −=⋅⋅⋅− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − += ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − +−+=− −+= ℘ − ⋅℘=−++⋅℘= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+− ℘ =− Con esta última determinamos el caudal teórico. V1 V2 h y Z 2 – Z 1 2 1 8.11. Ecuación de la cantidad de movimiento. La ecuación de la cantidad de movimiento proviene de la consideración del carácter vectorial de la 2º principio de Newton y establece que el impulso es igual a la cantidad de movimiento siendo ambas cantidades vectoriales. El impulso es la resultante de las fuerzas que actúan sobre un determinado volumen de control multiplicado por el tiempo que ellas actúan. La cantidad de movimiento es el producto de la masa por la velocidad que por supuesto tiene la misma dirección de la fuerza resultante señalada. dFx•dt = d[MV]X dFx•dt = ρdA•ds•VX dM = ρdA•ds Donde: dFx: Será la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el elemento diferencial proyectadas según el eje X. 21dA ds 53
  • 54. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Z2Z 1Y2Y 1X2X A 3 1X2X 2 1 X 2 1 X XX QQFz QQFy QQFx dA V v A 1 dQVVFx tetanconsQ dQds s V dFx dQdAV dtVds ds s V dsdAdtdFx dt t V ds s V dsdAdtdFx dt t V ds s V dV βρ−βρ= βρ−βρ= βρ−βρ= •⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =β •−ρ=∆ = •⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ ρ= =• •= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ ••ρ=• ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • ∂ ∂ +• ∂ ∂ ••ρ=• • ∂ ∂ +• ∂ ∂ = ∑ ∑ ∑ ∫∫ ∫∫ La ecuación general es: ( )VQF rr ⋅⋅⋅∆=∑ βρ Determina la fuerza en un tubo. 54
  • 55. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Ejemplo 1.- El sistema mostrado en la figura debe transportar 160 litros por segundo de una aceite de peso específico igual a 760 [Kg / m3 ] del recipiente A hacia el B, suponiendo que la perdida de energía entre A-B es de 2.5[m] y entre el tamo C-D es de 6.5[m]. Determinar la potencia de la bomba suministrada al sistema y dibujar la línea de energía y la línea piezométrica, y la presión en el punto C y B. g2 VP ZHHH g2 VP Z 2 2 2 2 2LEA 2 1 1 1 1 α+ ℘ +=−−+α+ ℘ + HA = Z 2 – Z1 + HL HL = HAB + HCD HA = 60 – 15 + 2.5 + 6.5 [m] HA = 54 [m] [ ] [ ] [ ]HPP HP s mKg m s m m Kg HP HQ P B A B 4.86 176 54160.01000 76 3 3 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − × ×⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ×⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = × ××℘ = η Punto Cota V2 / 2g HA HL Cota Piezo P / ℘ L. Energía A 15 0 0 0 15 0 15 B 3 0,26 0 2,5 12,24 9,24 12,5 C 3 0,26 54 2,5 66,24 63,24 66,5 D 60 0 54 9 60 0 60 Bomba φ = 3 [m] 1-A 2-BElev. 15 [m] Elev. 60 [m] Elev. 3 [m] φ = 3 [m] 55
  • 56. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Graficando la solución: Sabemos que : 24.63 P 24.9 P CB = ℘ ⇔= ℘ Entonces se tiene que: PB = 9.24 ×℘ PB = 7022.4 [Kg / m2 ] PC = 63.24 ×℘ PC = 48062.4 [Kg / m2 ] Ejemplo 2.- Calcular la lectura del manómetro colocado en el estanque de la figura para las condiciones indicadas de Potencia 2.5 [HP]; rendimiento 0.8y un caudal de 20 [lt/s]. H1-2 = 2V2 /2g, H3-4 = 1.5V2 /2g ; y H4-5 = ¿?. g2 VP ZHHH g2 VP Z 2 4 4 4 4LEA 2 1 1 1 1 α+ ℘ +=−−+α+ ℘ + 66.5 – 66.24 12.5 – 12.24 Elev. 1 [m] 5 3 1 P = ? φ = 5 [cm] φ = 8 [cm] Bomba 0.2 [m] 0.22 [m] Elev. 0 [m] 2 4 Elev. 10[m] Elev. 2[m] 56
  • 57. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]mH mH HVV g PPZZH m Kg PHH g VP ZZP KgPm m Kg m Kg mP mH s m m Kg HP H Q P H HQ P mHmH s m V m s m V A Q V s m V m s m V A Q V H g VP Z P Z L AAL LA AA B A A B A 4936.11 19336. 2 11 12260 2 230022.02.010001360020.0 6.7 02.01000 8.0765.276 76 94.762.1 186.10 025.0 02.0 978.3 04.0 02.0 2 54 2 5 2 1515 21 2 44 141 4334 3 3 4321 322 3 3 3 3 222 3 2 2 2 2 4 4 4 4 1 1 −= −= −−+− ℘ +−= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⇒⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−+ ℘ +−℘= =⇒+×⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ×= =⇒ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ×⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ×× =⇒ ×℘ ×× =⇒ × ××℘ = =⇒= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⇒ × ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⇒= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⇒ × ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⇒= −+ ℘ += ℘ + − −− η η π π α Ejemplo 3.- Calcular la reacción Fx de la superficie sobre la cual choca el chorro de agua. V2 = V1·cosθ = Vo V2 V2 Fx Volumen de control V1 A0 57
  • 58. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1cos 1cos cos 1 2 00 2 00 0000 12 12 1122 −= −= −= −= === −= ∆=∑ θρ θρ θρ ρ βββ ββρ βρ VARx VAFx VVVAFx VVQFx VVQFx VQF XX XX Ejemplo 4.- Una tubería de 60 [cm] de diámetro que transporta 900 litros por segundo de aceite de densidad relativa de 0.85 tiene un codo de 90º en un plano horizontal. La perdida de energía que se produce en el codo es de 1.10 [m], la presión en la entrada del codo es de 10 [Kg / cm2 ]. Determinar la fuerza resultante que el aceite ejerce sobre el codo. ( )VQF βρ∆=∑ ( ) ( ) 2 00 2 00 2 00 2 00 VA2Rx11VARx 180 VARx10VARx 90 ρ−=⇒−−ρ= °=θ ρ−=⇒−ρ= °=θ 90º Sección 1 P1 Sección 2 P2 R Ry Rx 58
  • 59. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Análisis en el eje X ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]Kg78.8730Rx m3.0 s m 9.0 s m 8.9 m Kg 1000 85.0m3.0 m Kg 30000Rx A Q QRxRP A Q V0V VVQRxAP 1 VQVQFx 22 23 2 2 3 22 2 1 2 11 X1X2 X1X211 21 X11X22 = ×π ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ×+×π×⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ρ=−π =∴= −ρ=− =β=β=β βρ−βρ=∑ Análisis en el eje Y. ( ) Y222 Y1Y1Y2 QVRyAP 0VVVQFx ρ=+− =⇒−ρ=∑ [ ] [ ] [ ] [ ] °=θ⇒⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =θ =⇒+= = ×π×⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ×π ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ×= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ×⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ×−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ℘×−= + ℘ +=+ ℘ + − 12.44 Rx Ry Tg Kg52.12161RRyRxR Kg177.8466Ry m3.0 m Kg 29065 m3.0 s m 9.0 s m 8.9 m Kg 1000 85.0Ry m Kg 29065P 85.0 m Kg 100010.1 m Kg 30000P 10.1PP g2 VP Z g2 VP Z 1 22 22 222 23 2 2 3 22 222 ACEITE12 2 12 2 2 11 1 59
  • 60. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I FLUJO EN TUBERÍAS 9.1. Introducción. En los capítulos anteriores no se han considerado las perdidas de energía por fricción por tratarse de un problema localizado de flujo sin embargo en estructuras muy largas las perdidas de energía por fricción son muy importantes por este motivo se han investigado teórica y experimentalmente para cuantificar las perdidas por fricción apelando a formulas que nos permitan determinar estas perdidas. 9.2. Flujo laminar. El flujo laminar tiene las siguientes características: - Las partículas se mueven según trayectorias paralelas formando el conjunto de ellas capas o láminas. - Los módulos de las velocidades de capas adyacentes no tienen el mismo valor. - El flujo laminar esta gobernado por la ley que relaciona la tensión de corte con la velocidad angular de deformación, y que viene dada por la siguiente ecuación: dy dv µ=τ - Otra característica es que la viscosidad del fluido es la magnitud física predominante y su acción amortigua cualquier tendencia a la turbulencia. 9.3. Número de Reynolds. En 1883 este científico sobre la base de experimentos fue el primero que propuso un criterio para distinguir al flujo laminar del turbulento mediante el número que lleva su nombre el cual permite evaluar la preponderancia de las fuerzas viscosas sobre las de inercia, para el caso de un conducto de sección circular que funciona a presión el número de Reynolds tiene la siguiente expresión: ℘ × = dV Re Donde: [V] = Velocidad media del flujo [m/s] [d] = Diámetro de la sección de la tubería [m] [℘]= Viscosidad cinemática del fluido [m2 /s] En el caso de conductos de sección recta no circular se utiliza la longitud característica el radio hidráulico que es el cociente del área mojada d la sección recta sobre el perímetro majado de la misma y el número de Reynolds tiene la siguiente expresión. 60
  • 61. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Sin presión ρ = A R Funcionando a presión cuando el fluido cubre toda la sección b h ( ) bh2 bh Re R4V Re + × = ℘ × = Tirante hidráulico 9.4. Velocidad crítica. La velocidad crítica de interés práctico para el ingeniero es aquella velocidad por debajo de la cual toda turbulencia es amortiguada por la acción de la viscosidad del fluido , la experiencia demuestra que el límite superior para el régimen laminar en tuberías tiene fijado por valor del número de Reynolds que esta alrededor de 2000. arminLa2000Re Turbulento2000Re 2000 dV Re →< →> ≈ ℘ × = Un limite entre el flujo turbulento y laminar se da para un número de Re ≤ 2000. 9.5. Análisis del flujo totalmente desarrollado en tuberías. El flujo totalmente desarrollado es aquel que presenta idéntica distribución de velocidades en cada una de sus secciones. 61
  • 62. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I 9.6. Tensión de corte en una sección de la pared de la tubería. Para y = 0 ⇒ τ = 0 Para y = r ⇒ τ = τ max τ max τ max x y dx r y τ τ P P- dP Para un flujo permanente se tiene que aX =0 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =τ πτ−π−−π •=∑ dx dP 2 y ydx2ydPPyP admFx 22 X Si el flujo es totalmente desarrollado se tiene: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =τ − = ∆ ∆ = = L PP 2 y L PP x P dx dP cte dx dP 21 21 Esta última valida para flujo laminar y turbulento ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =τ L PP 2 r 21 MAX g2 VP ZHHH g2 VP Z 2 2 2 2 2LEA 2 1 1 1 1 α+ ℘ +=−−+α+ ℘ + 1 2 62
  • 63. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I ( ) r L2 H y L2 H L PP 2 y PP H PP 1 HZZH L MAX L21 21 L 21L21L ℘ =τ ℘ =τ⇒⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =τ ℘ − = − ℘ =⇒−= El esfuerzo cortante será mayor cuando la rugosidad en la tubería sea mayor. 9.7. Flujo laminar. ( )22L 2L LL yr L4 H v ry0vy L4 H v ydy L2 H dv dy dv y L2 H dy dv − µ ℘ −= =∴=⇒ µ ℘ −= µ ℘ −=⇒µ= ℘ µ−=τ velocidad para una tubería de flujo laminar ( ) 2L MEDIA2 r 0 22L MEDIA r 0 MEDIA 2L MAX 2L MAX r L8 H V r ydyyr L4 H 2 V A ydyv2 A dAv A Q V d L4 H Vr L4 H V µ ℘ =⇒ π − µ ℘ π = π = • == µ ℘ =⇒ µ ℘ = ∫ ∫∫ Velocidad máxima Velocidad media 63
  • 64. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I π µ ℘ = π µ ℘ ==⇒= 4L 22L MAXMEDIA r L8 H Q rr L8 H VAQV 2 1 V 9.8. Formula de Darsicy – Weisbach. Estos dos investigadores han hallado empíricamente una relación para hallar las perdidas en tuberías de diámetro constante para un flujo permanente. Donde: f = Factor de fricción [adimensional]. L = Longitud de la tubería donde se evalúa las perdidas por fricción [m]. V = Velocidad media del flujo [m/s]. d = Diámetro de la tubería [m]. g = Aceleración de la gravedad [m/s2 ]. hF = perdida de energía por fricción [m]. Donde : f = f ( ε/d, Re) ε = Rugosidad medida en milímetros. f = f (ε/d, Re). g2 v d L fh 2 F = ε 64
  • 65. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I 9.9. Coeficiente de fricción para flujo laminar. Re 64 f gd2 LV Re 64 H d 1 g2 V Re L64 H Vd Re d 1 g2 V dV L64 H gVd2 VL64 H V2 V2 gd VL32 H g 4 d VL8 H 2 d r gr VL8 H g rV rH L8 H 4 d VQVAQ rH QL8 Hr L8 H Q 2 L 2 L 2 L 2 2 L2L2L 2L 2 4 L L 2 4 L L 4L =⇒⇒= =⇒ γ =⇒ γ = γ =⇒× γ =⇒ γ = =⇔ γ =⇒ γ = ℘ µ ⇒π π℘ µ = π =⇒=⇒ π℘ µ =⇒ µ π℘ = Cuando es laminar existe solo Reynolds Re < 2000. 2 AV dAv 3 4 AV dAv 3 3 2 2 ==α⇒==β ∫∫ 9.10.Flujo turbulento. En un flujo turbulento nos interesa determinar los factores de fricción: F = f (ε /d, Re). Si se tiene tuberías completamente lisas f = f (Re). Para tuberías totalmente rugosas el coeficiente de fricción depende solamente de la rugosidad relativa. f Re (ε /d)(ε /d, Re)(Re) ε /d ε /d 65
  • 66. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ε −= ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ε −= −= fRe 51.2 7.3 dlog2 f 1 7.3 dlog2 f 1 8.0fRelog2 f 1 El diagrama de MOODY nos permite hallar el coeficiente de fricción. Ecuación de PRANDTL Para flujo turbulento en tuberías lisas. Ecuación de KARMMAN Flujo totalmente turbulento en tuberías rugosas. Ecuación de COLEBROOK Formula universal para tuberías lisas y rugosas. Zona Laminar Zona Crítica Zona de transición Zona Turbulenta f = f (Re) Flujo caótico f = f (ε /d, Re) F = f (ε /d) Re ≤ 2000 2300 > Re > 4000 Re > 4000 9.11.Perdidas locales. Se refiere a las perdidas por artefactos como: llaves, codos, salidas o entradas a tanques. g2 V Kh g2 V d L fh hhH 2 K 2 F KFL =⇒= += ∑∑ ΣhF = Perdidas por fricción. ΣhK = Perdidas por artefacto. K = 0.5 K = 0.8 K = 1.5 K = 2 K = 0.3 66
  • 67. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I SISTEMA DE TUBERÍAS 10.1. Formula de Hazen – Williams. Esta formula es una de las mas utilizadas en el sistema de análisis de sistemas de conducción de agua, su uso es limitado al flujo de agua en conductos mayores a 5 [cm] y mayores a 2 [m] de diámetro, la velocidad no debe exceder a los 3 [m/s] además que fue desarrollada para una temperatura de 5ºC el tratamiento a temperaturas mucho mayores podría dar algún error. La formula por ser empírica es especifica en las unidades. Para el sistema internacional de unidades: V = 0.8424 CR0.63 S0.54 Donde: V = Velocidad media del flujo [m/s]. C = Coeficiente de rugosidad de Hazen – Williams [adimensional]. R = Radio hidráulico [m]. S = Pendiente de alturas piezométricas. Una ventaja que tiene la formula es que el coeficiente C depende únicamente de la viscosidad relativa esta hace que pueda ser utilizada en conductos que no siempre sean circulares. - Tuberías rectas y muy lisas. C = 140 - Tuberías, alcantarillas vitrificadas. C = 110 - Tuberías para fundición en malas condiciones. C = 80 10.2. Tuberías en serie. El mas sencillo de los sistemas consiste en único conducto alimentado en el extremo aguas arriba por un recipiente una bomba y con descarga libre o a otro recipiente, el conducto pude tener cambios geométricos o artefactos de modo que se producen perdidas de energía locales o por fricción. Para el análisis de tuberías en serie se utilizan, la ecuación de continuidad y la ecuación de energía. LN, dN, QN, KN K2, L2, Q2, d2, K3 L1, d1, Q1,K1 67
  • 68. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I g2 V hhH g2 VP ZH g2 VP Z VAQ 2 S KFL 2 2 2 2 2L 2 1 1 1 1 ++= α+ ℘ +=−α+ ℘ + = ∑∑ g2 V2 S Carga de velocidad en la sección final, en el caso de la descarga libre o a la atmósfera, o es la perdida de descarga en otro recipiente. En los sistema de tuberías en serie el caudal que pasa por los diferentes conductos es el mismo y la perdidas totales la suma de todas las perdidas locales y por fricción que se dan en un tramo considerado. g2 V hhH Q......QQ 2 S KFL N21 ++= === ∑∑ a) Teniendo como datos: h, Li, di, γ, ε i podemos calcular Q = ¿?. b) Teniendo como datos: h, Li, di, Q, γ, ε i menos un diámetro podemos calcularlo d =¿?. Solución a. g2 VP ZHHH g2 VP Z 2 2 2 2 2LEA 2 1 1 1 1 α+ ℘ +=−−+α+ ℘ + Z1 – Z 2 = HL ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++= ++= ∑∑ ... g2 V K g2 V K... g2 V d L f g2 V d L f g2 V H g2 V hhH 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 S 2 S 2 1 E 2 1 F H 2 1 68
  • 69. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I γ =⇒⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ==⇒= = ε ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++++++= ∑ = 11 1 22111SS N 1i 2 1 1 2 i i i i S 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 S dV Re s m #V AVAVQAVQ # d g2 V K g2 V d L f1 gH2 V ... g2 V K g2 V K... g2 V d L f g2 V d L f1 g2 V H - Tantear en la zona de transición. - Hallamos VS para obtener en caudal para todas las tuberías. - Calculamos el numero de Reynolds para obtener una f. - Determinar con la f hallada todo nuevamente . - Obtener una f que no varíe de la anterior con lo cual el ejemplo ya esta resuelto. Solución b. d Q4 Ref Hg LQ8 d dg LQ8 fH gd2 LV fH 5 2 52 22 πγ =⇒ π = π =⇒= - Primero hallamos la diferencia de alturas H. - Seguidamente el primer diámetro - Luego calcular el número de Reynolds. - Calculamos ε/d , con ello hallamos nuevamente f. - Calcular el diámetro nuevo y el número de Reynolds que no debe variar. d = ¿? H 2 1 69
  • 70. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I 10.3. Tuberías equivalentes. Los problemas de tuberías en serie pueden resolverse por el método de longitudes equivalentes. Se dice que dos sistemas de tuberías son equivalentes cuando la misma pérdida de energía produce el mismo caudal en ambos sistemas. Tubería 1: g Q8 d L fh 4 d Q A Q V gd2 VL fh 2 2 5 1 1 11F2 1 1 1 1 1 1 2 11 11F π =⇒ π ==⇒= Tubería 2: g Q8 d L fh 4 d Q A Q V gd2 VL fh 2 2 5 2 2 22F2 2 2 2 2 2 2 2 212 22F π =⇒ π ==⇒= 83 26 2 9.0 5 1 2 2 1 125 2 22 5 1 11 212F1F 1010 1010 Re 74.5 d7.3 log25.0f d d f f LL d Lf d Lf QQhh <ε< <ε< ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ε = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⇒= =⇒= −− Esta última formula es la de SWAMER Y JAIN 10.4. Tuberías en paralelo. En ocasiones es necesario derivar varios ramales de un mismo conducto como se muestra en la figura. En estos sistemas a diferencia de las tuberías en serie, donde el mismo caudal fluye a través de la tubería. h 1 = h 2 = h 3 = .......= h n Q = Q1 + Q2 + Q3 + ....+ Q n B A 1 2 3 . i n L. E. ∆H 70
  • 71. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I a) Conociendo la perdida entre los puntos A y B se desea determinar el caudal que va a circular por cada tubería. b) Conociendo el caudal total se desea determinar la perdida de energía entre los puntos A y B y los caudales que circulan por cada una de las tuberías. Solución a. ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ⇒=⇒= +=⇒ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += += iiii i i j i i ii j i i i i j i i i 2 i 2 i j 2 i i i i QQAVQ K gH2 V K d L fK K d L f gH2 V K d L f g2 V H g2 V K g2 V d L fH Solución b (primer método). 1) Suponer un caudal Q1’ a través de la tubería 1. Q L d L d Q i 2 i 1 2 1 ' 1 × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ 2) Con este caudal hallemos la perdida de carga H1’. 3) Utilizando esta perdida hallamos los caudal Q 2, Q 3,....,Q i, ...., Q n. 4) Determinamos los caudales para una perdida común, hallamos los caudales. Q Q Q Q.....Q Q Q QQ Q Q Q ' ' n n' ' 2 2' ' 1 1 ×=⇒⇒×=⇒×= ∑∑∑ 5) Comparar la exactitud de los valores hallados comparando las perdidas. Q1 → H1 H1 → 7.391 Q2 → H2 H2 → 7.392 Q3 → H3 H3 → 7.389 : : : : Qn → Hn Hn → 7.390 Solución b (segundo método). Se supone la existencia de una tubería que transporta un caudal equivalente a todos los ramales. 71
  • 72. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Tubería equivalente He. He = H1 = H2 = H3 Q = Q1 + Q2 + Q3 +....+ Qn Ve Ae = V1A1 + V2A2 + V3A3 +......+ Vn An Además la velocidad de la tubería equivalente es: g Q K d H gd KQ H g V KH K dd K K d K d d K gHd K gHd K gHd K gHd K gH d A K gH V n i i e ee e n i i e e n i ee e n n ne e e e e e e e 2 2 1 2 1 42 22 2 1 2 1 4 1 2 1 2 22 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 8 8 2 1 4 2 ... 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = =⇒= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⇒ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ++++= =⇒= ∑ ∑ ∑ = = = π π πππππ π Tubería ficticia A BA B 10.5. Redes abiertas. Se dice que una red es abierta cuando los tubos o cañerías que la componen se ramifican sucesivamente sin interceptarse formando circuitos. Los tramos finales de las ramificaciones pueden terminare un recipiente o descargar libre a la atmósfera. 72
  • 73. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−=⇒= + ℘ +=−+ ℘ + ∑∑ g V ZZhhH g VP ZH g VP Z i ji j i j i jj j ii i 2 22 2 22 Z j es el nivel libre de la superficie de agua, si el tubo descarga a un recipiente o bien el centro de gravedad de la sección final si el tubo descarga a la atmósfera.. el subíndice j corresponde a las características hidráulicas de la sección j. ∑ j 1 h Es la suma de las perdidas de energía por fricción y por artefactos que se dan en el recorrido desde el punto 1 hasta el punto j, toma signo positivo en aquellos elementos en que la dirección del flujo coincide con la dirección del recorrido y negativo en caso contrario. Por ejemplo para el extremo 7 tenemos lo siguiente: 1366221 2 13 131 733221 2 7 71 2 2 −−− −−− −−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +− ++=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +− hhh g V ZZ hhh g V ZZ Además en cada nudo o punto de ramificación se debe cumplir la siguiente ecuación de continuidad y se establece como convención que los caudales que entran al nudo son negativos y los que salen de el son positivos. 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Nodos 73
  • 74. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I ΣQ = 0 Positivo (+) Negativo (-) Negativo (-) Positivo (+) 10.6. Redes cerradas. Se conoce como red cerrada a aquella en la cual los conductos que la componen se cierran formando circuitos, estas redes tienen la distribución de agua potable en ciudades y en industrias. Caudal de demanda Q 74
  • 75. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Ejemplo 1.- Determinar la perdida de carga en un extremo de tubería nueva de fundición sin recubrimiento de diámetro igual a 30 [cm] y 1000 [m] de longitud cuando fluye agua a 15ºC con una velocidad de 1.5 [m/s]. Datos: d = 30 [cm] L = 1000 [m] v = 1.5 [m/s] ε = 0.024 [cm] γ = 1.13E-6 [m2 /s] [ ] [ ] [ ]mhh g V d L fh f dcm cm d RE E RE Vd RE FFF 45.7 81.92 5.1 30.0 1000 0195.0 2 0195.0008.0 30 024.0 088.398230 13.1 3.05.1 22 6 =⇒ × ××=⇒= =⇔=⇒= =⇒ × =⇒= − εε γ Ejemplo 2.- En la figura se muestra una tubería simple formada por tres tramos, el tercero de los cuales tiene intercalado dos codos, cual será el caudal que circula cuando la válvula esta totalmente abierta. Datos: L1 = 500 [m] L2 = 1000 [m] L3 = 600 [m] d1 = 0.2 [m] d2 = 0.4 [m] d3 = 0.2 [m] Tubería de hierro colado ε = 0.00026 [m] γ = 1E-6 [m2 /s] K1 = 0.5 K2 = 0.57 K3 = 0.37 K4 – K5 = 0.20 K6 = 0.20 K5 K6 K1 K2 K3 K4 150 [m.s.n.m.] 200 [m.s.n.m.] 75
  • 76. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⇔=⇒⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = =⇒=⇒= =⇒=⇒= ++++++++ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++++++++= ++++++++= =⇔=⇒== =⇒−= +=−⇒+ ℘ +=−+ ℘ + s m Q d VQ s m V fff ddd KKK d L fK d d d L f d d K d d d L f d d K gH V KKK d L fK d d d L f d d K d d d L f d d K g V H g V K g V K g V K g V d L f g V K g V d L f g V K g V d L f g V KH A AV V A AV VAVAVAV mnsmHZZH g V HZZ g VP ZH g VP Z BA B LBA BB BL AA A 32 3 33 321 321 654 3 3 334 2 4 3 2 2 24 2 4 3 24 1 4 3 1 1 14 1 4 3 1 3 654 3 3 334 2 4 3 2 2 24 2 4 3 24 1 4 3 1 1 14 1 4 3 1 2 3 2 6 6 2 5 5 2 4 4 2 3 3 3 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 33 2 1 33 1332211 222 0898.0 4 86.2 021.0018.0021.0 0013.000065.00013.0 2 2 222222222 ....50 222 π εεε 018.0019.0018.0 572000285600572000 86.286.2714.0 8.89 321 ' 3 ' 2 ' 1 1 1 3 3 2 2 332211 =⇒=⇒= =⇒=⇒= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ==⇒⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ==⇒⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ == ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⇒=== fff RERERE s m A Q V s m A Q V s m A Q V s litros QAVAVAVQ 76
  • 77. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I Ejemplo 3.- Calcular el caudal que circula en el sistema en paralelo mostrado en la figura. La presión en el punto A es de 530 [kPa] y en el nudo B es de 130 [kPa], ambas presiones son manométricas y las tuberías son de hierro fundido. Datos: PA = 530 [kPa] PB = 130 [kPa] ε = 0.15 [mm] ρ = 999.1 [Kg/m3 ] γ = 1.141E-6 [m2 /s] L1 = 278 [m] L2 = 230 [m] L3 = 200 [m] d1 = 0.15 [m] d2 = 0.21 [m] d3 = 0.25 [m] ΣK1 = 7.4 ΣK2 = 6.1 ΣK3 = 8.0 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]s mQAVQ s mVf RE s mVf RE s mVf d s mQAVQ s mVf RE s mVf RE s mVf d mH s m m Kg m N m N PP H d L f gH V BA i i i i 3'' 1 '' 2 '' 2 ' 2 ' 2 22 2 2 3'' 1 '' 1 '' 1 ' 1 ' 1 11 1 1 23 22 1935.0588.50178.0 809.1028540588.50178.0 975.1022878557.50181.000071.0 078.0417.40181.0 780.580448415.4018.0 230.562573243.40196.0001.0 85.40 81.91000 130000530000 4.7 2 =⇔=⇒=⇒= =⇒=⇒= =⇒=⇒=⇒= =⇔=⇒=⇒= =⇒=⇒= =⇒=⇒=⇒= = × ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ℘ − ℘ =⇒ + = ε ε B 1 2 3 A 77
  • 78. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]s mQQ s mQAVQ s mVf RE s mVf RE s mVf d 3 3'' 3 '' 3 '' 3 ' 2 ' 3 23 3 3 5665.0295.01935.0078.0 295.0006.601774.0 283.1316017005.60177.0 564.132426204.60174.00006.0 =⇒++= =⇔=⇒=⇒= =⇒=⇒= =⇒=⇒=⇒= ε Ejemplo 4.- Calcular la perdida en el tramo A-B de la siguiente figura. Datos: PA = 6 [Kg/cm2 ] ZA = 30 [m] QT = ¿? γ =31E-6 [m/s] ZB = 25 [m] PB = ¿? L1 = 900 [m] L2 = 600 [m] L3 = 1200 [m] d1 = 0.3 [m] d2 = 0.2 [m] d3 = 0.4 [m] ε1 = 0.0003 [m] ε2 = 0.00003 [m] ε3 = 0.00024 [m] 1 2 3 A B 78
  • 79. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I [ ] [ ] [ ]mH fff ddd K d L f g V H s mVV d Q V s mQQQ L d L d Q j T i i 708.7 0174.00129.00196.0 0006.00015.0001.0 2 603.1 3.0 113.044 113.034.0 1200 4.0 600 2.0 900 3.0 900 3.0 321 3 3 2 2 1 1 1 1 1 2 1' 1212 1 ' 1 1 3' 1222 2 ' 12 1 2 1 ' 1 = =⇒=⇒= =⇒=⇒= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += =⇒ × × =⇒= =⇒× ++ =⇒= ∑ ∑ εεε ππ 79
  • 80. Universidad Mayor de San Andrés Univ. Hernan Ramiro Suyo Laruta Facultad de Ingeniería Hidráulica I [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]mHmHmH s mV s mV s mV s mQ s mQ s mQ s mQ s mQ s mQ s mV s mV s mV fff RERERE mHmHmH s mV s mV s mV s mQ s mQ s mQ Q Q Q s mQ s mV K d L f gH V s mQ s mV K d L f gH V i 26.5320.53215.53 401.4710.4201.4 553.0148.0297.0 210.00565.0113.0 672.1801.1748.7 0181.00156.00197.0 333.5825333374005050000 836.50574.5050.50 369.4061.5103.4 549.0159.0290.0 214.0701.1 2 0621.0976.1 2 121 321 3 3 3 2 3 1 3'' 1 3'' 2 3'' 1 '' 3 '' 2 '' 1 ' 3 ' 2 ' 1 121 121 321 3 3 3 2 3 1' ' 1 1 3' 33 3 3 3 3 3 3' 22 2 2 2 2 2 =⇒=⇒= =⇒=⇒= =⇒=⇒= =⇒=⇒= =⇒=⇒= =⇒=⇒= =⇒=⇒= =⇒=⇒= =⇒=⇒= =⇒=⇒=⇒= =⇔=⇒ + = =⇔=⇒ + = ∑ ∑ ∑ 80