Estudio funciones trigonometricas

1. ÍNDICE
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA DE
FUNCIONES
Tabla representación
gráfica de funciones
Ejercicios rep. graf.
trigonométricas I
Ejercicios rep. graf.
trigonométricas II
Representación de funciones trigonométricas
Representa gráficamente la función: y = sen2 x
Tipo de función
Función trigonométrica.
Dominio y rango o recorrido
• Dom(f) = R = (-∞, +∞)
• Im(f) : Calcularemos su imagen o recorrido a través de su función invesa
y = sen2(x) ⇒ ±√y = sen(x) ⇒ arcsen(±√y) = x
Intercambiamos las variables y estudiamos el dominio de la nueva función: y = arcsen(±√x)
• El dominio de la función arc sen(x) es: [-1 , 1]
• La raíz cuadrada está bien definida sólo en los números positivos: [0 , ∞)
Por tanto, su dominio es: [-1 , 1] ∩ [0 ,∞) = [0 , 1]
O lo que es lo mismo, la imagen de nuestra función es: Im(f) = [0 , 1]
Periodicidad
Vamos a escribir f(x) de otra forma equivalente que nos permita calcular su período.
Usaremos la fórmula del coseno del ángulo doble: cos(2x) = cos2(x) - sen2(x)
Y también: 1 = cos2(x) + sen2(x)
cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) ⇔ cos(2x) = (1 - sen2(x) ) - sen2(x) ⇔ cos(2x) = 1 - 2sen2(x) ⇔
⇔ 2sen2(x) = 1 - cos(2x) ⇔ sen2(x) = (1 - cos(2x) )/2
Ahora sí sabemos calcular su período teniendo en cuenta que el período de la función coseno es 2π :
El período de f(x) es T = π .
Por tanto haremos el estudio de la función en el intervalo: [0 , π )
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función es continua en toda la recta real R por ser una función trigonométrica.
Puntos de corte con los ejes
Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.
Puntos de corte con el eje Y:
Si x = 0 ⇒ y = sen2(0) ⇒ y = 0 ⇒ (0 , 0)
Puntos de corte con el eje X:
Si y = 0 ⇒ 0 = sen2(x) ⇒ 0 = ± sen(x) ⇒ x = 0 ó x = π
Luego los puntos de corte con el eje X son: (0 , 0) , (π , 0)
Intervalos de signo constante
Como los puntos de corte con el eje OX son x = 0 y x = π , y el período de la función es [0 , π ) , estudiaremos el signo
en el intervalo: (0, π)
Intervalo (0, π)
Punto de prueba f(π/2) > 0
Signo de f (x) +
En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.
Simetrías
f(- x) = sen2(-x) = (- sen(x))2 = sen2 x = f(x) ⇒ Tiene simetría par.
sen (-x) = - sen x
Asíntotas
No tiene asíntotas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
f ' (x) = 2 sen (x) cos (x)= 0 ⇒ 2 sen (x) cos (x) = 0
La ecuación será igual a 0 cuando sen(x)= 0 ó cos(x) = 0
sen (x) = 0 ⇔ x = 0 , x = π
cos(x) = 0 ⇔ x = π/2
Estudiaremos sólo aquellos puntos que estén dentro del período de la función: (0, π/2) , (π/2, π)
Intervalo (0 , π/2) (π/2 , π)
Punto de prueba f ' ( π/3) > 0 f ' (3π/4) < 0
Signo de f ' (x) + -
Monotonía Crece Decrece
Máximos y mínimos relativos
Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son x = 0 , x = π y x
= π/2 , vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.
Hallamos la derivada segunda: f '' (x) = 2( cos(x) cos(x) - sen(x) sen(x) ) = 2( cos2x - sen2x )
• f '' (0) = 2 > 0 ⇒ Hay un mínimo en x = 0 ⇒ f(0) = 0 ⇒ Min (0, 0)
• f '' (π) = 2 > 0 ⇒ Hay un mínimo en x = π ⇒ f(π) = 0 ⇒ Min (π, 0)
• f '' (π/2) = -2 < 0 ⇒ Hay un máximo en x = π/2 ⇒ f(π/2) = 1 ⇒ Min (π/2, 1)
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
f '' (x) = 2( cos2x - sen2x ) = 0 ⇒ cos2x = sen2x ⇒ cos x = sen x ⇒ x = π/4 , x = π/4 + π/2 = 3π/4
Por tanto, los puntos que anulan la ecuación son: x = π/4 , x = 3π/4
Tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (0, π/4) , ( π/4, 3π/4) , (3π/4 , π):
Intervalo (0, π/4) ( π/4, 3π/4) (3π/4 , π)
Punto de prueba f '' ( π/6) > 0 f '' ( π/2) < 0 f '' (2π/3) > 0
Signo de f '' (x) + - +
Curvatura Concava (∪) Convexa (∩) Concava (∪)
La función es cóncava hacia arriba o simplemente concava en (0, π/4) ∪ (3π/4 , π) y concava hacia abajo o convexa en el
intervalo ( π/4, 3π/4) .
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda son x = π/4 , x = 3π/4 y vamos a
determinar a través de la tercera derivada si se tratan de un punto de inflexión.
f ''' (x) = 2[ - 2cos(x)sen(x) - 2sen(x)cos(x) ] = 2[ - 4cos(x)sen(x) ] = - 8cos(x)sen(x)
f ''' (π/4) = - 4 ≠ 0 ⇒ x = π/4 es la abscisa del punto de inflexión ⇒ f(π/4) = 1/2 ⇒ Punto inflexión ( π/4, 1/2)
f ''' (3π/4) = 4 ≠ 0 ⇒ x = 3π/4 es la abscisa del punto de inflexión ⇒ f(3π/4) = 1/2 ⇒ Punto inflexión (3π/4, 1/2)
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