Este documento contiene las soluciones a 8 preguntas de un examen final. La primera pregunta involucra el uso de tablas de verdad para determinar si expresiones son tautologías, contradicciones o contingencias. La segunda pregunta involucra operaciones con polinomios como multiplicar y dividir. Las preguntas 3 y 4 se refieren a operaciones con binomios y trinomios al cubo y factorización de expresiones. Las preguntas 5 y 6 tratan sobre la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de redu

1. SOLUCIONARIO DE EXAMEN FINAL
1
1. PREGUNTA.
Usando tablas de verdad demostrar el valor de verdad de las siguientes expresiones, si
es TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA.
a) ⌊(𝐩 𝐪)  (𝐪  𝐫)  (𝐫  𝐬)  𝐬 ⌋  𝐩
Sea el conjunto A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; B = x  A/ 4 < x  8 ; C = x 
A/ x  6 ; D = x  A/ x > 6
b) A  B =
SOLUCIÓN a):
 ES TAUTOLOGÍA.
SOLUCIÓN b):
A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
B = 5, 6, 7, 8
Calculando (A  B) tenemos:
A B = {1, 2, 3, 4, 9,10}
 A B = {1, 2, 3, 4, 9,10}.
 A B = {1, 2, 3, 4, 9,10}.
2. PREGUNTA. Operaciones con Polinomio.
a) Multiplicar:
(𝑥4
− 5𝑥 + 2)(𝑥2
− 2𝑥 + 3)
b) Dividir:
𝑃(𝑥) = (𝑥4
− 2𝑥3
− 11𝑋2
+ 30𝑥 − 20) : 𝑄(𝑥) = (𝑥2
+ 3𝑥 − 2)

2. SOLUCIONARIO DE EXAMEN FINAL
2
SOLUCIÓN a):
(𝑥4
− 5𝑥 + 2)(𝑥2
− 2𝑥 + 3)
= 𝒙 𝟔
− 𝟐𝒙 𝟓
+ 𝟑𝒙 𝟒
− 𝟓𝒙 𝟑
+ 𝟏𝟎𝒙 𝟐
− 𝟏𝟓𝒙 + 𝟐𝒙 𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟔
= 𝒙 𝟔
− 𝟐𝒙 𝟓
+ 𝟑𝒙 𝟒
− 𝟓𝒙 𝟑
+ 𝟏𝟐𝒙 𝟐
− 𝟏𝟗𝒙 + 𝟔
 𝒙 𝟔
− 𝟐𝒙 𝟓
+ 𝟑𝒙 𝟒
− 𝟓𝒙 𝟑
+ 𝟏𝟐𝒙 𝟐
− 𝟏𝟗𝒙 + 𝟔
SOLUCIÓN b):
𝑃(𝑥) = (𝑥4
− 2𝑥3
− 11𝑋2
+ 30𝑥 − 20) : 𝑄(𝑥) = (𝑥2
+ 3𝑥 − 2)
𝑸(𝒙) = 𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟔
 𝑹( 𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟖
3. PREGUNTA.
Resolver los siguientes ejercicios de BINOMIO AL CUBO Y TRINOMIO AL
CUBO.
a) (6𝑐 − 7𝑑)3
=
b) (−52
− 43
+ 104
)3
=
SOLUCIÓN a):

3. SOLUCIONARIO DE EXAMEN FINAL
3
SOLUCIÓN b):
4. PREGUNTA. Factorizar las siguientes expresiones:
a) METODO DE ASPA SIMPLE:
Factorizar:
𝟖𝒙 𝟐
− 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟐 =
b) METODO DE ASPA TRIPLE:
𝟓𝟓𝒙 𝟐
− 𝟕𝒙𝒚 − 𝟔𝒚 𝟐
+ 𝟕𝒙𝒛 − 𝟏𝟐𝒚𝒛 − 𝟔𝒛 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟏𝟒𝒚 − 𝟏𝟒𝒛 − 𝟖 =
SOLUCIÓN a):
𝟖𝒙 𝟐
− 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟐 =
4x - 6 = -12x
2x - 2 = - 8x
-20X
(𝟒𝒙 − 𝟔)(𝟐𝒙 − 𝟐)
SOLUCIÓN b):
𝟓𝟓𝒙 𝟐
− 𝟕𝒙𝒚 − 𝟔𝒚 𝟐
+ 𝟕𝒙𝒛 − 𝟏𝟐𝒚𝒛 − 𝟔𝒛 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟏𝟒𝒚 − 𝟏𝟒𝒛 − 𝟖 =
1) TRES ASPAS SIMPLES PRINCIPALES:

4. SOLUCIONARIO DE EXAMEN FINAL
4
2) TRES ASPAS SIMPLES AUXILIARES:
I). 𝟓𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟕𝒙𝒛 − 𝟔𝒛 𝟐
=
11x - 3z = +22xz
5x +2z = - 15xz
+7xz
II). 𝟓𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟖 =
11x - 4 = +22x
5x +2 = - 20x
+2x
III). −𝟔𝒚 𝟐
− 𝟏𝟒𝒚 − 𝟖 =
-3y - 4 = - 6y
+2y +2 = - 8y
-14y
3) DOS FACTORES EN FORMA HORIZONTAL:
= (𝟏𝟏𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟑𝒛 − 𝟒)(𝟓𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐𝒛 + 𝟐)
 𝟓𝟓𝒙 𝟐
− 𝟕𝒙𝒚 − 𝟔𝒚 𝟐
+ 𝟕𝒙𝒛 − 𝟏𝟐𝒚𝒛 − 𝟔𝒛 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟏𝟒𝒚 − 𝟏𝟒𝒛 − 𝟖
= (𝟏𝟏𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟑𝒛 − 𝟒)(𝟓𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐𝒛 + 𝟐)

5. SOLUCIONARIO DE EXAMEN FINAL
5
5. PREGUNTA. Resolver sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas
mediante Método de Reducción:
a) 2x – y + z = 4
4x +7y - z = 38
- x +3y +2z = 23
b) Resolver por el método de Cramer:
x + y = 2
3x – y = - 5
SOLUCIÓN a):

6. SOLUCIONARIO DE EXAMEN FINAL
6
SOLUCIÓN b):
x + y = 2
3x – y = - 5
∆𝒔 = [
𝟏 𝟏
𝟑 −𝟏
] = 𝟏(−𝟏) − 𝟑(𝟏) = −𝟏 − 𝟑 = −𝟒
∆𝒔 = −𝟒
∆𝒙 = [
𝟐 𝟏
−𝟓 −𝟏
] = 𝟐(−𝟏) − (−𝟓)(𝟏) = −𝟐 + 𝟓 = +𝟑
∆𝒙 = 𝟑
∆𝒚 = [
𝟏 𝟐
𝟑 −𝟓
] = 𝟏(−𝟓) − 𝟑(𝟐) = −𝟓 − 𝟔 = −𝟏𝟏
∆𝒚 = −𝟏𝟏
𝒙 =
∆𝒙
∆𝒔
=
𝟑
−𝟒
𝒙 = −
𝟑
𝟒
𝒚 =
∆𝒚
∆𝒔
=
−𝟏𝟏
−𝟒
𝒚 =
𝟏𝟏
𝟒
𝐱 = −
𝟑
𝟒
𝐲 =
𝟏𝟏
𝟒

7. SOLUCIONARIO DE EXAMEN FINAL
7
6. PREGUNTA.
Efectuar la suma de las siguientes fracciones algebraicas:
a)
𝒙 𝟐−𝟖
𝒙 𝟐−𝟏𝟎𝒙+𝟐𝟏
+
𝟓−𝟐𝒙
𝒙 𝟐−𝟏𝟎𝒙+𝟐𝟏
=
b)
𝟒
𝒙 𝟐−𝟐𝟓
+
𝒙+𝟐
𝒙 𝟐−𝟐𝒙−𝟏𝟓
=
SOLUCIÓN a):
=
𝒙 𝟐−𝟖
𝒙 𝟐−𝟏𝟎𝒙+𝟐𝟏
+
𝟓−𝟐𝒙
𝒙 𝟐−𝟏𝟎𝒙+𝟐𝟏
=
𝒙 𝟐
− 𝟖 + 𝟓 − 𝟐𝒙
𝒙 𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏
=
(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟏)
(𝒙 − 𝟕)(𝒙 − 𝟑)
=
𝒙+𝟏
𝒙−𝟕

𝒙 𝟐
− 𝟖
𝒙 𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏
+
𝟓 − 𝟐𝒙
𝒙 𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏
=
𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟕
SOLUCIÓN b):
𝟒
𝒙 𝟐 − 𝟐𝟓
+
𝒙 + 𝟐
𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓
=
𝟒
(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟓)
+
𝒙 + 𝟐
(𝒙 − 𝟓)(𝒙 + 𝟑)
=
𝑴. 𝑪. 𝑴. = (𝑿 − 𝟓)(𝑿 + 𝟓)(𝑿 + 𝟑)
=
𝟒(𝒙 + 𝟑)
(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟓)(𝒙 + 𝟑)
+
(𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟓)
(𝒙 − 𝟓)(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟓)
=
=
𝟒𝒙 + 𝟏𝟐 + 𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎
(𝑿 − 𝟓)(𝑿 + 𝟓)(𝑿 + 𝟑)
=
𝑥2
+ 11𝑥 + 22
(𝑿 − 𝟓)(𝑿 + 𝟓)(𝑿 + 𝟑)

8. SOLUCIONARIO DE EXAMEN FINAL
8

𝟒
𝒙 𝟐 − 𝟐𝟓
+
𝒙 + 𝟐
𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓
=
𝑥2
+ 11𝑥 + 22
(𝑿 − 𝟓)(𝑿 + 𝟓)(𝑿 + 𝟑)