El documento presenta 9 problemas relacionados con ecuaciones paramétricas y cartesianas de rectas y planos en el espacio de 3 dimensiones. Los problemas incluyen hallar ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados y son paralelas a vectores, determinar distancias entre rectas y puntos, y obtener ecuaciones de planos y curvas a partir de sus ecuaciones paramétricas.

1. La Recta y el plano en el espacio de 3 dimensiones, ecuaciones
parametricas
1. Hallar la ecuación parametrica y simetrica de la recta que pasa por los puntos (2,-1,6) y (7,9,-3)
Solución
𝑃 = (2,−1,6) + 𝑡[(7,9,−3) − (2,−1,6)]
𝑃 = (2,−1,6) + 𝑡(5,10,3)
𝑃 = (2,−1,6) + (5𝑡 + 10𝑡 + 3𝑡)
𝑃 = 2 + 5𝑡, −1 + 10𝑡,6 − 9𝑡
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2 + 5𝑡, −1 + 10𝑡, 6 − 9𝑡
𝑥 = 2 + 5𝑡 𝑦 = −1 + 10𝑡 𝑧 = 6 − 9𝑡
𝑡 =
𝑥−2
5
𝑡 =
𝑦+1
10
𝑡 =
𝑧−6
−9
𝑥−2
5
=
𝑦+1
10
=
𝑧−6
−9
Respuesta:
Vectorial:
𝑃 = 2 + 5𝑡, −1 + 10𝑡,6 − 9𝑡
Parametrica:
𝑥 = 2 + 5𝑡 𝑦 = −1 + 10𝑡 𝑧 = 6 − 9𝑡
Simetrica:
𝑥−2
5
=
𝑦+1
10
=
𝑧−6
−9
2. Encontra las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos (1,-2,4) y es paralela al vector
𝑣⃗ = 𝑖 + 𝑗 − 𝑘
Solución
𝑥−1
𝑎
=
𝑦+2
𝑏
=
𝑧−4
𝑐
A=1 b=-1 c=-1
Respuesta
𝑥 − 1
1
=
𝑦 + 2
1
=
𝑧 − 4
−1
3. Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto A(-3,3,1) y es paralela al vector
𝑣⃗ = 2𝑖 + 3𝑗 − 𝑘

2. Solución
𝑃𝑜 = (−3,3,1)
𝑃 = 𝑃𝑜 + 𝑡𝑣⃗ 𝑃 = (−3,3,1) + 𝑡(2,3,−1) 𝑃 = (3 + 2𝑡)𝑖 + (3 + 3𝑡) 𝑗 + (1 − 𝑡)𝑘
Respuesta:
𝑥 = (3 + 2𝑡) 𝑦 = (3 + 3𝑡) 𝑧 = (1 − 𝑡)
4. Demostrar que las siguientes rectas son paralelas
𝐿1: 𝑥 − 1 =
𝑦+3
2
=
𝑧+3
3
𝐿2:
𝑥−3
3
=
𝑦−1
6
=
𝑧−8
9
Solución
𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,2,3)
𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ = (3,6,9)
𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗𝑋𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ = |
𝑖 𝑗 𝑘
1 2 3
3 6 9
| = (18 − 18)𝑖 − (9 − 9) 𝑗 + (6 − 6) 𝑘 = 0 ∴ Son paralelas
Respuesta:
Son paralelas
5. Determine la distancia que existe de la recta cuyas ecuaciones son
𝑥−3
2
=
𝑧−2
3
= 𝑦 − 1 y el punto
Q (2, 1,-2)
Solución
𝑑 =
‖[(2,1,−2)−(3,1,2)]𝑋(2,3,1‖)
‖(2,3,1)‖
=
‖(−1,0,−4)𝑋(2,3,1)‖
√22+32 +11
=
‖
𝑖 𝑗 𝑘
−1 0 −4
2 3 1
‖
√14
=
‖−12𝑖 −7𝑗−3𝑘‖
√14
=
√(−12)2+(−7)2+(−3)2
√14
√202
√14
≈ 3.7984
Respuesta:
3.7984
6. Obtenga la ecuación cartesiana del plano que pasa por los 3 puntos dados: A(3,4,1), B (-1,-2,5)
C(1,7,1)
Solución
( 𝑃 − 𝑃𝑜) ∙ [( 𝑃1 − 𝑃0) 𝑋( 𝑃2 − 𝑃0)] = 0

3. [(x, y,z) − (3,4,1)] ∙ {[(−1,−2,5) − (3,4,1)]𝑋[(1,7,1) − (3,4,1)]} = 0
(x − 3,y − 4, z − 1) ∙ [(−4, −6,4) 𝑋(−2,3,0)] = 0
|
𝑥 − 3 𝑦 − 4 𝑧 − 1
−4 −6 4
−2 3 0
| = 0
Desarrollando la determinante se obtiene:
92 − 24 𝑧 − 8 𝑦 − 12 𝑥 = 0
Respuesta:
92 − 24 𝑧 − 8 𝑦 − 12 𝑥 = 0
7. Hallar la distancia del plano dado al punto indicado.
-x-4y-5z=0 (5,-1,3)
Solución
|(−1)(5) + (−4)(−1) + (−5)(3) + 0|
√(−1)2+(−4)2 + (−5)2
=
|−16|
√42
=
16
√42
≈ 2.468
Respuesta:
2.468
8. Obtener la ecuación rectangular de la curva cuya ecuación paramétrica es:
𝑥 =
2𝑡2−1
𝑡2
; 𝑦 = √
𝑡−2
3
𝑦 = √
𝑡−2
3
⇒ 𝑦2 =
𝑡−2
3
⇒ 3𝑦2 = 𝑡 − 2 ⇒ 𝑡 = 3𝑦2 + 2
𝑥 =
2𝑡2 − 1
𝑡2 =
2(3𝑦2 + 2 )2 − 1
(3𝑦2 + 2 )2 =
18𝑦4 + 24𝑦2 + 7
9𝑦4 + 12𝑦2 + 4
Respuesta:
18𝑦4 + 24𝑦2 + 7
9𝑦4 + 12𝑦2 + 4
9. Obtener la ecuación rectangular
𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃; 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 5𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃
−3𝑦 = −3𝑐𝑜𝑠𝜃 − 15𝑠𝑒𝑛𝜃

4. 𝑥 − 3𝑦 = 16𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑥 − 3𝑦
−16
5𝑥 = 15𝑐𝑜𝑠𝜃 − 5𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 5𝑠𝑒𝑛𝜃
5𝑥 + 𝑦 = 16𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
5𝑥 + 𝑦
16
𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1
(
𝑥−3𝑦
−16
)
2
+ (
5𝑥+𝑦
16
)
2
= 1
Simplificandolaecuaciónanterior:
26𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 10𝑦2 = 256
Respuesta:
13 𝑥2 + 2 𝑥 𝑦 + 5 𝑦2 − 128 = 0