Este documento presenta 23 ejercicios de cálculo de integrales triples, integrales de línea y aplicaciones como el cálculo de volúmenes, centros de masa y momentos de inercia. Los ejercicios involucran integrales definidas sobre diversas regiones delimitadas por funciones, superficies y curvas en el espacio tridimensional.

1. EJERCICIOS PROPUESTOS No
05
V´ıctor Pocoy Y./Escuela de Ingenier´ıa Civil
7 de diciembre de 2015
1. Usar la definici´on para calcular ∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
dx dy dz
2. Demostrar
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
1
1 − xyz
dx dy dz =
+∞∑
n=1
1
n3
3. Calcular las siguientes integrales triples
a)
∫ 1
0
∫ 2
0
∫ 3
0
(xyz + 2) dx dy dz
b)
∫ 2
1
∫ y2
y
∫ ln x
0
yez
dz dx dy
c)
∫ π/2
0
∫ π/2
z
∫ xz
0
cos
(y
z
)
dy dx dz
d)
∫ 2
1
∫ x
0
∫ √
3x
0
y
y2 + z2
dz dy dx
e)
∫ a
0
∫ a2
−x2
0
∫ √
a2−x2−y2
0
√
a2 − x2 − y2 dz dy dx
f )
∫ π/2
0
∫ cos θ
0
∫ 4+r sen θ
0
r dz dr dθ
4. Calcule ∫ ∫ ∫
S
y dV
donde S es el s´olido limitado por el tetraedro que es formado por 12x+20y +15z = 69 y los planos coordenados.
5. Calcule ∫ ∫ ∫
S
y − 2z
x
dV
donde S es el s´olido est´a en el primer octante y est´a limitado por el cilindro y2
+ z2
= 1 y los planos x = 1 y
x = 4.
6. Calcule ∫ ∫ ∫
S
√
x2 + y2 + z2 dV
donde S =
{
(x, y, z) ∈ R3
/0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤
√
1 − x2, 0 ≤ y ≤
√
1 − x2 − y2
}
7. Si a, b, c son vectores constantes, r = (x, y, z) y
S = {(x, y, z)/0 ≤ a · r ≤ α, 0 ≤ b · r ≤ β, 0 ≤ c · r ≤ γ}
Demostrar que ∫ ∫ ∫
S
(a · r)(b · r)(c · r)dV =
(αβγ)2
8 |a · (b × c)|
1

2. 8. Calcular ∫ ∫ ∫
S
(x2
+ y2
+ z2
) dV
donde S es el s´olido limitado por el cilindro x2
+ z2
= 1 y los plano y = 0, y = 1
9. Encontrar el volumen del s´olido en el primer octante acotado por la esfera x2
+ y2
+ z2
= 4a y el cilindro x2
+ y2
.
10. Hallar el volumen de la regi´on limitada por los cilindros hiperb´olicos xy = 1, xy = 9, xz = 4, xz = 36, yz =
25, yz = 49
11. Hallar el volumen del s´olido limitado por las superficies z = x2
+ y2
, z2
= xy
12. Encontrar el volumen de la regi´on limitada inferiormente por la superficie 4(x2
+y2
) = z4
y la esfera x2
+y2
+z2
=
3
13. Hallar el centro de masa del s´olido que tiene la densidad constante dada y est´a limitada por las superficies
z = x, z = −x, y2
= 4 − 2x
14. Calcular la integral de linea ∫
C
(x + 2y)dS
donde C es la curva dada por α(t) = (2 − 3t, 4t − 1) ; t ∈ [0, 2]
15. Calcular la integral de linea ∫
C
(x2
+ y2)dS
donde C es la curva dada por
C :
{
x(t) = a(cos t + t sen t)
y(t) = a(sen t − t cos t)
; t ∈ [0, 2π]
16. Calcular la integral de linea ∫
C
[
(x2
− 2y)dx + (2x + y2
)dy
]
donde C es el arco de la par´abola y2
= 4x − 1 desde (0, 0) hasta (2, 2)
17. Calcular la integral de linea ∫
C
[
x2
ydx − yxdy
]
donde C es la curva y2
= x3
desde (1, −1) hasta (1, 1)
18. Calcular ∫
C
√
2y2 + z2dS
donde C es la curva dada por la intersecci´on de x2
+ y2
+ z2
= a2
, x = y
19. Sean el campo vectorial F(x, y) =
(
x2
+ y, y − x
)
y la curva C dada por α(t) =
(
1 − 2t, 4t2
− 4t + 1
)
; t ∈ [0, 1/2].
Hallar ∫
C
F · dS
20. Sea el campo vectorial F(x, y) = x2
y⃗i+z⃗j+(2x−y)⃗k y la curva C la linea recta desde A(1, 1, 1) hasta B(2, −3, 3).
Hallar ∫
C
F · dS
21. Calcular usando el teorema de Green ∫
C
(x + y2
) dx + x2
y dy
donde D es la es la regi´on limitada por y2
= x, |y| = 2x + 1 y C es la frontera de D en sentido positivo.
22. Usando el teorema de Green, determinar el ´area de la regi´on encerrada por
x = a cos3
t, y = a sen3
t, a > 0
23. Determine la masa y el centro de masa del alambre en forma de h´elice dada por la curva parametrizada
α(t) = (cos t, sen t, t) ; t ∈ [0, 2π]
si la densidad es ρ(x, y, z) = z. Adem´as encuentre el momento de inercia con respecto al eje x.
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