Este documento presenta una serie de ejercicios sobre integrales dobles que involucran determinar límites de integración, cambiar el orden de integración, calcular valores de integrales dobles, determinar áreas de regiones delimitadas por curvas, y calcular volúmenes de cuerpos delimitados por superficies. Los ejercicios cubren temas como límites de integración, cambio de orden de integración, funciones simples y compuestas, áreas planas y volúmenes tridimensionales.

1. Matem´atica III
Integrales Dobles
1. Determine los l´ımites de integraci´on en ambos ordenes para la integral
R
f(x, y)dA, donde R es la
regi´on del plano acotada por las gr´aficas que se indican:
a) y = 1 − x2
, y = 0.
b) y = x, y = 0, y = 2, y = −4.
c) y2
= 2x, y = x.
d) y2
= 4x, x + y = 3, y = 0.
e) y =
√
x, y = 2 − x, y = 0.
f ) y = x2
, y = 6 − x.
g) y = 4 − x2
, y = 3x, x = 0.
h) y =
16
x
, y = x, x = 2.
i) y =
1
x2
, y = x, x = 2, y = 0.
j) x2
+ y2
= 4, y = 2 − x.
2. Para las siguientes integrales, dibuje la regi´on R y cambie el orden de integraci´on:
a)
2
0
x
0
f(x, y)dydx
b)
1
−1
1
x2
f(x, y)dydx
1

2. C´alculo II Integrales Dobles
c)
4
2
4−x
0
f(x, y)dydx
d)
4
0
y
0
f(x, y)dxdy
e)
4
0
2
√
y
f(x, y)dxdy
f )
2
−2
4−y2
0
f(x, y)dxdy
g)
1
0
3
√
y
y2
f(x, y)dxdy
h)
2
−2
4−x2
x+2
f(x, y)dydx
3. Calcular las siguientes integrales:
a)
1
0
2
0
(x + y) dydx
b)
1
0
x
0
1 − x2dydx
c)
1
0
2y
y
1 + 2x2
+ 2y2
dxdy
d)
1
0
√
1−y2
0
(x + y) dxdy
e)
2
0
√
4−y2
0
2
4 − y2
dxdy
f )
1
0
√
y
y
x2
y2
dxdy
g)
π/2
0
sen θ
0
θrdrdθ
Universidad Cat´olica Silva Henr´ıquez 2 Ricardo Salinas P.

3. C´alculo II Integrales Dobles
h)
π/4
0
cos θ
0
3r2
sen θdrdθ
i)
2
0
2
x
x 1 + y3dydx
j)
2
0
2
x
e−y2
dydx
k)
1
0
1
y
sen x2
dxdy
l)
2
0
4
y2
√
x sen xdxdy
4. Calcular las siguientes integrales dobles en la regi´on que se indica:
a)
R
xydA
R: rect´angulo de v´ertices (0, 0), (0, 5), (3, 5) y (3, 0).
b)
R
y
x2 + y2
dA
R: tri´angulo limitado por y = x, y = 2x, x = 2.
c)
R
y
1 + x2
dA
R: regi´on limitada por y = 0, y =
√
x, x = 4.
d)
R
e
x
y dA
R: tri´angulo de v´ertices (−1, 0), (1, 0) y (0, 1).
e)
R
1
1 + y2
dA
R: regi´on limitada por y = 1
2 x, y + x = 0, y = 2.
f )
R
ey3
dA
R: regi´on limitada por y =
√
x, y = 1, x = 0.
Universidad Cat´olica Silva Henr´ıquez 3 Ricardo Salinas P.

4. C´alculo II Integrales Dobles
g)
R
12x2
ey2
dA
R: regi´on del primer cuadrante limitada por y = x3
, y = x.
h)
R
xdA
R: sector de un c´ırculo en el primer cuadrante acotado por y =
√
25 − x2, 3x − 4y = 0, y = 0.
5. Determine el ´area de las siguientes regiones:
a) La regi´on limitada por la curva y = 4 − x2
y el eje X.
b) La regi´on limitada por las gr´aficas de y = x, y = 2x, x = 2.
c) La regi´on acotada por las gr´aficas de xy = 9, y = x, y = 0, x = 9.
d) La regi´on acotada por las gr´aficas de 2x − 3y = 0, x + y = 5, y = 0.
e) La regi´on limitada por el cuadrado de v´ertices (1, 1), (1, 3), (3, 1) y (3, 3).
f ) La regi´on acotada por el tri´angulo de v´ertices A(1, 1), B(3, 0) y C(5, 5).
g) El c´ırculo de centro en el origen y radio 2.
6. Determine el volumen de los cuerpos limitados por las gr´aficas de las curvas que se indican:
a) z = x2
+ y2
, z = 0, x = −1, x = 1, y = −1, y = 1.
b) x + 2y + z = 2, z = 0.
c) z = xy, z = 0, y = x, x = 1.
d) z = x, z = 0, y = x, y = 0, x = 0, x = 5.
e) z = x2
, z = 0, y = 0, y = 4, x = 0, x = 2.
f ) xy = 4z, y = x, x = 4 (primer octante).
g) x2
+ z2
= 16, x − y = 0 (primer octante).
Universidad Cat´olica Silva Henr´ıquez 4 Ricardo Salinas P.

5. C´alculo II Integrales Dobles
h) x2
+ z = 9, 3x + 4y = 24, x = 0, y = 0, z = 0 (primer octante).
i) 9x2
+ 4y2
+ 36z = 36, z = 0.
j) x2
+ y2
+ z2
= 1, z = 0.
k) z = x + y, x2
+ y2
= 4 (primer octante).
l) z = 1 − x2
, y = 1 − x2
(primer octante).
m) z = 12 + y − x2
, z = 0, y = x2
, x = y2
.
n)
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1, z = 0, x = 0, y = 0.
˜n) z = xy, z = 0, (x − 1)
2
+ (y − 1)
2
= 1.
Universidad Cat´olica Silva Henr´ıquez 5 Ricardo Salinas P.