Este documento presenta las etapas para el diseño de columnas y vigas de concreto armado. Inicia con la estructuración para definir el tipo de estructura, luego el predimensionamiento de las columnas usando el área tributaria acumulada. A continuación, se muestra el predimensionamiento de las vigas considerando la resistencia y rigidez. Después se presenta el metrado de cargas como peso propio, muerta y viva. Finalmente, se indica que se realizará un análisis estructural por cada carga y sus combinaciones para obt

1. DISEÑO DE COLUMNAS DE
CONCRETO ARMADO
Expositor: Ingº Félix G. Pérrigo Sarmiento
Mgs. en Gestión Urbana Ambiental
Docente Asociado Universidad Privada Antenor Orrego-Trujillo
Docente Universidad Privada de Chiclayo
Email: fperrigos@hotmail.com
Cel. 949236724 – 044 581176

2. INTRODUCCIÓN
El proceso creativo mediante el cual se le da forma a un sistema
estructural para que cumpla una función determinada con un grado
de seguridad razonable y que en condiciones normales de servicio
tenga un comportamiento adecuado. Es importante considerar
ciertas restricciones que surgen de la interacción con otros
aspectos del proyecto global; las limitaciones globales en cuanto al
costo y tiempo de ejecución así como de satisfacer determinadas
exigencias estéticas. Entonces, la solución al problema de diseño
no puede obtenerse mediante un proceso matemático rígido, donde
se aplique rutinariamente un determinado conjunto de reglas y
formulas.
Siendo la construcción y/o supervisión de proyectos de obras
civiles parte del perfil profesional del ingeniero civil, el presente
sistema de práctica aporta las competencias para que dicho
profesional diseñe estructuras de CONCRETO en sus distintas
aplicaciones y pueda predecir la forma de comportamiento.

3. Es la construcción que no tiene
dirección técnica en el diseño y
construcción de la edificación, los
muros absorben las limitadas cargas
de la estructura, fabricación artesanal
de la albañilería.
Ventajas:
-Gran capacidad de aislamiento
acústico y térmico
Desventajas:
-Poca resistencia a las cargas
laterales por sismo
-Proceso de construcción es lento
TIPOS DE ESTRUCTURAS EN EDIFICACIONES
ALBAÑILERÍA SIMPLE O NO REFORZADA

4. Es una estructura reforzada con
confinamientos. Un conjunto de elementos con
refuerzos horizontales y verticales, cuya
función es la de transmitir las cargas al terreno
de fundación. Los muros están enmarcados por
columnas y vigas de refuerzo en sus cuatro
lados
Ventajas:
-Alta resistencia al fuego.
-Técnica más utilizada en el medio.
-Fácil de conseguir la mano de obra.
-Buenas propiedades térmicas y acústicas
-Muy resistente a sismos pudiéndose construir
hasta 3 pisos.
Desventajas:
- El espesor del muro quita área a los
ambientes.
-No se podrá realizar modificaciones futuras
como vanos nuevos, etc.
ALBAÑILERÍA CONFINADA

5. Estructura reforzada con armadura
de acero incorporada, de tal manera
que ambos materiales actúan
conjuntamente para resistir los
esfuerzos.
Ventajas
-Alta resistencia al fuego.
-No requiere encofrados.
-Requiere poco mortero.
Desventajas
-Espesor del muro importante
restando áreas a los ambientes.
-Requiere mano de obra calificada
-Requiere mayor control de obra
ALBAÑILERÍA ARMADA

6. ETAPAS EN EL DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO ARMADO
5.405.00 5.10 5.10 5.00
PLANTA
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
3.10 m
3.10 m
3.10 m
3.50 m
6.00 m 6.10 m 5.00 m
m
5.40 m
m
5.10 m
m
5.10 m
m
5.00 m
m
ELEVACIÓN
3.10 m
3.10 m
3.10 m
3.50 m
6.00 m 6.10 m
Pórtico (Dirección X) Pórtico (Dirección Y)

7. En 3D

8. II. INTRODUCCIÓN
Una vez adaptado el tipo de Estructura, el paso siguiente es
determinar las dimensiones aproximadas de los diferentes
elementos de la Estructura. Las características físicas de
estos elementos nos permitirá determinar los (Momentos de
Inercia, Área, Rigideces, etc.) requeridos en el Análisis
Estructural así como el Peso de la Estructura, importante
para el Análisis Sísmico.
I. ESTRUCTURACIÓN
Es la parte más importante de un proyecto, mediante el cual
se definirá el tipo de estructura que soportará el peso propio
del Edificio, sobrecargas y probables secciones de sismo.
El Análisis Estructural de los Pórticos deberá realizarse para
cada tipo de carga por separado, antes de realizar cualquier
combinación.

9. III. PREDIMENSIONAMIENTO DE COLUMNAS (MÉTODO
DEL ÁREA TRIBUTARIA ACUMULADA)
6.00 m 6.10 m
1 2 3 4 5 6
3.10 m
3.10 m
3.10 m
3.50 m
5.20 m 5.40 m 5.10 m 5.10 m 5.00 m
Tipo 4 Tipo 3 Tipo 3 Tipo 3 Tipo 3 Tipo 4
Tipo 4 Tipo 3 Tipo 3 Tipo 3 Tipo 3 Tipo 4
6.00
6.10
1 2 3 4 5 6
C
B
A
Tipo 1Tipo 1Tipo 1Tipo 1
Tipo 2 Tipo 2

10. Los factores que afectan la dimensión bt de las columnas son: El Área
Tributaria acumulada, Intensidad de las cargas, Ubicación de las Columnas,
Longitud de las columnas, arrastramiento contra el desplazamiento lateral,
cargas laterales, Rigidez de las vigas.
El Área de la Columna correspondiente al Segundo y antepenúltimo piso de
un Edificio, se puede calcular mediante la relación.
Ag = Área de la sección transversal de la columna.
Ag = K ATA K = Coeficiente que se obtiene de tabla.
ATA = Área Tributaria acumulada del Piso Considerado
Conociendo el Área, se puede determinar la dimensión t de la sección
cuadrada de la columna. La dimensión t de las columnas intermedias se
hallan por interpolación lineal; las del 1er
piso por extrapolación lineal
aumentando además de un 5% y las de los dos últimos pisos se tomará igual
a la del antepenúltimo piso.
Según norma A.CI b 0.4h b min = 0.25 m
La tabla de Dimensionamiento de Columnas, considera además el hecho de
uniformizar secciones, el cual es conveniente poner los efectos del encofrado.

11. COEFICIENTE “K” PARA DETERMINAR EL ÁREA DE COLUMNA
CUADRADA PARA DIFERENTES LUCES ENTRE EJES.
PISO
TIPO DE
COLUMNA
LUZ
1 2 3 4
ANTEPENÚLTIMO
4
8
6
0.0013
0.0011
0.0011
0.0025
0.0020
0.0017
0.0022
0.0016
0.0015
0.0040
0.0028
0.0023
SEGUNDO
4
8
6
0.0011
0.0012
0.0012
0.0014
0.0014
0.0014
0.0014
0.0014
0.0014
0.0021
0.0015
0.0015
COLUMNAS PÓRTICO 2 – 2
Analizando las longitudes, tomaremos para L = 6.10 m (la más desfavorable)
COLUMNA TIPO AT(m
2
) ATA(m
2
) K Ag (cm2) SECCIÓN
A – 2 3 15.60 46.8 0.0014 655.2 30 x 30
B – 2 1 31.46 94.4 0.0012 1132.8 35 x 35
C – 2 3 15.86 47.6 0.0014 666.4 30 x 30

12. COLUMNAS PÓRTICO “B” “B”
COLUMNA TIPO AT(m2) ATA (m2) K Ag (cm2) SECCIÓN
B – 1 2 15.12 45.36 0.0014 635.04 30 x 30
B – 2 1 31.46 94.38 0.0012 1132.56 35 x 35
B – 3 1 31.76 95.28 0.0012 1143.36 35 x 35
B – 4 1 30.86 92.58 0.0012 1110.96 35 x 35
B – 5 1 30.55 91.56 0.0012 1099.98 35 x 35
B – 6 2 15.12 45.36 0.0014 635.04 30 x 30

13. IV. PREDIMENSIONAMIENTO DE VIGAS
El dimensionamiento de un viga debe ser tal que aparte de cumplir con los
requisitos de Resistencia bajo el sistema de cargas en consideración elimine o
disminuya los efectos secundarios de la interacción viga – columna o viga muro.
Para ello hay que tomar en cuenta la relación de Rigideces entre los elementos.
Otros aspectos importantes que debe tenerse en cuenta al dimensionar mi
elemento es lo referente al Económico y Arquitectónico. El usar secciones de
menor altura demanda siempre mayor cuantía de acero. Igualmente los cambios
bruscos de sección malogran la vista arquitectónica del conjunto y dificulta el
proceso constructivo.
Mu =
C
WuAL2
…..(1) Mu = Momento Flector último en un sección cualquiera
Wu = carga última uniformemente repartida por unidad de área
A = Ancho Tributario L = Luz libre
C = coeficiente, depende de la ubicación sección y de la restricción en los apoyos.
Mu = f’cbd2
w (1 – 0.59w) ……(2) M = Momento resistente Último de
Diseño
= Factor de Reducción = 0.9 (Flexión)
Igualando (1) y (2)
d = L
0.59w)(1cbwf'c
AWu
w =
c'f
Pfy

14. USOS
Departamento
s y oficinas
Garajes y
Tiendas
Depósitos
Sobrecarga 250 500 1000
Altura total h L’/11 L’/10 L’/8
h =
11
L'
b =
2
h
ENTREPISO VIGA L L’ h = L’/11 b = h/2
Sección
b x h
1º
AB 6.00 5.70 0.518 0.259 30 x 55
BC 6.10 5.80 0.527 0.264 30 x 55
2º
AB 6.00 5.70 0.518 0.259 30 x 55
BC 6.10 5.80 0.527 0.264 30 x 55
3º
AB 6.00 5.70 0.518 0.259 30 x 55
BC 6.10 5.80 0.527 0.264 30 x 55
4º
AB 6.00 5.70 0.518 0.259 30 x 55
BC 6.10 5.80 0.527 0.264 30 x 55
0.3h b 0.75 h b min = 0.25 b prom = 0.5h
Suponiendo C = 14 f’c = 280 kg/cm2
P = 0.0028 h = 1.1d b=A/20 W = 0.042
b = 1/20 del Ancho Tributario L’ = Luz Libre

15. V. METRADO DE CARGAS
Con las dimensiones de los elementos determinaremos el peso
propio y luego determinaremos las diferentes cargas.
3.00 m
3.00 m
3.00 m
3.50 m
6.00 m 6.10 m
30 x 30
30 x 30
30 x 30
30 x 35
30 x 30
30 x 30
30 x 30
30 x 35
25 x 40 25 x 35
25 x 45 25 x 45
25 x 45 25 x 45
25 x 45 25 x 45
30 x 30
30 x 30
30 x 30
30 x 35
25 x 45
25 x 45
25 x 45
40 x 35 40 x 35 40 x 35 40 x 35
25 x 35 35 x 35
35 x 35
35 x 35
35 x 35
35 x 35
35 x 35
35 x 35
35 x 35
35 x 35
35 x 35
35 x 35
35 x 35
35 x 35
35 x 35
35 x 35
35 x 35
30 x 30
30 x 30
30 x 30
30 x 35
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15
WD WL
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15
WE
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15
E4
E3
E2
E1
DIMENSIONES
CARGAS

16. WD’
2’1’ 3’ 4’ 5’
8’7’ 9’ 10’ 11’
6’
12’
14’13’ 15’ 16’ 17’ 18’
20’19’ 21’ 22’ 23’ 24’
26’25’ 27’ 28’ 29’ 30’
2’1’ 3’ 4’ 5’
8’7’ 9’ 10’ 11’
6’
12’
14’13’ 15’ 16’ 17’ 18’
20’19’ 21’ 22’ 23’ 24’
WL’
2’1’ 3’ 4’ 5’
8’7’ 9’ 10’ 11’
6’
12’
14’13’ 15’ 16’ 17’ 18’
20’19’ 21’ 22’ 23’ 24’
26’25’ 27’ 28’ 29’ 30’
E’
E’4
E’3
E’2
E’1
2’1’ 3’ 4’ 5’
8’7’ 9’ 10’ 11’
6’
12’
14’13’ 15’ 16’ 17’ 18’
20’19’ 21’ 22’ 23’ 24’
26’25’ 27’ 28’ 29’ 30’

17. VI. ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Se realizaran previamente idealizaciones de cómo están conectadas y
apoyadas las diferentes elementos entre si, creando, modelos
matemáticos que simulen el comportamiento del elemento en la realidad.
El análisis estructural se hará separadamente por carga muerta, carga
viva y sismo para luego realizar los combinaciones de carga de tal forma
que tengamos los máximos momentos, fuerzas cortantes que actúan en
cada uno de los elementos para su posterior diseño.
VII. DISEÑO
Obtenidos los diferentes efectos actuantes en la estructura o esfuerzos
internos de los elementos para las diferentes combinaciones de cargas se
procederá de su diseño, es decir determinar el ara de acero de cada
elemento, así como verificar su comportamiento en cuanto así
deformaciones que están dentro de los límites permisibles

18. VIII. PLANOS
Las diferentes etapas realizadas, permitan plasmarlas a través de
planos, los mismos que podrán ser elaborados con el apoyo de
Programas AUTOCAD, ARCHICAD, etc.
Los planos de un proyecto estructural deberán continuar toda la
información necesaria sobre las cargas exteriores,
dimensionamiento, especificaciones técnicas, áreas de acero de los
diferentes elementos estructural. Deberán elaborase los diferentes
planos de arquitectura, estructuras, instalaciones sanitarias,
instalaciones eléctricas, etc.
IX. CONSTRUCCIÓN
Es la etapa donde se lleva a la realidad lo que se ha diseñado y
plasmado en los planos, es decir la construcción de la estructura
proyectada
Antes de iniciar la obra es conveniente que el contratista y el
supervisor revisen detenidamente los planos

19. 3 Nº 9
h = 50 cm
b = 30 cm
A’S
AS
3 Nº 9
d’ a = c
Cc = 0.85f’cab
A’sf’s
0.85f’c
ECU = 0.003
AS = f’y
ANÁLISIS DE UNA COLUMNA SUJETA A FALLA BALANCEADA
Problema:
Calcular la carga nominal balanceada Pnb y la correspondiente excentricidad es para la
conducción balanceada.
d´= 4+0.95+ (2.86/2)= 6.38cm As = 3 ф N°9 = 3 x 6.41 = 19.23 cm2
d =50 – 6.38 = 43.62 cm

20. Cb
=
D
→
cc = 25.66cm
→
ab = β1 Cb
→
a3 = 0.85x25.66
0.003 0.003 + 0.0021
ab =
21.81c
m
’S
=
Cb - d´
→
’S = (
25.66 -
6.38 ) = 0.00223 > y
0.003 Cb 25.66
Pub = 0.85 f´cabb + A´S fY - AS fY
Pub = 0.85 X 0.28 X 21.81 X 30 = 155.7 Tn
MUb= 0.85 F´C abb (h/2 – ab/2) + A´S F´Y (h/2 – d´) + AS FY (d – h/2)
MUb= 0.85 x 0.28 x 21.01 x 30 (0.25 – 0.22/2) + 19.23 x 4.2 x (0.25 – 0.00632) + 19.23 x 4.2 (0.436 – 0.25)
MUb= 21.80 + 15.04 + 15.02 = 51.86 Tn – m
eb= MUb/ PUb → eb= 51.86 Tn- m/155.7 Tn = 0.333 = 33.3 cm

21. ANÁLISIS DE UNA COLUMNA POR FALLA DE TENSIÓN ACERO
EN COMPRESIÓN ESTA EN FLUENCIA
Problema
Evaluar la resistencia nominal de carga axial de la sección que
se muestra, si la carga actúa en una excentricidad e=35.6cm
3 Nº 9
h = 50 cm
b = 30 cm
A’S
AS
3 Nº 9
f´c = 280 kg/cm2 ; fy= 4200 kg/cm2 d = 43.62 d´= 6.38 cm
AS = A´S = 3 X 6.41 = 19.23 cm2
Para la condición balanceada Lb = 33.3 cm
e > eb ; Falla por Tensión
Ρ = Ρ´ = AS / bd = 19.63 /(30 x 43.62)= 0.0147
1 – (e´/d) = 1 – (54.22/43.62) = 0.0147
1 – (d´/ d) = 1 – (6.38/43.62) = 0.8537
m = fy/ 0.85 f´c → m = 4200/(0.85/280) = 17.65
e´ = e + (d – (h/2))
e´ = 35.60 + (3.62 – (50/2)) = 54.32 cm
Pn = 0.85 X 0.28 X 30 X 43.62 (- 0.0243 + (-0.242)2 + 2 X 17.65 X 0.0147 X 0.8537 )
a = Pu / 0.85 f´cb = 144.98 / (0.85x 0.28 x 30) = 20.31 → c = a/B1 = 20.31/0.85 → C = 23.89 cm
f´s = 0.003 Es(c – d´)/c = 0.003 x 106 ((23.89 – 6.38)/23.89) = 4397.5 kg/cm2
f´s = fy → f´s = fy = 4200 kg/cm2 acero en compresión esta en fluencia.
Pn= 144.98 Tn → e = 35.6 cm

22. ANÁLISIS DE UNA COLUMNA CONTROLADA POR FALLA DE TENSIÓN,
ACERO EN COMPRESIÓN NO ESTÁ EN FLUENCIA
Problema
Una columna corta que se muestra esta sujeta a una excentricidad de carga e = 40.5 cm. Calcular la
resistencia nominal de carga axial PU y la resistencia de momento MU de M la sección
3 Nº 9
3 Nº 9
h = 50 cm
b = 30 cm
Para la condición balanceada:
Cb = 33.3 cm
Cb = 25.66 cm
Si e > eb. Falla por fluencia inicial del acero en Tensión
Posiblemente el acero en compresión no está en fluencia
→ Usamos el método iterativo para el cálculo de de Pu.
Asimismo un valor menor de c , tanteamos c = 20 cm ; a = 0.85 x 20 = 17 cm
f´s = E1 x 0.003 ((c – d )/c) → f´s = 2 x 106 x 0.003 ((20 – 6.38)/20) = 4080kg/cm2
Pu= 0.85 x 0.28 x 17 x 30 x 19.23 x 4.08 – 4.08 – 19.23 x 4.2 = 119.07 Tn
Pu= 0.85 f´cab ((h/2) – (a/2)) + A´s F´s ((h/2)– d´) + As fy (d – (h/2))
Pu = 0.85 x 0.28 x 17 x 30 X ((50/2) – (0.17/2)) + 19.23 X 4.08 ((50/2) – 0.0638) + 19.24 X 4.2 (0.436 – 0.24)
Pu = 49.66 Tn – m

23. e = MU / PU = 49.66 / 119.07 = 0.405 C ; debe ser algo mayor de 20 cm
Tanteando e = 21 cm ; a = 17.85 cm f´S = 4177 kg/cm2
Pu = 127.45 + 80.32 – 80.77 = 127 Tn
e = Mn / Pn= 0.397 < 0.405; LUEGO C DEBE SER ALGO MENOR
Mn = 20.49 + 14.96 + 15.02 = 50.47 Tn – m
Tanteamos e = 20.5 cm a = 17.425 f´s= 4132.68 kg/cm2
Pu = 124.41 + 79.46 – 80.77 = 123.1 Tn
Mn = 20.26 + 14.80 + 15.02 = 50.08 Tn – m
e = Mn / Pn= 0.397 < 0.405; LUEGO C DEBE SER ALGO MENOR

24. CONSTRUCCIÓN DE UNA CURVA DE INTERACCIÓN
h = 0.50
b = 0.30
0.05 a
ECU = 0.003
T
0.05
0.20
0.20
AS1 = 20.28 cm2
AS2 = 20.28 cm2
Yc = t/2 – a/2 = 25 – a/2
a/2
AS = 10.14 cm2
CC = 0.85 F´cab = 0.85 x 0.21 x 30 x a = 5.36 Tn
´y = fy/ = 4200/2x106 = 0.0021 ; s ≥ y fs= fy = 4200 kg/cm2
fs= 1 E = 2 x106 (kg/cm2) fs= 2x 103 Es (Tn/cm2)
PUNTO 1 (COMPRESION CONCÉNTRICA) P = 480
M = 0 M = 0
P = 0.85 btf´c+ Astfy= 0.85 x 30 x 50 x 0.21 + 50.7 = 480.7 Tn P1 (0, 480.7)
PUNTO 1
M = 0 (por definición) P´1 = - 212.9 P´1 (0, 212.9)
P = AST (fY) – 50.7 (-4.2) = - 212.9 Tn M = 0

25. PUNTO 2 (CONDICION BALANCEADA)
a = P , C
a = 22.5 cm
ECU = 0.003
d = 0.45
Cb
Ey = Esy = 0.002
Cb/0.003= 0.45/(0.003 + 0.0021)
Cb = 26.5 cm
YC = 25 – (22.5/2) = 13.75 cm 13.8 13
Es FUERZA (Tn) MOMENTO (T - m)
CC = 5.36 X 22.5 = 120.6 16.6
0.0024 20.28 X 4.2 = 85.2 17.0
0.00011 10.14 X .34= 3.4 0.0
-0.0021 20.28 X 4.2 = -85.2 17.0
P = 124.0 Tn 50.6 T - m
P2(50.6 , 124)

26. DISEÑO DE COLUMNAS A FLEXO COMPRESIÓN BIAXIAL
Se presenta cuando una columna esta sometida a una carga con doble excentricidad.
Falla por compresión.
Esfuerzo de compresión en el punto ( a ) :
f´c =
Pu
+
Pu ex
+
Puey
ACc ... Wx-x Wy-y
Donde :
Wx-x y Wy-y, son los módulos resistentes en los ejes considerados:
Se sabe que:
W x-x =
bh2
=
Puey
= Arx
6 6
W y-y =
bh2
=
Puey
= Ary
6 6

27. Reemplazando en la expresión del refuerzo:
fc = ( 1 +
ex
+
ey
)
---------------- 1
rx ry
Del mismo modo se pueden hallar las expresiones del esfuerzo en a) , b) , c) .
En a:
fc =
Pux
( 1 +
ex
)AC rx
En b:
fc =
Puy
( 1 +
ey
)AC ry
En c:
fc =
P0
AC
De (1, (2), (3) Y (4) obtenemos
P´0
= ( 1 +
ex
+
ey
)
P´0
= ( 1 +
ex
)
P´0
= ( 1 +
ey
)PU rx ry Pux rx Puy ry
Sumando miembro a miembro estas expresiones y dividiendo el resultado entre P0
obtenemos, la Ecuación de Bresler
1
=
1
+
1
-
1
Pu Pux Puy P0
……….. 2
……….. 3
……….. 4

28. DISEÑO BIAXIAL SEGÚN LA NORMA PERUANA
Considera la ecuación planteada por Bresler
1 1
+
1
-
1
Pu фPux фPuy фP0
Pu = Resistencia última en flexión biaxial
фPux = Resistencia a diseño para la misma columna bajo la acción de momento en X(ey = 0)
фPuy = Resistencia a diseño para la misma columna bajo la acción de momento en Y(ex = 0)
фP0 = Resistencia a diseño para la misma columna bajo la acción de carga axial ex= ey= 0)
DISEÑO DE COLUMNAS A FLEXO – COMPRESIÓN UNIAXIAL
b
t d
d'
e'
As
A’s
TS
CC
CS
a
P’UP’U +
P’b = Carga en el estado balanceado
e'b = Excentricidad en el estado balanceado

29. Por equilibrio Σ FH = 0 P’b = 0.85 f’cabb + A’sfy - Asfy ………………………….. (1)
Tomando momentos respecto a la armadura As, encontramos la expresión de : e'b
………………………….. (2)
Lo que nos permite saber si la falla es por compresión a tracción.
Si: e' < e’b Falla por compresión.
e' > e’b Falla por tracción.
En igual forma.
Si: P’U > P’b Falla por compresión.
P’U < P’b Falla por tracción
……………………….. (3)
Kud = a/K1
u
’s
Pb = ф P´b ф = 0.75 (columnas zunchadas)
Pu = ф P´u ф = 0.70 (columnas estribadas)
´s> donde ´s= (a/k1 – d´) (0.003/(a/k1))

30. Cuando la falla es por compresión y As = A´s el valor de P´u
CONSTRUCCION DE UNA CURVA DE INTERACCION
Procedimiento.- Consiste en suponer, activamente un valor de c (distancia del eje neutro a la fibra
más alejada (comprimida), con el valor de c y el valor de cu= 0.003, para la deformación unitaria en la
fibra más comprimida de la sección.
Se calcula las deformaciones unitarias en c/u de las barras de refuerzo; pudiendo calcularse a continuación los
esfuerzos en cada uno de las barras y por consiguiente tener las fuerzas.
La fuerza total en el concreto puede calcularse, mediante las expresiones:
Cc = 0.85 ab
Yc = -
Donde:
a = 1c
Una vez que se tiene todas las fuerzas parciales internas y sus respectivos puntos de aplicación, se
calcula la resultante de las fuerzas y de los momentos , respectivamente se toma los
momentos respecto al centroide plástico, que en este caso coincide con el centro geométrico, por
tratarse de una sección geométricamente reforzada simétricamente.
Los valores de , definen la ubicación de un punto de la curva de interacción repitiendo los
cálculos para un número suficiente de puntos puede construirse la curva en forma muy precisa.

31. CONSTRUCCION DE UNA CURVA INTERACCION
Construir una curva de interacción para una sección rectangular de 30 x 50, reforzada con 10 Ø 1”,
distribuidos como se indica en la figura; f’c = 210 kg/cm2
; fy = 4200 kg/cm2
; A Ø 1” = 5.07cm2
.
h = 0.50
b = 0.30
0.05
a
ECU = 0.003
T
0.05
0.20
0.20
AS1 = 20.28 cm2
AS2 = 20.28 cm2
Yc = t/2 – a/2 = 25 – a/2
AS = 10.14 cm2
c
cc
Cc = 0.85 x f’c x ab = 0.85 x 0.21 x 30 ; a = 5.36 Ton.
f’ = = = 0.021 ; s ≥ y → fs = fy = 4200 Kg/cm2
fs = sE = 2x106
s (Kg/cm2
) → fs = 2x103
s (Tn/cm2
)

32. Punto 1: (COMPRESIÓN CONCÉNTRICA)
M = 0
P = 0.85 b t f’c + Astfy = 0.85 x 30 x 50 x 0.21 + 50.7 x 4.2 = 480.7 Tn.
P1 = 480.7 Tn.
M = 0 P1 (0, 480.7)
Punto 1’: (TRACCIÓN CONCÉNTRICA)
M = 0 (Por Definición)
P = Ast(-fy) = 50.7 x (-4.2)= -212.9Tn
P’1 = -212.9 Tn
M = 0 P1 (0, -212.9)
= → Cb = 26.5cm ; a = 22.5cm
Yc = 25 - = 13.75cm≈ 13.8≈13
Cb
0.003
S1
S2
d = 45 cm
y = S3 = 0.0021
y
Punto 2: (CONDICIÓN BALANCEADA)

33. Es Fuerza (Tn) M (T-m)
Cc = 5.36 x 22.5 = 120.6 16.6
0.0024 20.28 x 4.2 = 85.2 17.0
0.00017 10.14 x 0.34 = 3.4 0.0
-0.0021 20.28 x 4.2 = -85.2 17.0
P = 124.0 Tn 50.6 T-m
P3 (50.6, 124)
Punto 3: Punto cercano a Mo
c = d/5 = 45/5 = 9 cm ; a = β1e = 7.5 cm ; Yc = 21.175 = 21.2 cm
Es Fuerza (Tn) M (T-m)
Cc = 5.36 x 7.65 = 41.0 8.7
0.0013 20.28 x 2.6 = 52.7 10.5
-0.005 -10.14 x 4.2 = -42.6 0.0
-0.0021 -20.28 x 4.2 = -85.2 17.0
P = -34.1 Tn 36.2 T-m
P3 (36.2, -34.1)

34. Punto 4: c = 15 cm ; a = 12.75 cm ; Yc = 18.6
Es Fuerza (Tn) M (T-m)
Cc = 5.36 x 12.75 = 68.3 8.7
0.0013 20.28 x 4.0 = 81.1 10.5
-0.005 -10.14 x 4.0 = -40.6 0.0
-0.0021 -20.28 x 4.2 = -85.2 17.0
P = 23.6 Tn 45.9 T-m
P4 (45.9, 23.6)
Punto 5: c = 20 cm ; a = 17.0 cm ; Yc = 16.5 = 0.165 m
Es Fuerza (Tn) M (T-m)
Cc = 5.36 x 17.0 = 91.1 15.0
0.0023 20.28 x 4.2 = 85.2 17.0
0.00075 -10.14 x 1.5 = -15.2 0.0
-0.0038 -20.28 x 4.2 = -85.2 17.0
P = 75.9 Tn 49.0

35. Punto 6: c = 30 cm ; a = 32.3 cm ; Yc = 0.089 m
Es Fuerza (Tn) M (T-m)
Cc = 5.36 x 32.3 = 173.1 15.3
0.0026 20.28 x 4.2 = 85.2 17.0
0.0010 10.14 x 2.0 = 20.3 0.0
-0.0000 20.28 x -1.1 = -22.3 4.5
P = 254.3 Tn 36.8 T-m
P6 (36.8, 254.3)
Punto 7: c = 50 cm ; a = 42.5 cm ; Yc = 0.038 m
Es Fuerza (Tn) M (T-m)
Cc = 5.36 x 42.5 = 227.8 8.7
0.0027 20.28 x 4.2 = 85.2 17.0
0.0015 10.14 x 3.0 = 30.4 0.0
0.0002 20.28 x 0.6 = 12.2 -2.4
P = 355.6 Tn 23.3 T-m
P7 (23.3, 355.6)

36. GRAFICO
DETERMINACION DE K
1) Miembros a Compresión Arriostrados.
K = 0.7 + 0.05 ( A + B) ≤ 1.0 ….. (3)
K = 0.85 + 0.05 min ≤ 1.0 ….. (4) Se toma el valor menor
= …… (5)
Donde : lu : luz entre apoyos
ln: luz libre de la viga
min : es el menor de 2 valores

37. 1) Miembros a Compresión No Arriostrados Restringidos en cada extremo
Para: m<2 → K =(20 - m) ….. (6)
20
m =
Para: m>2 → K = 0.9 ….. (7)
1) Miembros a Compresión No Arriostrados Articulado en un extremo
K = 2.0 + 0.3
Donde : es el valor en el extremo restringido
El radio de giro: r =
r = 0.30h para secciones rectangulares
r = 0.25h para secciones circulares
Si Klu/r, es mayor que el obtenido en las ecuaciones (1) y (2) son recomendados dos
métodos de estabilidad:
1. El método de magnificación de momento:
Mc = δM2 = δbM2b +δsM2s …… (8)

38. Las cargas laterales tienden a aumentar o magnificar más los momentos que las cargas de
gravedad.
Para tomar esto en cuenta, se tiene:
δb : Factor de magnificación para el momento predominante de carga de gravedad
actorado M2b.
M2b : Se define como el momento mayor en el extremo, debido a cargas que no producen
desplazamiento lateral apreciable, esto es solo momentos de cargas de gravedad.
δs : Factor de magnificación para el momento mayor M2s en el extremo, debido a las
cargas que produce apreciable desplazamiento lateral, tales como el sismo o el viento.
En el caso de pórticos arriostrados contra desplazamientos laterales, como arriostrados
con menos de corte; el momento total actuante en la columna es considerado: M2b y δs=
0.
Normalmente si la deflexión lateral del edificio es menor que ln/1500, el pórtico se
considera como un pórtico arriostrado.
Análisis de Segundo Orden: Deberá usarse si Klu/r > 100
Es de destacar que todas las columnas deben ser diseñadas para una excentricidad de (1.5
+ 0.03h) en cm.

39. METODO DE MAGNIFICACION DE MOMENTO
δb = ≥ 1.0 ……. (9)
δS = ≥ 1.0 ……. (10)
Donde:
Pc = Carga de pandeo de Euler = 2
Sumación para todas las columnas en un piso
Cm = Factor relativo
Cm = 0.6 + ≥ 0.4 ……. (11)
Donde: M1 ≤ M2
> 0, para simple curvatura
Cm = 1.0, para otras condiciones

40. Si los cálculos muestran que esencialmente no hay momentos en ambos extremos de la
columna, puede considerarse: M1 /M2 = 1
Además: EI = ……. (12)
Para miembros ligeramente reforzados: ρ ≤ 3%
EI =
Donde: = = ≤ 1.0

41. PROCEDIMIENTO DEL CÁLCULO EN DISEÑO DE COLUMNAS ESBELTAS
1. Determinar si el pórtico tiene un desplazamiento lateral apreciable. Si es apreciable usar:
δby δs. En caso contrario usar: δb
Asumir una sección y calcular la excentricidad usando el mayor de los momentos en los
extremos y verificar si es mayor que el mínimo permisible de excentricidad, esto es:
M2 ≥ (1.5 + 0.03h) en cm.
P
Si la excentricidad dada es menor que el mínimo especificado usar el valor mínimo.
2. Calcular: δAy δB
Calcular Klu/r, y determine si la columna es corta o larga.
Si es esbelta Klu/r < 100, usar el método de magnificación de momento. Usando el valor
calculado de Mc, calcular la excentricidad equivalente a su usado en el diseño como una
columna corta. Si Klu/r > 100, realizar un análisis de segunda orden equivalente.
3. Diseñar la columna no esbelta.
CALCULO DEL MOMENTO AMPLIFICADO
Las columnas deben diseñarse utilizando la carga axial de diseño y un momento amplificado
definido por la siguiente ecuación: Mc = δM2; donde: Mc es el Momento flexionante mayor de
diseño último de las columnas y δ es el factor de amplificación de momentos y su valor es igual.
δ = ; Pc =

42. El producto EI, puede considerarse conservadoramente como: EI =
Siendo:
Ec : Módulo de elasticidad del concreto
Ig: Momento de inercia de la sección total del concreto con respecto a su eje central,
despreciando el refuerzo
: Relación entre el momento máximo debido a la carga muerta de diseño y el
momento máximo debido a la carga total de diseño
Pc : Carga crítica
Pu : Carga axial de diseño de una columna
Cm : Factor que relaciona el diagrama real de momento a un diagrama de momento
uniforme. Su valor para columnas no arriostradas contra el desplazamiento lateral es igual
a 1.0
Φ : Factor de reducción de capacidad = 0.70
CALCULO DE LA RIGIDEZ A LA FLEXION (EI): EC = 15000 ; Ig = bh3
/12
Posibilidad I y Dirección y-y Posibilidad I y Dirección x-x
Columna: ……… βd = Columna: …. βd =
3Columna …….. βd =
Columna ……… βd =
Columna: ………. βd =

43. Posibilidad II y Dirección x-x y la Posibilidad III y Dirección y-y y el ACI en sus comentarios, da para
cargas no sostenidas (SISMO) un valor de βl = 0
βd EI x 10
⁴
(T-cm2) βd EI x 10
⁴
(T-cm2) βd EI x 10
⁴
(T-cm2)
DIRECCION y-y
DIRECCION x-x
POSIBILIDAD III
COLUMNA Ec (T/cm2) Ig x 10
⁴
(cm
⁴
)
POSIBILIDAD I POSIBILIDAD II
CALCULO DE Mc
M
₂
Mc M
₂
Mc M
₂
Mc M
₂
Mc M
₂
Mc M
₂
Mc M
₂
Mc
PuL
₂POSIBILIDAD II
PuL
₃
Nota: Los momentos M₂ en los extremos de las columnas son tomados en las
caras de las vigas correspondiente
PuL
₄
PuL
₅
PuL
₆
COLUMNA DIRECCION
POSIBILIDAD IIIPOSIBILIDAD I
PuL PuL
₁

44. DISEÑO DE LA FUERZA LONGITUDINAL
2.1 Excentricidad (e)
•Dirección y-y ey = Mcx/Pu
•Dirección x-x ex = Mcy/Pu
•Excentricidad mínima emin = 0.1t
Cuando la excentricidad calculada sea menor que la mínima se usará esta última.
ey ex ey ex ey ex ey ex ey ex ey ex ey ex
PuL
₆
Nota: Los valores de ey y ex, están en cm.
COLUMNA
POSIBILIDAD I POSIBILIDAD II POSIBILIDAD III
PuL PuL
₁
PuL
₂
PuL
₃
PuL
₄
PuL
₅

45. Dir. Princ. Dir. Sec. Dir. Princ. Dir. Sec. Dir. Princ. Dir. Sec. Dir. Princ. Dir. Sec. Dir. Princ. Dir. Sec. Dir. Princ. Dir. Sec.
e/t e/t e/t e/t e/t e/t e/t e/t e/t e/t e/t e/t
PuL
₅
K K
POSIBILIDAD III
PuL
₂
K
POSIBILIDAD II
PuL
₃
PuL
₄
K K
PuL
COLUMNA
K
POSIBILIDAD I
PuL
₁
K
2.2 Valores de “K” y “e/t”
(e/t) min = 0.10 P’u (Tn)
2.3 Valores de “g”
gt = t – 2 (rec + Φest + Φ/2)
Usando estribos Φ 3/8 y para barra longitudinal Φ 1”
gt = t – 2 (4 + 0.953 + 2.54/2) = t – 12.45
g = (t – 12.45)/t

46. Columna K lu
Posibilidad I Posibilidad II Posibilidad III
EIx104
T-Cm2
Pc
(Tn)
EIx104
T-Cm2
Pc
(Tn)
EIx104
T-Cm2
Pc
(Tn)
DIRECCIÓN y-y
DIRECCIÓN x-x
C-3 Cálculo del Factor de Amplificación
El ACI especifica que para pórticos no arriostrados contra desplazamiento lateral, el valor de , se
calculará para el piso total.
Suponiendo que todas las columnas están cargadas.
Posibilidad I, y dirección y-y Posibilidad I y dirección x-x
Pc = Pc =
Posibilidad II y dirección y-y Posibilidad II y dirección x-x
Pc = Ø∑Pc =
Posibilidad III y dirección y-y Posibilidad III y dirección x-x
Pc = Pc =

47. Colu
mna
Dire
cció
n
Pc
Posib I
Pc
Posib II
Pc
Posib III
Posib I Posib II Posib III
PuL PuL1 PuL2 PuL3 PuL4 PuL5 PuL
Pu Pu Pu Pu Pu Pu Pu
2-2
2-2
2-2
2-2
B-B
B-B
B-B
B-B
** C.4 Calculo de Mc
d. RESUMEN DE MOMENTOS Y CARGAS AXIALES QUE SE USARÁN EN EL DISEÑO
Column
Posibilidad I Posibilidad II Posibilidad III
Dir
y-y
Dir
x-x
Pu
Dir
y-y
Dir
x-x
Pu
Dir
y-y
Dir
x-x
Pu
Dir
y-y
Dir
x-x
Pu
Dir
y-y
Dir
x-x
Pu
Dir
y-y
Dir
x-x
Pu
Nota: Los momentos están Tn - m y las cargas Tn

48. DETERMINACIÓN DE LAS COMBINACIONES MÁS DESFAVORABLES
Posibilidad entrando en gráficos Nº1…. De la publicación SP-MA del ACI, con correspondientes
valores de “K” y “e/t”, se obtienen las cuantías (verificar con la mínima)
Posibilidad II y Posibilidad III. Se diseñarán las columnas como miembros en flexibilidad y debe
estudiarse la combinación más representativa, en excentricidades en ambas direcciones.
2.5 Estudio de la Posibilidad. Combinación
Columna
Dirección Principal Dirección Secundaria
e/t Ptm lb/t Tipo falla e/t Ptm lb/t Tipo falla
Tipo De falla: e/t < lb/t  Falla por compresión (c)
e/t > lb/t  Falla por tracción (T)

49. 2.6 Flexo – Compresión Biaxial
Para el edificio de columnas se va a utilizar un método aproximado relaciona la resistencia de una
columna con flexión biaxial a las resistencias de la misma columna para carga concéntrica y para
flexión universal respecto c/u de los ejes, principales de la sección, mediante la siguiente fórmula
de interacción:
Donde Pux = carga de rotura con excentricidad ex solamente
Puy = carga de rotura con excentricidad ey solamente
Po = carga de rotura para excentricidades nulas
Pu = carga de rotura con excentricidades ex y ey
Esta ecuación empírica da resultados satisfactorios para Pu > 0.10 Po
Además: Pux = Kuxf´cbt
Puy = Kuyf´cbt
Po = (0.85 f´cbt + Astfy)
Donde: Ast = t .bt
Columna t
(asumido)
tm
Dirección Principal Dirección Secundaria
g e/t Kux Pux δ e/t Kuy Puy
Columna t
(asumido) tm
Dirección Principal Dirección Secundaria
g e/t Kux Pux δ e/t Kuy Puy

50. Verificación de Pu 0.10 Po y Pu Pu ut
Columna 1/Pux 1/Puy 1/Po Pu 0.10Po Puat (Tn)
ÁREAS DE ACERO
Columna
b x t
cm x cm t
Ast
(cm2)
Refuerzo Longitudinal
f. Diseño de Refuerzo Transversal
f.1 Requerimiento de Estribos Estructurales
En columnas, el esfuerzo cortante permisible (Vc) es:
cfAgNuVc ´´)/007.01(5.0
AgNucfVc /0285.01´9.0
Siendo Nu = carga axial de Diseño Normal a la sección transversal.
Ag = Área total de la sección
Columna ….. Posibilidad ……. Combinaciones……
n
is
l
MM
Vu
bxd
V
Vu u

51. Si Vc > Vu; entonces no se requieren estribos estructuras.
Diseña la siguiente columna
Posibilidad I 1.5 D + 1.8 LSent. Principal
1.5 D + 1.8 LSent. Secundario
f´c = 210 Kg/cm2
fy = 4200 Kg/cm2
Sección 40 x 40
Mu = 6.0 Tn – m
Pu = 46.9 + 12.4 = 59.3 Tn.
Columna arriostrada contra desplaz. lateral
Considere 60.0
t
eb
2.40 m
3.10 m
7.8
M2 = 6.0
M1
7.8

52. 1. Evaluación del efecto de esbeltez
28.0
92.23
88.6
vig
col
A
K
K
Y
57.0
92.23
76.13
vig
col
B
K
K
Y
En fallas de planeamiento K = 0.66
Longitud efectiva Klu = 0.66 x 2.40 = 1.58 m
Radio de Giro: r = 0.3 t = 0.3 x 0.40 = 0.12
Esbeltez 2.13
12.0
58.1
r
Klu
Límite de Esbeltez : 2.1346
6
)6(
1234
12
34
2
1
M
M
No hay problemas de esbeltez
83.13
L
I
K
K= 10.09
K= 10.09 K= 13.83
K= 13.83
K= 6.88
A
B

53. 2. Tipo de falla m
Pu
Mu
e 101.0
3.59
00.6
Relación 40.025.0
40.0
101.0
t
e
F. Compresión.
3. Cálculo del Área de Acero
cbtf
Pu
Ku
´
 176.0
404021.0
3.59
xx
Ku
044.025.0176.0 x
t
e
Kux
675.0
40
1340
g
Considerando el refuerzo distribuido en las 4 casos encontramos en tabla SP 17A que la cuantía
ρ = 0.00, luego se usará ρmin = 0.01.
As = 0.01 x 40 x 40 = 16 cm2
4. Cálculo de la carga resistente.
01.0lt 
cf
fy
m
´85.0
= 52.23
21085.0
4200
x
Con refuerzo en 4 casas tiene
ρtm = 0.01 x 23.52 = 0.235 Con g = 0.6  K = 0.370
g = 0.7  K = 0.380
Para ρ = 0.675  K = 0.3775
Luego la carga resistente será = Pu = Kuf´cbt
Pu = 0.3775 x 0.21 x 40 x 40 = 126.8 Tn.

54. POSIBILIDAD II:
1.5 D + 1.8 L Sent. Principal
1.25 (D + L + S) Sent Secundario
1. Sentido Principal
Momentos últimos  M1 = 0.60 Tn-n
M2 = 6.0 Tn-n
1.2 Flexión con doble curvatura
Pu = 46.9 + 10.8 = 57.7Tn.
2.15 m
16.6
M2 = 12 Tn-m
M1 = 11 Tn-m
15.6
Se considerará arriostrada contra desplazamiento lateral.

55. 1.3: Diseño según este sentido:
Esbeltez máxima: 34-12 6.4
6
6
Esbeltez de la columna : 462.13
r
Klu
No es necesario considerar.
Efectos de esbeltez.
10.0
7.57
0.6
Pu
Mu
e
e/t = 0.10 /0.40 = 0.25 < 0.40 Comp.
2. Sentido Secundario
Momentos últimos M1 = 11.00 Tn-m Flexión con doble curvatura
M2 = 12.00 Tn-m
Carga última Pu = 57.7 Tn

56. MA =0.125 YB = 0.250
C. No arriostrada
En Tabla de Alineamiento
K = 1.08 Tomamos K = 1.2
Longitud Efectiva.
Klu = 1.20 x 2.15 = 2.58
Esbeltez : 2215.2
12.0
58.2
r
Klu
No es necesario considerar el efecto de esbeltez.
Excentricidad 21.0
7.57
12
Pu
Mu
e
60.052.0
4.0
21.0
t
lb
t
e Falla por compresión
K= 27.48
K= 6.88
A
B
K= 27.48 K= 27.48
K= 27.48
K= 6.88

57. 3. Diseño por Flexión Biaxial:
Tanto con 8 5/8 distribuido en las 4 casas.
Art = 16 cm2
y ρt = 0.01
3.1 Sentido Principal e/t = 0.25 y ρt = 0.01
Para g = 0.6  K1 = 0.34 Interpolando para g = 0.675
Para g = 0.7  K1 = 0.335 K1 = 0.34 = Kux
3.2 Sentido Secundario e/t = 0.52 y Pt = 0.01
Para g = 0.6  K2 = 0.13
Interpolando para g = 0.675
Para g = 0.7  K2 = 0.14 K2 = 0.134 = Kuy
3.3 Cálculo de Ko
Po = (0.85 f´cbt + Astfy)
cbtf
Astfy
cbtf
Astfycbtf
cbtf
Po
Ko
´
)
85.0(
´
)´85.0(
´
85.0(7.0oK 70.0)
4040280
420016
xx
x

58. 3.4 Fórmula de las Inversas
oKKKK
1111
21

70.0
1
135.0
1
34.0
11
k
K = 0.112
3.5 Carga Resistente
Pu = Kuf´cbt
Pu = 0.112 x 0.28 x 40 x 40 = 50.2 tn. < Pu actuante = 57.7 tn
Aumentamos As
3.6 Por lo tanto con 4 1  Ast = 20.4 cm2
 ρt = 0.0127
Siguiendo el mismo procedimiento: Pu = 57.2 tn
No es necesario diseñar la Posibilidad III por la pequeña variación que existe en los momentos
y cargas axiales respecto a la Posibilidad II.