1. El documento describe las propiedades básicas del factorial y las sumatorias, incluyendo sus definiciones y fórmulas clave. 2. El factorial de un número natural n es el producto de todos los números naturales entre 1 y n. 3. Una sumatoria representa la suma de un conjunto finito de números y se denota como la suma desde un punto inicial hasta uno final.

1. FACTORIALES Y
SUMATORIAS
MSc. Marco A. Meza Pérez Palma

2. FACTORIALES
Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial
de n al producto de todos los naturales entre 1 y n:
n! 123...n  1n 
Empleando la notación de productos
n k



n
k
1
!

3. Valor de un factorial
• Un factorial se designa con un número natural positivo
seguido por un signo de exclamación:
• El valor de un factorial es el producto de todos los
números desde 1 hasta el número del factorial
8!= (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) = 40 320

4. Aplicaciones
• Permutaciones
– Contar el número de formas en que se pueden
combinar un grupo de elementos distintos
– Ejemplo
• Teniendo seis personas con distinto nombre cada una de ellas, se
puede determinar el número de secuencias únicas en las que se
puede nombrar a cada persona una sola vez calculando el factorial
de seis.

5. n
Definiciones
n!=
1⇔n=0
n−1 !(n)⇔n>1

6. Casos especiales
• Factorial de
ퟎ! = ퟏ
• Teoría combinatoria, a través del binomio de Newton,
permitiendo calcular los coeficientes del desarrollo de (a + b)n
:
a+푏 n=
n
k=0
푛an−kbk
퐶푘
• Donde el coeficiente de los términos individuales se puede
calcular con
n=
Ck
nk
=
n!
n−k !k!

7. Casos especiales …
• Para el cálculo de las probabilidades
• Análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de la
funciones (fórmula de Taylor)
• Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran
importancia en el campo de la aritmética
• Fórmula de Stirling: para valores grandes de n
ln n! =nln n −n

8. 1.
Propiedades básicas del factorial:
n+1 !
n! =n+1
2.
r r−1 r−2 … r−n+1
n! = r!
n! r−n
3. ∀n≤3⟹
n!
nn ≤ 2
n2

9. Doble factorial:
• 0!! = 1
• 1!! = 1;
• n!!! = n (n – 2)!! Si n > = 2
• Relación con el factorial:
o n=2k⟹ 2k !=2 k!
o n=2k+1⟹ 2k+1 !=2 k+1 ‼ 2k ‼
o 2k+1 ‼=
2k+1 !
2k k!

10. SUMATORIAS
Por sumatoria se entiende la suma de un conjunto finito de
números, que se denota como sigue:

k S n n n n n    
   1   1  ...
k k h t k t
h t
k 
h
Donde:
S: Magnitud resultante de la suma.
T: Cantidades de valores a sumar.
K: Índice de la suma, que varia entre h y h + t.
h: Punto inicial de la sumatoria.
h + t: Punto final de la sumatoria.
nk: Valor de magnitud objeto de suma en el punto k.

11. Un tipo particular de sumatoria de gran importancia lo es el
caso cuando t ∞, que se conoce como serie y se
representa de la maner siguiente:
Fórmulas:
1.
2.

k S n



k k
1
 
2
1

 

n n
k
n
k
  
 
n
k
k n n
1
2 1

12.  
   1
2
 
q p q p
k
q
k p
 2k 1  n
2
1
n
  
k

n
4 k 1 n 2 n
1
1
   
k

4  2   1
1

k n n
n
k
1
   1 2
n
     k k n n n
3
1
1
k
3.
4.
5.
6.
7.

13. 8.
9.
10.
11.
1

n
 
n
 1 1
n
k k
1 
k
n n n
1 2 1
  
n
2  
 
6
1
k

k
  2
n n
n
 
 
1
3
2
1



k

k
 1  2 1  3 2 3 1

n n n n n
n
4    
 
30
1
k

k
n
  ...  1
a a a a a  na
12. cambiar a por k
nveces

14. Propiedades de las Sumatorias:


n
  
1. , para toda constante c
2.
3.
4.
  



k
 
k
n
k
ca c a
k 1 1
  



    
  



 




n
k
k
n
k
k
n
k
a b a b
k k 1 1 1
  



    
  



 




n
k
k
n
k
k
n
k
k k a b a b
1 1 1

 


n
   
 


 




k m
   
k
m
k
k
n
k
k a a a
1 1 1

15. 5. COMMUTATIVIDAD.
k a a nm
    ,

 


n
k m
n k m
n
k m