TEORIA PID CONTROL EN TIEMPO DISCRETO

Departamento de Ingeniería Electrónica

SISTEMAS DIGITALES DE
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

TEMA 6
Sistemas Digitales de
Control en Tiempo
Discreto

DAC

ADC

1 − e −Ts
s

D(s)
D(z)

Rafael Ramos Lara
Febrero 2007

TEMA 6
Sistemas Digitales de Control en
Tiempo Discreto

1

Índice (I)
6.1. Sistemas de control digital
6.1.1. Introducción al diseño de sistemas de control digital
6.1.2. Discretización de sistemas analógicos
6.1.3. Ejemplo: modelo discreto de un motor DC
6.2. Diseño de un control digital PID
6.2.1 Introducción al control PID digital
6.2.2 Aproximación rectangular del control PID
6.2.3 Aproximación trapezoidal del control PID
6.3. Arquitecturas de realización de controladores digitales
6.3.1. Programación directa
6.3.2. Programación estándar
6.3.3. Programación serie
6.3.4. Programación paralelo
6.3.5. Programación en escalera
Tema 6: Sistema Digitales de Control en Tiempo Discreto

2

1

Índice (II)
6.4. Ejemplo de diseño: control de un motor DC mediante el driver L293E
6.4.1. Introducción al sistema de control digital de un motor
6.4.2. Modelo equivalente eléctrico del motor DC
6.4.3. Interface con el motor: L293E
6.4.4. Control en lazo abierto de la velocidad de giro
6.4.5. PWM digital
6.4.6. Monitorización de la velocidad de giro
6.4.7. Regulación de la velocidad de giro


3

6.1 Sistemas de control digital

4

2

6.1.1 Introducción al diseño de sistemas
de control digital

5

Componentes de un sistema de control
Los componentes principales de un sistema de control son:
• Sensores
• Actuadores
• Controlador: permite obtener el comportamiento deseado del sistema
a controlar, manteniendo al mismo tiempo la estabilidad del sistema
Tipos de controladores:
• Controladores analógicos: implementados con amplificadores,
resistencias, condensadores que realizan estructuras semejantes a
filtros que modifican la respuesta frecuencial del sistema
• Controladores digitales: implementados con microprocesadores,
microcontroladores, DSP, FPGA, CPLD, etc... Necesitan
conversores ADC y DAC

6

3

Controladores analógicos vs. digitales
Controlador
Analógico

Ventajas
•
•
•

Digital

•
•
•
•

Desventajas

Elevado ancho de banda
Elevada resolución
Fácil de diseñar

•

Diseño programable
Comportamiento preciso
Implementación
algoritmos complejos
Fácilmente ampliable

•

•
•

•
•

Envejecimiento de componentes
Derivas con la temperatura
Bueno para diseños simples
Dificultad de diseño
Necesita procesadores de altas
prestaciones
Genera problemas numéricos


7

Diseño de un sistema de control digital
Pasos de diseño de un sistema de control:
• Obtención del modelo del sistema a controlar
• Diseño del controlador para obtener el comportamiento deseado del
sistema a controlar
El diseño de controles digitales implica la conversión del sistema en una
forma discreta. Dos métodos de conversión:
• Diseño analógico y conversión a discreto para su implementación
• Diseño discreto ⇒ se debe obtener el modelo de la planta en forma
discreta (transformada Z)


8

4

6.1.2 Discretización de sistemas
analógicos

9

Técnicas de discretización de sistema analógicos
Tres técnicas para convertir un sistema analógico en discreto:
• Mantenedor de orden zero (ZOH)
• Correspondencia polos-ceros
• Transformación bilineal


10

5

Mantenedor de orden cero (ZOH)
Esta técnica asume que el controlador tiene a la entrada un mantenedor de
orden cero
DAC

ADC

1− e
s

−Ts

D(s)
D(z)

 D (s ) 
D( z ) = 1 − z −1 Z 

 s 

(

)

11


Correspondencia Polo-Cero
Los polos y ceros “si” de D(s) se mapean como polos y ceros de D(z) de
acuerdo con:

z i = e si T

T = periodo de muestreo

Si D(s) tiene más polos que ceros se añaden ceros en z=-1 en el numerador
para igualar el número de polos y ceros.
La ganancia se escoge adecuadamente para que se cumpla:

D( z ) z =1 = D(s ) s =0


12

6

Transformación Bilineal
También denominada aproximación de Tustin o trapezoidal, utiliza la
siguiente relación

s=

2 (z − 1)
T z +1

T = periodo de muestreo

para transformar el dominio en “s” en un dominio en “z”


13

6.1.3 Modelo discreto de un motor DC

14

7

Modelo de la planta (I)
El primer paso en el diseño de un control es obtener el modelo de la planta
Ejemplo: modelo de un motor DC de imán permanente

Características eléctricas: L

di
+ Ri = V − emf
dt

L: inductancia del motor
R: resistencia
V: tensión de alimentación
i: corriente
emf: fuerza contraelectromotriz = Ke · θ
Ke: constante de fuerza contraelectromotriz

15


Modelo de la planta (II)
Características mecánicas:

JM

d 2θ
dθ
d 2θ
+B
+ Kθ = TL − J L 2
dt
dt 2
dt
JM: inercia del motor
θ: desplazamiento angular
K: constante de rigidez
B: coeficiente de fricción viscosa
JL: inercia de la carga=Kt · i
TL: par de rotación de la carga
Kt= constante de par de rotación


16

8

Modelo de la planta (III)

Parámetros del motor
DC Pittman 9412G316

Modelo eléctrico
di
L + Ri = V − emf
dt

R = 6.4Ω
J = Jm+JL = 60 ·10-6 kg·m2
Kt = 0.0207 (N · m)/A
Ke = 0.0206 volt/(rad/s)

Modelo mecánico
dθ
dθ
d 2θ
+ Kθ = TL − J L 2
JM 2 + B
2

dt

θ (s )

dt

dt

J −1 (K t R )
G (s ) =
=
V (s ) s s + J −1 (K t K e R )

Gm (s ) =

(

θ (s )

V (s )

)

=

53.906
s(s + 1.116 )

17

Conversión a formato discreto (I)


 G (s )  

 s 

−1
−1
Transformación ZOH: G (z ) = (1 − z ) Z L 



A
G (s )
b
A A2
= 2
= 1+ 2 + 3
s
s (s + a ) s s
s+a

(

)

(

G (s ) − b a 2 (b a ) b a 2
=
+ 2 +
s
s
s
s+a

(

)

(

)

b = J −1 ( K t R )

a = J −1 (K t K e R )

T: periodo de muestreo
T = 0.001

)

b a 2 e − aT − 1 + aT z −1 + b a 2 1 − e − aT − aTe − aT z −2
G (z ) =
1 − 1 + e − aT z −1 + e − aTz − 2

(

)


18

9

Conversión a formato discreto (II)
G (z ) =

(

)

(

)

b a 2 e − aT − 1 + aT z −1 + b a 2 1 − e − aT − aTe − aT z −2
1 − 1 + e − aT z −1 + e − aTz − 2

(

)

a = 1.116
b = 53.906
T = 0.001

Km: Factor de ganancia

θ (z )

0.2694 z −1 + 0.2693 z −2
=
G (z ) =
⋅ Km
V ( z ) 1 − 1.999 z −1 + 0.999 z − 2

19

6.2 Diseño de un control digital PID

20

10

Algoritmos de control
• Técnicas de compensación: el controlador añade polos y ceros al sistema para
obtener la respuesta deseada .
• PID: el control PID es la suma de tres términos: Proporcional al error + Integral del
error + Derivada del error. Es el algoritmo de control más utilizado.
• Deadbeat: Se utiliza cuando se desea una respuesta rápida. Se diseña en el dominio Z
• Modelos en el espacio de estado: describen matricialmente el modelo de sistema a
controlar. Se utiliza cuando hay muchas variables de estado a controlar.
• Control óptimo: se utiliza cuando se desea minimizar un parámetro específico del
sistema (p.e. Tiempo de establecimiento, energía, ...). El controlador o compensador
debe minimizar el parámetro.
• Control adaptativo: se utiliza en sistemas cuyos parámetros cambian con el tiempo
haciendo inestable el control. El control adaptativo sigue los cambios de la planta y
rediseña el controlador para obtener un control óptimo del sistema.

21

6.2.1 Introducción al control PID digital

22

11

Expresión general control PID

Minimiza el error
Reduce el error a cero en
régimen permanente
Kp: constante proporcional
Ki: constante integral
Kd: constante derivativa
u(t): salida del control
e(t): señal de error

• Incrementa la
estabilidad de la planta
• Acción anticipativa que
reduce el sobreimpulso

23


Controlador PID analógico y discreto
Control PID digital

Control PID analógico
KP
e(t)
E(s)

KI/s

+
+

+

KP
u(t)

e(n)
E(z)

U(s)

+

u(n)
U(z)

DD(z)

KD·s
Función de transferencia
U (s ) = K p E (s ) + K i

DI(z)

+
+

E (s )
+ K d s E (s )
s

Función de transferencia
U ( z ) = K p E ( z ) + DI (z )E (z ) + DD ( z )E ( z )

Existen diversos modos de implementar DI(z)

24

12

Implementación del control PID discreto
Dos técnicas de implementación del control PID digital:
• Aproximación rectangular:
• El diseño se realiza en el dominio analógico y a continuación se
transfiere al dominio discreto
• Es fácil de implementar y proporciona resultados satisfactorios
• Aproximación trapezoidal:
• El diseño se realiza en el dominio discreto directamente utilizando
técnicas de ubicación de polos


25

6.2.2 Aproximación rectangular del
control PID

26

13

Aproximación rectangular del PID (I)
Término proporcional

Término derivativo

K p e(t ) = K p e(n )

Aproximación
rectangular

Si T es suficientemente pequeño se
puede aproximar por:

Término integral
K i ∫ e(t ) = K iT ∑ ei
i

Kd

Si se conoce e(n+1) se puede obtener
una mejor aproximación de la derivada:

Kd

Periodo de muestreo

e(t )
e(n ) − e(n − 1)
= Kd
dt
T

e(t )
e(n + 1) − e(n )
= Kd
dt
T

Algoritmo de posición
u (n ) = K p e(n ) + K iT ∑ ei + K d [e(n) − e(n − 1)] T
i

27


Aproximación rectangular del PID (II)
Algoritmo de posición
i

Algoritmo de velocidad
∆u (n ) = u (n ) − u (n − 2 )

Inconveniente: en caso de
malfuncionamiento del sistema digital
que calcula u(n) se podría generar una
salida u(n)=0

• Es el algoritmo que se utiliza habitualmente
• El sistema de control solo calcula el incremento de la
señal de control
• Presenta mejor comportamiento en arranque y frente
a transitorios bruscos en la señal de referencia.


28

14

Algoritmo PID de velocidad
Algoritmo de velocidad

∆u (n ) = u (n ) − u (n − 2 )
n−2

u (n − 2 ) = K p e(n − 2 ) + K iT ∑ ei + K d [e(n − 1) − e(n − 2)] T
i =1

u (n ) − u (n − 2 ) = K p [e(n ) − e(n − 2 )] + K iT [e(n ) + e(n − 1)] + K d T [e(n ) − 2e( n − 1) + e( n − 2)]
u (n ) = u (n − 2 ) + K1e(n ) + K 2 e(n − 1) + K 3e(n − 2 )
K1 = K p + K d T + K i T
K 2 = K iT − 2 K d T
K3 = K d T − K p

29


Determinación coeficientes PID
Método del margen de fase (MF) y margen de ganancia (MG)
Se escoge como parámetros de diseño:
• MF = 55º
• Frecuencia de transición (fase:-180º) = 100Hz

Aplicando técnicas de control clásico
en el dominio frecuencial se obtiene:
Kp = 4181
Kd = 9.569
Ki = 1


MG = 77dB (f=100Hz)
K1 = 13751
K2 = -19138
K3 = 5387

30

15

Implementación digital del PID
u (n ) = u (n − 2 ) + K1e(n ) + K 2 e(n − 1) + K 3e(n − 2 )
z-1

e(n)
K1

X

K2

+

e(n-1)

X

z-1
K3

e(n-2)

X

+

u(n-2) z-1

z-1

+

u(n)

31

Respuesta al escalón con el control PID
u (n ) = u (n − 2 ) + K1e(n ) + K 2 e(n − 1) + K 3e(n − 2 )


32

16



33

6.2.3 Aproximación trapezoidal del
control PID

34

17

Aproximación trapezoidal
• Se utiliza cuando se requiere una mayor precisión en la conversión discreta
• La integral se determina con la suma de trapezoides

Área del trapezoide:

Función transferencia término integral

e(n)

e(n-1)

T
[e(n ) + e(n − 1)]
2

u (n ) = u (n − 1) + K I

(

)

U ( z ) 1 − z −1 = K I

DI ( z ) =

T
[e(n ) + e(n − 1)]
2

[

]

T
1 + z −1 E [z ]
2

(
(

U (z )
T 1 + z −1
= KI
E (z )
2 1 − z −1

)
)
35


Aproximación trapezoidal PID
i

U (z ) = K p E (z ) + K I

Transformada Z de cada término

(
(

)
)

K
T 1 + z −1
E ( z ) + d 1 − z −1 E ( z )
−1
2 1− z
T

(

)

Función de transferencia discreta

D(z ) =

D(z ) =

(2TK

p

(
(

)
)

U (z )
T 1 + z −1 K d
= K p + KI
+
1 − z −1
−1
E (z )
2 1− z
T

) (

(

)

Reordenando términos

)

+ K I T 2 + 2 K d + K I T 2 − 2 K pT − 4 K d z −1 + 2 K d z − 2

(

2T 1 − z


−1

)

36

18

Diseño del control PID de un motor DC

K1 + K 2 z −1 + K 3 z −2
GPID ( z ) =
1 − z −1
Con: K1 = K p +

G p (z ) =

θ (z )

V (z )

=

Ki
K
K
K
2K d
T + d , K2 = −K p + i T −
, K3 = d
T
T
T
2
2

0.2694 z −1 + 0.2693z −2
⋅ Km
1 − 1.999 z −1 + 0.999 z − 2


37

Determinación coeficientes PID
Gs ( z ) =

G p ( z )Gc (z )

1 + G p (z )Gc ( z )

Función de transferencia global del sistema

Matlab ⇒ ubicación de polos en 0.96, 0.95, 0.2 y 0.15
Resolviendo el denominador para la
ubicación de polos propuesta se obtiene:
K1 = 1.4795
K1 + K 2 z −1 + K 3 z −2
GPID ( z ) =
K2 = -2.845
1 − z −1
K3 = 1.3636

u (n ) = u (n − 1) + K1e(n ) + K 2 e(n − 1) + K 3e(n − 2 )

38

19

u (n ) = u (n − 1) + K1e(n ) + K 2 e(n − 1) + K 3e(n − 2 )

39



Polos cerca del círculo unidad:
• Aumenta el tiempo de respuesta
• El sistema puede hacerse inestable

Polos cerca del origen:
• Disminuye el tiempo de respuesta
• Aumenta el sobre impulso
40

20

Implementación digital del PID
u (n ) = u (n − 1) + K1e(n ) + K 2 e(n − 1) + K 3e(n − 2 )
z-1

e(n)
K1

X

K2

+

e(n-1)

X

z-1
K3

+

e(n-2)

X

u(n-1) z-1

+

u(n)

41

6.3 Arquitecturas de realización de
controladores digitales

42

21

Diagrama de bloques de un controlador digital

e1(t)

e1(n)
T

E1(z)

D(s)

e2(t)

e2(n)
T

E2(z)

D(z)
Expresión general de la función de transferencia del controlador digital

E2 ( z ) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + L + bm z − m
D(z ) =
=
E1 (z ) a0 + a1 z −1 + a2 z − 2 + L + a p z − p

43


Elementos para realizar de un controlador digital
D(z ) =

Elementos de retardo
e1(n)

Z-1

e1(n-1)

Registro de “n” bits

E2 (z ) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + L + bm z − m
=
E1 ( z ) a0 + a1 z −1 + a2 z − 2 + L + a p z − p

Sumadores c.a.2
+
+


Multiplicadores c.a.2
e1(n-m)
bm
a0

44

22

Estructuras de implementación
• Programación directa: implementa la ecuación en diferencias
• Programación estándar: reduce el número de registros a utilizar
• Programación en serie
• Programación en paralelo
• Programación en escalera

La función de transferencia se descompone
en funciones de primer y segundo orden
para disminuir los errores de truncado de
coeficientes


45

6.3.1 Programación directa

46

23

Descomposición de la función de transferencia
E2 (z ) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + L + bm z − m
D( z ) =
=
E1 (z ) a0 + a1 z −1 + a2 z − 2 + L + a p z − p

[

]

[

E2 ( z ) a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + L + a p z − p = E1 ( z ) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + L + bm z − m

]

Transformada “z” inversa
p

m

i =1

i =0

a0 ⋅ e2 (n ) + ∑ ai e2 (n − i ) = ∑ bi e1 (n − i )

1
e2 (n ) =
a0

Salida actual

m

1
∑ bi e1 (n − i ) − a
i =0
0

p

∑ a e (n − i )
i =1

i 2

Salidas anteriores

Entradas

47

Implementación directa
e1(n)

Z-1

b0
a0

e1(n-1)

e1(n-2)

e1(n-m)

b2
a0

Z-1

bm
a0

b1
a0

+

+

+

+

+

+

Los coeficientes ai y bi aparecen de
forma directa
Recursos utilizados:
• M+P elementos de retraso “Z-1”
• M+P+1 multiplicadores
• M+P sumadores

+

e2(n)

+
e2(n)

Z-1

e2(n-1)
− a1
a0

e2(n-2)

e2(n-p)

− a2
a0

Z-1

− ap
a0

+
+

+
+


48

24

6.3.2 Programación estándar

49

D(z ) =

E2 ( z ) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + L + bm z − m E2 ( z ) H ( z )
=
=
E1 ( z ) a0 + a1 z −1 + a2 z − 2 + L + a p z − p H ( z ) E1 ( z )

E2 ( z )
= b0 + b1 z −1 + b2 z − 2 + L + bm z − m
H (z )

H (z )
1
=
−1
E1 (z ) a0 + a1 z + a2 z − 2 + L + a p z − p
Transformada “z” inversa

[

]

m

E2 ( z ) = b0 + b1 z −1 + b2 z − 2 + L + bm z − m ⋅ H ( z )
H (z ) =

[

⇒ e2 (n ) = ∑ bi h(n − i )
i =0

]

1
1
1
1
E1 ( z ) −
a1 z −1 + a2 z − 2 + L + a p z − p ⋅ H ( z ) ⇒ h(n ) = e1 (n ) −
a0
a0
a0
a0


p

∑ a h(n − i )
i =1

i

50

25

Implementación estándar
Recursos utilizados:
• P elementos de retraso “Z-1”
• P+M+2 multiplicadores
• P+M+1 sumadores

+

+

2

1

0

b

b

Z-1

b

-

h(n)

b

+

m

+
−
a0 1

+

e1(n)

+

a1
a0

+
+

ap

am
a0

a2
a0

+

h(n-p)

Z-1

Z-1

e2(n)

+

a0

+
+

+


51

Fuentes de error
La precisión en la implementación de controles digitales es importante para
obtener un buen resultado.
Hay tres fuentes de error que afectan a la precisión:
• El error de cuantificación de los ADC
• Redondeo en las operaciones aritméticas
• Truncamiento de los coeficientes ai y bi ⇒ este error aumenta al
aumentar el orden de la función de transferencia ⇒ un pequeño error
en los coeficientes de un filtro de orden elevado provoca un gran error
en la ubicación de polos y ceros
Este error se puede reducir matemáticamente descomponiendo las funciones
de transferencia de orden elevado en combinaciones de funciones de primer
y segundo orden

52

26

6.3.3 Programación serie

53

La función de transferencia se descompone en un producto de funciones sencillas
de primer o segundo orden
r
E ( z ) b + b z −1 + b z −2 + L + bm z − m
D( z ) = 2 = 0 1 −1 2 − 2
= D1 ( z ) ⋅ D2 ( z )L Dr ( z ) = ∏ Dk ( z )
E1 ( z ) a0 + a1 z + a2 z + L + a p z − p
k =1
e1(n)

D1(z)

D2(z)

Dr(z)

e2(n)

Las funciones de transferencia Di(z) dependen de los polos y ceros de D(z):
Polo y cero reales
1 + bi z −1
Di ( z ) =
1 + ai z −1

Polos y ceros complejo conjugados
1 + ei z −1 + f i z −2
Di ( z ) =
1 + ci z −1 + d i z − 2


54

27

Implementación estándar
+
+
1

b
−
a0 1

h(n)

+

Z-1

Z-1

h(n-1)
h(n-1)

Z-1

h(n-2)
h(n-2)

a1
a0

-

Z-1
Z-1

+
+

h(n-m)
h(n-m)

e2(n)

h(n-p)
ap

am
a0

a2
a0

+

+

b

0

b

e1(n)

Z-1

b

h(n)

+

2

i =0

m

e2 (n ) = ∑ bi h(n − i )

+
+

m

a0

+
+
h(n ) =


+
1
1
e1 (n ) −
a0
a0

p

∑ a h(n − i )
i =1

i

55

Implementación funciones Di(z) (I)
Polo y cero reales
Y ( z ) 1 + bi z −1
=
X ( z ) 1 + ai z −1

Z-1

b

+

i

x(n)

+

+
y(n)

ai


56

28

Implementación funciones Di(z) (II)
Polos y ceros complejo conjugados
Y ( z ) 1 + ei z −1 + f i z −2
=
X ( z ) 1 + ci z −1 + d i z − 2
+

Z-1

f

e

Z-1

i

i

x(n)

+

+
+

+
y(n)

ci

+
+

di


57

6.3.4 Programación paralelo

58

29

La función de transferencia se descompone en suma de fracciones parciales de
primer y segundo orden:
E ( z ) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + L + bm z − m
D(z ) = 2
=
= A + D1 ( z ) + D2 ( z ) + L + Dq ( z )
E1 ( z ) a0 + a1 z −1 + a2 z − 2 + L + a p z − p
j

= A + ∑ Di ( z ) +
i =1

q

∑ Di (z ) = A +

i = j +1

j

b
∑ 1 + ai z −1
i =1
i

+

Polos reales

ei + f i z −1
∑
−1
+ di z −2
i = j +1 1 + ci z
q

Polos complejos

A
e1(n)

D1(z)

e2(n)

Dq(z)
59


Implementación funciones Di(z) (I)
Polos reales
bi
Y (z )
=
X ( z ) 1 + ai z −1

i

b

x(n)

+

y(n)

Z-1
ai


60

30

Implementación funciones Di(z) (II)
Polos complejos conjugados
Y (z )
ei + f i z −1
=
X ( z ) 1 + ci z −1 + d i z − 2

i

e

+
f

+

Z-1

i

x(n)

+

y(n)

Z-1

ci

+
+

di


61

6.3.5 Programación en escalera

62

31

1
con i = 1,2,..., p − 1
Bi z + Gi( A ) ( z )
1
Di( A ) ( z ) =
con i = 1,2,..., p − 1
B
Ai + Gi(+1) ( z )
1
D (pB ) ( z ) =
1
Bp z +
Ap

Di( B ) ( z ) =

D( z ) = A0 + D1( B ) ( z )

D( z ) = A0 +

1
B1 z +

1
A1 +

1
1
M

B2 z +
Ap −1

1
Bp z +


1
Ap

63

Ejemplo de programación en escalera (I)
D( z ) = A0 +

1
B1 z +

1
A1 +

p=2

D (pB ) ( z ) =

1
B2 z +

1
A2

D( z ) = A0 +

1

B1 z +

1
(
A1 + D2B ) ( z )

= A0 +

1

Bp z +

1
Ap

1
= A0 + D1( B ) ( z )
B1 z + D1( A ) ( z )

Di(B)(z) se puede escribir como:
Di( B ) ( z ) =

1
Y (z )
=
X ( z ) Bi z + Di( A ) ( z )


X i ( z ) − Di( A )Yi ( z ) = Bi zYi ( z )

64

32

Ejemplo de programación en escalera (II)
X i ( z ) − Di( A )Yi ( z ) = Bi zYi ( z )

+

Z-1

i

B1

x(n)

y(n)

Di( A ) ( z )

65


Ejemplo de programación en escalera (III)
Di(A)(z) se puede escribir como:

+

B
X i ( z ) − Di(+1)Yi ( z ) = AiYi ( z )

A1

x(n)

1
Y (z )
=
B
X ( z ) Ai + Di(+1) ( z )

i

Di( A ) ( z ) =

y(n)

B
Di(+1) ( z )


66

33

Ejemplo de programación en escalera (IV)

1

A1

+

6
x

(
D2B ) ( z )

x
1

5
x
+

1

6

Z-1

2

B1

-

x(n)

3

(B )

D1

y(n)

+
+

(z ) x
2

B1

+
-

5

1
(
A1 + D2B ) ( z )

1

B1 z +

1
= A0 + D1( B ) ( z )
B1 z + D1( A ) ( z )

= A0 +

A

4

1

0

D( z ) = A0 +

Z-1

2

3
x

1 A2

D1( A ) ( z )

4
x
67


Ejemplo de programación en escalera (V)
Combinación de los diagramas de bloques
x(n)

+

0

A

+x

1 x+

2

Z-1

1

B1

-x

y(n)

3

+

x4

1

A1

+x 5

Z-1

2

B1

-

- x 6

1 A2


68

34

6.4 Ejemplo de diseño: control de un
motor DC mediante el driver L293E

69

Índice
6.4.1. Introducción al sistema de control digital de un motor
6.4.2. Modelo equivalente eléctrico del motor DC
6.4.3. Interface con el motor: L293E
6.4.4. Control en lazo abierto de la velocidad de giro
6.4.5. PWM digital
6.4.6. Monitorización de la velocidad de giro
6.4.7. Regulación de la velocidad de giro


70

35

6.4.1 Introducción al sistema de control
digital de un motor

71

Diagrama de bloques del sistema de control
Placa interface
FPGA

Elementos básicos:
• FPGA: implementa el sistema digital de control
• Interface etapa lógica-motor: etapa de potencia controlada digitalmente que
alimenta el motor DC
• Motor: sistema a controlar
• Sensor óptico: permite medir la velocidad de giro del motor

72

36

6.4.2 Modelo equivalente eléctrico del
motor DC

73

Modelo ideal del motor DC
• Transformador ideal de tensión/corriente en velocidad/fuerza
• Relaciones de transformación:
K·IS = Fm
VS = K·Um
(fuerza)

(velocidad)


74

37

Modelo real del motor DC con pérdidas

Le y Re: Inductancia y resistencia del devanado del rotor
Cm: modela la resistencia que presenta el motor a cambios de
velocidad
Rm: resistencia mecánica
RL: carga del motor
75


Circuito eléctrico equivalente del motor
Circuito equivalente del secundario visto desde el primario

Modelo eléctrico equivalente de segundo orden
wA
1
= 2
2
VS
s + 2α s + wo
wo =

1
Leq ⋅ C eq

V = D ⋅ V REF

76

38

6.4.3 Interfase con el motor: L293E

77

Driver de cuatro canales Push-Pull

Características:
• Iout: 1A por canal
• Iout de pico: 2 A por canal
• Entrada de inhibición
• Protección contra sobre-temperatura


78

39

Diagrama de bloques
Entradas de control
Entradas de
habilitación

Modelo driver de corriente
Vss

79


Control unidireccional del motor DC (I)
Conexión a +Vs


Conexión a masa

80

40

Control unidireccional del motor DC (II)
Vss
Vss

Conexión a masa

1
M

Vss
M
0
Conexión a +Vs

81

Control bidireccional del motor DC (I)


82

41

Control bidireccional del motor DC (II)
Giro a la derecha
Vss

1

Giro a la izquierda
Vss

+

M

-

0

0

Va=Vss

+

M

-

1

Va=-Vss


83

6.4.4 Control en lazo abierto de la
velocidad de giro

84

42

Control en lazo abierto de la velocidad de giro
• Variando la tensión de alimentación del motor se varia su velocidad
• Con un modulador PWM se obtiene una tensión variable de valor:
D·Vcc donde D es el ciclo de trabajo de la señal PWM

85


Diagrama de bloques del
sistema de control en lazo abierto
Modulador PWM

Motor
D·VREF

Variando el ciclo de trabajo D se varia la tensión de alimentación del
motor y con ello la velocidad de giro ωA

w A = D ·V REF ·

1
2
s 2 + 2α s + wo


86

43

Modulador de anchura de pulsos (PWM)
TON TOFF TON TOFF TON TOFF
VREF

D

Tc: periodo de conmutación
D = TON/Tc con 0 ≤ D ≤ 1
• Si el Tc es suficientemente pequeño la tensión equivalente que se aplica
al motor es el valor medio de la señal PWM: D·VREF

87


Margen dinámico de la alimentación del motor
con driver de puente en H
Vss

D=1

0

M
+
Va=Vss

1

0

1

0

0

+

M

1

-

Va=-Vss
Vss

D = 0.5
1

Vss

D=0

+

M

1

-

0

1

0

Va=0

88

44

Forma de onda de la tensión del motor
+Vss

-Vss


89

6.4.5 PWM digital

90

45

Estructura del PWM analógico
Rampa

Comparador
PWM

Tc

+

D

Ciclo de trabajo
D

PWM
91


Estructura del PWM digital de 8 bits de precisión
CLK

Contador
8 bits

8

Comparador
A 8 bits
LT

D

Tc = 28·TCLK

8

1

PWM

B

Tc

D1
D2
PWM2
PWM1

92

46

Diseño Xilinx del PWM digital
Contador

Comparador

Divisor de
frecuencia

Salidas de
activación
del puente

P80

Ciclo de
trabajo

Salida de habilitación
del puente

93


Divisor de frecuencia
• Diseñar el divisor de frecuencia para que Tc=1ms
• Tc = 28·TCLK

TCLK
P80
50MHz


94

47

Ciclo de trabajo
• El valor del ciclo de trabajo se introduce mediante los switches
• La precisión es de 8 bits
El SW1 es el bit de mayor peso


95

Señales de control del puente en H

PWM

PWM1
ENABLE


96

48

6.4.6 Monitorización de la velocidad de
giro

97

Fotointerruptor
4

3

1

2
4

3
Vista inferior

1

2
98

49

Esquema de conexión
+Vcc

10kΩ
180Ω

+Vcc
4

3

Pin
FPGA

560Ω
1

2
99


Algoritmo de medida de la velocidad de giro
La velocidad se obtiene contando el nº de pulsos por unidad de tiempo:

vrps =

Np
Nv ⋅T

Vrps: velocidad en revoluciones por segundo
Np: número de pulsos contados
Nv: número de ventanas del disco
T: tiempo de cuenta en segundos

A la FPGA
1
1
0
0

Simplificación del cálculo:
Si T = 1/Nv ⇒ vrps = Np

100

50

Implementación digital del algoritmo

Pulsos del
fotointerruptor

CK

Contador
de pulsos

Registro
de Np

Reset Asíncrono
CK

50MHz

CK

Temporizador
T segundos

T
101


Dimensionado de componentes
Temporizador T
• Para Nv = 24 y con T = 1/Nv ⇒ vrps = Np
• El valor a temporizar es T = 41.66ms
• Si fCLK = 50MHz, 41.66ms equivalen a 2.083.333 pulsos
Temporizador T
50MHz

Contador de 21 bits
T0
MAX COUNT:
CK
2.083.333d = 1FCA05H


T=41.66ms

102

51

Dimensionado de componentes
Contador de pulsos, Registro Np
• Si se toma como velocidad máxima vrps_max = 100d
• El contador debe ser de 7 bits
• El registro también es de 7 bits
+Vcc

+Vcc

Pin
180Ω FPGA

10kΩ
4

560Ω
1

3
2

Contador de 7 bits
7

CK
Reset Asíncrono

T=41.66ms

Registro
7 bits

7

CK

103

Bloques de memoria RAM
en la familia Spartan 2/2E

Estructura
utilizada


104

52

Etapa de visualización
• Se debe visualizar valores entre 0 y 99 rps
• Los valores a visualizar se almacenan en la memoria RAM

Registro
7 bits

4

(MSB) B6
B5
7
B4
B3
B2
B1
(LSB) B0

D
A3, P49

9

RAM
512 x 8bits

4

U
A4, P58
ó P56 (2E)

105


Ejemplo de visualización
Para Np=50d,
el valor del registro es
0110010b

Registro
7 bits

7

Bus de
direcciones

9

Bus de
datos
D
4
0101
RAM
[7..4]
512 x 8bits 4 U
0000
[3..0]

Los dos bits de mayor peso del bus de direcciones valen siempre 0

106

53

Contenido de la memoria RAM
INIT_00=3130292827262524232221201918171615141312111009080706050403020100
INIT_01=6362616059585756555453525150494847464544434241403938373635343332
INIT_02=9594939291908988878685848382818079787776757473727170696867666564
INIT_03=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000099989796
INIT_04=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
INIT_05=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
INIT_06=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
INIT_07=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
INIT_08=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
INIT_09=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
INIT_0A=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
INIT_0B=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
INIT_0C=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
INIT_0D=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
INIT_0E=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
INIT_0F=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

107


Activación de los dígitos

D[7..4] 4

8

0

U[3..0] 4

4

1 S0
S0

0

BIN7SEG

Señales
habilitación
de dígitos

8
A3, P49
8

1

A3
A4


A4, P58 ó
P56 (2E)

108

54

Control de activación de los dígitos
El control de activación se puede realizar mediante un sistema secuencial

95Hz
50 MHz P80
Contador 19 bits
Clock

La frecuencia de barrido
del display es de 95Hz

Sistema S0
secuencial A4
de control A3

Estado Actual
Estado siguiente
S0
A4
A3

S0
S1
0
0
1

S1
S0
0
1
0


109

6.4.7 Regulación de la velocidad de giro

110

55

Sistema de control en lazo cerrado
El sistema de control ajusta el valor de D para que la velocidad real, wa se
mantenga igual a la velocidad deseada wd
Se compara la velocidad
real con la ideal

Con el resultado de la comparación
se ajusta el ciclo de trabajo D


111

Bibliografía (I)
www.ti.com
• Application Report SPRA083: “Implementation of PID and Deadbeat
Controllers with the TMS320 Family,” Irfan Ahmed
• Application Report SPRA009: “Control System Compensation and
Implementation with the TMS32010,” Charles Slivinsky
www.motorola.com
• AN1213/D: “16-Bit DSP Servo Control With the MC68HC16Z” David
Wilson
• AN1249/D: Bruhed DC Motor Control Using the MC68HC16Z1
• AN1712: “Get Your Motor Running” with the MC68HC708MP16

112

56

Bibliografía (II)
• Katsuhiko Ogata, “Discrete-Time Control Systems,” Ed. Prentice Hall
www.st.com
• L293B/L293E Data Sheet


113

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