1) Isaac Newton propuso que existe una fuerza de atracción gravitatoria universal entre todos los cuerpos que depende directamente de la masa de los cuerpos y depende inversamente del cuadrado de la distancia que los separa. 2) Esta fuerza explica los movimientos planetarios y satelitales y se conoce como la Ley de Gravitación Universal de Newton. 3) El campo gravitatorio representa las fuerzas gravitatorias que un cuerpo genera en el espacio que lo rodea y su intensidad depende de la masa del cuerpo y la distancia al cent

1. Gravitación universal
9
A finales del siglo XVII la comunidad científica ya interpretaba los
movimientos de los planetas de acuerdo al sistema heliocéntrico. Este
considera al Sol en el centro del sistema y a los planetas girando, descri-
biendo trayectorias casi circulares (elipses en realidad) a su alrededor.
Incluso se conocían algunos satélites que orbitaban alrededor de Júpiter
con trayectorias similares.
Los planetas y sus satélites no se mueven con MRU, por lo tanto, de
acuerdo a la primera ley de Newton no están en equilibrio; la fuerza
neta sobre ellos no es nula.
¿Qué características tienen estas fuerzas que mantienen a los cuerpos
celestes en órbita?
Newton respondió a esta incógnita en su libro “Principia”.
Planteó que entre dos cuerpos celestes (el Sol y la Tierra, por ejemplo)
existen fuerzas de atracción gravitatoria. Estas fuerzas evitan que la Tie-
rra siga moviéndose en línea recta y “se escape” del sistema solar (fig. 1).
Las fuerzas gravitatorias entre dos planetas A y B,

FB
A
y

FA
B
forman
un par acción y reacción. Cada fuerza actúa sobre un cuerpo diferente,
tienen igual módulo y dirección, su sentido es opuesto (fig. 2).
El módulo de este par de fuerzas es directamente proporcional al
producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que los separa. Veamos este último concepto
con un poco más de detalle.

v

Fg

Fg
Fig. 1. La fuerza gravitatoria hace posible
que la Tierra orbite alrededor del Sol. Si
no existiera esta fuerza, laTierra se move-
ría con MRU, de acuerdo a la primera ley
de Newton.
Planeta A Planeta B
m Md

FB
A

FA
B
Fig. 2. Fuerza de atracción gravitatoria
entre A y B. Las fuerzas

FA
B
y

FB
A
tienen
igual módulo y dirección pero sentido
opuesto. Son un par acción-reacción.
134 interacciones • fuerzas y energía / física 3º C.B.Capítulo 9 • GRAVITACIÓN UNIVERSAL

2. Relación fuerza gravitatoria – masa de los cuerpos
Supongamos dos planetas “A” y “B” separados una distancia “d”. Si
sustituimos el planeta “A” por otro del doble de su masa, la fuerza de
atracción entre ambos planetas aumentará también al doble (fig. 3).
Lo mismo sucede si sustituimos el planeta “B” por otro del doble de
su masa (fig. 4).
Planeta A Planeta B

2F

2F
2m
M
d
Fig. 3. Si una masa aumenta al doble, las
fuerzas gravitatorias aumentan el doble.
Planeta A Planeta B
m
2M
d

2F

2F
Fig. 4. La fuerza gravitatoria aumenta in-
dependientemente de cuál cuerpo au-
mente su masa.
Esto sucede porque la fuerza de atracción gravitatoria es directamen-
te proporcional a la masa de cada cuerpo, que es equivalente a decir que
es directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos.
Relación fuerza gravitatoria – distancia entre los
cuerpos
Si aumentamos al doble la distancia que separa los cuerpos, el mó-
dulo de la fuerza gravitatoria se reduce a la cuarta parte. Si aumentamos
al triple la distancia que los separa, el módulo de la fuerza gravitatoria
se reduce a la novena parte. Esto sucede porque el módulo de la fuerza
gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
entre los cuerpos (fig. 5).

F

F
m Md
m M2d
m M3d

F
4

F
4

F
9

F
9
Fig. 5. La fuerza de atracción gravitatoria entre los dos planetas es inversamente pro-
porcional al cuadrado de la distancia entre ellos.
Esta propuesta de Newton era coherente con las precisas medidas
tomadas por Tycho Brahe y con las leyes del movimiento planetario de
Johannes Kepler (fig. 6).
A
AA
Sol
t
tt
Fig. 6. Johannes Kepler (1571-1630). As-
trónomo, matemático y físico alemán.
Utilizando la gran cantidad de medicio-
nes realizadas por Brahe para estudiar
los movimientos planetarios, publica en
1609 “Astronomía nova”, en la que enun-
cia la ley de las áreas. Un planeta en su
órbita elíptica “barre” áreas iguales en
tiempos iguales. De esta ley se deduce
que el planeta debe moverse a mayor
velocidad si está más cerca del sol.
135interacciones • fuerzas y energía / física 3º C.B. GRAVITACIÓN UNIVERSAL • Capítulo 9
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3. Ley de Gravitación Universal de Newton
Newton postuló que este par de fuerzas de atracción no lo experi-
mentan únicamente los cuerpos celestes sino que son fuerzas de carácter
universal. Este planteo es conocido como ley de Gravitación Universal.
Todos los cuerpos se atraen ejerciéndose fuerzas mutuamente
(par de acción y reacción). El módulo de dichas fuerzas es di-
rectamente proporcional a la masa de cada cuerpo e inversa-
mente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
La expresión matemática de esta ley es la siguiente:

F
G m m
dG 
. .1 2
2
“m1”y “m2”son las masas de los cuerpos, expresadas en kilogramos.
“d” es la distancia que separa los cuerpos, expresada en metros.
“G” es una constante, llamada “constante de gravitación univer-
sal” y fue determinada por primera vez por Henry Cavendish
(fig. 7) en 1798. Su valor es G = 6,67 ´ 10-11 Nm
kg
2
2 .
Ejemplo 1
Fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna
Utilicemos la ley de Gravitación Universal para determinar la fuer-
za de atracción ente la Tierra y la Luna, para ello necesitaremos los si-
guientes datos.
Masa de la Tierra: 5,97 ´ 1024
kg
Masa de la Luna: 7,35 ´ 1022
kg
Distancia media Tierra-Luna: 3,84 ´ 108
m

F
G m m
dG 
. .1 2
2
Sustituyendo por los valores

F
Nm
kg
kg kg
m
G =
× × ×
×( )
=
−
6 67 10 5 97 10 7 35 10
3 84 10
1
11
2
2
24 22
8
2
, . , . ,
,
,,98 1020
× N
Recuerda que se cumple la tercera ley de Newton. Este valor que aca-
bamos de calcular es el módulo de la fuerza que la Tierra ejerce sobre
la Luna

FG
T
L
y el módulo de la fuerza que la Luna ejerce sobre la Tierra

FG
L
T
(fig. 8).
Fig. 7. Henry Cavendish, científico britá-
nico (1731 - 1810).
d

FG
L
T

FG
T
L
Fig. 8. Fuerzas de atracción gravitatoria
entre laTierra y la Luna. Es un par de fuer-
zas acción y reacción, ejercidas a distan-
cia.
136 interacciones • fuerzas y energía / física 3º C.B.Capítulo 9 • GRAVITACIÓN UNIVERSAL
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4. Ejemplo 2
Fuerza de atracción graavitatoria entre dos compañeros
De acuerdo a esta teoría de Newton, en este momento estás experi-
mentando fuerzas de atracción gravitatoria con tus compañeros y con
los objetos que te rodean.
¿No notas los efectos estas fuerzas? No, claro que no. Calculemos la
fuerza de atracción gravitatoria entre dos compañeros de clase, Alejan-
dro y Ernesto (fig. 9), a partir de los siguientes datos.
Masa de Alejandro: 60kg.
Masa de Ernesto: 75kg
Distancia entre ellos: 0,30m

F
G m m
d
Nm
kg
kg kg
m
NG = =
×
( )
= ×
−
−. .
, . .
,
,1 2
2
11
2
2
2
6
6 67 10 75 60
0 30
3 3 10
El módulo de la fuerza de atracción gravitatoria que actúa sobre cada
uno de ellos es muy pequeño, menos de una millonésima de Newton,
despreciable al compararlo con otras fuerzas que actúan sobre Ernesto y
Alejandro. Por ejemplo, el peso de cada una es 750N y 600N respectiva-
mente. Por este motivo no percibimos el efecto de dichas fuerzas.
Campo gravitatorio
Para explicar mejor las interacciones a distancia de origen gravitato-
rio, magnético o eléctrico en física se utiliza el concepto de campo. La
Tierra y en general cualquier objeto, genera a su alrededor un campo
gravitatorio que actúa sobre los cuerpos que se encuentran dentro de
él, ejerciéndoles fuerzas gravitatorias. Se puede representar utilizando
líneas de campo (fig. 10).
La dirección y sentido de estas líneas corresponde a la dirección y
sentido de la fuerza gravitatoria sobre un cuerpo situado en ese punto y
es más intenso en la zona en que las líneas están más juntas.
El campo gravitatorio es vectorial por lo que a cada punto del espacio
alrededor de la Tierra le corresponde un vector campo gravitatorio con
las siguientes características (fig. 11).
Su notación es

g
La dirección es radial
El sentido, hacia el centro de la Tierra
El módulo se determina


g
F
m
g

Su unidad en el Sistema Internacional es N
kg
.
Fig. 9. Fuerza de atracción gravitato-
ria entre Alejandro y Ernesto. Su valor es
despreciable comparado con otras fuer-
zas que actúan sobre ellos, como el peso
o el rozamiento.
Fig. 10. Líneas de campo gravitatorio al-
rededor de la Tierra, tienen dirección ra-
dial y sentido hacia el centro de la Tierra.
El campo es más intenso en las zonas
donde las líneas están más juntas.

g

Fg
A
Fig. 11. El campo gravitatorio

g en el
punto A tiene igual dirección y sentido
que la fuerza gravitatoria sobre un cuer-
po ubicado en ese punto.
137interacciones • fuerzas y energía / física 3º C.B. GRAVITACIÓN UNIVERSAL • Capítulo 9
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5. Ejemplo 3
Campo gravitatorio en la superficie de la Tierra
Determinemos las características del campo gravitatorio en la super-
ficie de la Tierra. Para ello situaremos un cuerpo de masa 75kg en su
superficie. Necesitaremos los siguientes datos:
Masa de la Tierra: 5,97 ´ 1024
kg
Radio de la Tierra: 6,37 ´ 106
m
Considerando que la distancia entre el cuerpo y el centro de la Tierra
es igual al radio de la Tierra, podemos plantear:


g
F
m
G m m
d
m
G m
d
g
T
T
  
. .
.2
2
Podemos apreciar que la intensidad del campo gravitatorio terrestre
no depende de la masa del cuerpo que se utilice para determinarlo. So-
lamente depende de la masa de la Tierra y de la distancia a su centro.

g
G m
d
Nm
kg
kg
m
N
kg
T
= =
× ×
×
=
−
.
, . ,
( , )
,2
11
2
2
24
6 2
6 67 10 5 97 10
6 37 10
9 81
Peso y campo gravitatorio
En el capítulo 1 estudiamos las características de la fuerza peso, y vi-
mos un procedimiento sencillo para determinar su módulo.
“Si la masa de un cuerpo es 1,0kg, entonces la fuerza peso sobre él es
aproximadamente 10N”
Ahora conocemos un poco más sobre esta fuerza. y podemos plan-
tear una definición más precisa.
La fuerza peso es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra a
los cuerpos que están en su cercanía.
Utilizando la definición de campo gravitatorio,




 
g
F
m
g
P
m
P m g
g
= ⇒ = ⇒ = .
EnlasuperficiedelaTierra

g
N
kg
 9 81, ,aproximadamente10 N
kg
.
El módulo del campo gravitatorio terrestre no es constante en su su-
perficie debido a la forma de la Tierra.
En los polos el módulo es 9,83 N
kg
y en el ecuador 9,78 N
kg
.
El valor del campo gravitato-
rio en la superficie terrestre es
9,81 N
kg
.
Esto significa que sobre un
cuerpo situado en la superficie
de la Tierra, de masa 1,00kg,
actúa una fuerza gravitatoria
de 9,81N
Fig. 12. Módulo de la fuerza gravitatoria.
El módulo del peso de un
cuerpo se calcula
 
P m g . ,
siendo

g el módulo del cam-
po gravitatorio en la posición
del cuerpo.
Fig. 13. Cálculo del módulo de la fuer-
za peso.
138 interacciones • fuerzas y energía / física 3º C.B.Capítulo 9 • GRAVITACIÓN UNIVERSAL
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6. Aceleración gravitatoria
Analicemos con detalle las unidades del campo gravitatorio
g
N
kg
  = Como 1 1 2
N kg
m
s
 .
planteemos lo siguiente: g
N
kg
kg
m
s
kg
m
s
  = = =
. 2
2
Observa que las unidades del campo gravitatorio son unidades de
aceleración. g
N
kg
m
s
  = = 2
Movimiento de caída libre
El valor del campo gravitatorio en un punto es el valor de la acele-
ración que experimenta un cuerpo que se deja caer desde ese punto, si
sobre él actúa solamente la fuerza gravitatoria.
Las características de esta aceleración, módulo, dirección y sentido,
no dependen de la masa del cuerpo. Esto determina que los cuerpos que
se suelten desde el mismo punto experimentarán la misma aceleración,
si sobre ellos actúa solamente la fuerza gravitatoria.
El movimiento de los cuerpos en estas condiciones se denomina
“caída libre” (fig. 15) y lo estudiaremos con más detalle en el próximo
capítulo.
Ejemplo 4
Campo gravitatorio en la superficie de la Luna
Basados en lo realizado en el ejemplo anterior, si conocemos la masa
y el radio de la Luna podemos calcular el módulo del campo gravitato-
rio en su superficie.
Masa de la Luna: 7,35 ´ 1022
kg
Radio de la Luna: 1, 74 ´ 106
m
Considerando que la distancia entre el cuerpo y el centro de la Luna
es igual al radio de la Luna, podemos plantear:


g
F
m
m
d
m
G
dL
G
L
  
G . m .
. mL
2
2

g
G
d
N m
kg
kg
mL = =
× ×
×
=
−
. m
.
L
2
11
2
2
22
6 2
6 67 10 7 35 10
1 74 10
1
,
.
,
( , )
,,61
N
kg
Fig. 14. El campo gravitatorio es leve-
mente mayor en los polos que en el
ecuador. Como valor medio suele con-
siderarse 9,8m
s2 o redondearse en 10m
s2
para simplificar los cálculos.
Fig. 15. Todos los cuerpos en caída libre
en la superficie de laTierra experimentan
la misma aceleración, aproximadamente
9,8m
s2 .
El valor del campo gravitatorio
en la superficie lunar es aproxi-
madamente 6 veces menor que
en la superficie terrestre.
Esto significa que un cuerpo
situado en la superficie lunar
pesa 6 veces menos que en la
Tierra.
Fig. 16. Campo gravitatorio lunar.
139interacciones • fuerzas y energía / física 3º C.B. GRAVITACIÓN UNIVERSAL • Capítulo 9
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7. Actividad experimental
Fuerza gravitatoria
Como está completamente fuera de nuestro alcance experimentar
con masas lo suficientemente grandes como para medir la fuerza de
atracción gravitatoria entre ellas, te proponemos realizar una actividad
con un “applet”. Es un programa de simulación, en el que podremos va-
riar las masas de los cuerpos y la distancia entre ellos y ver cómo varía
el módulo de la fuerza gravitatoria. Puedes realizar esta actividad en
el siguiente sitio web de la Universidad de Colorado, Estados Unidos:
http://phet.colorado.edu/en/simulation/gravity-force-lab
Fig. 17. Captura de pantalla del“applet”.
a) Manteniendo constante la distancia, estudiaremos cómo varía el
módulo de la fuerza gravitatoria al variar la masa de uno de los
cuerpos.
- Deja constante la masa del cuerpo 1 en 10kg.
- Varía la masa del cuerpo 2 y registra los valores de fuerza co-
rrespondientes, hasta completar la Tabla 1
- Construye la gráfica FG = f(m2
)
b) Ahora manteniendo constantes las masas de los cuerpos estudia-
remos cómo varía el módulo de la fuerza gravitatoria al variar la
distancia entre los cuerpos.
- Deja constante ambas masas en 10kg.
- Varía la distancia entre los centros de los cuerpos y registra los
valores de fuerza correspondientes, hasta completar la Tabla 2.
- Construye la gráfica FG = f(d)
¿Qué puedes concluir analizando cada gráfica?
¿Coinciden los resultados con la ley de Gravitación Universal?
m2 (kg) FG (N)
20
40
60
80
100
Fig. 18. Tabla 1.
d (m) FG (N)
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
Fig. 19. Tabla 2.
140 interacciones • fuerzas y energía / física 3º C.B.Capítulo 9 • GRAVITACIÓN UNIVERSAL
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8. Autoevaluación
1. ¿Cuál de los siguientes diagramas (fig. 20) describe mejor la inte-
racción gravitatoria entre dos cuerpos de masas diferentes?
a)

F1

F2
b)

F1

F2
c)

F1

F2
Fig. 20. Autoevaluación 1.
d)

F2
2. La fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos de masas m1 y
m2 es de 36N, cuando están separados una distancia “d”.
a) Si m1 aumenta al triple, el módulo de la fuerza gravitatoria será:
a) 4,0N b) 9,0N c) 12N d) 18N
e) 72N f) 108N g) 144N
b) Si m2 disminuye a la mitad, el módulo de la fuerza gravitatoria
será:
a) 4,0N b) 9,0N c) 12N d) 18N
e) 72N f) 108N g) 144N
c) Si “d” aumenta al triple, el módulo de la fuerza gravitatoria será:
a) 4,0N b) 9,0N c) 12N d) 18N
e) 72N f) 108N g) 144N
d) Si “d” se reduce a la mitad, el módulo de la fuerza gravitatoria
será:
a) 4,0N b) 9,0N c) 12N d) 18N
e) 72N f) 108N g) 144N
3. Elige la gráfica que mejor represente cómo varía el módulo de la
fuerza gravitatoria entre dos cuerpos al variar la distancia entre
ellos (fig. 21).
F
d
a) F
d
b) F
d
c)
Fig. 21. Autoevaluación 3.
F
d
d)
141interacciones • fuerzas y energía / física 3º C.B. GRAVITACIÓN UNIVERSAL • Capítulo 9
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9. Preguntas
1. La fuerza gravitatoria ¿es una de las cuatro fuerzas fundamentales
de la naturaleza?
2. ¿Qué sucedería con el movimiento de la Luna si desaparece la fuer-
za gravitatoria entre ella y la Tierra?
3. Describe algún efecto de la fuerza gravitatoria ejercida por la Luna
sobre la Tierra (fig. 22).
4. ¿En qué unidades se mide la fuerza gravitatoria?
5. ¿Qué significa que la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos es direc-
tamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos?
6. ¿Qué significa que la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos es inver-
samente proporcional al cuadrado de la distancia entre los cuerpos?
7. En un cumpleaños de 15, Santiago se acerca a Florencia y le dice:
“de acuerdo a la ley de Gravitación Universal, tú y yo nos atraemos”
¿es esto cierto?
8. El campo gravitatorio, ¿es una magnitud escalar o vectorial?
9. En este momento, ¿estás situado dentro del campo gravitatorio de
la Tierra?, ¿cómo puedes probarlo?
10. Describe las características de las líneas de campo gravitatorio de la
Tierra.
11. ¿Qué sucede con el valor del campo gravitatorio terrestre si nos ale-
jamos de la superficie de la Tierra?
12. Un cuerpo “A” de masa 10kg y un cuerpo “B” de masa 20kg están
situados en el suelo. ¿Experimentan la misma fuerza gravitatoria
con la Tierra?
13. El campo gravitatorio en los puntos donde están los cuerpos de la
pregunta anterior, ¿es de igual módulo?
14. Sobre una mesa están apoyadas una bolita de acero y una bolita de
vidrio, la masa de ambas es 10g. Las siguientes afirmaciones son
erróneas, explica por qué.
a) La bolita de acero tiene mayor peso que la bolita de vidrio.
b) No se atraen porque son de diferente material.
c) Se atraen porque son de material diferente.
d) La fuerza de atracción gravitatoria que le realiza la bolita de ace-
ro a la bolita de vidrio es mayor a la que realiza la bolita de vidrio
sobre la de acero.
e) La fuerza de atracción gravitatoria que le realiza la bolita de ace-
ro a la bolita de vidrio es menor a la que realiza la bolita de vidrio
sobre la de acero.
Fig. 22. Pregunta 3.
142 interacciones • fuerzas y energía / física 3º C.B.Capítulo 9 • GRAVITACIÓN UNIVERSAL
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10. Problemas
1. Calcula y representa las fuerzas gravitatorias entre dos esferas me-
tálicas de masas m1 = 3,42 ´ 103
kg y m2 = 6,38 ´ 103
kg, sabiendo
que la distancia entre sus centros es 4,00m (fig. 23).
2. Utilizando la tabla, calcula la fuerza gravitatoria entre cada planeta
y el Sol. Masa del Sol = 1,99 ´ 1030
kg.
Planeta Masa(kg) Radio medio(m) Dist. media al sol (m)
Venus 4,87 ´ 1024
6,05 ´ 106 1,08 ´ 1011
Tierra 5,97 ´ 1024
6,37 ´ 106
1,50 ´ 1011
Marte 6.42 ´ 1023
3,40 ´ 106
2,28 ´ 1011
Júpiter 1,90 ´ 1027
7,15 ´ 107
7,78 ´ 1011
Saturno 5,69 ´ 1026
6,03 ´ 107
1,43 ´ 1012
3. Imagina que estás parado en la superficie de cada uno de los plane-
tas mencionados en la tabla.
a) Calcula la fuerza gravitatoria sobre ti en cada planeta.
b) Calcula el módulo del campo gravitatorio en cada planeta.
c) Calcula la fuerza gravitatoria que tú ejerces sobre los planetas.
4. Morcillo López (primer uruguayo en la Luna de acuerdo al Cuarte-
to de Nos) está realizando una caminata lunar.
Radio de la Luna: 1,74 ´ 106
m
Masa de la Luna: 7,35 ´ 1022
kg
Masa de Morcillo: 150kg (incluye el traje)
Con los datos proporcionados calcula:
a) La fuerza gravitatoria sobre Morcillo.
b) El módulo del campo gravitatorio en la superficie de la Luna.
c) La relación existente entre los campos gravitatorios en la super-
ficie de la Luna y de la Tierra.
5. Seguramente has leído “El Principito”, de Antoine de Saint-Exupéry.
Si no lo has hecho, ¡estás a tiempo! De acuerdo a la imagen (fig. 24),
podemos estimar los siguientes datos
Masa del Principito: 50kg
Masa de su planeta: 2,0 ´ 106
kg
Radio de su planeta: 2,0m
a) Determina la fuerza de atracción gravitatoria entre El Principito
y su planeta, suponiendo que está acostado en el suelo.
b) Determina el valor del campo gravitatorio en la superficie de su
planeta.
c) Compara los valores hallados en a y b con los correspondientes
a El Principito en la superficie de la Tierra.
d
m1
m2
Fig. 23. Problema 1.
Fig. 24. Problema 5. El Principito parado
en la superficie de su pequeño planeta.
143interacciones • fuerzas y energía / física 3º C.B. GRAVITACIÓN UNIVERSAL • Capítulo 9
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