Este documento introduce las formas cuadráticas, que son funciones polinómicas de grado dos. Explica que las formas cuadráticas en dos o más variables pueden representarse mediante matrices simétricas. También define qué significa que una forma cuadrática sea positiva, negativa o indefinida dependiendo de si toma valores positivos, negativos o ambos. Finalmente, menciona que el hessiano de una función representa su forma cuadrática de segundo orden en la aproximación de Taylor.

1. Formas Cuadr´aticas
Calculo II
M´etodos Cuantitativos para las Finanzas
J. Rogelio P´erez Buend´ıa
Instituto Tecnol´ogico Aut´onomo de M´exico
27 de octubre de 2014
J. Rogelio P´erez Buend´ıa Formas Cuadr´aticas

2. Introducci´on
Una forma lineal de R1
a R1
es simplemente una funci´on de la forma
f (x) = ax
con a ∈ R.
El siguiente nivel de complejidad es una funci´on cuadr´atica
f (x) = ax2
.
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3. Introducci´on
La generalizaci´on natural de de una cuadr´atica en dos variables es lo que
llamamamos forma cuadr´atica en dos variables que es de la forma:
Q(x, y) = a11x2
+ a12xy + a22y2
en donde el grado de cada monomio es 2.
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4. Forma cuadr´atica
La generalizaci´on natural para formas cuadr´aticas en tres variables es:
Q(x, y, z) = a11x2
+ a12xy + a13xz + a22y2
+ a23yz + a33z2
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5. Definici´on
Una Forma Cuadr´atica en Rk
es una func´ıon con valores reales de la
forma:
Q(x1, x2, . . . , xk ) =
k
i,j=1
aij .
Formas cuadr´aticas son de gran importancia para el estudio del c´alculo de
varias variales que es necesario dedicarle una clase a este tema.
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6. C´onicas
Las curvas de nivel de una forma cuadr´atica en dos variables:
a11x2
1 + a12x1x2 + a22x2
2 = b
es una el´ıpse, una hip´erbola, un par de lineas, o posiblemente vac´ıa.
Todas estas curvas son el resultado de cortar una cono con un plano a
distitnas inclinaciones. Es por esto que estas curvas son llamadas
secciones c´onicas:
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7. Ejemplo
Si los t´erminos curzados de una forma cuadr´atica en dos variables son
n´umos, es decir si a12 = 0 entonces la curva de nivel para b > 0:
Q(x1, x2) = a11x2
1 + a22x2
2 = b
es mucho m´as f´acil de analizar.
Si a11 = a22 emtpmces esta es la ecuaci´on de un c´ırculo.
Si a11a22 > 0 entonces esta es la ecuaci´on de una el´ıpse con semiejes
de longitud b/a11 y b/a22.
Si a11a22 < 0 entonces esta es la ecuaci´on de una hip´erbola.
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8. Ejemplo
En el caso de que a11 = a22 = 0, entonces la ecuaci´on de la cu´adrica se
convierte en
a12x1x2 = b.
Esta es una familia de hip´erbolas, que es el conjunto de isocuantas de la
funci´on de producci´on de Cobb-Douglas f (x1, x2) = a12x1x2.
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9. Representaci´on Matricial
Una funci´on lineal f (x1, x2, . . . , xk ) = a1x1 + a2x2 + · · · + ak xk tiene una
representaci´on matricial de la forma:
f (X) = [a1, a2, . . . ak ]t







x1
x2
...
xk







= at
· X
De manera similar, una forma cuadr´atica tiene una representaci´on
matricial.
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10. Representaci´on Matricial
Por ejemplo, podemos escribir la forma cuadr´atica en dos variables:
a11x2
+ a12xy + a22y2
= [x1, x2]
a11 a12
a21 a22
x1
x2
y de hecho, muchas distintas matricies pueden funcionar para expresar
esta forma cuadr´atica, dependiendo de c´omo dividamos los coeficientes
de los t´erminos curzados a12 = a12 + a21.
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11. Representaci´on sim´etrica
Si dividimos a el coeficiente del t´ermino cruzado en a12 = a21 entonces
obtenemos una matriz sim´etrica:
a11x2
+ a12xy + a22y2
= [x1, x2]
a11
1
2 a12
1
2 a21 a22
x1
x2
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12. Representaci´on sim´etrica
Similarmente, podemos usar una matriz sim´etrica para representar a una
forma cuadr´atica en tres variables:
a11x2
1 + a12x1x2 + a13x1x3 + a22x2
2 + a23x2x3 + a33x2
3 =
[x1, x2, x3]




a11
1
2 a12
1
2 a13
1
2 a21 a22
1
2 a23
1
2 a31
1
2 a32 a33








x1
x2
x3




Si hacemos algo similar para m´as variables obtenemos el siguiente
teorema.
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13. Teorema de representaci´on
Teorema
La forma cuadr´atica general
Q(x1, x2, . . . , xn) =
i≤j
aij xi xj
puede ser escrita como:
[x1, x2, . . . , xk ]







a11
1
2 a12 · · · 1
2 a1k
1
2 a21 a22 · · · 1
2 a2k
...
...
...
...
1
2 ak1 ak2 · · · a2k














x1
x2
...
xk







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14. Matriz sim´etrica ´unica
Entonces Q(x1, x2, . . . , xk ) = Xt
AX en donde A es una matriz sim´etrica
(´unica). Conversamente, si A es una matriz sim´etrica entonces la func´ıon
con valores reales Q(X) = Xt
AX como antes, es una forma cuadr´atica.
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15. Formas cuadr´aticas definidas
Consideremos a la forma cuadr´atica de una variable y = ax2
. Si a > 0,
entonces ax2
≥ 0 siempre y es igual a 0 solo cuando x = 0. Una forma de
este tipo es llamada positiva definida; x = 0 es llamado su minimizante
global.
Si a < 0, entonces ax2
≤ 0; y es igual a 0 solo cuando x = 0. Una tal
forma es llamada negativa definida y x = 0 es su maximizante global.
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16. En dos variables
En dos dimensiones, la forma cuadr´atica:
Q(x, y) = x2
+ y2
es siempre positiva para (x, y) = (0, 0). As´ı que
Q es positiva definida.
Si Q(x, y) = −x2
− y2
es siempre negativa para (x, y) = (0, 0) y es
llamada negativa definida
Formas cuadr´aticas de la forma Q(x, y) = x2
− y2
toma valores
tanto positivos como negativos y es llamada indefinida.
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17. Hay casos intermedios:
Una forma cuadr´atica que es siempre ≥ 0 pero que puede ser igual a
cero para algunos x = 0 es llamada positiva semidefinida. Por
ejemplo la forma:
Q(x, y) = (x + y)2
es positiva pero es cero para todos los puntos de la forma (x, x).
Una forma cuadr´atica de la forma Q(x, y) = −(x + y)2
es siempre
≤ 0 pero vale cero para los puntos de la forma (x, y) con x = y.
Formas de este tipo son llamadas negativas semidefinidas.
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18. Forma positiva definida
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19. Forma negativa definida
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20. Forma indefinida
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21. Forma positiva semidefinida
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22. Forma negativa semidefinida
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23. Matrices sim´etricas definidas
Una matriz sim´etrica es llamada positiva definida, positiva semidefinida,
negativa definida etc; de acuerdo a si su forma cuadr´atica asociada
Q(x) = xt
Ax lo es.
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24. Definici´on
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25. Hessiano
Dada una func´ıon f : Rn
→ R de n-variables y valores reales tal que tiene
segundas derivadas parciales. Entonces el Hessiano de f es la matrix
cuyas entradas est´an formadas por las derivades perciales mixtas ∂f
∂xi xj
:
Figura: Hessiano
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26. Aproximaciones de Taylor
external
internal
Teorema de Taylor
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