1) Se revisa brevemente conceptos sobre esquemas débilmente completos, estructuras logarítmicas y morfismos log-suaves introducidos anteriormente.
2) Se definen estructuras pre-logarítmicas y logarítmicas, así como morfismos entre ellas.
3) Se explica cómo a partir de una estructura pre-logarítmica se puede asociar una única estructura logarítmica.
La topología tiene sus orígenes en los trabajos de Euler, Cantor y Möbius. En 1895, Poincaré publicó su libro Análisis Situs, que es considerado como el punto decisivo en el desarrollo de la topología como disciplina matemática. En 1914, Hausdorff creó la teoría de espacios topológicos abstractos usando la noción de vecindario, lo que estableció formalmente la topología conjuntista.
Interior, exterior y frontera de un conjuntowalexander03
1) El documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con el interior, exterior y frontera de subconjuntos en espacios topológicos. 2) El interior de un subconjunto A es el conjunto de puntos interiores a A, es decir, puntos para los cuales existe una vecindad contenida en A. 3) La frontera de un subconjunto A es el conjunto de puntos que no están ni en el interior ni en el exterior de A.
Este documento presenta conceptos básicos sobre series de Fourier. Explica que una función periódica puede representarse mediante una serie trigonométrica de Fourier, cuyos coeficientes se calculan usando fórmulas de Euler. También cubre temas como simetrías par e impar, convergencia de la serie, y desarrollos de medio rango para funciones definidas en intervalos parciales.
Ayudantia espacios metricos y topologiaHugo Cornejo
Este documento introduce los conceptos básicos de los espacios métricos y la topología. En primer lugar, define un espacio métrico como un par (X, d) donde X es un conjunto y d es una distancia definida en X que cumple con las propiedades de una distancia. Luego, introduce las nociones de bolas abiertas y cerradas, conjuntos abiertos y cerrados, y subconjuntos notables como frontera, interior y clausura. Finalmente, provee ejemplos y ejercicios para reforzar estos conceptos fundamentales.
Bitácora N°2 (07 Feb - 10 Feb) Topología IMiriJaneth
Este documento presenta una introducción a la topología a través de los espacios métricos. Define conceptos fundamentales como métrica, distancia, bola abierta, bola cerrada, conjunto abierto y conjunto cerrado en un espacio métrico. Incluye demostraciones de teoremas como que toda bola abierta es un conjunto abierto y toda bola cerrada es un conjunto cerrado. Finalmente, propone tres tareas que verifican propiedades de métricas y describen geométricamente las bolas en el plano cartesiano con la métrica de Manhattan
Este documento presenta la resolución de tres ejercicios del capítulo 1 de Classical Mechanics de H. Goldstein. El primer ejercicio trata sobre una ligadura no-holonómica. El segundo analiza el efecto de cambiar potenciales sobre el lagrangiano y ecuaciones de movimiento. El tercero usa coordenadas esféricas para describir el lagrangiano y ecuaciones de un péndulo.
(1) El documento describe la construcción de la variedad de Kuga-Satake asociada a una superficie K3, la cual provee una estructura de Hodge de peso 1 relacionada a la estructura de Hodge de peso 2 de la superficie K3.
(2) Se discute cómo la variedad de Kuga-Satake puede definirse sobre extensiones finitas del campo base y cómo mapea los espacios móduli de superficies K3 a variedades abelianas.
(3) Finalmente, se pregunta si es posible describir la
Este documento introduce las series de Fourier. 1) Estas surgieron históricamente al resolver problemas de ecuaciones en derivadas parciales mediante el método de separación de variables. 2) Aunque inicialmente se pensó que no era posible expresar funciones generales como suma de senos y cosenos, Fourier demostró esta posibilidad mediante la recopilación de datos. 3) El documento procede a definir las series de Fourier y establecer sus propiedades de convergencia, diferenciación e integración.
La topología tiene sus orígenes en los trabajos de Euler, Cantor y Möbius. En 1895, Poincaré publicó su libro Análisis Situs, que es considerado como el punto decisivo en el desarrollo de la topología como disciplina matemática. En 1914, Hausdorff creó la teoría de espacios topológicos abstractos usando la noción de vecindario, lo que estableció formalmente la topología conjuntista.
Interior, exterior y frontera de un conjuntowalexander03
1) El documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con el interior, exterior y frontera de subconjuntos en espacios topológicos. 2) El interior de un subconjunto A es el conjunto de puntos interiores a A, es decir, puntos para los cuales existe una vecindad contenida en A. 3) La frontera de un subconjunto A es el conjunto de puntos que no están ni en el interior ni en el exterior de A.
Este documento presenta conceptos básicos sobre series de Fourier. Explica que una función periódica puede representarse mediante una serie trigonométrica de Fourier, cuyos coeficientes se calculan usando fórmulas de Euler. También cubre temas como simetrías par e impar, convergencia de la serie, y desarrollos de medio rango para funciones definidas en intervalos parciales.
Ayudantia espacios metricos y topologiaHugo Cornejo
Este documento introduce los conceptos básicos de los espacios métricos y la topología. En primer lugar, define un espacio métrico como un par (X, d) donde X es un conjunto y d es una distancia definida en X que cumple con las propiedades de una distancia. Luego, introduce las nociones de bolas abiertas y cerradas, conjuntos abiertos y cerrados, y subconjuntos notables como frontera, interior y clausura. Finalmente, provee ejemplos y ejercicios para reforzar estos conceptos fundamentales.
Bitácora N°2 (07 Feb - 10 Feb) Topología IMiriJaneth
Este documento presenta una introducción a la topología a través de los espacios métricos. Define conceptos fundamentales como métrica, distancia, bola abierta, bola cerrada, conjunto abierto y conjunto cerrado en un espacio métrico. Incluye demostraciones de teoremas como que toda bola abierta es un conjunto abierto y toda bola cerrada es un conjunto cerrado. Finalmente, propone tres tareas que verifican propiedades de métricas y describen geométricamente las bolas en el plano cartesiano con la métrica de Manhattan
Este documento presenta la resolución de tres ejercicios del capítulo 1 de Classical Mechanics de H. Goldstein. El primer ejercicio trata sobre una ligadura no-holonómica. El segundo analiza el efecto de cambiar potenciales sobre el lagrangiano y ecuaciones de movimiento. El tercero usa coordenadas esféricas para describir el lagrangiano y ecuaciones de un péndulo.
(1) El documento describe la construcción de la variedad de Kuga-Satake asociada a una superficie K3, la cual provee una estructura de Hodge de peso 1 relacionada a la estructura de Hodge de peso 2 de la superficie K3.
(2) Se discute cómo la variedad de Kuga-Satake puede definirse sobre extensiones finitas del campo base y cómo mapea los espacios móduli de superficies K3 a variedades abelianas.
(3) Finalmente, se pregunta si es posible describir la
Este documento introduce las series de Fourier. 1) Estas surgieron históricamente al resolver problemas de ecuaciones en derivadas parciales mediante el método de separación de variables. 2) Aunque inicialmente se pensó que no era posible expresar funciones generales como suma de senos y cosenos, Fourier demostró esta posibilidad mediante la recopilación de datos. 3) El documento procede a definir las series de Fourier y establecer sus propiedades de convergencia, diferenciación e integración.
LI2011-T7: Deducción natural en lógica de primer ordenJosé A. Alonso
Este documento presenta la deducción natural en lógica de primer orden. Explica las sustituciones, las reglas de deducción para los cuantificadores universal y existencial, y muestra cómo demostrar equivalencias lógicas mediante deducción natural, incluyendo ejemplos para las equivalencias ¬∀x F ≡ ∃x ¬F y ¬∃x F ≡ ∀x ¬F.
1) Las series de Fourier surgen al representar funciones periódicas como combinaciones de senos y cosenos.
2) Permiten resolver problemas al transformar funciones periódicas en series de Fourier.
3) Dada una función periódica f(x), se puede obtener como suma de senos y cosenos con coeficientes de Fourier.
1. El documento presenta ejercicios resueltos sobre aplicaciones lineales, incluyendo determinar si aplicaciones son lineales, hallar aplicaciones lineales dados sus núcleos e imágenes, y calcular núcleos e imágenes de aplicaciones dadas sus matrices asociadas.
LI-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer ordenJosé A. Alonso
Este documento presenta la sintaxis y semántica de la lógica de primer orden. Se divide en tres secciones: la primera sección describe cómo representar conocimiento en lógica de primer orden utilizando ejemplos como conocimiento geográfico y astronómico. La segunda sección define la sintaxis de la lógica de primer orden, incluyendo términos, fórmulas atómicas y fórmulas. La tercera sección cubre la semántica de la lógica de primer orden.
LI2011-T11: Resolución en lógica de primer ordenJosé A. Alonso
Se presentan los algoritmos de unificación y resolución en lógica de primer orden.
Este es el tema 11 del curso de "Lógica informática". Más temas en http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/li/tema
Este documento trata sobre la construcción de los grupos de homología de complejos CW de dimensión finita. Introduce conceptos básicos como complejos CW, homología celular y singular. Explica cómo calcular los grupos de homología de un complejo CW mediante la construcción de una secuencia de cadenas celulares. Como ejemplo, calcula el grupo de homología del espacio proyectivo real n-dimensional RPn.
Este documento trata sobre límites y continuidad en cálculo. Explica conceptos como rapidez promedio, límites de funciones, reglas para calcular límites, y la definición formal de límite. Incluye ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar estos conceptos.
El documento introduce conceptos básicos de topología en el espacio euclídeo Rn. Define bolas abiertas y cerradas, y explica que una bola abierta excluye su frontera mientras una bola cerrada la incluye. También define puntos interiores y exteriores de conjuntos, y establece que un conjunto es abierto si coincide con su interior.
Este documento introduce los conceptos básicos de los polinomios. Define formalmente un polinomio como una expresión formada por la suma de términos que consisten en un coeficiente multiplicado por una potencia de una indeterminada. Explica que los polinomios forman un anillo y que pueden evaluarse sustituyendo valores por la indeterminada. Finalmente, describe cómo se realizan las operaciones de suma y resta de polinomios agregando o restando los términos de igual potencia.
El documento presenta el teorema de extensión de Hahn-Banach, explicando conceptos como funcionales sublineales, seminormas, órdenes parciales e inductivos. Incluye demostraciones del teorema para funcionales reales y complejas en espacios vectoriales normados, construyendo una extensión linear de una funcional dada que preserve ciertas propiedades de desigualdad.
Este documento define las funciones, sus propiedades y operaciones básicas. Una función asigna un único valor de llegada a cada valor de salida en su dominio. Las funciones pueden ser pares, impares o periódicas dependiendo de sus simetrías. Se pueden sumar, multiplicar por un número o componer funciones. No todas las funciones tienen inversa.
Se presentan el algoritmo de DPLL para decir la conjuntos de cláusulas y ejemplos de planteamiento y solución de problemas lógicos con Prover9 y Mace4.
Este documento presenta definiciones fundamentales de topología como espacios topológicos, funciones continuas, conjuntos abiertos y cerrados. Introduce las nociones de topologías concretas, discretas y cofinitas. Finalmente, demuestra que el conjunto de todas las topologías posibles sobre un conjunto forma una retícula completa.
LI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulasJosé A. Alonso
Se presentan los procedimientos de transformación de fórmulas a formas normales de Skolem y cláusulas.
Este es el tema 9 del curso de "Lógica informática". Más temas en http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/li/tema
1) El documento describe la noción de completación débil de anillos y módulos, que es una generalización de la completación formal usual. 2) También introduce la categoría de esquemas formales noetherianos débiles, que son espacios localmente anillados que localmente se parecen a completaciones débiles afines. 3) Finalmente, enuncia algunos teoremas clave sobre equivalencias de categorías en este contexto débil.
El documento describe los esquemas geométricos. Explica que un esquema está conformado por un conjunto de puntos, una topología y una gavilla estructural de funciones algebraicas. Da como ejemplos los números enteros Z, que pueden verse como el esquema formado por números primos y cero, y la línea afín compleja C[x,y], cuyos puntos incluyen ideales generados por polinomios irreducibles.
El documento trata sobre las raíces de polinomios. Brevemente discute que el estudio de las raíces de polinomios se remonta a los babilonios y que Euclides y los árabes lograron resolver ecuaciones cuadráticas y de segundo grado. Más adelante, se investigaron las propiedades de los polinomios y se encontraron soluciones para ecuaciones de grados dos, tres y cuatro, aunque las de quinto grado resultaron esquivas durante mucho tiempo.
1) El documento analiza la notación O para describir el orden de crecimiento de funciones. 2) Explica que c(n) es el número de comparaciones de la ordenación por selección para arreglos de tamaño n, que es del orden de n^2. 3) También explica que s(n) es el número de swaps del mismo algoritmo, que es del orden de n.
Este documento presenta una introducción al estudio de la cohomología de De Rham p-ádica propuesta por Zoghman Mebkhout y Alberto Arabia. Explica que su objetivo es entender mejor la construcción de esta cohomología para variedades en característica p y cómo es diferente a otras cohomologías p-ádicas existentes. Finalmente, introduce la motivación de estudiar soluciones de ecuaciones sobre campos finitos y las conjeturas de Weil sobre la función Z de una variedad, las cuales la cohomología de De Rham p-
Este documento describe la motivación y el contexto teórico para usar la teoría p-ádica de Hodge para estudiar la buena reducción de una superficie K3. Explica conceptos clave como representaciones p-ádicas, anillos de períodos de Fontaine y las conjeturas C*, las cuales relacionan la cohomología étale p-ádica con la cohomología de de Rham y la cohomología cristalina. El objetivo es entender mejor la relación entre la geometría de una variedad algebraica y su cohom
This document appears to be a thesis written by J. Rogelio P ́erez Buend ́ıa on giving a criterion for determining whether an algebraic K3-surface over a p-adic field has good reduction based on its p-adic étale cohomology. The objective is to show that a K3-surface has good reduction if and only if its second étale cohomology group is crystalline. Notations and examples of K3-surfaces and p-adic representations are provided. The document also discusses Fontaine's construction of ring of periods to establish comparison isomorphisms between cohomology theories in the p-adic setting.
LI2011-T7: Deducción natural en lógica de primer ordenJosé A. Alonso
Este documento presenta la deducción natural en lógica de primer orden. Explica las sustituciones, las reglas de deducción para los cuantificadores universal y existencial, y muestra cómo demostrar equivalencias lógicas mediante deducción natural, incluyendo ejemplos para las equivalencias ¬∀x F ≡ ∃x ¬F y ¬∃x F ≡ ∀x ¬F.
1) Las series de Fourier surgen al representar funciones periódicas como combinaciones de senos y cosenos.
2) Permiten resolver problemas al transformar funciones periódicas en series de Fourier.
3) Dada una función periódica f(x), se puede obtener como suma de senos y cosenos con coeficientes de Fourier.
1. El documento presenta ejercicios resueltos sobre aplicaciones lineales, incluyendo determinar si aplicaciones son lineales, hallar aplicaciones lineales dados sus núcleos e imágenes, y calcular núcleos e imágenes de aplicaciones dadas sus matrices asociadas.
LI-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer ordenJosé A. Alonso
Este documento presenta la sintaxis y semántica de la lógica de primer orden. Se divide en tres secciones: la primera sección describe cómo representar conocimiento en lógica de primer orden utilizando ejemplos como conocimiento geográfico y astronómico. La segunda sección define la sintaxis de la lógica de primer orden, incluyendo términos, fórmulas atómicas y fórmulas. La tercera sección cubre la semántica de la lógica de primer orden.
LI2011-T11: Resolución en lógica de primer ordenJosé A. Alonso
Se presentan los algoritmos de unificación y resolución en lógica de primer orden.
Este es el tema 11 del curso de "Lógica informática". Más temas en http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/li/tema
Este documento trata sobre la construcción de los grupos de homología de complejos CW de dimensión finita. Introduce conceptos básicos como complejos CW, homología celular y singular. Explica cómo calcular los grupos de homología de un complejo CW mediante la construcción de una secuencia de cadenas celulares. Como ejemplo, calcula el grupo de homología del espacio proyectivo real n-dimensional RPn.
Este documento trata sobre límites y continuidad en cálculo. Explica conceptos como rapidez promedio, límites de funciones, reglas para calcular límites, y la definición formal de límite. Incluye ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar estos conceptos.
El documento introduce conceptos básicos de topología en el espacio euclídeo Rn. Define bolas abiertas y cerradas, y explica que una bola abierta excluye su frontera mientras una bola cerrada la incluye. También define puntos interiores y exteriores de conjuntos, y establece que un conjunto es abierto si coincide con su interior.
Este documento introduce los conceptos básicos de los polinomios. Define formalmente un polinomio como una expresión formada por la suma de términos que consisten en un coeficiente multiplicado por una potencia de una indeterminada. Explica que los polinomios forman un anillo y que pueden evaluarse sustituyendo valores por la indeterminada. Finalmente, describe cómo se realizan las operaciones de suma y resta de polinomios agregando o restando los términos de igual potencia.
El documento presenta el teorema de extensión de Hahn-Banach, explicando conceptos como funcionales sublineales, seminormas, órdenes parciales e inductivos. Incluye demostraciones del teorema para funcionales reales y complejas en espacios vectoriales normados, construyendo una extensión linear de una funcional dada que preserve ciertas propiedades de desigualdad.
Este documento define las funciones, sus propiedades y operaciones básicas. Una función asigna un único valor de llegada a cada valor de salida en su dominio. Las funciones pueden ser pares, impares o periódicas dependiendo de sus simetrías. Se pueden sumar, multiplicar por un número o componer funciones. No todas las funciones tienen inversa.
Se presentan el algoritmo de DPLL para decir la conjuntos de cláusulas y ejemplos de planteamiento y solución de problemas lógicos con Prover9 y Mace4.
Este documento presenta definiciones fundamentales de topología como espacios topológicos, funciones continuas, conjuntos abiertos y cerrados. Introduce las nociones de topologías concretas, discretas y cofinitas. Finalmente, demuestra que el conjunto de todas las topologías posibles sobre un conjunto forma una retícula completa.
LI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulasJosé A. Alonso
Se presentan los procedimientos de transformación de fórmulas a formas normales de Skolem y cláusulas.
Este es el tema 9 del curso de "Lógica informática". Más temas en http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/li/tema
1) El documento describe la noción de completación débil de anillos y módulos, que es una generalización de la completación formal usual. 2) También introduce la categoría de esquemas formales noetherianos débiles, que son espacios localmente anillados que localmente se parecen a completaciones débiles afines. 3) Finalmente, enuncia algunos teoremas clave sobre equivalencias de categorías en este contexto débil.
El documento describe los esquemas geométricos. Explica que un esquema está conformado por un conjunto de puntos, una topología y una gavilla estructural de funciones algebraicas. Da como ejemplos los números enteros Z, que pueden verse como el esquema formado por números primos y cero, y la línea afín compleja C[x,y], cuyos puntos incluyen ideales generados por polinomios irreducibles.
El documento trata sobre las raíces de polinomios. Brevemente discute que el estudio de las raíces de polinomios se remonta a los babilonios y que Euclides y los árabes lograron resolver ecuaciones cuadráticas y de segundo grado. Más adelante, se investigaron las propiedades de los polinomios y se encontraron soluciones para ecuaciones de grados dos, tres y cuatro, aunque las de quinto grado resultaron esquivas durante mucho tiempo.
1) El documento analiza la notación O para describir el orden de crecimiento de funciones. 2) Explica que c(n) es el número de comparaciones de la ordenación por selección para arreglos de tamaño n, que es del orden de n^2. 3) También explica que s(n) es el número de swaps del mismo algoritmo, que es del orden de n.
Este documento presenta una introducción al estudio de la cohomología de De Rham p-ádica propuesta por Zoghman Mebkhout y Alberto Arabia. Explica que su objetivo es entender mejor la construcción de esta cohomología para variedades en característica p y cómo es diferente a otras cohomologías p-ádicas existentes. Finalmente, introduce la motivación de estudiar soluciones de ecuaciones sobre campos finitos y las conjeturas de Weil sobre la función Z de una variedad, las cuales la cohomología de De Rham p-
Este documento describe la motivación y el contexto teórico para usar la teoría p-ádica de Hodge para estudiar la buena reducción de una superficie K3. Explica conceptos clave como representaciones p-ádicas, anillos de períodos de Fontaine y las conjeturas C*, las cuales relacionan la cohomología étale p-ádica con la cohomología de de Rham y la cohomología cristalina. El objetivo es entender mejor la relación entre la geometría de una variedad algebraica y su cohom
This document appears to be a thesis written by J. Rogelio P ́erez Buend ́ıa on giving a criterion for determining whether an algebraic K3-surface over a p-adic field has good reduction based on its p-adic étale cohomology. The objective is to show that a K3-surface has good reduction if and only if its second étale cohomology group is crystalline. Notations and examples of K3-surfaces and p-adic representations are provided. The document also discusses Fontaine's construction of ring of periods to establish comparison isomorphisms between cohomology theories in the p-adic setting.
Este documento introduce la geometría algebraica y cómo se relaciona con la teoría de números. Explica conceptos como conjuntos algebraicos, variedades algebraicas, ideales y la correspondencia entre ellos. También presenta las conjeturas de Weil, que establecen propiedades de la función zeta de una variedad sobre un campo finito de manera análoga a la hipótesis de Riemann. Finalmente, resume cómo se demostraron las conjeturas de Weil en los años 1960 y 1970.
Este documento introduce las formas cuadráticas, que son funciones polinómicas de grado dos. Explica que las formas cuadráticas en dos o más variables pueden representarse mediante matrices simétricas. También define qué significa que una forma cuadrática sea positiva, negativa o indefinida dependiendo de si toma valores positivos, negativos o ambos. Finalmente, menciona que el hessiano de una función representa su forma cuadrática de segundo orden en la aproximación de Taylor.
Este documento define funciones cuasicóncavas y cuasiconvexas. Una función es cuasicóncava si sus conjuntos de sobrenivel son convexos, y es cuasiconvexa si sus conjuntos de bajonivel son convexos. Una función cóncava es siempre cuasicóncava, pero lo recíproco no es cierto. Se demuestra que una función es cuasicóncava si y solo si cumple cierta propiedad para pares de puntos. Finalmente, se dan ejemplos de funciones cuasicóncavas y se discuten algunas propiedades adicionales
Este documento discute la relación entre la geometría de una variedad algebraica definida sobre un campo p-ádico y su cohomología étale p-ádica. En particular, presenta la teoría p-ádica de Hodge, la cual establece subcategorías de representaciones p-ádicas dependiendo de qué tan "amables" son con respecto a ciertos anillos de períodos definidos por Fontaine. También resume las conjeturas C* de Fontaine, las cuales ahora son teoremas y establecen isomorfismos canónicos entre la co
Este documento presenta una invitación a la geometría aritmética a través de las conjeturas de Weil. Explica conceptos clave como conjuntos algebraicos, ideales e ideales radicales, y la correspondencia entre ellos. También explora campos finitos, el teorema de Galois sobre su existencia única, y problemas diofantinos sobre anillos de polinomios.
Este documento discute la motivación y desarrollo de la cohomología p-ádica de De Rham y su versión logarítmica. Explica que la cohomología de De Rham ordinaria no es adecuada para estudiar variedades definidas sobre campos finitos debido a que tiene coeficientes en el campo base. Luego describe varias teorías cohomológicas p-ádicas propuestas y finalmente se enfoca en la cohomología p-ádica de De Rham desarrollada por Mebkhout y Arabia, la cual
El documento explica los conceptos básicos de la lógica de predicados, incluyendo la forma normal de una fórmula, reglas de inferencia como modus ponens y modus tollens, y el proceso de transformar fórmulas a cláusulas mediante la eliminación de cuantificadores, introducción de funciones de Skolem y movimiento de conectivos.
Este documento presenta varias técnicas para calcular integrales definidas, incluyendo integración por partes, cambio de variable, integración de funciones racionales, trigonométricas e irracionales. También explica cómo usar integrales definidas para calcular el área bajo una curva, volúmenes de revolución, longitud de arcos y áreas laterales de revolución.
El documento presenta conceptos básicos de lógica y conjuntos. En 3 oraciones o menos:
Introduce conceptos lógicos como operadores lógicos, cuantificadores, tautologías y contradicciones. Define conjuntos, subconjuntos, operaciones con conjuntos como unión e intersección. También introduce relaciones y funciones, indicando que una función requiere que cada elemento del dominio esté asociado a un único elemento en el codominio.
Este documento describe varios métodos para calcular integrales indefinidas, incluyendo cambio de variable, integración por partes, integración de funciones racionales, sustitución trigonométrica e integración de funciones irracionales. Explica cómo aplicar estas técnicas para reducir integrales a formas conocidas. También incluye ejemplos resueltos para ilustrar cada método.
Este documento introduce la lógica de primer orden. Explica que la lógica proposicional tiene un poder expresivo limitado y que la lógica de primer orden es más expresiva gracias a los cuantificadores. Luego define el vocabulario, la sintaxis y la semántica formal de la lógica de primer orden, incluyendo términos, fórmulas, estructuras, asignaciones y la noción de satisfacción.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la lógica de predicados, incluyendo: (1) el razonamiento lógico y las reglas de deducción, (2) la noción de lenguaje lógico, (3) ejemplos de deducción formal, y (4) las principales reglas de deducción como la especificación, generalización e igualdad. El documento ilustra estos conceptos a través de varios ejemplos formales.
RKHS, teoría y aplicaciones con machine learningSoftware Guru
La idea de la plática es hacer un recorrido sobre los RKHS, (Reproducing Kernel Hilbert Spaces) que son el corazón de las máquinas de soporte vectorial, los cuales están unidas por el “Kernel Trick”, el truco favorito de los Científicos de Datos.
Por Alonso Baranda
Este documento presenta una introducción a la optimización para estudiantes de ingeniería. Define un problema de optimización matemático como la minimización o maximización de una función objetivo sujeta a restricciones. Explica conceptos clave como solución factible, solución óptima y teorema de Weierstrass. También introduce la noción de convexidad y define conjuntos convexos, envolturas convexas y sistemas de desigualdades lineales.
El documento resume la derivación de las funciones trigonométricas. Explica que la derivada del arco coseno se deriva usando el Teorema del Valor Medio, y que las derivadas del seno y coseno se deducen de las reglas de derivación y la derivabilidad del arco coseno. También presenta un ejemplo de una función derivable cuyas derivada no es continua.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de cálculo de predicados e inferencias lógicas. Incluye definiciones de funciones proposicionales, cuantificadores universal y existencial, reglas de negación de cuantificadores, proposiciones con dos cuantificadores, y tipos de inferencias lógicas como inductiva, deductiva, transductiva y abductiva. También resume los principios lógicos clásicos de identidad, contradicción y tercero excluido.
La topología tiene sus orígenes en los trabajos de Euler, Cantor y Möbius. En 1895, Poincaré publicó su obra Análisis Situs, que marcó un punto decisivo en el desarrollo de la topología. En 1914, Hausdorff creó una teoría de espacios abstractos usando la noción de vecindario, definiendo un espacio topológico como un conjunto de puntos junto con una familia de vecindarios asociados. Con el trabajo de Hausdorff, la topología conjuntista se afirmó como una disciplina
La topología tiene sus orígenes en los trabajos de Euler, Cantor y Möbius. Fue Poincaré quien publicó en 1895 el trabajo Análisis Situs que es considerado como el punto decisivo en el desarrollo de la topología. Hausdorff creó en 1914 la teoría de espacios abstractos usando la noción de vecindario y estableció las bases de la topología conjuntista como disciplina matemática propia.
El documento explica los métodos numéricos de integración, específicamente las fórmulas de Newton-Cotes. Estas fórmulas aproximan la integral de una función mediante el uso de polinomios aplicados por partes sobre intervalos de longitud constante. La regla del trapecio es la forma más simple, aproximando el área bajo la curva como un trapecio. La regla del trapecio compuesta divide el intervalo en subintervalos para mejorar la aproximación.
Este documento describe diferentes tipos de gráficas y funciones en MatLab. Explica cómo generar gráficas xy con escalas lineales y logarítmicas usando los comandos plot, semilogx, semilogy y loglog. También cubre cómo crear gráficas múltiples, subgráficas, y gráficas tridimensionales de funciones de dos variables.
El documento describe el algoritmo de Ford-Fulkerson para encontrar el flujo máximo en una red. Explica que el algoritmo busca caminos de aumento repetidamente hasta alcanzar el flujo máximo. Detalla los pasos del algoritmo incluyendo la etiquetación de vértices y el cálculo de variaciones de flujo. También cubre cómo reducir problemas con múltiples fuentes y sumideros a un caso simple con una fuente y un destino ficticios.
La parábola es el lugar geométrico de los puntos en un plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco. La ecuación general de una parábola es Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, donde B2 - 4AC = 0. El coeficiente angular de la directriz es m = B/2A o m = 2C/B.
Este documento introduce el concepto de integral definida como una herramienta para calcular el área debajo de una curva entre dos valores. Explica que la integral definida surge del método de exhausción griego y representa el límite de la suma de áreas de rectángulos cuando su número tiende a infinito. Además, presenta definiciones clave como función integral y teoremas como el fundamental del cálculo y la regla de Barrow, y muestra ejemplos de cálculo de áreas usando la integral definida.
Este documento introduce conceptos básicos sobre espacios afines y euclídeos. Define un espacio afín como una terna formada por un conjunto de puntos, un espacio vectorial y una aplicación entre puntos. Introduce subespacios afines como rectas y planos determinados por puntos y subespacios vectoriales. También define formas bilineales, productos escalares y normas para espacios vectoriales euclídeos, y extiende estas nociones a espacios afines euclídeos mediante distancias entre puntos.
Este documento describe los espacios de Hilbert y L2, bases ortogonales en estos espacios, y series de Fourier. Introduce conceptos como normas en espacios vectoriales de funciones, productos internos, y cómo usar bases ortogonales para expresar funciones arbitrarias como combinaciones lineales de funciones de la base.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones proposicionales y cuantificadores lógicos. Introduce los cuantificadores universales, existenciales y de unicidad, así como sus símbolos y formas de leer proposiciones cuantificadas. Explica proposiciones con dos cuantificadores y las reglas para negar proposiciones cuantificadas. Finalmente, define la inferencia lógica como el proceso de pasar de premisas a una conclusión sin tablas extensas.
Similar a Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas (20)
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
Presentación de proyecto en acuarela moderna verde.pdf
Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas
1. Esquemas D´ebilmente Completos y Estructuras
Logar´ıtmicas
Revisando lo Expuesto Anteriormente
J. Rogelio P´erez Buend´ıa
Centro de Investigaci´on en Matem´aticas (CIMAT)
Seminario de Aritm´etica: cohomolog´ıa de De Rham p-´adica
11 de febrero de 2016
2. Objetivo
Retomamos el seminario con un resumen del lo que se ha trabajado hasta
ahora: esquemas d´ebilmente completos, levantamiento de morfismos
suaves en esquemas †´adicos, esquemas logar´ıtmicos, esquemas
logar´ıtmicos formales, estructuras logar´ıtmicas en esquemas †-´adicos,
morfismos log-suaves. Si el tiempo lo permite se abordar´a el problema de
levantamiento de morfismos log-suaves para esquemas d´ebilmente
completos.
4. Estructuras Pre-Logar´ıtmicas
X = (X, OX ) un espacio anillado.
Una estructura pre-logar´ıtmica es un par (P, α) en donde P es una
gavilla de monoides (conmutativos con uno) y
α : P → OX
es un morfismo de gavillas de monoides (con la estructura
multiplicativa en OX ).
5. Morfismos de Estructuras pre-logar´ıtmicas
Un morfismo φ : (P, α) → (Q, β) consiste de un morfismo de
gavillas f : P → Q tal que:
P
α
f // Q
β
~~
OX
conmuta.
6. Morfismos de Estructuras pre-logar´ıtmicas
Un morfismo φ : (P, α) → (Q, β) consiste de un morfismo de
gavillas f : P → Q tal que:
P
α
f // Q
β
~~
OX
conmuta.
Una estructura pre-logar´ıtmica (P, α) es llamada idealizada si est´a
dotada de una gavilla de ideales I ⊂ P con la propiedad de que
α(I) = 0.
7. Morfismos de Estructuras pre-logar´ıtmicas
Un morfismo φ : (P, α) → (Q, β) consiste de un morfismo de
gavillas f : P → Q tal que:
P
α
f // Q
β
~~
OX
conmuta.
Una estructura pre-logar´ıtmica (P, α) es llamada idealizada si est´a
dotada de una gavilla de ideales I ⊂ P con la propiedad de que
α(I) = 0.
Un morfismo de estructuras logar´ıtmicas idealizadas (id-pre-log-st)
φ : (P, α, I) → (Q, β, J)
es un morfismo de pre-log-st tal que f (I) ⊂ J.
8. Categor´ıas de Estructuras Logar´ıtmicas
Denotamos por PreLogSt(X) y por IdPreLogSt(X) a las categor´ıas de
estructuras pre-logar´ıtmicas y de estructuras pre-logar´ıtmicas idealizadas
en el espacio anillado (X, OX ).
9. Categor´ıas de Estructuras Logar´ıtmicas
Denotamos por PreLogSt(X) y por IdPreLogSt(X) a las categor´ıas de
estructuras pre-logar´ıtmicas y de estructuras pre-logar´ıtmicas idealizadas
en el espacio anillado (X, OX ).
A cada pre-log-st le podemos asociar una id-pre-log-st simplemente
considerando el ideal vac´ıo: (P, α) → (P, α, ∅).
10. Categor´ıas de Estructuras Logar´ıtmicas
Denotamos por PreLogSt(X) y por IdPreLogSt(X) a las categor´ıas de
estructuras pre-logar´ıtmicas y de estructuras pre-logar´ıtmicas idealizadas
en el espacio anillado (X, OX ).
A cada pre-log-st le podemos asociar una id-pre-log-st simplemente
considerando el ideal vac´ıo: (P, α) → (P, α, ∅).
Esta asociaci´on nos da un funtor que es adjunto izquierdo de el funtor de
la desidealizac´ıon.
12. Estructuras Logar´ıtmicas
Definici´on
Una estructura pre logar´ıtmica (P, α) es una estructura logar´ıtmica
(log-st) si
α−1
(O∗
X ) O∗
X .
Es decir si P contiene a O∗
X v´ıa α.
Un morfismo entre (idealizadas) estructuras logar´ıtmicas, es un morfismo
de (idealizadas) pre-log-st.
13. A toda Pre-Log-St le corresponde una ´unica Log-St
El funtor de olvido:
LogSt −→ PreLogSt
tiene un adjunto izquierdo de tal manera que a cada pre-log-st (P, α) le
corresponde una ´unica log-st (Pa
, αa
) con al propiedad de que cualquier
morfismo de pre-log-st:
(P, α) −→ (Q, β)
con (Q, β) una log-st se factoriza por αa
:
(P, α) //
$$
(Q, β)
(Pa
, αa
)
OO
14. −a
: PreLogSt → LogSt
Pa
est´a definido por el producto amalgamado:
Pa
:= P ⊕α−1(O∗
X ) O∗
X
y αa
est´a dado por el diagrama cartesiano:
α−1
(O∗
X ) //
α
P
α
O∗
X
// Pa
αa
// OX
15. Adjunci´on en IdPreLogSt y en IdLogSt
Podemos extender la adjunci´on para pre-log-st:
Dotamos a (Pa
, αa
) del ideal Ia
generado en Pa
por la imagen de I por el
morfismo P → Pa
.
16. Adjunci´on en IdPreLogSt y en IdLogSt
Podemos extender la adjunci´on para pre-log-st:
Dotamos a (Pa
, αa
) del ideal Ia
generado en Pa
por la imagen de I por el
morfismo P → Pa
.
La (id) log-st Pa
asociada es la la (id) log-st asociada a P.
17. Ejemplos:
La categor´ıa LogSt(X) de estructuras logar´ıtmicas en X tiene un
objeto inicial, llamada la estructura logar´ıtmica trivial y est´a dada
por la inclusi´on O∗
X → O∗
X .
18. Ejemplos:
La categor´ıa LogSt(X) de estructuras logar´ıtmicas en X tiene un
objeto inicial, llamada la estructura logar´ıtmica trivial y est´a dada
por la inclusi´on O∗
X → O∗
X .
La categor´ıa (st.logX) tambi´en tiene un objeto final dado por la
aplicaci´on OX → OX .
19. Ejemplos:
La categor´ıa LogSt(X) de estructuras logar´ıtmicas en X tiene un
objeto inicial, llamada la estructura logar´ıtmica trivial y est´a dada
por la inclusi´on O∗
X → O∗
X .
La categor´ıa (st.logX) tambi´en tiene un objeto final dado por la
aplicaci´on OX → OX .
De hecho tenemos que la categor´ıa de esquemas es una subcategor´ıa
plena de la categor´ıa de esquemas con estructura logar´ıtmica (a
definir m´as adelante), simplemente dotando a un esquema con su
estructura logar´ıtmica trivial.
20. Divisor Con Cruzamientos Normales
la estructura logar´ıtmica MD en X asociada al divisor D como:
MD(U) := g ∈ OX (U) : g |UD∈ O∗
X (U D) ⊂ OX (U).
21. Divisor Con Cruzamientos Normales
la estructura logar´ıtmica MD en X asociada al divisor D como:
MD(U) := g ∈ OX (U) : g |UD∈ O∗
X (U D) ⊂ OX (U).
El morfismo estructural est´a dado por la inclusi´on, lo que hace de M una
estructuras pre-logar´ıtmicas. Para ver que es en efecto una estructura
logar´ıtmica basta notar que toda g ∈ O∗
X est´a trivialmente incluida en
MD.
22. Divisor Con Cruzamientos Normales
la estructura logar´ıtmica MD en X asociada al divisor D como:
MD(U) := g ∈ OX (U) : g |UD∈ O∗
X (U D) ⊂ OX (U).
El morfismo estructural est´a dado por la inclusi´on, lo que hace de M una
estructuras pre-logar´ıtmicas. Para ver que es en efecto una estructura
logar´ıtmica basta notar que toda g ∈ O∗
X est´a trivialmente incluida en
MD.
El caso en que D sea un divisor con cruzamientos normales es especial.
M´as adelante veremos que en este caso el esquema logar´ıtmico es
log-suave. De hecho, la raz´on por la que es conveniente usar la
cohomolog´ıa ´etale (en vez de la de Zariski) es porque el concepto de
cruzamientos normales es en la topolog´ıa ´etale.
23. Imagen inversa
Sea f : X → Y un morfismo de espacios anillados. Si MY es una
estructura logar´ıtmica en Y , podemos definir una estructura logar´ıtmica
en X como la estructura logar´ıtmica asociada a la estructura
pre-logar´ıtmica:
f −1
(MY ) → f −1
(OY ) → OX
Esta es llamada la estructura logar´ıtmica imagen inversa de MY bajo f y
es denotada por f ∗
(MY ) = f ∗
MY .
24. Morfismos de Esquemas Logar´ıtmicos
Definici´on
Un morfismo de log-esquemas (de esquemas con una estructura
logar´ıtmica) X → Y consiste de un morfismo de los respectivos esquemas
f : X → Y
y un morfismo
f b
: f ∗
MY → MX
de estructuras logar´ıtmicas en X.
25. Morfismos de Esquemas Logar´ıtmicos
Definici´on
Un morfismo de log-esquemas (de esquemas con una estructura
logar´ıtmica) X → Y consiste de un morfismo de los respectivos esquemas
f : X → Y
y un morfismo
f b
: f ∗
MY → MX
de estructuras logar´ıtmicas en X.
Denotamos por LogSch a la categor´ıa de esquemas con estructura
logar´ıtmica y son llamados log-sch o esquemas logar´ıtmicos.
26. El caso Idealizado
Si iniciamos con una estructura logar´ıtmica idealizada en Y, tambi´en
podemos definir la imagen inversa bajo f : X → Y esta de manera
an´aloga, simplemente defendiendo el la imagen inversa del ideal J.
27. El caso Idealizado
Si iniciamos con una estructura logar´ıtmica idealizada en Y, tambi´en
podemos definir la imagen inversa bajo f : X → Y esta de manera
an´aloga, simplemente defendiendo el la imagen inversa del ideal J.
Tambi´en se puede definir la imagen directa de una (id) log-st y estas dos
cumplen la propiedad de adjunci´on usual entre la imagen directa y la
imagen inversa de gavillas.
En este caso denotamos por IdLogSch a la categor´ıa e esquemas
logar´ıtmicos idealizados (con estructura logar´ıtmica idealizada).
28. Resultados ´Utiles
Sea f : X → Y un morfismo de espacios anillados
La imagen inversa de la estructura logar´ıtmica trivial, es trivial:
f −1
(O∗
Y ) O∗
X
29. Resultados ´Utiles
Sea f : X → Y un morfismo de espacios anillados
La imagen inversa de la estructura logar´ıtmica trivial, es trivial:
f −1
(O∗
Y ) O∗
X
Si PY es pre-log-st en Y tal que Pa
Y MY , entonces
f ∗
(MY ) (f −1
(PY ))a
.
31. Estructura Can´onica Asociada a un Monoide
Sea P un monoide y R un anillo. Denotamos por R[P] al ´algebra
monomial.
Sea X = ƒpe™(‚[€]). Entonces X tiene una estructura logar´ıtmica
can´onica asociada al morfismo de monoides P → R[P] (la inclusi´on
can´onica de grado uno).
32. Estructura Can´onica Asociada a un Monoide
Sea P un monoide y R un anillo. Denotamos por R[P] al ´algebra
monomial.
Sea X = ƒpe™(‚[€]). Entonces X tiene una estructura logar´ıtmica
can´onica asociada al morfismo de monoides P → R[P] (la inclusi´on
can´onica de grado uno).
En efecto la gavilla constante P asociada a P tiene el morfismo can´onico
inducido por P → R[P] definiendo as´ı una estructura pre-logar´ıtmica en
X, entonces a esta le asociamos la estructura logar´ıtmica (P)a
inducida.
33. Estructura Can´onica Asociada a un Monoide
Sea P un monoide y R un anillo. Denotamos por R[P] al ´algebra
monomial.
Sea X = ƒpe™(‚[€]). Entonces X tiene una estructura logar´ıtmica
can´onica asociada al morfismo de monoides P → R[P] (la inclusi´on
can´onica de grado uno).
En efecto la gavilla constante P asociada a P tiene el morfismo can´onico
inducido por P → R[P] definiendo as´ı una estructura pre-logar´ıtmica en
X, entonces a esta le asociamos la estructura logar´ıtmica (P)a
inducida.
Denotamos por
ƒpe™(€ → ‚[€])
a el esquema logar´ıtmico con espacio X y estructura logar´ıtmica su
estructura logar´ıtmica can´onica inducida.
34. Ejemplos:
La estructura logar´ıtmica en ƒpe™(€ → ‚[€]) puede entenderse
como la imagen inversa de la estructura logar´ıtmica en
ƒpe™(€ → [€]) v´ıa el morfismo can´onico Z[P] → R[P].
35. Ejemplos:
La estructura logar´ıtmica en ƒpe™(€ → ‚[€]) puede entenderse
como la imagen inversa de la estructura logar´ıtmica en
ƒpe™(€ → [€]) v´ıa el morfismo can´onico Z[P] → R[P].
Sea k un campo y sa Y = An
k = ƒpe™(k[x1, . . . , xn]). Sea
D = V (x1 · · · xr ).
36. Ejemplos:
La estructura logar´ıtmica en ƒpe™(€ → ‚[€]) puede entenderse
como la imagen inversa de la estructura logar´ıtmica en
ƒpe™(€ → [€]) v´ıa el morfismo can´onico Z[P] → R[P].
Sea k un campo y sa Y = An
k = ƒpe™(k[x1, . . . , xn]). Sea
D = V (x1 · · · xr ).
MD puede interpretarse como el submonoide de OY generado por
O∗
Y y {x1, . . . , xn}.
37. Ejemplo: Punto Logar´ıtmico
Si ahora considero la inclusi´on ƒpe™(k) → ‰ que manda el punto al
origen de Y , entonces la imagen inversa de MD es k∗
Nr
. El morfismo
estructural est´a dado por
(a, n1, . . . , nr ) → a · 0n1+n2+···+nr
. aqu´ı convenimos que 00
= 1.
38. Ejemplo: Punto Logar´ıtmico
Si ahora considero la inclusi´on ƒpe™(k) → ‰ que manda el punto al
origen de Y , entonces la imagen inversa de MD es k∗
Nr
. El morfismo
estructural est´a dado por
(a, n1, . . . , nr ) → a · 0n1+n2+···+nr
. aqu´ı convenimos que 00
= 1.
Al punto ƒpe™(k) con la estructura logar´ıtmica anterior (para cualquier r)
lo llamamos punto logar´ıtmico. Cuando r = 1 decimos que este es el
punto logar´ıtmico est´andar.
39. Layout
Esquemas Logar´ıtmicos
Esquemas D´ebilmente Completos Logar´ıtmicos
Esquemas Formales logar´ıtmicos
Esquemas D´ebilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logar´ıtmicas
Estructuras Logar´ıtmicas Finas
Diferenciales logar´ıtmicas y Morfismos log-suaves
40. Completaci´on de un Anillo
A un anillo conmutativo con uno I ⊂ A un ideal.
Definici´on
La completaci´on de A respecto al ideal I es el anillo
ˆA := lim
←−
n 1
A/In
⊂
n 1
A/In
Tambi´en decimos que ˆA es la completaci´on I-´adica de A.
Tenemos un morfismo can´onico de anillos A → ˆA inducido por las
proyecciones A → A/In
.
41. Completaci´on Formal
Sea X un esquema noetheriano y sea Y → X una inmersi´on cerrada
definida por la gavilla de ideales I.
Definici´on
La completaci´on formal de X respecto a Y es el espacio anillado:
ˆX := ( ˆX, O ˆX )
tal que:
ˆX = Y como espacio topol´ogico.
Decimos que el anillo A es completo respecto a la topolog´ıa I-´adica si
A ˆA. En particular ˆA es completo.
42. Completaci´on Formal
Sea X un esquema noetheriano y sea Y → X una inmersi´on cerrada
definida por la gavilla de ideales I.
Definici´on
La completaci´on formal de X respecto a Y es el espacio anillado:
ˆX := ( ˆX, O ˆX )
tal que:
ˆX = Y como espacio topol´ogico.
O ˆX := lim
←−
OX /In
considerada como gavilla en Y .
Decimos que el anillo A es completo respecto a la topolog´ıa I-´adica si
A ˆA. En particular ˆA es completo.
43. El caso af´ın
Si X = ƒpe™(e) es un esquema af´ın y si Y = ƒpe™(e/s) es un
subesquema cerrado af´ın, entonces tenemos que:
Γ(O ˆX , ˆX) = ˆA
es la completaci´on I-´adica de A.
44. El caso af´ın
Si X = ƒpe™(e) es un esquema af´ın y si Y = ƒpe™(e/s) es un
subesquema cerrado af´ın, entonces tenemos que:
Γ(O ˆX , ˆX) = ˆA
es la completaci´on I-´adica de A.
ˆX es de hecho un espacio localmente anillado
Los anillos locales de ˆX no son completos en general.
45. La categor´ıa de esquemas formales noetherianos
Definici´on
Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado
(X, OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para
cada i el par (Ui , OUi
) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a
la completaci´on de un esquema Xi respecto a una inmersi´on cerrada Yi .
46. La categor´ıa de esquemas formales noetherianos
Definici´on
Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado
(X, OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para
cada i el par (Ui , OUi
) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a
la completaci´on de un esquema Xi respecto a una inmersi´on cerrada Yi .
Un Morfismo de esquemas formales noetherianos es un morfismo de
espacios localmente anillados.
47. Layout
Esquemas Logar´ıtmicos
Esquemas D´ebilmente Completos Logar´ıtmicos
Esquemas Formales logar´ıtmicos
Esquemas D´ebilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logar´ıtmicas
Estructuras Logar´ıtmicas Finas
Diferenciales logar´ıtmicas y Morfismos log-suaves
48. Definici´on
Una R-´algebra A†
es D´ebilmente completa si se cumple que:
A†
es Hausdorff respecto a la topolog´ıa m-´adica. Es decir si
∩mn
= (0).
49. Definici´on
Una R-´algebra A†
es D´ebilmente completa si se cumple que:
A†
es Hausdorff respecto a la topolog´ıa m-´adica. Es decir si
∩mn
= (0).
Si f = |i| 0 ai Xi
∈ R[[X]] es una serie de potencias con
coeficientes en R tal que para alguna constante c y para toda
n-tupla i:
c[ordm(ai )] |i|
es decir si f est´a en la completaci´on m-´adica de R[X]; entonces para
toda n-tupla a ∈ A†n
se tiene que f (a) ∈ A†
.
50. Completaci´on d´ebil
Definici´on
La completaci´on d´ebil de una R-´algebra A, es el ´algebra d´ebilmente
completa m´as peque˜na A†
⊂ ˆA tal que contiene a A.
Es decir, que satisface la propiedad universal:
51. D´ebilmente completa finitamente generada
Definici´on
Una ´algebra A†
d´ebilmente completa es llamada (dcfg) d´ebil completa
finitamente generada si existe una colecci´on finita de elementos
a1, a2, . . . , ak ∈ A†
tal que para todo a ∈ A†
existe una serie de potencias
f en n-variables tal que:
a = f (a1, . . . , an)
Claramente la completaci´on d´ebil de una ´algebra R finitamente generada
es una dcfg ´algebra.
52. Esquema formal d´ebil af´ın
Definici´on
un esquema formal d´ebil af´ın es un espacio (X, OX) localmente
anillado tal que para alguna dcfg R-´algebra A†
el espacio topol´ogico
asociado es:
X = ƒpe™(e†
/me†
)
53. Esquema formal d´ebil af´ın
Definici´on
un esquema formal d´ebil af´ın es un espacio (X, OX) localmente
anillado tal que para alguna dcfg R-´algebra A†
el espacio topol´ogico
asociado es:
X = ƒpe™(e†
/me†
)
y la gavilla estructural OX est´a descrita en sus abiertos b´asicos
principales (en t´erminos de la B-gavilla): Para [f ] ∈ A†
/mA†
denotamos por Xf el abierto principal b´asico correspondiente.
Entonces:
Γ(Xf , OX) := (A†
f )†
la completaci´on d´ebil de la localizaci´on A†
f para cualquier
representante f de [f ] en A†
.
54. Esquema formal d´ebil
Definici´on
Un (pre)esquema formal d´ebil es un espacio localmente anillado
(X, OX) que es localmente isomorfo a esquemas formales d´ebiles afines.
55. Teoremas de Meredith
Si R es un anillo de valuaci´on discreta completo y si (X, OX) es el
esquema formal d´ebil asociado a una ´algebra A†
d´ebilmente
completa finitamente generada (dcfg), entonces:
Se tiene una equivalencia entre las categor´ıas:
{Gavillas coherentes de OX-m´odulos} ⇐⇒ A†
-m´odulos f.g.
56. Teoremas de Meredith
Si (X, OX ) es un esquema (ordinario) de R-´algebras propio sobre R
con completaci´on d´ebil (X, OX) y si F es una gavilla coherente de
OX -m´odulos con completaci´on d´ebil F, entonces el mapeo natural:
Hi
(X, F) −→ Hi
(X, F)
es biyectivo.
57. Teoremas de Meredith
Si R es un dominio de valuaci´on discreta completo y si (X, OX ) es un
R-esquema proyectivo con completaci´on formal d´ebil (X, OX) entonces el
funtor “Completaci´on d´ebil” es una equivalencia entre la categor´ıa:
{OX -m´odulos coherentes} ⇐⇒ { OX-m´odulos coherentes }
58. Teoremas de Meredith
Si R es un dominio de valuaci´on discreta completo y si (X, OX ) es un
R-esquema proyectivo con completaci´on formal d´ebil (X, OX) entonces el
funtor “Completaci´on d´ebil” es una equivalencia entre la categor´ıa:
{OX -m´odulos coherentes} ⇐⇒ { OX-m´odulos coherentes }
Referencia: Meredith, D. (1971). Weak formal schemes. Nagoya Math J.
59. Notaci´on y Convenci´on
Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/Is
para s 1. En particular R1 = R/I.
60. Notaci´on y Convenci´on
Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/Is
para s 1. En particular R1 = R/I.
Llamaremos simplemente ´algebra †-´adica a un ´algebra A†
d´ebilmente
completa.
61. Notaci´on y Convenci´on
Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/Is
para s 1. En particular R1 = R/I.
Llamaremos simplemente ´algebra †-´adica a un ´algebra A†
d´ebilmente
completa.
A un esquema formalmente d´ebil (X, OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-´adico y lo denotaremos por X†
.
62. Notaci´on y Convenci´on
Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/Is
para s 1. En particular R1 = R/I.
Llamaremos simplemente ´algebra †-´adica a un ´algebra A†
d´ebilmente
completa.
A un esquema formalmente d´ebil (X, OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-´adico y lo denotaremos por X†
.
Dado un esquema †-´adico X†
= (X, OX), definimos su reducci´on
(m´odulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X, OX/m)
en d´onde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X†
es un
levantamiento de su reducci´on.
63. Notaci´on y Convenci´on
Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/Is
para s 1. En particular R1 = R/I.
Llamaremos simplemente ´algebra †-´adica a un ´algebra A†
d´ebilmente
completa.
A un esquema formalmente d´ebil (X, OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-´adico y lo denotaremos por X†
.
Dado un esquema †-´adico X†
= (X, OX), definimos su reducci´on
(m´odulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X, OX/m)
en d´onde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X†
es un
levantamiento de su reducci´on.
Si X†
es un esquema †-´adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .
64. Criterios de Afinidad
Teorema
Un esquema †-´adico X†
es af´ın si, y s´olo si su reducci´on (esquema sobre
R1 := R/m) es af´ın.
65. Criterios de Afinidad
Teorema
Un esquema †-´adico X†
es af´ın si, y s´olo si su reducci´on (esquema sobre
R1 := R/m) es af´ın.
Corolario
El espacio localmente anillado inducido sobre un abierto af´ın por un
esquema †-´adico, es un esquema †-´adico af´ın.
levantamiento
66. Layout
Esquemas Logar´ıtmicos
Esquemas D´ebilmente Completos Logar´ıtmicos
Esquemas Formales logar´ıtmicos
Esquemas D´ebilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logar´ıtmicas
Estructuras Logar´ıtmicas Finas
Diferenciales logar´ıtmicas y Morfismos log-suaves
67. Cartas
Definici´on
Sea (X, MX ) un log-sch y P un monoide.
Consideremos a la gavilla constante PX en X inducida por P.
Una carta para MX es un morfismo
PX → MX
tal que el morfismo inducido de estructuras logar´ıtmicas
Pa
→ MX
es un isomorfismo
Recordemos que Pa
es la estructura logar´ıtmica asociada a la estructura
pre-logar´ıtmica dada por PX → MX → OX
68. Otra forma de ver a las cartas:
Una carta para MX es equivalente a un morfismo de log-esquemas:
(X, MX ) → ƒpe™(€ → Z[€])
tal que f b
es un isomorfismo.
69. Otra forma de ver a las cartas:
Una carta para MX es equivalente a un morfismo de log-esquemas:
(X, MX ) → ƒpe™(€ → Z[€])
tal que f b
es un isomorfismo. En general tenemos lo siguiente:
Lema
El morfismo:
HomLogSch(X, ƒpe™(€ → Z[€])) → HomMon(€, (ˆ, MX))
que asocia a f la composici´on:
P → Γ(X, PX ) → Γ(X, MX )
es un isomorfismo.
70. Cartas de log-morfismos
Definici´on
Sea f : X → Y un morfismo de log-esquemas. Una carta para f es una
triplete
(PX → MX , QY → MY , Q → P)
en donde PX , QY son gavillas constantes asociadas a los monoides P, Q
que satisfacen las siguientes condiciones:
71. Cartas de log-morfismos
Definici´on
Sea f : X → Y un morfismo de log-esquemas. Una carta para f es una
triplete
(PX → MX , QY → MY , Q → P)
en donde PX , QY son gavillas constantes asociadas a los monoides P, Q
que satisfacen las siguientes condiciones:
PX → MX y QY → MY son cartas de MX y MY respectivamente.
72. Cartas de log-morfismos
Definici´on
Sea f : X → Y un morfismo de log-esquemas. Una carta para f es una
triplete
(PX → MX , QY → MY , Q → P)
en donde PX , QY son gavillas constantes asociadas a los monoides P, Q
que satisfacen las siguientes condiciones:
PX → MX y QY → MY son cartas de MX y MY respectivamente.
El morfismo de monoides Q → P hace el siguiente diagrama de
gavillas en X conmutativo:
QX
//
PX
f ∗
MY
// MX
73. Layout
Esquemas Logar´ıtmicos
Esquemas D´ebilmente Completos Logar´ıtmicos
Esquemas Formales logar´ıtmicos
Esquemas D´ebilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logar´ıtmicas
Estructuras Logar´ıtmicas Finas
Diferenciales logar´ıtmicas y Morfismos log-suaves
74. Grupo asociado a un Monoide
Recordemos que a todo monoide P le podemos asociar un grupo (el
grupo de Grothendieck) dado por:
Pgp
:= {(a, b)|(a, b) (c, d) si ∃ s ∈ P tal que s + a + d = s + b + c} ;
que satisface la propiedad universal de que todo morfismo de P a un
grupo se factoriza por Pgp
de manera ´unica.
75. Definiciones
Definici´on
Un monoide P es llamado integral si el morfismo can´onico
P → Pgp
es inyectivo.
Es llamado saturado si este es integral y para cada p ∈ Pgp
, se tiene que
si np ∈ P para alg´un entero n, entonces p ∈ P.
76. Definiciones
Definici´on
Un monoide P es llamado integral si el morfismo can´onico
P → Pgp
es inyectivo.
Es llamado saturado si este es integral y para cada p ∈ Pgp
, se tiene que
si np ∈ P para alg´un entero n, entonces p ∈ P.
Definici´on
Un esquema logar´ıtmico X es llamado fino, si en localmente- ´etale existe
una carta
P → MX
con P un monoide integral finitamente generado.
77. Definiciones
Definici´on
Un monoide P es llamado integral si el morfismo can´onico
P → Pgp
es inyectivo.
Es llamado saturado si este es integral y para cada p ∈ Pgp
, se tiene que
si np ∈ P para alg´un entero n, entonces p ∈ P.
Definici´on
Un esquema logar´ıtmico X es llamado fino, si en localmente- ´etale existe
una carta
P → MX
con P un monoide integral finitamente generado.
Si adem´as P se puede elegir de tal manera que sea saturado, entonces X
78. Layout
Esquemas Logar´ıtmicos
Esquemas D´ebilmente Completos Logar´ıtmicos
Esquemas Formales logar´ıtmicos
Esquemas D´ebilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logar´ıtmicas
Estructuras Logar´ıtmicas Finas
Diferenciales logar´ıtmicas y Morfismos log-suaves
79. Morfismo Estricto e Inmersi´on cerrada estricta
Definici´on
Un morfismo f : X → Y de log-equemas es llamado estricto si el
morfismo respectivo
f b
: f ∗
MY → MX
es un isomorfismo.
80. Morfismo Estricto e Inmersi´on cerrada estricta
Definici´on
Un morfismo f : X → Y de log-equemas es llamado estricto si el
morfismo respectivo
f b
: f ∗
MY → MX
es un isomorfismo.
Es una inmersi´on cerrada estricta, si es estricto y el morfismo de
esquemas X → Y es una inmersi´on cerrada.
81. Nota:
Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de log-esquemas:
T0
Φ //
j
X
f
T1
Φ
// Y
con j una inmersi´on cerrada estricta definida por un ideal J tal que
J2
= 0.
Notemos que tanto T0, como T1 tienen al mismo espacio topol´ogico
subyacente. Adem´as ambos tienen al mismo sitio ´etale.