1. UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA
APLICACIONES DE LA INTEGRACION
OBJETIVO: Utilizar las integrales para hallar el área limitada por la gráfica de dos funciones.
ÁREA DE REGIÓN ENTRE DOS CURVAS
Si f y g son dos funciones continuas en [a, b] y g(x) ≤ continuas y de que g(x) ≤ f(x). Las gráficas de f y g
f(x) ∀ x ∈ [a, b], entonces el área de la región pueden estar situadas de cualquier manera respecto
limitada por las gráficas de f y g y las rectas del eje x.
verticales x = a y x = b es
Demostración: Subdividimos el intervalo [a, b] en n
subintervalos cada uno de ancho ∆ x y dibujamos un
rectángulo representativo de alto f(xi) − g(xi) donde x
está en el i-ésimo intervalo.
Área del rectángulo i = [f(xi) − g(xi)] ∆ x
Sumando las áreas y considerando que el número de
rectángulos tiende a infinito resulta que el área total
Área =
es
Integración respecto al eje y. Si algunas regiones
Como f y g son continuas en el intervalo, la función están acotadas por curvas que son funciones de y o
diferencia f − g también los es y el límite existe. bien se pueden trabajar mejor considerando x como
función de y los rectángulos representativos para la
aproximación se consideran horizontales en lugar de
Por lo tanto el área es área = verticales. De esta manera, si una región está
limitada por las curvas de ecuaciones x = f(y), x =
g(y), y = c y la recta horizontal y = d, donde f y g son
continuas y f(y) ≥ g(y) para c ≤ y ≤ d, entonces su
=
área resulta
Es importante darse cuenta que la validez de la
fórmula del área depende sólo de que f y g sean
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y
Paso 2. Al graficar se observa que la curva fronteras
izquierda y derecha es .
Se debe integrar entre los valores y apropiados, y = -2
y y = 4.
Área =
Ejemplo 1. Encuentre el área de la región encerrada
por las parábolas y =x2 y y = 2x—x2
Paso 1: Hallar los puntos de intersección entre las dos
funciones, resolviendo sus ecuaciones
simultáneamente. Utilizaremos el método de
igualación: x2 = 2x — x2, o sea, 2x2 = 2x. Por lo
tanto, x.(x - 1) = 0, de modo que x = 0 y x = 1.
Es decir los puntos de intersección son (0,0) y
(1, 1).
Gráficamente:
EJERCICIOS
(1 – 4) Encuentre el área de la región sombreada.
Paso 2: Como se observa en la figura, la función que
está por encima es f(x) = 2x —x2 y la que está
por debajo es g(x)=x2.
Luego: El área de un rectángulo típico es:
Ejemplo 2. Encuentre el área encerrada por la recta
y = x - 1 y la parábola y2 = 2x + 6.
Paso1. Puntos de intersección.
Al resolver las dos ecuaciones, encontramos que los
puntos de intersección son (-1, -2) y (5, 4).
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