Este documento habla sobre las formas indeterminadas en matemáticas, específicamente en cálculo. Explica que una forma indeterminada es una expresión algebraica que involucra límites como 0/0 o ∞/∞, las cuales son comunes en cálculo. Detalla métodos para resolver estas indeterminaciones, incluyendo la regla de L'Hôpital que usa derivadas. También provee ejemplos de cómo aplicar estos métodos para evaluar límites indeterminados.

1. República Bolivariana de Venezuela
I.U.T Antonio José de Sucre
Barquisimeto, Edo - Lara
RAFAEL CAMACARO
25.147.710
INFORME
FORMAS
INDETERMINADAS

2. Forma indeterminada
En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que
involucra límites del tipo:
Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite
de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.
Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0.
Cuando x se acerca a
0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se van a , 1, y 0 respectivamente. En cada caso,
sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la
operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando
informalmente) 0/0 puede ser 0, o incluso 1 y, de hecho, es posible construir
otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es
que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.
Ejemplos:
Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador
como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar
ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma
indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden
aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del
emparedado, entre otros.
Ejemplos:

3. En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de
l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli, es una regla que usa derivadas para
ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que
se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo o .
Sean f y g dos funcionescontinuas definidas en el intervalo [a,b], derivablesen (a,b) y
sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.
Si existe el límite L de f'/g' en c, entoncesexiste el límite de f/g(en c) y es igual a L. Por lo
tanto,

4. Hallar el límite:
Este límite en principio toma la forma indeterminada / , y lo resolvemos
aplicando directamente la regla de L'Hôpital:
OBSERVACIÓN: No es necesario pasar el límite a la indeterminación 0/0 antes
de aplicar la regla de L'Hôpital. Si bien (f '/g') es distinto de (1/g)'/(1/f '), en
cambio no son diferentes para nuestro caso de límites en el punto x=a.
En cuanto a las indeterminaciones del tipo 0× , aparecen en límites de
productos de funciones f(x) ×g(x) cuando una de ellas, p.ej. la f(x) tiende a 0, y
la otra, lag(x), tiende a . En este caso nosotros expresaremos el límite en la
forma:
Y como 1/g(x) tenderá a 0, se obtiene la forma típica 0/0, a la cual se puede
aplicar directamente la regla de L'Hôpital.
Hallar el límite:
Este límite tiene la forma 0× , por lo tanto, operamos como hemos dicho:
Habiendo expresado la inversa de la tangente como la cotangente, cuya
derivada es: - 1/(seno)², esto es:
Otro tipo de indeterminación susceptible de realizarse por la regla de L'Hôpital
es la forma - , que aparece en límites de una resta, es decir, cuando
tenemos(x) - g(x), y ambas funciones en x=a se hacen + . Para este caso hay
que tener en cuenta la siguiente identidad:

5. Y si en en x=a las funciones f y g son infinito, la expresión con sus inversas
será 0, por lo que f-g equivaldrá a 0/0; no obstante para aplicar la regla de
L'Hôpital, en este caso deberemos transformar f-g como una expresión que
incluya un cociente,