El documento presenta fórmulas y diagramas para el análisis de vigas simplemente apoyadas sujetas a diferentes tipos de cargas, incluyendo carga uniformemente distribuida, carga parcialmente distribuida, carga concentrada y combinaciones de estas. Se proporcionan ecuaciones para calcular los valores máximos de corte, momento y deflexión, así como diagramas de corte y momento para cada caso.
1. ING: JOHNNY JARA RAMOS FORMULAS Y DIAGRAMAS PARA VIGAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
V
R
Momento
Mmax
L
2
V
Corte
R
L
2
L
x
q
a+R1
q
Corte
Mmax
Momento
V1
R1
V2
R2
x
a
L
cb
q
Viga Simplemente Apoyada – Carga Uniformemente Distribuida
2
Lq
VR
x
2
L
qVx
)xL(
2
xq
Mx
IE384
Lq5
)centroelen(f
4
max
)xxL2L(
IE24
xq
f 323
x
Viga Simplemente Apoyada – Carga Uniforme Parcialmente Distribuida
)bc2(
L2
bq
)cacuando.(maxVR 11
)ba2(
L2
bq
)cacuando.(maxVR 22
)ax(qR))ba(yacuandox(V 1X
q2
R
aR)
q
R
axpara(M 1
1
1
max
xR)axcuando(M 1x
2
1x )ax(
2
q
xR))ba(yaxcuando(M
)xL(R))ba(xcuando(M 2x
8
2
max
Lq
M
2. ING: JOHNNY JARA RAMOS FORMULAS Y DIAGRAMAS PARA VIGAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
Corte
Momento
Mmax
R1
q
R1
V1
R2
V2
L
a
x
q
R1/q1
Mmax
R1
V1
Momento
Corte
V2
R2
a
x
L
cb
q1
q2
Viga Simplemente Apoyada – Carga Uniforme Parcialmente Distribuida En Un
Extremo
)aL2(
L2
aq
VR 11
L2
aq
VR
2
22
xqR)axcuando(V 1x
q2
R
q
R
xparaM
2
11
max
2
xq
xR)axcuando(M
2
1x
)xL(R)axcuando(M 2x
)xL)aL2(xa2)aL2(a(
LIE24
xq
)axcuando(f 3222
x
)a2xL(4x
LI24E
x)(Laq
a)x(cuandof 22
2
x
Viga Simplemente Apoyada – Carga Uniforme Parcialmente Distribuida En Cada
Extremo
L2
cq)aL2(aq
VR
2
21
11
L2
aq)cL2(cq
VR
2
12
22
xqR)axcuando(V 11x
aqR))ba(yaxcuando(V 11x
)xL(qR))ba(xcuando(V 22x
1
2
1
11
1
1
max
q2
R
)aqRcuando
q
R
xpara(M
2
2
2
22
2
2
max
q2
R
)cqRcuando
q
R
Lxpara(M
2
xq
xR)axcuando(M
2
1
1x
)ax2(
2
aq
xR))ba(yaxcuando(M 1
1x
3. ING: JOHNNY JARA RAMOS FORMULAS Y DIAGRAMAS PARA VIGAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
q
L
Mmax
Momento
R1
V1
L
3
Corte
R2
V2
x
L
L/2
Corte
Momento
Mmax
R
V
L/2
R
V
x q
2
)xL(q
)xL(R))ba(xcuando(M
2
2
2x
Viga Simplemente Apoyada – Carga Aumentando Uniformemente Desde Cero Hasta
“q”; De Un Extremo A Otro.
En estas ecuaciones:
2
Lq
W
3
W
VR 11
3
W2
VR 22
2
2
x
L
xW
3
W
V
39
LW2
3
L
xparaMmax
)xL(
L3
xW
M 22
2x
IE
LW
01304.0
15
8
1Lxparaf
3
max
)L7xL10x3(
LIE180
xW
f 4224
2x
Viga Simplemente Apoyada – Carga Aumentando Desde Cero Uniformemente Hasta
“q”; Desde Ambos Extremos Al Centro.
En estas ecuaciones:
2
Lq
W
2
W
VR
)x4L(
L2
W
2
L
xcuandoV 22
2x
6
LW
)centroelen(Mmax
2
2
x
L3
x2
2
1
xW
2
L
xcuandoM
IE60
LW
)centroelen(f
3
max
4. ING: JOHNNY JARA RAMOS FORMULAS Y DIAGRAMAS PARA VIGAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
x
L
L/2
Mmax
R
Corte
V
R
L/2
V
P
Momento
L
x
b
Momento
Mmax
a
R1
V1
Corte
R2
V2
P
222
2x )x4L5(
LIE480
xW
f
Viga Simplemente Apoyada – Carga Concentrada En El Centro De La Viga
2
P
VR
4
LP
)Pdeaplicaciondepuntoelen(Mmax
2
xP
2
L
xcuandoMx
IE48
LP
)Pdeaplicaciondepuntoelen(f
3
max
)x4L3(
IE48
xP
2
L
xcuandof 22
x
Viga Simplemente Apoyada – Carga Concentrada En Cualquier Punto De La Viga
L
bP
)bacuando.(maxVR 11
L
aP
)bacuando.(maxVR 22
L
baP
PdeaplicaciondepuntoelenM
)(max
`
L
xbP
)axcuando(Mx
LIE27
)b2a(a3)b2a(baP
bacuando
3
)b2a(a
xenfmax
LIE3
baP
)Pdeaplicaciondepuntoelen(f
22
a
)xbL(
LIE6
xbP
)axcuando(f 222
x
5. ING: JOHNNY JARA RAMOS FORMULAS Y DIAGRAMAS PARA VIGAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
L
x
R
Mmax
V
Momento
a
Corte
a
R
V
P P
x
L
a
M1
Momento
R1
V1
M2
b
Corte
R2
V2
P P
)axxL2(
LIE6
)xL(aP
)axcuando(f 22
x
Viga Simplemente Apoyada – Dos Cargas Concentradas Iguales, Ubicadas
Simétricamente Respecto A Los Extremos
PVR
aP)asargclasentreubicado(Mmax
xP)axcuando(Mx
)a4L3(
IE24
aP
)centroelenubicado(f 22
max
)xa3aL3(
IE6
xP
)axcuando(f 22
x
)ax3xL3(
IE6
aP
))aL(yaxcuando(f 22
x
Viga Simplemente Apoyada – Dos Cargas Concentradas Iguales, Ubicadas
Asimétricamente Respecto A Los Extremos
)baL(
L
P
)bacuando(maxVR 11
)abL(
L
P
)bacuando(maxVR 22
)ab(
L
P
))bL(yaxcuando(Vx
aR)bacuando(maxM 11
bR)bacuando(maxM 22
xR)axcuando(M 1x
)ax(PxR))bL(yaxcuando(M 11
6. ING: JOHNNY JARA RAMOS FORMULAS Y DIAGRAMAS PARA VIGAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
L
Corte
Momento
x
M1
R1
a
V1
P1
M2
R2
b
V2
P2
Momento
Mmax
Corte
R
V
x
L
q
Viga Simplemente Apoyada – Dos Cargas Concentradas No Iguales, Ubicadas
Asimétricamente Respecto A Los Extremos
L
bP)aL(P
VR 21
11
L
)bL(PaP
VR 21
22
111 PR))bL(yaxcuando(V
aR)PRcuando(maxM 1111
bR)PRcuando(maxM 2222
xR)axcuando(M 1x
)ax(PxR))bL(yaxcuando(M 11x
Viga En Voladizo – Carga Uniformemente Distribuida
LqVR
xqVx
2
Lq
)empotradoextremoen(M
2
max
2
xq
M
2
x
IE8
Lq
)libreextremoen(f
4
max
)L3xL4x(
IE24
q
f 434
x
7. ING: JOHNNY JARA RAMOS FORMULAS Y DIAGRAMAS PARA VIGAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
Momento
Mmax
Corte
R
V
L
P
x
a
Corte
Momento
Mmax
b
R
V
x
L
P
Viga En Voladizo – Carga Concentrada En El Extremo Libre
PVR
LP)empotradoextremoen(Mmax
xPMx
IE3
LP
)libreextremoen(f
3
max
)xxL3L2(
IE6
P
f 323
x
Viga En Voladizo – Carga Concentrada En Cualquier Punto De La Viga
PVR
bP)empotradoextremoen(Mmax
)ax(P)axcuando(Mx
)bL3(
IE6
bP
)libreextremoen(f
2
max
IE3
bP
)Pdeaplicaciondepuntoelen(f
3
a
)bx3L3(
IE6
bP
)axcuando(f
2
x
)xLb3(
IE6
)xL(P
)axcuando(f
2
x
8. ING: JOHNNY JARA RAMOS FORMULAS Y DIAGRAMAS PARA VIGAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
L
(3/8)L
M1
Momento
V1
R1
Corte
q
x
Mmax
L/4
R2
V2
(3/11)L
R2
Mmax
M1
Momento
L/2
V1
Corte
R1
L/2
V2
L
x
P
Viga Empotrada Apoyada– Carga Uniformemente Distribuida
8
Lq3
VR 11
;
8
Lq5
VR 22
xqRV 1x
8
Lq
M
2
max
2
1 Lq
128
9
L
8
3
xenM
2
xq
xRM
2
1x
IE185
Lq
331(
16
L
xenf
4
max
)x2xL3L(
IE48
xq
f 323
x
Viga Empotrada Apoyada– Carga Concentrada En El Centro De La Viga
16
P5
VR 11
;
16
P11
VR 22
16
LP3
)empotradoextremoen(Mmax
32
LP5
)Pdeaplicaciondepuntoelen(M1
16
xP5
)
2
L
xcuando(Mx
16
x11
2
L
P)
2
L
xcuando(Mx
5IE48
LP
5
1
Lxenf
3
max
IE768
LP7
)Pdeaplicaciondepuntoelen(f
3
p
)x5L3(
IE96
xP
)
2
L
xcuando(f 22
x
9. ESTRUCTURAS DE MADERA ANEXOS CAPÍTULO III
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
M1
Momento
R
Pa
2
M2
R2
a
x
L
Corte
V
R1
b
V
P
L
)(1 -L
a
L2
M1
Momento
2
L
2(1 - a
L )
Corte
V1
2
x
R1
2
q(L+a)
V3
M2
a
V2
R2
x1
)L2x11()Lx(
IE96
P
)
2
L
xcuando(f 2
x
Viga Empotrada En Un Extremo Y Apoyada En El Otro – Carga Puntual En
Cualquier Punto
L2a
L2
bP
VR 3
2
11
; 22
322 aL3
L2
aP
VR
aRcarga)depuntoel(EnM 11
L)(a
L2
baP
empotrado)extremoelM2(En 2
xRa)x(CuandoM 1x
a)(xPxRa)x(CuandoM 1x
222
322
22
22
max
)aL(3
)a(L
IE3
aP
)
aL3
aL
LxenL0.414a(Cuandof
aL2
a
IE6
baP
)
aL2
a
Lxen0.414La(Cuandof
2
max
a)(3L
LIE12
baP
carga)depuntoel(Enf 3
32
a
)ax2Lx(3aL
LIE12
xbP
a)x(Cuandof 222
3
2
x
L)2axax(3Lx)(L
LIE12
aP
a)x(Cuandof 2222
3x
Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo-Carga Uniformemente Distribuida
)a(L
L2
q
VR 22
11
; 2
322 a)(L
L2
q
VVR
)a(L
L2
q
V 22
3
: aqV2
xqRapoyos)(EntreV 1x
)x(aqvolado)el(ParaV 11x
22
22
2
1 a)(La)(L
8L
q
)
L
a
1
2
L
x(EnM
2
aq
)R(EnM
2
22
L)xa(L
2L
xq
apoyos)(EntreM 22
x
2
1x )x(a
2
q
volado)el(ParaM 1
)x2aL2aLxx2L(L
LIE24
xq
apoyos)(Entref 22223224
x
10. ESTRUCTURAS DE MADERA ANEXOS CAPÍTULO III
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
Momento
Mmáx
x
L
Corte
V1
R1
a
x1
R2
q·a
V2
R1
V1
Momento
Mmáx
L
Corte
x
V2
x1
a
R2
P
)x4axx6aLL(4a
IE24
xq
volado)el(Paraf
3
1
2
11
2321
1x
Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo – Carga Uniforme Al Extremo Del
Volado
L2
aq
VR
2
11
a)L(2
L2
aq
VVR 212
aqV2
)x(aqvolado)el(ParaV 11x
2
aq
)R(EnM
2
2max
2L
xaq
apoyos)(EntreM
2
x
2
1x )x(a
2
q
volado)el(ParaM 1
IE318
Laq
)
3
L
xenapoyos(Entref
22
max
a)3(4L
IE24
aq
a)xenvoladoel(Paraf
3
1max
)x(L
LIE12
xaq
apoyos)(Entref 22
2
x
)x4axx6aL(4a
IE24
xq
volado)el(Paraf
3
1
2
11
221
x
Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo-Carga Puntual Al Extremo del Volado
L
aP
VR 11
; a)(L
L
P
VVR 212
PV2
aP)R(EnM 2max
L
xaP
apoyos)(EntreMx
)xP(avolado)el(ParaM 1x1
IE39
LaP
)
3
L
xenapoyos(Entref
2
max
a)(L
IE3
aP
a)xenvoladoel(Paraf
2
1max
11. ESTRUCTURAS DE MADERA ANEXOS CAPÍTULO III
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
V2
x1
L
Mmax
a
Corte
V1
R1
Momento
b
R2
x P
L
b
M1
a
V2
M1
Mx1
V1
x
Momento
x1
Corte
R1
q·L
c
M2
V3
V4
R2
)x(L
LIE6
xaP
apoyos)(Entref 22
x
)x3ax(2aL
IE6
xP
volado)el(Paraf
2
11
1
x
Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo – Carga Puntual en Cualquier Punto
Entre Apoyos
L
bP
b)acuando(maxVR 11
L
baP
carga)depuntoel(EnMmax
L
xbP
a)x(CuandoMx
LIE27
2b)(a3a2b)Pab(a
b)acuando
3
2b)a(a
x(Enfmax
LIE3
baP
carga)depuntoel(Enf
22
a
)xb(L
LIE6
xbP
a)x(Cuandof 222
x
)axxL(2
LIE6
x)(aP
a)x(Cuandof 22
x
L
a)(L
LIE6
xbaP
f 1
x1
Viga Con Volado En Ambos Extremos –Volados Diferentes - Carga Uniformemente
Distribuida
2c)(L
b2
Lq
R1
; 2a)-(L
b2
Lq
R2
aqV1 ; 112 VRV
423 VRV : cqV4
)xq(aRL)x(CuandoV 11x
111x xq-Vvolado)el(ParaV
cq-Rc)a(CuandoV 2m
2
aq
-M
2
1
;
2
cq
M
2
2
a
2q
R
RM 1
13
L
aP
b)acuandomax(VR 22
12. ESTRUCTURAS DE MADERA ANEXOS CAPÍTULO III
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
0.2113L
M1
x
L
V
L
2
R
Mmax
V
Momento
L
2
Corte
q
R
Mmax
L
2
L
4
Momento
Corte
L
2
V
Mmax
V
L
x
R
P
R
2
x)q(a
xRa)-
q
R
xcuando(maxM
2
1
1
x
Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Uniformemente Distribuida
2
Lq
VR
x
2
L
qVx
12
Lq
extremos)los(enM
2
max
24
Lq
centro)(AlM
2
1
22
x 6xL6Lx
12
q
M
IE
Lq
384
centro)fmax(Al
4
2
2
x x)(L
IE24
xq
f
Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Puntual En El Centro
2
P
VR
8
LP
extremos)losenycentro(AlMmax
L4x
8
P
)
2
L
xCuando(Mx
IE
LP
192
centro)fmax(Al
3
x)4(3L
IE84
xP
)
2
L
xCuando(f
2
x
13. ESTRUCTURAS DE MADERA ANEXOS CAPÍTULO III
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
M2
V2
R
Corte
M1
V1
Ma
Momento
a
L
x
R
b
P
Mmax
L
Momento
7L
16
V1
M1
Corte V2
L
x
R1
q·L
R2
V3
R3
Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Puntual En Cualquier Punto
b)(3a
L
bP
b)acuando(maxVR 3
2
11
b)3(a
L
aP
b)acuando(maxVR 3
2
22
2
2
1
L
baP
b)acuando(maxM
2
2
2
L
baP
b)acuando(maxM
3
22
a
L
baP2
carga)depuntoel(EnM
2
2
1x
L
baP
xRa)x(CuandoM
2
23
max
b)(3aIE3
b2Pa
)
b3a
La2
en xba(Cuandof
3
33
a
LIE3
baP
carga)depuntoel(Enf
bx)3ax(3aL
LIE6
xbP
a)x(Cuandof 3
22
x
Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Distribuida Uniformemente En Un
Tramo
Lq
16
7
VR 11
Lq
8
5
VVR 322
Lq
16
1
VR 33
Lq
16
9
V2
2
Lq
512
49
)
16
7
Mmax(En x L
14. ESTRUCTURAS DE MADERA ANEXOS CAPÍTULO III
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
Mmax
Momento
L
2
L
V1
R1
Corte
M1
V2
V3
L
L
2
P
R2 R3
L
Momento
Mmax
V1
M1
V2 Corte
L
a
R1
b
R2
P
V3
R3
2
21 Lq
16
1
)Rapoyoel(EnM
8x)(7L
16
xq
L)x(CuandoMx
Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Puntual Al Centro De Un
Tramo
P
32
13
VR 11
P
16
11
VVR 322
P
32
3
VR 33
P
32
19
V2
LP
64
13
carga)depuntoelMmax(En
LP
32
3
)Rapoyoel(EnM 21
Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Puntual En Cualquier Punto De Un
Tramo
a))a(L(4L
L4
bP
VR 2
311
a))b(L(2L
L2
aP
VVR 2
3322
a)(L
L4
baP
VR 333
a))b(L(4L
L4
aP
V 2
32
a))(La(4L
L4
baP
carga)depuntoelMmax(En 2
3
a)(L
L4
baP
)Rapoyoel(EnM 221
15. ESTRUCTURAS DE MADERA ANEXOS CAPÍTULO III
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
q·Lq·L
v3
M2
Momento
M1
V2
R2
L
Corte
V1
R1
V2
L
R3
V2
a
M2
Momento
a
V1
R1
P
a
M1
a
Corte
V2
V3
R2
P
R3
Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Uniformemente Distribuida
L q
8
3
VRVR 3311
Lq
8
10
R2
Lq
8
5
VmaxV2
8
Lq
M
2
1
128
Lq9
)
8
3L
(M
2
2
En
IE185
Lq
R3)yR1desde0.46L,(Enf
4
max
Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Dos Cargas Puntuales Situadas Al Centro De
Cada Tramo
P
16
5
VRVR 3311
P
8
11
V2R 22
P
16
11
R1PV2
2max VV
16
LP3
M1
32
LP5
M2
xRa)x(CuandoM 1x
16. ESTRUCTURAS DE MADERA ANEXOS CAPÍTULO III
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
Mx1
x1
Momento
L1
Corte
V1
M1
L2
V3
V2
x2
Mx2
V4
R1
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ba
Mm1
Momento
a
V1
M1
b
V2
V3
Corte
V4
R1
P
R2
P
R3
Viga Continua – Dos Tramos Diferentes – Carga Uniformemente Distribuida
2
Lq
L
M
R 1
1
1
1
31212 RRLqLqR
2
Lq
L
M
VR 2
2
1
43
11 RV
112 RLqV
323 RLqV
34 RV
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M
21
3
1
3
2
1
2
xq
xR)
q
R
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2
1
11
1
11x
2
xq
xR)
q
R
x(CuandoM
2
2
23
3
22x
Viga Continua – Dos Tramos Diferentes – Carga Puntual situada En El Centro De
Cada Tramo
2
P
L
M
R 1
1
1
1
31212 RRPPR
2
P
L
M
R 2
2
1
3
11 RV
112 RPV
323 RPV
34 RV
21
2
22
2
11
1
LL
LPLP
16
3
M
aRM 1m1
17. ESTRUCTURAS DE MADERA ANEXOS CAPÍTULO III
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
bRM 3m2