Este documento describe los siete tipos de frisos que se pueden generar a partir de un motivo mínimo utilizando diferentes combinaciones de traslaciones, simetrías, giros y deslizamientos. Explica que los frisos se diferencian en las transformaciones geométricas utilizadas, por ejemplo, el friso tipo 1 sólo involucra traslaciones, mientras que los tipos 4, 5 y 6 incluyen giros con o sin simetrías adicionales. También presenta un organigrama para clasificar los diferentes tipos de f

1. LOS FRISOS
Es frecuente en arquitectura, arte y decoración el uso de bandas donde cierto motivo se repite
determinadas veces. A estos diseños se les conoce como frisos.
Hay sólo siete formas de generar un friso a partir de un motivo mínimo. A continuación
veremos cada una de ellas y propondremos ejemplos:
F1: El friso se obtiene al aplicarle una traslación a nuestro motivo (el banderín) y continuar así
sucesivamente.
F2: Se obtiene mediante los siguientes pasos: Motivo + simetría vertical + traslación de vector
perpendicular al eje de simetría
F3: Motivo + simetría horizontal + traslación de vector paralelo al eje de simetría

2. F4: Motivo + Giro de 180º + Traslación
F5: Motivo + Giro de 180º + Simetría vertical + Traslación
F6: Motivo + giro de 180º + Simetría horizontal + Traslación

3. F7: Motivo + Deslizamiento de vector T y eje S + Traslación de vector 2T
Cualquier friso se puede obtener mediante los procedimientos anteriores.
Observación: la manera de obtener un friso no es única: el friso F6 puede obtenerse también
aplicando una simetría horizontal al banderín y posteriormente aplicar al resultado otra
horizontal. Lo cierto es que el friso F1 es el más fácil (sólo intervienen traslaciones).
Además de las traslaciones, en los frisos F2 y F3 sólo intervienen simetrías (vertical y
horizontal respectivamente), en los únicos que aparecen giros son en los F4, F5 y F6 (que se
diferencian porque en F4 sólo hay un giro, y en F5 y F6 aparece acompañado de una simetría
vertical y otra horizontal respectivamente). Únicamente hay deslizamiento en F7. Todo esto se
puede esquematizar de la siguiente manera:
ALGORITMO DE CLASIFICACIÓN DE FRISOS
Una vez localizado el motivo mínimo, se procede según el organigrama de abajo:

4. Actividades
1. Dibuja los siete tipos de frisos a partir del motivo:
2. Investiga los tipos de frisos que se pueden obtener mediante plegado y recorte de
papel.
3. Averigua a qué tipo de friso pertenece cada uno de los ejemplos siguientes:

5. Frisos y grupos cristalográficos
Los movimientos rígidos del plano están formados por traslaciones, rotaciones,
reflexiones (respecto de una recta) y reflexiones seguidas de deslizamiento (con vector de
deslizamiento paralelo a la recta de simetría). Consideremos una figura F del plano y G(F)
el conjunto de movimientos del plano que dejan fija F, es decir, g(F)=F, con .
Dada una figura F, existe un motivo M, tal que cuando hacemos actuar los
movimientos de G(F), obtenemos F.
Si el grupo G(F) tiene un subgrupo de traslaciones T(F), entonces sólo cabe la posibilidad
de que T(F) esté generado por una traslación no trivial, o por dos traslaciones linealmente
independientes.
Tomamos ahora F como el plano euclídeo:
Un friso es un motivo que es repetido una y otra vez siguiendo una dirección U del plano.
Por tanto, T(F) está generado por un elemento. Entonces existe un rectángulo que
contiene al motivo del friso y uno de cuyos lados coincide con el vector U. Un friso puede
verse como la acción de un grupo generado por una traslación sobre el plano. El espacio
cociente por dicha acción es un cilindro. Hay sólo siete formas de generar un friso a partir
de un motivo M mínimo.
Un mosaico es un motivo que se repite en dos direcciones distintas del plano (las losetas
necesarias para recubrir todo el plano). Un grupo cristalográfico es aquél que tiene como
subgrupo de traslaciones el generado por dos traslaciones linealmente independientes.
Los dos vectores U y V que generan dichas traslaciones determinan un paralelogramo
fundamental (loseta). El grupo de traslaciones actúa sobre el plano dando como cociente
un toro. Existen 17 grupos cristalográficos. En los mosaicos de la Alhambra de Granada
es posible encontrar ejemplos de todos los grupos cristalográficos del plano.
Se sugiere ingresar a las siguientes páginas.
http://www.caminos.upm.es/matematicas/Fdistancia/MAIC/actividades/conferencias/conferencias/1
4.Mosaicos%20y%20frisos.pdf
http://www.famaf.unc.edu.ar/uma2007/repositorio/CP2UMA07.pdf