Este documento trata sobre funciones de varias variables y sistemas de coordenadas. Explica conceptos como dominio, rango y gráficas de funciones de varias variables. También describe diferentes sistemas de coordenadas como cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. Incluye ejemplos de funciones de varias variables y transformaciones de coordenadas.

1. Diciembre 2019
FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES
Profesor: Estudiante:
Pedro Beltrán Elixandro Hernández
República De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior
Instituto Politécnico Universitario “Santiago Mariño”
Faculta De Arquitectura
Barcelona- Anzoátegui

2. La necesidad de abordar problemas de nuestro mundo, nos conduce a tomar en cuenta que, en
general, cualquier situación y fenómeno requiere de más de una variable para una precisa
descripción. Por ejemplo, cuando se estudia el crecimiento de un niño se debe analizar tanto el
peso como la altura. Ambos datos por separado no nos proporcionan información suficiente, y
para decidir si en cada fase del crecimiento el desarrollo del niño es normal necesitamos
conocer tanto el uno como el otro; la posición de un móvil en un momento determinado
requiere para su exacta especiación, además del tiempo, de las tres coordenadas espaciales. Si
adicionalmente se requiere la velocidad a la cual se desplaza, tendremos una función vectorial
f que a cada vector de cuatro componentes (ubicación espacial y tiempo) le asigna la velocidad
V del móvil en ese punto y en ese instante: f(x; y; z; t) = v Observamos entonces que de acuerdo
con la situación especifica que queramos describir, requerimos el tipo de función adecuada.
Según si el dominio D y el rango R son subconjuntos de R; R2 o R3
Introducción

3. Sistema De Coordenadas
El Sistema de Coordenadas
también conocido como Sistema
de Referencia Cartesiano es uno
de los más empleados para la
elaboración de múltiples tipos de
gráficos en dos y tres dimensiones.
Al momento de elaborar una
gráfica nuestra primera necesidad
es contar con un sistema de
referencia que nos permita
orientarnos en el espacio
Es un conjunto de valores que
permiten definir unívocamente la
posición de cualquier punto de
un espacio geométrico respecto de
un punto denominado origen.

4. Sistemade coordenadas cartesianas
Formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio,
mutuamente perpendiculares que se cortan en el
origen. Las coordenadas de un punto cualquiera
vendrán dadas por las proyecciones de la distancia
entre el punto y el origen sobre cada uno de los ejes.

5. Coordenadascilíndricas
Generalización del sistema de coordenadas polares
plano, al que se añade un tercer eje de referencia
perpendicular a los otros dos.
Resulta especialmente útil en problemas
con simetría axial. Este sistema de coordenadas es
una generalización del sistema de coordenadas
polares del plano euclídeo, al que se añade un tercer
eje de referencia ortogonal a los otros dos.

6. Sistema de coordenadas formado por dos ejes
mutuamente perpendiculares que se cortan
en el origen. La primera coordenada es la
distancia entre el origen y el punto, siendo las
otras dos, los ángulos que es necesario girar
sucesivamente, en planos mutuamente
perpendiculares, el eje inicial para alcanzar la
posición del punto
Coordenadas esféricas

7. Ejemplo:

8. Ejemplo:

9. Ejemplo:

10. Muchas visualizaciones se muestran en un sistema de coordenadas
plano y rectangular. Puede transformar el sistema de coordenadas
según sea necesario. Por ejemplo puede aplicar una transformación
polar al sistema de coordenadas, añadir efectos de sombra en
sentido oblicuo y transponer los ejes. También puede deshacer
cualquiera de estas transformaciones si ya se aplicaron a la
visualización actual. Por ejemplo, se dibuja un gráfico circular en un
sistema de coordenadas polares. Puede deshacer la transformación
polar y mostrar el gráfico circular como una única barra apilada en
un sistema de coordenadas rectangular.
Transformación del sistemade coordenadas

11. Polar. Una transformación polar dibuja los elementos gráficos con un
ángulo y una distancia específicos desde el centro del gráfico. Un gráfico
circular es una visualización de una dimensión con una transformación
polar que dibuja las barras individuales con ángulos específicos.
Oblicuo. Una transformación oblicua añade un efecto 3-D a los
elementos gráficos. Esta transformación añade profundidad a los
elementos gráficos, pero su profundidad es meramente decorativa.
Misma proporción. Si se aplica la misma proporción se especifica que la
misma distancia en cada escala represente la misma diferencia de valores
de datos. Por ejemplo, 2 cm en ambas escalas representan una diferencia
de 1000.
% del recuadro antes de transformación. Si tras la transformación se
recortan los ejes, puede que desee añadir recuadros al gráfico antes de
aplicar la transformación.

12. Ejemplo:

13. Mapas de curvas de nivel
Cuando dibujar en tres dimensiones es inconveniente, un mapa de
curvas de nivel es una alternativa útil para representar funciones que
tienen un espacio de entrada bidimensional y un espacio de salida
unidimensional.

14. Simetría
El conocer la simetría que una gráfica pueda tener nos ahorraría trabajo al graficarla,
y en otros casos como veremos, es de absoluta necesidad conocer tales simetrías.
Veremos algunos ejemplos.
Simetría respecto al eje polar (o eje x)
Se puede apreciar en la grafica que
es simétrica respecto al eje polar si los
puntos (r,A) y (r,-A) están en la gráfica,
o lo que es equivalente, si al
sustituír A por -A en la ecuación de la
curva resulta una ecuación equivalente.
Grafica los puntos con
coordenadas (r,-A) y (-r, -A) y verás que
son el mismo. Por lo tanto, otra prueba
de simetría respecto al
eje x es sustituir (r,A) con (-r, -A) y ver
si resulta una ecuación equivalente.

15. Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo numero, que se
escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables
independientes (x, y, z, ...).
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables
independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables
independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en
forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una
formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).
Funciones de varias variables

16. Dominiode funciones de variasvariables
Entendemos como dominio de una función de varias variables aquellos puntos del espacio
origen para los cuales la función puede evaluarse.
Vemos que si queremos evaluar la función para el caso (x,y)=(0,0) no podemos, puesto que
nos encontramos con una división por cero que no puede efectuarse. Por lo tanto observamos
que existe un punto para el cual la función no es evaluable. En este caso diremos que
el dominio de la función es el conjunto de los puntos del espacio R2 excepto el origen de
coordenadas (0,0).

17. Ejemplo:

18. Ejemplo:

19. Ejemplo:

20. La geometría del espacio (también llamada geometría espacial) es la rama de la
geometría que se encarga del estudio de las figuras geométricas voluminosas que
ocupan un lugar en el espacio; estudia las propiedades y medidas de las figuras
geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre estas figuras,
también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la
esfera, el prisma, los poliedros regulares (los sólidos platónicos, convexos, y los sólidos
de Kepler-Poinsot, no convexos) y otros poliedros.
Geometría del espacio

21. Superficie esférica.
Una esfera o superficie esférica es el lugar geométrico de los puntos de coodenadas (x,
y, z) del espacio cuya distancia a un punto fijo C(a, b, c) que es el centro de la esfera, es
una cantidad constante r > 0 , es decir, el radio de la esfera.

22. Superficie cilíndrica.
Un cilindro es una superficie compuesta que:
1.Son paralelas a una recta dada en el espacio.
2.Pasan por una curva plana dada; la curva es una curva generatriz para el
cilindro.
En geometría sólida, donde cilindro significa cilindro circular, las curvas
generatrices son círculos, pero ahora consideraremos curvas generatrices de
cualquier clase.
Las secciones cónicas son de tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas, que
sirviendo de directrices, originan tres tipos de superficies cuádricas cilíndricas.

23. La diferencia con la superficie anterior está en que en lugar de tener una base circular,
tiene una base elíptica. Se consigue haciendo deslizar una parábola variable sobre
una elipse Las ecuaciones paramétricas contienen los parámetros p, q y h que nos
permiten variar, de forma independiente, las dimensiones en las tres direcciones del
espacio.
Paraboloide
Cuando hacemos girar una parábola alrededor de su directriz obtenemos una superficie
abierta denominada paraboloide de revolución. Sus ecuaciones paramétricas son:

24. Es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son
elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos.
Elipsoide.
Cuando dos de las tres constantes son iguales se trata de un elipsoide de revolución;
cuando el eje de rotación es el eje mayor se llama elipsoide alargado de revolución ; si el
eje de rotación es el eje menor se denomina elipsoide achatado de
revolución .nombrado raramente como esferoide ; en el caso de que a = b = c, es una
esfera .

25. La hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola
alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el
hiperboloide puede ser de una o dos hojas.
Hiperboloide

26. Ejemplo función varias variables (1)

28. Ejemplo función varias variables (2)

30. Ejemplo función varias variables (3)

31. Link de videos
https://www.youtube.com/watch?v=gi0xbcLt7aM
Transformación de coordenadas esféricas y cilíndricas
https://www.youtube.com/watch?v=W0NiGCpvCPs&t=1s
Coordenadas Cilindricas y Esfericas - Calculo Integral
https://www.youtube.com/watch?v=b_Affw5ArMY
Dominio, rango y gráfica de una función en varias variables

32. Gracias a el aprendizaje de cada una de las funciones y, se puede concluir en que
son muy importantes, de mucho valor y utilidad para la solución de problemas de
la vida diaria, así como, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de
ingeniería, de química y física, y de cualquier área social donde haya que
relacionar variables.
conclusión

33. http://www4.ujaen.es/~ajlopez/asignat/ampliacion/Tema%201.pdf
función varias variables
http://www.estudiantes.info/matematicas/geometria/2-
eso/cilindros,%20conos%20%20y%20%20esfera.htm
Cilíndros, Conos, Esferas - Desarrollo
https://campusdematematicas.com/calculo-infinitesimal/dominio-de-funciones-
de-varias-variables/
Dominio de funciones de varias variables
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/funciones-de-varias-
variables
Funciones de varias variables
bibliografía