Este documento describe las características de las funciones exponenciales f(x) = ax, donde a es la base. Explica que cuando a > 1, la función es creciente y asintótica al eje x, mientras que cuando 0 < a < 1 es decreciente y también asintótica al eje x. También define la función exponencial natural f(x) = ex y explica cómo el número e surge al estudiar esta función. Por último, analiza la relación entre las funciones exponenciales y logarítmicas, y cómo la función logarítmica es la in

1. Función exponencial
Profesor: Víctor Pino Bórquez

2. Función exponencial

3. Observa las siguientes gráficas para determinar las
características de esta función.
• Caso I. Función exponencial f(x) = ax, con a > 1.
• En el mismo sistema de coordenadas graficaremos las
siguientes funciones:

4. Antecedentes a considerar
a) La curva asociada a la función exponencial f(x) = ax, para
los valores de a: 2, 4, 9 y 100, intersecta al eje de las
ordenadas (Y) en el punto (0,1). No hay intersección con
el eje X.
b) El dominio de la función son todos los números reales.
c) Su recorrido son los números reales positivos.
d) La función es creciente para todo valor de x.
e) Es asintótica al eje X.

5. • Caso II. Función exponencial f(x) = ax, con 0 < a < 1.
Graficaremos en el mismo sistema de coordenadas las
siguientes funciones:

6. Antecedentes a considerar
a) La curva asociada a la función exponencial f(x) = ax, con
0 < a < 1, intersecta al eje Y en el punto (0, 1). No hay
intersección con el eje X.
a) La función es decreciente para todo valor real de x.
b) Los números reales son el dominio de la función; y el
recorrido, los reales positivos.
c) Es asintótica al eje X.

8. Caso particular
Si la base de la función es el número real 1, la función es
f(x) = 1x.
Se observa que para todo valor real de x se tiene que
f(x) = 1, de lo cual resulta una recta paralela al eje de las
abscisas X, es decir, se trata de una función constante, por
lo que no se habla de una función exponencial.

9. • En resumen:

10. Aproximándonos al número e
El número e surge del estudio de la función definida por
, donde x es un número positivo.

11. Estudiaremos los valores de la función a medida que x aumenta.

12. A considerar
Como observas, a medida que los valores de x aumentan,
el valor de la función f(x) se aproxima al valor 2,71828… O
dicho de otra forma, a medida que los valores de x se
hacen cada vez más grandes, la función f(x) se aproxima al
número e.
El gráfico de la función muestra que f(x) tiende a
estabilizarse en la medida en que x aumenta.

13. Función exponencial natural
Una función exponencial especialmente importante es
f(x) = ex, cuya base es el número irracional e, y x
perteneciente a los números reales. Para estudiar f(x) = ex
graficaremos las siguientes funciones:
x
f ( x) ex g ( x) e

14. En resumen:

15. Función exponencial y función logarítmica
Dada y = bx, determinemos la función inversa de y, para b > 0,
b = 1, para esto debemos despejar x en función de y.

17. Para realizar un mejor análisis graficaremos ambas funciones.
Caso I: Si b > 1 Caso II: Si 0 < b < 1
En síntesis:
• Ambas funciones son simétricas con respecto a la recta y = x.
• El dominio de la función logarítmica es el conjunto de los reales
positivos, lo cual corresponde al recorrido de la función exponencial.
• El recorrido de la función logarítmica es el conjunto de los números
reales y corresponde al dominio de la función exponencial.

18. Caso particular:
• La función inversa de y = ln x
• Si y = ln x ⇒ y = loge x, luego, por definición de logaritmo se
tiene que ey = x.
• Por lo tanto, y-1 está dada por la función y = ex.

19. Ecuaciones exponenciales

20. Ejemplo 1:

21. Ejemplo 2: