Geometria Analitica Eduardo Espinoza.pdf

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GEOMETRIA ANALITICA
PLANA
TEÓRICO - PRACTICO
• GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN
• LA RECTA
• LA CIRCUNFERENCIA
• LA PARÁBOLA
• LA ELIPSE
• LA HIPÉRBOLA
• LUGAR GEOMÉTRICO
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
LIMA-PERU

PROLOGO
La presente obra titulada “Geometría Analítica Plana’’ en su tercera edición,
contiene esencialmente los temas que generalmente se desarrollan en los primeros
cursos de matemática de las diferentes Universidades del País, así como, también de los
institutos superiores.
En el presente trabajo se expone en forma Teórica y Práctica en donde en cada
capítulo comienza con enunciados claros de las definiciones y teoremas junto con sus
respectivos ejemplos, seguido de una colección de problemas resueltos y problemas
propuestos, los problemas resueltos sirven para ilustrar y ampliar la teoría.
Se empieza el estudio del sistema coordenado unidimensional, en donde se
de la distancia entre dos puntos, división de un segmento en una razón dada, la
y sus ecuaciones, discusión de las gráficas, rectas paralelas y perpendiculares,
distancia de punto a recta, ángulo entre dos rectas, etc., eri los siguientes capítulos se
estudia la circunferencia, la parábola, elipse e hipérbola y lugares geométricos, sus
ecuaciones y rectas tangentes y normales.
Deseo expresar mis más profundos agradecimiento a mis colegas de las
diversas Universidades de la capital, quienes con su apoyo moral y sugerencias han
hecho posible la realización de la tercera edición de este libro Titulado Geometría
Analítica Plana.
Agradezco por anticipado la acogida que brinden a la presente obra.
EDUARDO ESPINOZA RAMOS

DEDICATORIA
Este libro lo dedico a mis hijos.
RONALD, JORGE y DIANA
Qüe Dios ilumine sus caminos para que puedan ser Guías de sus Prójimo

PRESENTACIÓN
La presente obra titulada GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA, del autor
EDUARDO ESPINOZA RAMOS, es en líneas generales una edición revisada,
corregida y aumentada.
El presente libro pretende dotar a los estudiantes de Ingeniería y Ciencias, de
un texto didáctico y dinámico, en que el autor se ha esforzado en satisfacer las
necesidades de maestros y alumnos. Se supone que los alumnos deben estar dotados de
los conocimientos básicos de Geometría Elemental, Trigonometría y Algebra.
El autor desarrolla y analiza los conceptos básicos necesarios para su
aplicación de las diversas especialidades de Ingeniería y Ciencias, de tal forma que el
estudiante disponga de una herramienta de trabajo práctico y comprensible.
Por otra parte, ios frecuentes ejemplos y problemas resueltos que incluye en su
obra, contribuyen a hacerla más interesante y clara.
Conozco muy de cerca las cualidades académicas del autor EDUARDO
ESPINOZA RAMOS, por haber ejercido la docencia juntos en las mismas
Universidades del sistema. Se trata de un docente estudioso, investigador y productor
intelectual que incursiona con gran éxito como escritor de muchas obras de su
especialidad.
Finalmente, expreso que la presente publicación es guía y orientación de útil
aprovechamiento para los profesores.
Ing. EDUARDO BULNES SAMAME
Jefe del Departamento Académico de
Ciencias U.R.P.

INDICE
CAPITULO I
1 SISTEMA COORDENADO LINEAL 1
1.1. Introducción 1
1.2. Segmento Rectilineo dirigido 1
1.3. Teorema 2
1.4. Sisten’ ; (?oordenado Lineal 3
1.5. Teorema 4
1,6. Teorema 6
1.7. Ejercicios Desarrollados 7
1.8. Ejercicios Propuestos 1
CAPITULO II
SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL 15
2.1. Introducción
2.2. Distancia entre dos puntos
2.3. División de un segmento en una razón dada
2.4. Ejercicios Desarrollados
2.5. Ejercicios Propuestos
2.6. La Recta y sus Ecuaciones
a) Definición
b) Pendiente de una Recta
c) Teorema
2.7. Ejemplos de Aplicación
15
16
18
20
30
34
35
35
36
37

GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN
CAPITULO IV
LA LÍNEA RECTA
3.1. Introducción 39
3.2. Discusión de la Gráfica de una Ecuación E(x,y) = O 41
!° Intersección con los Ejes Coordenados 41
2° Simetrías 42
3®Extensión 46
4° Asíntotas 48
3.3. Ecuaciones Factorizables 51
68
4.1. Forma de la Ecuación de la Recta 68
a) Forma Punto - Pendiente 68
b) Forma Cartesiana 69
c) Forma Pendiente - Ordenada en el Origen 70
d) Forma Simétrica 71
4.2. Forma General de la Ecuación de una Recta 73
4.3. Rectas Paralelas y Perpendicular 74
4.4. Distancia de un Punto a una Recta 79
4.5. Familia de Rectas 82
4.6. Angulo entre dos Rectas 85
4.7. Area de un Triángulo conociendo las coordenadas de sus vértices 87

4.8. Forma Normal de la Ecuación de una Recta 89
4.9. La Bisectriz de un Angulo 91
4.1!. Ejercicios Propuestos 132
4.12. Aplicaciones de las Gráficas Rectilíneas en Administración y Economía 154
A) Gráficas Lineales de Oferta y Demanda 154
B) Gráfica Lineal de ia Demanda 156
4.13. Equilibrio de Mercado 156
CAPÍTULOV
LA CIRCLTVFERENCIA 172
5.1. Definición 172
5.2. Elementos de la Circunferencia 172
5.3. Formas de la Ecuación de la Circunferencia 173
A) Forma Ordinaria 173
B) Forma Canónica 174
C) Forma General de la Ecuación de una Circunferencia 175
5.4. Determinación de una Circunferencia sujeta a tres condiciones dadas 179
5.5. Familia de Circunferencia que pasan por la Intersección de dos
Circunferencia dadas 180
5.6. Tangente a una Circunferencia 183
5.8. EjercicioE Propuestos 213

6 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
CAPITULO VII
LA PARABOLA
6. l. Traslación de Ejes 232.
6.2. Rotación de Ejes 234
6.3. Uso del Discriminante 244
248
7.2. Elementos de la Parábola 248
7.3. Formas de la Ecuación de la Parábola 249
1° Ecuación de la Parábola de Vértice en el origen y eje Focal
el EjeX 249
2° Ecuación de la Parábola de Vértice en el origen y eje Focal
el Eje Y 252
3° Ecuación de la Parábola de Vértice V(h,k) y eje Focal paralelo
al eje X 254
4° Ecuación de la Parábola de Vértice V(h,k) y eje Focal paralelo
al eje Y 257
7.4. Ecuación General de la Parábola 259
7.5. Ecuación de la Tangente y la Normal a la Parábola 268

8 ELIPSE
CAPITULO IX
8.2. Elementos de ia Elipse 301
8.3. Formas de la Ecuación de la Elipse 302
1° Ecuación de la Elipse de centro del origen y eje Focal el eje X 302
2° Ecuación de la Elipse de centro del origen y eje Focal el eje Y 304
3° Ecuación de la Elipse de centro al punto Cíh,k) y eje Focal
paralelo al eje X 306
4° Ecuación de la Elipse de centro al punto C(h,k) y eje Focal
paralelo al eje Y 308
8.4. Ecuación General de la Elipse 311
8.5. Tangente a una Elipse 312
9 LA HIPÉRBOLA 335
9.2. Elementos de la Hipérbola 336
9.3. Formas de la Ecuación de una Hipérbola 337
1° Forma Canónica 337
9.4. Asintota de una Hipérbola 341
2° Forma Ordinaria 342
9.5. Ecuación General de la Hipérbola 345
9.6. Hipérbola Equilátera 0 Rectangular 346
9.7. Hipérbola Conjugada 347
9,8. Tangente a una Hipérbola 347

9.9. Propiedad intrínseca de la Hipérbola
9.10. Ejercicios Desarrollados
9.1!. Ejercicios Propuestos
350
352
361
CAPITULO X
10 LUGARES GEOMÉTRICOS
10.1. Problemas sobre Lugares Geométricos
10.2. Problemas Propuestos
371
372
377

CAPITULO 1
1. SISTEMA COORDENADO LINEAL.-
1.1. INTRODUCCION.-
Objetivo fundamental de la geometría analitica consiste en crear
representaciones visuales de los conceptos matemáticos mediante el uso de los
sistemas de coordenadas, por ejemplo; el sistema de coordenadas que
utilizamos para representar a los números reales, se llama recta real ó eje X.
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
El sentido positivo {hacia la derecha) se señala con una flecha e indica ei
sentido de los valores crecientes de x.
l J . SEGMENTO RECTILINEO DIRIGIDO.-
A la porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama
segmento rectilíneo o simplemente segmento, a los dos puntos se llaman
extremos del segmento,
A___________________ B ............^
X , ,
Así en la figura AB es un segmento cuyos extremos son A y B.
La longitud del segmento AB se representa por A B .
Toda recta en el cuál se ha fijado un sentido positivo, y como consecuencia el
opuesto negativo se llama segmento orientado o recta orientada.

B
Sea el segmento AB orientado, leído así positivamente y debe entenderse que
el segmento es recorrido desde el punto A llamado origen o punto inicial al
punto B llamado extremo. En geometría elemental, las longitudes de los
segmentos AB y BA son los mismos, sin embargo, en geometría analítica se
hace una distinción entre tos signos de estas longitudes. Así, el segmento
dirigido en el sentido de AB será considerado de longitud positiva y el
segmento dirigido en el sentido BA será considerado de longitud negativa y
escribiremos así:
AB = -BA
de donde: AB +BA = 0
Si A, B y C son puntos cualquiera de una recta orientada siempre se cumple
que:
B
AB +BC +CA = 0
AB +BC = AC = -CA
13. TEOREMA.-
AB + BC +CA = 0
Cualquiera que sea la posición de tres puntos A, B y C de una misma recta, se
verifica siempre la relación.
A C = A B + B C
Demostración

El número de ordenamiento posibles de los puntos A, B y C sobre una misma
recta es 3! = 6, de los cuales dos mostraremos en la figura siguiente:
C B C A B
En la figura de (a) se tiene: /IC + C5 = AB
Pero de la relación de (a) se tiene CB - -B C
entonces A C -B C = AB, de donde AC = AB-i-BC
ahora en la figura (b) se tiene: AC = AB + BC
pero CB = -B C , CA = -A C
dedonde -B C =-A C +AB
I c ^ I b + I c
Las otras posiciones de los puntos se deja como ejercicio
1.4. SISTEMA COORDENADO LINEAL.-
A la correspondencia que existe entre puntos de una recta y los números reales
se denomina sistema coordenado lineal.
Esta correspondencia es única, es decir: que a cada número x le corresponde
uno y solamente un punto sobre la recta.
Consideremos una recta X' X cuya dirección positiva es de izquierda a
derecha y sea “O” un punto fijo sobre ésta recta.
X ’-----------------•
----------------------------•
-----------------
O A
Si A es un punto de X 'X distinto de O y situado a la derecha, la longitud OA
puede considerarse como una unidad de longitud, el punto O se llama origen de
coordenadas y su coordenada es igual a cero.

El símbolo P(x) indica que el punto P tiene ia coordenada x.
Si Pi(x¡) y Pyixr) , son dos puntos arbitrarios de ia recta X ' X , la fórmula:
P^P, -X 2 -X, ... {*)
expresa la magnitud del segmento P,P-,.
La fórmula: /¡A != iA
S -A-|
expresa la longitud del segmento •
1.5. TEOREMA.-
En un sistema coordenado lineal, la distancia dirigida entre los puntos P^(x^ ) y
sobre una recta está dado por:
(l(P,,P-i) = X-,-X,
Demostración
Sean /J{A|) y ^('^'2 ) dos puntos cualquiera de la recta dirigida A''.^V' .Porel
teorema 1.3 se tiene:
X’-
OP^+P^Py^OP, => P¡P.=OP-y-OP,
d{P^,P,) = d{0,P,)-cl(0,P,)

OBSERVACION:
La distancia dirigida entre dos puntos de un sistema coordenado lineal se
obtiene restando la coordenada del origen de la coordenada del extremo.
Cuando la distancia de a Piixy) está en el sentido positivo
jT
i < Xj entonces; Xj - jr, es un número positivo.
Pi(x,) O Pj(X,)
Cuando la distancia de a Pi{x2 ) está en el sentido negativo,
x, < jf| entonces as - .v, es un número negativo.
^2^X
2) O Pii**!)
En un sistema coordenado lineal, la distancia no dirigida entre dos puntos
se define como el valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que
une estos dos puntos.
í/(/],P2) = 1-V2--V| | = |.t|-X 2 !
Ejemplo.-
Trazar sobre un sistema coordenado lineal los puntos A(-3), B{yji) , C(7).
Solución
A O B_______ C
X' -3 0 7 X
Hallar la distancia dirigida y no dirigida para cada uno de los puntos y A
dados.

a) /^{-12). P,(3)
Solución
Pi p P2
X ^
-12 O 3
d(P^,P2 ) = ì - ( - 2 ) = 5 distancia dirigida
í/(/Í,P2 ) = |3 -{ -I2 )| = 15 distancia nodirigida
b) P^{-4), P,(-9)
Solución
P P
2 V1
'' r9 -4 o
d{P¡,P2 ) = -9 -(-4 ) = -5 distancia dirigida
í/(/5,^2 ) = ! ~ ("4) I= I-5 i= 5 distancia no dirigida
1.6. T E O R E M A .-
En un sistema coordenado lineal /|(.v¡) y P2 (x2 ) son los puntos extremos
dados de un segmento dirigido. Demostrar que la coordenada x del punto P
que divide ai segmento P^P¡ en la razón dada
Demostración
Consideremos la siguiente figura,
2 ---------------------- £-----Sí_____ .
X' O X, X X2 X

Como r =
pp-,
...(O
La longitud del segmento dirigido PP es:
...(2 )
La longitud del segmento dirigido PPy es:
PP-,=OPy-OP => PP-,=x-,-x ... (3)
reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene: r =
Y-.V,
A, - A
-
despejando algebraicamente x tenemos:
r(At - jc) = A
' - A
‘| => (I+ /•)a
' = A
| + a s
dedonde x = . r^-1
1+ r
1.7. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
Ubiquemos sobre una recta X cuatro puntos consecutivos A, C. D y B siendo D
punto medio d e /Ifi, demostrar que CD = -^(CS - .4C).
Solución
C D B
Aplicando el teorema 1.3 se tiene;
A D ^ A C +C D ,á c donde: CD = AD - A C

aplicando el teorema 1.3: CB = CD +DB de donde CD = CB~ DB ... (2)
ahora sumando ( 1) y (2): 2CD = A D + C B -A C -D B
como D es punto medio de AB entonces AD = DB
2CD = C B -A CD =-(C B -A C )
Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido cuyos
extremos son los puntos /]{-8)y PjílO)
Solución
Sean /1{.V|) y B(xj) los puntos de trisección y M(x) el punto medio del
segmento P^P,
^ 'y*_________ B P2
X' -8 x, X Xj 10 X
Como M es punto medio de y F ,, ,r = = I
Por lo tanto el punto medio es M( 1)
Calculando x, : r = 3Ú: = = - , por el teorema 1.6 se tiene:
AP, 2P^A 2
•V
, = --------j— = — ;— = -2 por lo tanto A(-2)
1+1
2 2
P B 2BP
Calculando x-,: r = ■== = = 2, por el teorema 1.6 se tiene:
BP2 BP,

-8 + 2(10) -8 + 20 12 ,
-v, = — j—^— = — -— ~ ^ ~ ^ por lo tanto B(4)
por !o tanto, los puntos pedidos son; A(-2), B(4), M(l)
Los extreríios de un segmento dirigido son los puntos f¡(9) y Hallar
p p
la razón r = -=Lr donde el punto P(7) divide a éste segmento.
PP,
Solución
Trazamos los puntos en el sistema lineal
^2 O p , P,
X' -4 O 7 9 X
P P
De la figura se tiene; r-^J= r ...(1)
PP,
Calculando las longitudes de los segmentos dirigidos PyP, PP,
p,P = P - p ,= '] - { - 4 ) = ]]
^ ‘= /> -P = 9 -7 = 2
...(2)
P P
[ ]
reemplazando (2) en (1) se tiene: r =^Á=r =— entonces: r = —
PP, 2 2
Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento dividido en
tres partes iguales por los puntos P(-25) y Q(-9).
Solución
Q
X’ X, -25 -9 Xj X

Calculando la coordenada de A
El punto P es punto medio de A y Q
AP = PQ => P -A = Q -P
-25-a-, = -9 -(-2 5 ) => X i= -4 ; A(-41)
Calculando la coordenada de B
El punto Q es punto medio de P y B
PQ = QB => Q - P = B - Q
-9 -(-2 5 ) = .V
, - (-9) ^ a
-2 = 7, 8(7)
© El segmento que une los puntos A(-2) y 8(4) se prolonga hasta un punto P(x)
de modo que: /IP = 3 5 P . Hallar la coordenada del punto P.
Solución
A B P
X- ;----------- -— -------- '-------------X
-2 4 X
= 35P aplicando (*) se tiene:
P - A = 3(P -B ) => x -(-2 ) = 3(x-4)
x + 2 = 3 x -1 2 => x = 7 dedonde P(7)
Un móvil A situado sobre un segmento dirigido a 12 mts del origen, se
desplaza a razón de 8 m/min en el sentido negativo del eje y otro B situado a
-8 mts, se desplaza en el mismo sentido con una velocidad de 3 m/min.
Calcular la abscisa del punto de encuentro de los dos móviles.
Solución

B
8 J ►
X
La distancia que separa a los móviles de A y B es:
d = |-8-12! = i-20| = 20mts.
en cada minuto el mó il A descuenta 8 - 3 = 5 ra
Luego para descontar los 20 mts. de ventaja que le lleva B ^ necesario que
transcurra 20/5 = 4 minutos, finalmente el punto M, punto de encuentro de
ambos será; su abscisa actual más lo que recorre en 4 minutos o sea;
EnB: -8- ■
4x3 --8 - 12 =-20
En A: 12-4x8 = 12 - 32 =-20
Por lo tanto la abscisa es: -20
1.8. EJERCICIOS PROPLESTOS.-
Si A, B, C y D son cuatro puntos distintos cualesquiera de una recta dirigida,
demostrar que, para las coordenadas posibles de estos puntos sobre la recta, se
verifica la igualdad: AB + BC +CD = AD
© S iA ,B ,C y E; son cuatro puntos de una recta dirigida de modo que AB = B C ,
CE = 2AC y A D ~ - A E . Demostrar que: AD = AB+AC
Si A,B,C y D son cuatro puntos consecutivos de una recta dirigida y si E y F
son puntos medios de AB y CD . Demostrar que: EF = ];^{AC +BD}

Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido cuyos
extremos son los puntos/^(-7) y P,(-19). Rpta. (-15), (-11), (-13)
® Un extremo de un segmento dirigido es el punto P{-8) y su punto medio es
M(3). Hallar la coordenada del otro extremo. Rpta. (14)
® En un segmento rectilíneo limitado por los puntos A(-4) y B(2) se prolonga
hasta el punto P, de modo que; 5d(A,B) = 2d(A,P). Hallar la coordenada del
2 18
punto Q(x) que divide al segmento PB en la razón ~ • Rpta. ^
Los extremos de un segmento dirigido son los puntos /}(4) y P2(-2) . Hallar
P P
la razón -J=r, en que el punto P(7) divide a éste segmento. Rpta. -3
PP
Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento dividido en
tres partes iguales por los puntos P(-l 7) y Q(-5). Rpta. A(-39), B(7)
® Sean A(5) y B(-3) puntos sobre la recta. Si N(x^ ) es el simétrico de A respecto
de B y A/(.ti) es el simétrico de B respecto de A. Hallar .v, + x-,.
Rpta. 2
En la figura:
A ~ B i r C D
M es punto medio de A D , si MC - MB = 2 y AC + BD = 24, hallar AD
Rpta. 22
Sean A, B, C y D puntos colineales y consecutivos, si BC - AB = 10 m y
BD = 30 m. Hallar la distancia en los puntos medios de AC y B D .
Rpta. 10 m

Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D; siendo C punto
medio de . Si BD - AB = 12, hallar BC. Rpta. 6
Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B y C. Si M es el punto
medio de BC y AM = k, calcular: AB' + A C ' +2AC.AB. Rpta. 4 k’
Dados los puntos consecutivos A, B, C, D y E, en la recta L tal que C es punto
medio de ^ y AD.CE = CD.(2BE + AC). Hallar AE si BE = 45 m y
BD = 2AB. Rpta. AE = 54 cm
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C de tal forma que
AB - BC = 24 m, hallar la medida del segmento que tiene conio extremo el
punto B y al punto medio del segmento que une los puntos medios de AB y
BC Rpta. 6 m
Sobre una recta se ubican 6 puntos consecutivos A, B. C. D, E y F tal que
AD Dp I
AC + BD + CE + DF = 30y — = — = -,H allar AB. Rptk. AB = 2
EF lA F 4
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos O, A y B. Si M es el punto
— ,
medio de calcular OAÍ' Rpta. +OA.OB.
En una recta se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D tal que
BD AD
— = — = 4, Hallar AD si BC = 33 cm. Rpta. AD = 60 cm
A B C D ^
Sobre una recta viga de 50 cm de longitud se dan 4 cortes, los cuales
determinan segmentos cuyas longitudes están en progresión aritmética. Si estas
longitudes es el cuadrado de la menor, cuanto mide el segmento menor.
Rpta. 4 cm

^ Sobre un listón de madera se dieron dos cortes obteniéndose pedazos de
madera tal que a partir del segundo, cada pedazo tiene por longitud la mitad del
antericM- inmediato aumentado en 10 cm. Si el último pedazo mide 40 cm
¿Cuánto mide el listón?. Rpt». 200 cm
^ Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que ^
y 2AB + AD = 18 m, Hallar AC. Rpta. AC = 6m
Dados los puntos consecutivos P, Q. R y S en la recta L, PQ = 3cm,
RS = 1 cm. Hallar la distancia entre los puntos medios de PR y Q S , si ambas
están entre Q y R. , Rpta. 2cm
Sobre una recta se ubica los puntos consecutivos A, B, C y D tal que
AB.CD = AD.BC y ------ ^ . Hallar el valor de k ..Rpta. k = 2
AC AB 6AD
(2^ En una recta se tienen los puntos P, Q, R y S tal que:
1 1 2
+ — = — , calcular
PQ PS- PR
la longitud QR sabiendo que: PQ = 4 m y R S = 6m. l^ ta . QR = 2m
En el segmento AB se toman los puntos /*,, A ,P„ tales que A P¡= ^AB ,
AP, = - A B , A P y= -A B y así sucesivamente, calcular:
3 4
AP,+-AP■,+-AP■^+...^-AP,. .R pta. i— )AB
2 ' 3 ' n n+1

CAPÍTULO II
2. SISTEMA DE COORDENADAS BIDIMENSIONAL.
2.1. INTRODUCGIÓN.-
Consideremos dos rectas reales, una horizontal y la otra vertical, de tal manera
que se intercepten en el punto cero de las dos rectas.
La recta horizontal y vertical se llaman ejes coordenados y a su intersección
denotaremos con “O” y se llama origen, por conveniencia la línea horizontal se
llama eje de las X o abscisas y la línea vertical se llama eje de las Y u
ordenadas; los ejes coordenados X e Y dividen al plano cartesiano en cuatro
regiones llamadas cuadrantes que marcaremos con I, II, 111 y IV como se
Tiuestra en la figura.
1
1
Y
1
X’ 0 X
III IV
Y’
A cada punto P del plano se le puede asignar un par ordenado de números
reales llamadas “coordenadas cartesianas” del punto. v
Si una recta horizontal y una vertical que pasan por P interceptan al eje X y al
eje Y en “a” y “b” respectivamente, entonces el punto P tiene por coordenadas
(a,b) que llamaremos par ordenado de números reales, en donde, el primer
número “a” es la coordenada X (o abscisa), el segundo número “b”, es la
coordenada Y (u ordenada).

^ P (a.b )
Recíprocamente, ai tomar un par ordenado de números reales cualquiera (a,b).
La línea vertical que pasa por “a” en el eje de las X y la horizontal que pasa por
“b” en el eje de las Y se cortan en un punto P cuyas coordenadas son (a,b).
2.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO.-
a) TEOREMA.- La distancia entre dos puntos /^(X|,j,) y P>{x-,,y,)
representado por /*, ) es dado por ia fórmula:
d{Pi,Pv) =
Pemostracián
Consideremos los puntos /j(x,, v,) y Pi(xi,y2 ) como se puede observar en la
figura

El segmento /j?2 es la hipotenusa del triángulo rectángulo A P^AP^. Luego
por el teorema de Pitágoras se tiene:
d(P„P,) = ^cl{P,A)-+d{A,P.)-
como;
d(P,,A) = x2~x, I
d{A,P2) = }'2-yi
...(2 )
ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene:
d{P],P2)-'¡(Vj - V|)' + (y, - V
i )■
OBSERVACIÓN.- Como caso particular, la distancia del origen a cualquier
punto P(x,y) de R ' es expresado por:
d(0,P) = ^ x ' + /
Ejemplo.- Detenninar un punto en el eje de las X que sea equidistante de
los puntos A(0,4) y B(-3.-3).
Solución

Sea C(x,0) el punto equidistante de los puntos A(0,4) y B(-3,3) entonces:
d(A,C) = d(B,C) jx~ + {0 -4 )‘ = y¡{x+i)' +3" , elevando ai cuadrado
-t-+16 = x-+6.r + l8 => 6x = -2 => x = - ~
2.3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA.-
a) TEOREMA.- Si /|(.V|,_V|) y P,(^2'>'2) son los extremos del segmento
P¡P2 , las coordenadas del punto P{x,y) que divide a
P P
éste segmento en la razón dada r ==L= son:
PP-,
X|+rí2 V|+rv7 ,
1+r 1+r
Demostración
Consideremos la siguiente figura:
En la figura se tiene que: áP^DP^APFPy
Para calcular la abscisa x de! punto P. tenemos que;

P,D _P,P
PF PP,
- r
como:
PF = A
S - X
...(2)
por lo tanto al reemplazar (2) en {1) se tiene;
X-A",
A-, - A
- = r , de donde al despejar x se tiene:
x,+rx.
x = —------
1+ r
para calcular la ordenada Y del punto P, tenemos que:
FP-, PP-,
como:
D P ^ y - y ,
í'P 2 = y2 -y
por lo tanto al reemplazar (4) en (3) se tiene:
y —
y.
= r , de donde al despejar y, se tiene:
V j - y
J i+ m
r# - l
I + r
... (3)
... (4)
OBSERVACIÓN.-
(T ) Si r > o, el punto P(x,y) está en el interior deÍ segmento'
Si r < O, el punto P(x,y) está en el exterior del segmento P^P, ■

b) COLORARIO.- Si P(x,y) es el punto medio del segmento que une los
puntos /¡(.Y}, Vj) y A (^2 entonces la razón
r = -
PP.
= 1 y las coordenadas del punto P(x,y) son p ( i í ^ , 2 1 í 2 l )
Ejemplo.- Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de un segmento. Hallar las
AP 1
coordenadas del punto P(x,v) donde = = -
PB 3
(T ) Un segmento tiene una longitud de 29 unidades, si el origen de éste segmento
es A{-8,10) y la abscisa del e^ítremo de! mismo es 12, calcular ia ordenada.
Solución

Los extremos del segmento son A{-8,10) y B( 12,4)
Por condición del problema: d(A,B) = 29
Aplicando la distancia entre dos puntos se tiene;
■^(12-(-8))“ +(>’-10)" = 29 => 1/ 20 ’ +( v-10)‘ = 29 elevando ai cuadrado
400 + _v^-20y + 100 = 841. simplificando
y --2 0 j-3 4 1 = 0 {v-10)-= 44I
y= 10± 21 entonces V| =31, vs =-11
por lo tanto las ordenadas de los extremos son - 1 1y 31 (dos soluciones)
La ordenada de un punto es 8 y su distancia al punto B(5,-2) es . Hallar
la abscisa del punto.
Solución
Sea A(x,8) donde la abscisa es la incógnita, por condición del problema
d{A,B) = 2y¡4 aplicando la distancia entre dos puntos se tiene:
y¡{x-5)~ + (8 -(-2 ))' = 2y¡4 elevando al cuadrado
(a--5)- + 10-=4(41) =5 í.v-5)-= 64
X- 5 = +8 de donde .v, =13, Xi = -3
Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3,-1). (0,3),(3,4),(4.-l ).
Solución
P = di A.BÌ + d(B,C) + d(C.D) + d(D,A) ... (1)

©
©
(I{A.B) = ^|9 +Ò = 5
íl(B,C) = y¡^i= yJiÓ
</{C.fi) = ^/í+25=^/26
d{D,A) = yj49+0 = l
reemplazando (2) en (1) se tiene:
P = 5+>/ÍÓ + >/% + 7 - 5 + 3.162 + 5.099 + 7 = 20.26
Si P(a,a + !) es un pumo que equidista de A(2,l) y B(-6,5). Hallar el valor de a.
Solución
Si P es punto equidistante de A y B, quiere decir que: d(P.A) = d(P.B)
ahora aplicamos el concepto de distancia entre dos puntos
- 2)- + (a + 1- 1)- = + 6)' + (« + 1- 5)'
(a - 2}~ + = (a + 6)’ + (« - 4)'
a ' -4 a + 4 + a" =a~ +l2a + 36+rt‘ -8í/ + 16
simplificando se tiene; 8a = -48 => a = -6
Determinar las coordenadas del punto que equidista de los puntos A(l,7),
B(8,6).C(-7,-l).
Solución
Si P(x,y) es un punto equidistante de A(1.7), B(8,6) y C(-7,-l) esto quiere
decir; d{P,A) = d(P,B)-d(P,C)
Luego de d(P,A) = d(P.B) se tiene;

[(x -)' +{}■-!)' =yJ(x-S)' + (y -6 )' , de donde elevando al cuadrado y
simplificando se tiene; 7x - y = 25
ahora de d{P,A) = d{P,C) se tiene;
•J(x-l)' + (y -7 )‘ =-^(.v + 7)' + (r + l)" . de donde elevando al cuadrado y
simplificando se tiene: 3x - 4y = O ... (2)
al resolver el sistema de ecuaciones se tiene:
(7A -y = 25 í.v = 4
b .r - 4 y = 0 ^ |>- = 3
por lo tanto el punto pedido es P(4,3)
Demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son A(-6,-2), B('2,-l), C('K3),
D(>5,2) es un rombo.
Solución
Si se prueba que d(A,B) = d (B D = d(C,D) = d(D,A) y d(A,C) ^ d(B,D),
entonces el cuadrilátero es un rombo.
d(A,B) = yl]6 + -^ylvj
= y/TTÍ6 = n/Í7
<¡{C,D) = y lM = ^ ¡ V Í
d(D ,A)= 1+ 16= 17
d(A.C) = yl25 + l5=Sy¡2
^(S.O ) = > / ^ = 3>/2

Se observa que d(A,B) = d(B,C) = d(C,D) = d{D,A) y d(A,C) ^ d(B,D) por lo
tanto el cuadrilátero es un rombo.
© Demostrar que los puntos A(3,8), C(-8,-2) son los vértices de un
triángulo isósceles.
SjDlgQÓn
Si se demuestra que la medida de dos lados del
triángulo son iguales el triángulo es isósceles.
íl{A,B) = V (3+ll)‘ +{8-3)- = Vi 96+25 =
©
d(B, C) = ^(-8 + II)- + (-2 - 3)- = >/9+"25 =
Como d(A,B) = d(A,C) entonces el triángulo es isósceles
El segmento limitado por los puntos A(l,-3) y B{4,3) ha sido dividido en tres
partes iguales, determinar las coordenadas de los puntos de división.
Solucién
Determinaremos el punto Pi(-t|,.V|),
donde la razón es;
._APj APf 1
^ ' 2 ^ ’ 2
.T
g+ nr, ,
como .V
, = —j- , al reemplazar se tiene;
1
.Ti =
l+ -(4 )
2

(
y y ^= --------------= Luego P,(x,,>’|) = P,(2,-1)
1+'- 1 + i
2
Ahora determinaremos el punto P, (^^2*>’2 ) donde la razón es;
AP, 2P,B ^
r =z=~ = -===- = 2
P,B PjB
Xo+nf3_ 1+ 2(4)
. -V
'7 =■
Como
1+ r 1+2
= 3
yo+>yì _-3+2(3) _
1-, Luego el punto ?2 (jtt , Vi ) = P i(3,1)
l+> 1 + 2 'j
Hallar las coordenadas del punto P que está a ^ partes de la distancia de
A(7,4) a B(-3,2). Si M es el punto medio de A B , calcular d(P,M).
Solución
M P(x,y)
Calculando la razón se tiene;
como
x =
1+ r
y=M 5 1
1+ r
, 4 - ,
J
C= ---- = ------- -
4 ^ ( 2 ) ,4
= 1
P(l.-y)

Ahora calculamos el punto medio M de A y B
= entonces M(2,3)
Calculando la distancia de P a M
I4 I r r yÍ26 ^ ^ ^ V26
d(P,M ) = ( 2 - l ) - + ( 3 - y ) - = ^ ' l + — dedonde d(P.M ) = -
Los extremos de una varilla homogénea son A(3,-5) y B(-l,l). Determinar las
coordenadas de su centro de gravedad.
SohicM
y3.-5) ___________
P(x.y)
U M . I
2 r 2
Como:
por lo tanto P( 1,-2)
El centro de gravedad de una varille homogénea está situada en el punto
M(l,4), uno de sus extremos es el punto P(-2,2). Determinar las coordenadas
del otro extremo Q de la varilla.
Solución
p -2.2)______________ Q(x.y)^
M(1,4)
Como M es el punto medio de P y Q seliene:

=
4 =
- 2 + .Y
2
2 + y
a = 4
y = 6
por lo tanto las coordenadas del extremo Q es 0(4.6)
Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que las
coordenadas de los puntos medios de sus lados son M(-2,l), N{5,2) y P{2,-3).
Solución
Los vértices del triángulo son .>l(.Y¡,y|),
fi(-v'2 ,y2 ) y C(x3,_v3 ) como P, N y M son los
puntos medios de los segmentos A B , BC y
AC respectivamente, entonces:
2 - Ü 1 Í 2
5 = ^
A-,+X2=4
A
2 +A3 = 10
A |+ A 3 = -4
(1
)
(2)
(3)
i , 2
sumando(l), (2), (3)setiene: 2(.v,+.x2 + .Y
3) = 10 => a¡+.V2 +A3 =5 ...(4)
'.t! = -5
X
-, =9
resolviendo (1), (2), (3) y (4) se tiene:
en forma similar para las ordenadas
3 _ V|+>'2
2
x,+10 = 5
Xj + 4 = 5 X3=l
2 = h l h .
2 .
u Z i l Z i
2
y¡ + y 2 ~
A
’2 + > ’3 =4
y, + V3= 2
... (1)
(2)
... (3)

©
sumando {1), (2) y (3) se tiene:
2 (j| + V
2 + ) = O => V| + y 2 + >’3 = O ...(5)
resolviendo (1), (2), (3) y (4) se tiene:
por lo tanto los vértices del triángulo son: A(-5,-4). B{9,-2), C( 1,6)
y ,+4 = 0
_
V
2+ 2 = O =>
v
’
3- 6 = 0
V
’i = -4
y. = -2
>3=6 .
Hallar las coordenadas del centroide del triángulo /í(x,,y,). SÍ.Vj.y,),
CU3>V3)-
Solución
Centro de gravedad de un triángulo es la
intersección de las medianas.
y ' C{x3,y3)
/ M (a .b )
/ '
/
. / B(x,y)
/ /
^
A(x^,yi)
BÍXj.Vj)
Centroide (baricentro) es el centro de
gravedad del triángulo situando en G a ^
del vértice A y a ^ de M.
Gomo M(a,b) es punto medio de ¿(.xs. V
t)
x-,+.xy Vi+y3
entonces a = -=— ^ . b = —— ^
2 2
G(x,y) es un punto entre A y M que está a y de A y a ^ de M, por lo tanto la
razón: r = = = v = 2 => r = 2
GM 1
3

Luego las coordenadas de G{x,y) son:
_ ,V
| + ra _ ,V
| + la _ .V
| + Xj + -V
,
+ 7 ~ 3 ~ 3
- _ -'i 26 _ }'i + Vi +
G(.y, v) = (
.V¡ + A S + A*3 V j + V 2 + 3 3
Los vértices de un cuadrilátero son A(-4,6), B(-2,*l), C(8,0) y D{6,11). Hallar
JP — —
la razón r = = r en que la diagonal AC divide a B D , donde P es el punto de
PD
intersección de las diagonales.
Solución
BP
Sea r = = r , la razón según el segmento BD
PD
1 p
y ^ , la razón según el segmento A C .
Ahora de acuerdo al teorema 2.3 a se tiene:
- 2- f / ( 6) _4 + /-j{8)
A=
1+ /' 1+ r,
5r+ l
dedonde r, =
r + 5
v = -
6-fr(0) -1 + 1Ir,
1+ ” 1+ /J
igualando (1) y (2) se tiene:
, dedonde
r + 7
'I
llr + 5
5/-4I r-h?
/•+ 5 llr-t-5
...(2)
de donde 9/‘~ + 4r - 5 = O
5 5
(9r + 5)(r + 1 ) ~ 0 => r = - l , r = - como r -1 entonces r = ~
^ c) 9

Sabiendo que las coordenadas de dos vértices de un triángulo son; A(-4,S),
B(3.-8) y que el centro de gravedad es G(2,6). Hallar las coordenadas del tercer
vértice.
Solución
Por lo tanto el tercer vértice es C( 7.i6)
2.5. EJERCICIOS PROPUESTOS.-
©
©
Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos e.xtrenu.,
.son los puntos (-2,3) y (6,-3). Rpta. , ( |, l ) , ( y . - l ) . (2,0)
Los puntos medios de los lados de un triángulo son A(2,5). B(4.2) y C(1J).
Hallar las coordenadas de los cruces del triángulo.
Rpta. Los vértices del triángulo son (3.-2). (-1,4) y (5,6)

Los velices de un triángulo son A(3,8), B(2,'l ) y C(6.-l). Si D es el punto
medio del lado BC. Calcular la longitud de la mediana Ai). Rpta. >/82
^ Los puntos extremos de un segmento son P¡(2,4) y P2 (^. 4 ) . Hallar el punto
p^p
P(x,v) que divide a éste segmento en dos partes tales que - -2 .
PP,
Rpta. (-4,12)
( ? ) Detemiinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es
dividido en tres partes iguales por los puntos P(2,2) y 0(1.5).
Rpta. A(3,-l), B(0,8)
Demostrar que los puntos (-2 ,'l). (2.2), (5,-2) son los vértices de un triángulo
isósceles.
Demostrar que los puntos (2,-2). (-8,4), (5,3) son los vértices de un triángulo
rectángulo.
Demostrar que los puntos (0,1), (3.5), (7,2). (4,-2) son los vértices de un
cuadrado-
Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7,8) y su punto medio
es (4,3). Hallar el otro extremo. Rpta. (1,-2)
El punto P(16,9) divide al segmento de extremos ^(.Vj, v,) y B(4,-5) en la
razón ~ • Hallar las coordenadas de A. Rpta. A(-2,3)
Si A(0,0), B(4,2), C(12,2) y D(8,ü) son los vértices de un paralelogramo. M es
punto medio de además BM y .4C se interceptan en el purito P de modo
MP AP 2
que se cumple = r t= r . Hallar las coordenadas de P. Rpta. /^(4,-)
PD BC 3

Dos de los vértices de un triángulo son A(2.-3) y B(-5.1), el tercer vértice C
está sobre el eje Y y el punto de intersección de las medianas sobre el eje X.
Hallar el punto. Rpta. C(0,2)
( í ^ Los vértices de un triángulo son A(-l,3), B(3,5) y C(7,-l). Si D es el punto
medio del lado AB y E es el punto medio del lado A C . Demostrar que la
longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado A C .
Los vértices de un triángulo ABC son: A(-6,-4), B{4,4) y C(6.-8). Determinar
4 8
las coordenadas del centroide. Rpta.
© Un triángulo tiene por vértice ,A(-4,-3), B(8,0) y C(6,12), se traza por un punto
36 24 — —
E(— .— ) del lado BC una paralela al lado A B . Calcular las coordenadas
del punto D en que corta al lado A C . Rpta. D(0,3)
El segmento que une A(-l,2) con B(2,-5) se prolonga hasta C(x,y), sabiendo
que = 3/45. Hallar las coordenadas del punto C. Rpta. C(8,-ll)
Los vértices de un triángulo son A(-l ,-l), B(3.5) y C(- 4,1). Hallar el punto de
intersección de la bisectriz del ángulo externo del vértice A con la
prolongación del lado fiC . Rpta. (-11.-3)
1 ^ Sean A(0,2) y B(8,l) dos vértices adyacentes de unos paralelogramos. Si lI
punto F (l,-^ ) es el punto de intersección de las diagonales. Hallar los otros
vértices C y D del paralelogramo. Rpta. C(2,-5), D(-6,-4)
1 ^ Dados tres vértices de un paralelogramos A(3,-5), B(5,-3) y ( (-1.3).
Determinar el cuarto vértice D opuesto a B.

' . . El segmento*ót extremos A(23) y B(H 12) es dividivlo^ror el pumo '»
‘*
- M) k
**
que: AP - 3PB. Hallar a + b. Rpta. a + fc^ —
@ Los puntos M{3;2), K{2;4), P(I;1), R(-3;l), S(0;6), Q(3;i) son vértices de dos
triángulos uno de ellos es rectángulo y el otro solo isósceles. Si la hipotenusa
mide au. y la base del triangulo isósceles mide bu. Hallar a ' +b .
Rpta. fl^+¿ = 16
Hallar la suma de coordenadas del punto que equidista de A(l,7), B(8,6) y
C(7,-l), Rpta. -7
Se divide un segmento AB en cinco partes iguales. Hallar la suma de
coordenadas del tercer punto de división a partir de A(2.1) y B( 17,6).
Rpta. 15
Un segmento cuyos extremos son los puntos A(-7,8) y B(5,6) es dividido en 5
partes iguales. Hallar la suma de las coordenadas del punto de divisióii más
cercano al punto A. Rpta. 3
El punto P divide al segmento AB con A(-2;0) y B(-6;4) en razón de 1 a 3. Si
Q es un punto del eje X tal que d(P,Q) = 1. Hallar la abscisa de Q.
Rpta. X= -3
Los puntos extremos de un segmento son A(-4,2) y B(8,-4) Hallar la suma de
las coordenadas de un punto P que se encuentra en la prolongación de AB tal
BP 1
q u e — = — Rpta. 10
PA 2 ^ ^
(2 ^ Sean P(a,-2) y R(6,4) los extremos de un segmento. Si Q(0,b) es un punto de
P/? tal que PQ = 2QR, hallar b - a. Rpta. b - a = 14

Los puntos de trisección del segmento de extremos A y B son P(-l,4) y Q(6,7).
Determinar la suma de las coordenadas de los puntos A y B. Rpta. 16
AP
Sea r =— ia razón con que P(-6,b) divide al segmento de extremos A( 10,-2)
Rpta. r + b= 16
PB
y B{2,8). Calcular r + b.
Los vértices de un triangulo son A(a,b); B(c,9) y C(2,d). Si el punto medio de
1 5.
B e es (“ 2 ’"
2 ^ baricentro del triangulo es (-1,1), hallar a + b.
Rpta. a + b = -4
2.6. LARECTAYSUSECUACIONES.-
La ecuación de una recta vertical es de ia forma:
L: x = c
Su gráfica es:
La ecuación de una recta horizontal es de la forma:
L: y = c
Su gráfica es.

a) DEFINICIÓN.- Si L es una recta que pasa por el punto
entonces el ángulo 0 formado por la recta L y el eje X
positivo en sentido antihorario se llama ángulo de inclinación de L.
La variación del ángulo 0 es O < 0 < 180°
O b) PENDIENTE DE UNA RECTA..
Llamaremos pendiente de una recta L, a la tangenic ce su ángulo de
inclinación y denotaremos por:
mL = tg0

OBSERVACIONES.-
^ mL = pendiente de la recta L.
mL¡ = pendiente de la recta tangente
Si 0 < 90° (ángulo agudo) entonces mL > O
Si 0 > W (ángulo obtuso) entonces mL < O
Si 0 = 90° (ángulo recto) entonces mL = x
c) TEOREMA.- La pendiente de una recta L que pasa por los puntos
^{•^h>'i)y está dado por:
mL = ^
X2~X
Demostración
Consideremos la recta L que pasa por los puntos f¡(x,, v,) y P2 ÍX2 .V2 )
cuyo ángulo de inclinación es 0. como se muestra en la figura:
Del triángulo /¡/IA se tiene: tgé^ = ^-^—^
A S - A-,

Pero corno mL = tg 0. entonces ..mL = ^ —— , .v, ^ ^2
2 EJEMPLOS DE APLICACIÓN.-
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los
puntos (-3,2) y (7,-3).
Solución
V-) — V‘i
De acuerdo al teorema c) se tiene; m i = — - ‘
- 3 - 2 -5 1
7 -(-3 ) 10 2
al reemplazar los valores se tiene: mL =
mL ~ (pendiente de la recta L)
además se conoce tgd~ mL = , de donde ^ = arctg(— = 153'^26
Los vértices de un triángulo son los puntos A(2,-2), B(-i,4) y C(4,5). Calcular
la pendiente de cada uno de sus lados.
Solución
Aplicando la pendiente de una recta que
pasa por dos puntos se tiene que:
, V. - V
i
m.L - ^ ^ , entonces:
A
S -X|

38
jü ¡M iá é £ sB ia m J ¡íiim
4 - ( - 2 ) _ 6 _
'tB _ i_ 2 _3
"*BC =
5 -(-2 ) 7
4 - 2 2
5 - 4 1
4 -{ -I) 5
= 2
© Por medio de las pendientes demuéstrese que los tres puntos (6,-2), (2,1) y
(-2,4) son colineales.
Solución
A(6,-2)
C(-2,4)
Los tres puntos colineales sí
Ahora aplicando el concepto de pendiente entre dos puntos
» - ( - 2 ) ^
^ 3 ^ 3
2 - 6 -4 4
4 -(-2 ) 6 3
-----------= ^ m-rz = m-rp = = *
- 2 - 6 -8 4,
4 - 1 3 3
- 2 - 2 " - 4 ” 4
por lo tanto los puntos A, B y C son colineales.

CAPITULO III
3. GRAFICA DE UNA ECUACION.-
3.1. INTRODUCCIÓN.-
Cuando se trata de situaciones geométricas a un sistema de coordenadas en
donde las variables están relacionadas, en este caso se está empleando métodos
analíticos, y esta interacción se ha visto entre el ■eometría
Euclideana, ahora a esios métodos estudiaremos con mayor amplitud.
Consideremos una igualdad de la forma:
E(x,y) = 0 ..(1)
A la ecuación (1) se llama ecuación de dos variables x e y si se venfica para
ciertos pares x e y.
Diremos que los números .v= Xq. v = satisface a la «.cuación (1) si al
sustituirlos en la ecuación por las variables el segundo miembro se convierte en
cero.
Por lo general la ecuación E(x,y) = O admite una infinidad de parejas de
números reales como solución y cada una de ellas se puede interpretar como
las coordenadas de un punto, estos puntos, están distribuidos en el plano, de
modo que, forman una figura geométrica que se conoce con el nombre de curva
representativa de la ecuación (1) y de esta forma podemos decir que una curva
representada por (1) es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas
cíítisfacen a la ecuación (1).

La definición de curva que se emplea en este libro es distinta a la que
normalmente se usa.
Una ecuación representada por una curv'a no necesariamente puede ser curva,
puede ser una recta, así mismo puede tener puntos aislados o también puede
estar formada por varias partes distintas e incluso puede ser un punto
Al trazar una curva naturalmente es imposible calcular y fijar la posición de
todos los puntos que contiene.
Generalmente es suficiente seleccionar e indicar algunos puntos unidos
mediante una'curva continua, en este caso decimos que se ha trazado la gráfica
de la curva o también que se ha trazado la gráfica de la ecuación, este proceso
tan simple en realidad es uno de los problemas fundamentales de la geométrica
analítica para trazar la gráfica de una curva, es conveniente algunas veces,
despejar ya sea x o y en función de la otra variable, puesto que al transportar
uno o más términos de la ecuación no se modifica la solución, por ejemplo;
para la ecuación E(x,y): y+2 x ' - O, primeramente despejamos y=-2x~,
después damos valores a x = O, ±1, ±2,... y obtendremos los valores
correspondientes para y = O, -2, -8,... estos valores anotaremos en una tabla.
X y
0 0
±1
±2 -8

Ahora marcamos los puntos (0,0), ^±1,-2), (±2,-8),... en el plano cartesiano,
luego unimos dichos puntos mediante una línea continua, tal como se muestra
en la figura.
Ahora veremos métodos que nos permita estudiar los pasos previos a la
discusión y trazado de la gráfica de una ecuación
3.2. DISCUSIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN
E(x,y)=0.
1° INTERSECCION CON LOS EJES COORDENADOS
(COORDENADAS AL ORIGEN).-
Una gráfica puede tener una, varias o ninguna intersección con los ejes
coordenados, el método de averiguar la intersección con los ejes es el
siguiente:
INTERSECCIÓN CON EL EJE X.-
Hacemos y = O y se reemplaza en la ecuación E(x,y) = O es decir
E(x,0) = O, luego se resuelve esta ecuación.

INTERSECCIÓN CON EL EJE Y.-
Hacemos x = O y se reemplaza en la ecuación E(x,y) = O, es decir
E{0,y) = O, luego se resuelve esta ecuación.
Ejemplo. Hallar las coordenadas al origen (intersecciones) de la gráfica de
la ecuación E{x, y) = {x^ - 9)y~ - x" + 4 = O
Solución
Con el eje X, hacemos y = O, es decir:
£(x,0) = (x --9 )(0 )-.v -+ 4 = ü dedonde .v '= 4 => x = -2 v x = 2
por lo tanto -2 y 2 son las abscisas al origen y los puntosA(>2,0), B(2,0) son
las intersecciones de la curva con el eje X.
con el eje Y, hacemos x = O, es decir:
¿’(O,/) = (0 .-9 )> -- 0 + 4 = o dedonde = ^ ^ v = v v = ^
2 2 -2 2
luego - ^ y ^ son las ordenadas al origen y los puntos C(0, ^ ) , ■0(0,^)
son las intersecciones de la curva con el eje Y.
2° SIMETRÍA.-
Se consideran solo dos tipos de simetría, respecto a un punto y respecto a uim
recta.
a) DEFINICIÓÑ.- Dos puntos y P. diremos que esta localizadas
simétricamente con respecto a un tercer punto M sí y
sólo sí M es el punto medio del segmento que los una, en este caso M es
un centro o foco de simetría del segmento P1P2 .

M
b) DEFINICIÓN.- Dos puntos y P, diremos que están localizados
simétricamente con respecto a una recta L sí y sólo sí
L es la mediatriz del segmento que los une.
(al punto P2 se le denomina reflexión o imagen deP, respecto a la recta L)
c) DEFINICIÓN.- Una curva C es simétrica con respecto a un punto P si
para cada punto P e C hay otro ounto P2 ^ C tal
que P^ y P2 están localizados simétricamente con respecto a P, por
ejemplo, una circunferencia es simétrica respecto a su centro.

d) DEFINICIÓN.- Una curva C es simétrica respeto a una recta L si para
cada punto P, € C , hay otro punto P i ^ C tal que P,
y P2 esta localizados simétricamente con la recta L.
A la recta L se llama eje de simetria.
Ahora esta definición usaremos en la simetría de la gráfica de ecuaciones.
- SIMETRIA CON RESPECTO AL EJE X.-
Una curva C será simétrico respecto al eje X sí y sólo sí:
. r p ü b m E(x,y)=E(Xry)
Por ejemplo para la ecuación E(x,y) - -4 x ^ -4y^ = O

E { x - y ) = x ^ { - y f - 4 x ^ - 4 ( - y f = x~y^ - 4 x ^ - 4 y^' = Q
como E(x,y) = E(x,-y) por lo tanto C es simétrica respecto al eje X.
SIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE Y.-
üna curva C, será simétrico respecto al eje Y si y sólo sí: ’
E(x,y) = E(-x,y)
Y

------- Pi(x,y)
V y
0 X
Por ejem plo para la ecuación E(x,y) = x 'y ^ - 4x^ - y = 0
E (-x,y) = { - x f y^ - 4 (-x )' - v = - 4 x ' - j»
; = O
como E(x,y) = B(-x,y) por lo tanto C es simétrico respecto al eje Y.
OBSERVACIÓN.-
i) Una eurva C es simétrica respecto al eje X, si su ecuación E(x,y) = O no
contiene potencias impares de Y
ii) Una curva C es simétrica con respecto al eje Y, si su ecuación E(x,y) = u
no contiene impares de x.

SIMETRÍA CON RESPECTO AL ORIGEN.-
Una curva C, será simétrico respeto al origen, sí y sólo sí
E(x,y) = E(-x,-y)
Por ejemplo para la ecuación E(x, y) = x^ -xy--y~ - 20
E (-x,-y) = (-.v)^ - i-x)(-y) + (-y)- ~ 2 0 = x^ - xy +y^ - 20
como E(x,y) = E(-x,-y) por lo tanto C es simétrico respecto al origen.
3° EXTENSIÓN.-
Se trata de localizar la gráfica de una ecuación mediante los siguientes pasos:
i) Despejar si es posible cualquiera de las dos variables:
V = f(x) (para hallar el dom inio de la ecuación)
X= g(y) (para hallar el rango de la ecuación)

ii) Si la ecuación del lugar geométrico es una función racional de la forma
f(x>
y = donde f(x) y g(x) son funciones polinomicas que no tengan
g{x)
factores comunes que contenga a x, luego se fectoriza el denominador y
excluir aquellos valo'-'*s de x para los cuales g{n) = O
iii) Cuando la ecuación del lugar geométrico es de la forma = .fiinción
racional.
En este caso se factoriza el segundo miembro v mediante inecuaciones
determinaremos los intervalos o regiones del plano en los cuales y^
y excluir los valores de x para los cuales y^ < 0 .
La discusión sobre las regiones del plano que pueaen o no ser ocupados
por una gráfica, es una discusión de la extensión de la gráfica.
Ejemplo.- Discutir la extensión de la gráfica de:
E ( x , y ) ^ x y ^ - x + 2 y - + 3 = 0
Solucién
Despejando y = f(x) se tiene (x +2)y^ = x - 3 de donde y = ± ^ ^
x + 2
X 3
entonces diremos que 3 y real <=> ^ > O
x € <-00,-2> u [3,+oo> />£ =< - 00,-2 > u < [3,+00 >
Los valores excluidos son x e [-2,3>

48
isaa
En fonna similar despejamos x = -
2 / + 3
/ - I
Los valores excluidos son 1y -1 de donde Rp = R - {-1,1}
La parte sombreada es donde se encuentra la gráfica.
Y
1
- 2 0 3 X
-1
4° ASINTOTAS.
Si existe una recta L para una curva C de tal manera que se desplaza a lo largo
de la recta L indefinidamente, la distancia entre L y C tiende a cpro, en este
caso se dice que la recta L es una asíntota de la curva C.
La curva C es posible que se aproxime la recta L por cualquier lado y en
cualquier sentido, también es posible que la curva C se intercepte con L una o
más veces y siga siendo asíntota.
Una curva C puede tener una, varias o ninguna asíntota.

Las asíntotas que puede tener una curva son; asíntotas horizontales, verticales
y oblicuas.
Ahora veremos como se determinan cada una de estas asíntotas.
- ASÍNTOTAS HORIZONTALES.-
La asíntota Horizontal es la recta de la forma L; y = k.
Para calcular las asíntotas horizontales de una curva, se ordena la
ecuaf'ión E(x,y) = O en potencias decrecientes de x y se hace cero si es
posible el coeficiente de la mayor potencia de x luego se despeja y.
Ejemplo.- Hallar las asíntotas horizontales de la curva de ecuación;
E i x , y ) ^ y ^ ( 9 - x ^ ) +{ x - f = Q
Solución
E{x,y) = y H 9 - x - ) +( x - 1)^ = 9y- - x - + + 2jc -1 = O
ordenando en potencias decrecientes de x, se tiene:
( l - j ^ ) x ^ + 2 x + 9 / - I = n
se observa que x^ es el de mayor potencia; luego a su coeficiente igualamos a
cero es decir; - +1 = O de donde y = ± 1 son dos asíntotas horizontales.
OBSERVACIÓN.- Si de la ecuación E(x,y>= O al despejar y se ti«ie una
expresión de la forma.
aftA-"+a.x"“'+... + a_ „ ,
; a« ^
«
=
0 , ¿o ’‘ O
como m y n positivos, tiene asíntota horizontal en:

I) L: y = 0, sí n<tn
ü) i : y = , sí n = m
¿o
iíi) Si n> m , la gráfica no tiene asíntota horizontal.
Ejemplo.- Hallar la asíntota horizontal de la curva de ecuación
E(x,y) = x 'y - a " - Axy + 4y = O
Solución
_2
Despejando y de -4xy-i-4y = 0 =i> y = ,
a' - 4 a + 4
Luego de acuerdo a la parte ii) se tiene: L: y = 1 asíntota horizontal
ASÍNTOTAS VERTICALES.-
Son las rectas de la forma L: x - h para calcular las asíntotas verticales
de una curva, se ordena la ecuación E(x,y) = O en potencias decrecientes
en y, luego se hace igual a cero si es posible el coeficiente de la mayor
potencia de y, enseguida se despeja x.
Ejemplo.- Hallar las asíntotas venicales de la curva
£'(A-,>’) = . v V - + ( y - - l ) A - 2 j - - 3 = 0
Solución
Ordenando en forma decreciente con respecto a y se tiene
{.r‘ +.r-2).v‘ - x - 3 = 0, luego el coeficiente de la mayor potencia de
y es .v" + a
' - 2 = 0 de d o n d e (x + 2 ) ( x - 1 ) = 0 se tie n e x = - 2 .x = 1 son
los asíntotas verticales.
ASÍNTOTASOBLICLAS.-
Son las rectas de la forma L: y = mx + b, m ^ 0, las asíntotas oblicuas se
calculan mediante el siguiente criterio.

i) Se reemplaza y = mx + b en la ecuación E(x,y) = O de tal manera
que E(x,mx b) = O esté en función de x.
i¡) Se efectuá las operaciones indicadas ordenando la ecuación en forma
decreciente en x.
iii) Se iguala a cero los coeficientes de las dos potencias más altas de x.
iv) Se resuelve las ecuaciones obtenidas en iii) de donde se obtienen los
valores de m y b.
Ejemplo.- Calcular las asíntotas oblicuas de la curva de ecuación
£(a‘,y) = .Y" - x y + y = 0
Solución
Sea L: y = mx + b, la ecuación de la asíntota oblicua
A
'" - x{mx + ¿) + wx + A= O, de donde (1 - ni)x~ + ( m - b)x + b = 0
:1- = O
por identidad se tiene: ^ => m = 1 , b = l
1^/77-/) = O
L: y = X+ 1 es la asíntota oblicua
3.3. ECUACIONES FACTORIZABLE.-
Cuando la ecuación E(x.y) = Oen el primer miembro tiene un producto de dos
o más factores variables, en este caso la gráfica de E(x,y) = O consiste de la
gráfica de cada uno de los factores resultantes, esto es sí E(x,y) = u.v.w
entonces
u=J(x.y)
v = /,(.r,.v)
w = M x , y )
E(x,y) = 0 o E{x,y)-.

Ejemplo.- Trazar la gráfica de la ecuación
E(x,y) = - x ' y + xy' - 9 x + 9y = 0
Solución
Factorizando x^ - y ^ - x ^ y + xy~ - 9 x +9y = 0 setiene
x ^ - y ^ - { x ^ y - x y h - 9 ( x - v ) = 0
{.r - j)(x ’ + Ay + V ') - vy(A- - y) - 9(x - y ) = O
[x - yXx^ +xy +y ' - xy - 9) = O, de donde
{ A -y )(A ^ + y ^ -9 ) = 0 =í> x - y = Ü V j t - + y ^ - 9 = 0
E{x,y) = ( x ~ y X x - + y - - 9 ) = (^ o y - x v jc - + y ‘ =9
3.4. E JE R C IC IO S D ESAR R O LLAD O S.-
Discutir la gráfica de las siguientes curvas
~ 1 6 / = 0
Solución

Con el eje X, hacemos y = O y reemplazamos en la ecuación
O- 2.r^ - 0 = 0 => x = Oesla intersección con el eje X
Con el eje Y, hacemos x = O y reemplazamos en la ecuación
0 - 0 - 1 6y = 0 = >y = 0 es la intersección con el eje Y.
Simetrías
Con respecto al eje X;
£'(x,>’) = ^ ' ' v - 2 .v‘ - i 6 v
, ■ => E(x.y) E(x,-y,
E ( x - y ) = - V - 2x' + 16.V
no es simétrica respecto al eje X.,
Con respecto al eje Y;
E {x,y)= ^x'y-2 x- - b y r-, , r-, ,
, => E(x,y) = E(-x,y)
£ (-t,v ) = .rv-2.v" -16.V
es simétrica respecto al eje Y
Con respecto al origen:
E{x,v) = x ' v - 2 x - - 6 v
' , => E{x,y) R(-x,-y)
E { - x - y ) = ~ x ' y - 2 x ' +16>/
no es simétrica con respecto al origen.
Extensióii
Despejamos y: ]• =r de donde {-4,4}
A"-16

Despejamos x: x = ±4
v - 2
como Xes real si '^ > O —
y - 2
donde R¿ =< -oo,0] u < 2 ,+oc >
Asíntotas.
Ix^
Asíntotas Verticales: v= “
.V--I6
de donde .r“ -1 6 = 0 => x = 4, x = 4 asíntotas
y
Asíntotas Horizontales: x = ±4
y - 2
de donde y - 2 = 0 =>y = 2 asíntota
X 0 ±1 ±2 ¡ +3
y 0 -0.13 -0.67 1 -2.6

© x y - x - 4 y + 2 = 0
Solución
Sea E(x,y) = xy - x - 4y + 2 = O la ecuación de la gráfica
Intersección con los ejes Coordenados.
Con el eje X, hacemos y = O
, de donde al reemplazar se tiene:
E(x,0) = x(0) - X- 4(0) -^2 = 0 =
?> x = 2esla intersección con el
ejeX.
Con el eje Y, hacemos x = O, de donde al reemplazar se tiene:
E(0,y) = 0(y) -O - 4y+2= O y = ^ es la intersección con el eje Y.
Simetrías
Con resnecto al eje X:
[E{x,y) = x v - x - A y +l
r í A ^ E(x,y)ííE(-x,-y)
[A(x,->') = -xy - X+ 4 V+ 2
no es simétrica con respecto al eje X.
Con respecto al eje Y:
¡E{x,y) = x y - x - 4 y +2
L E(x,y)^£(-x,y)
y) = -xy + A
'- 4 y + 2
no es simétrica con respecto al eje Y.
£{a
', v) = A 'v -.r-4 v -f 2
I r / 4 T ^ E(x,y)^E(-x,-y)
E ( - x - y ) = A
7 + A
*+ 4 V+ 2
no es simétrica con respecto al origen

Extensión
V- 2
Despejamos y: es decir v = de donde D ¡ ;= R - {4}
jr - 4
4y-2
Despejamos x: es decir jr= dedonde £)r =/?-{!}
> ' - 1
Asíntotas.
Y—
2
Asíntotas Verticales: v = ' , de donde
.v-4
x - 4 = 0 x = 4 es una asíntota vertical
4 v~2
Asíntota Horizontal: .v = * , de donde
v - 1
y - 1 = O y = 1 es una asíntota horizontal
Tabulación.
x 0 1 2 3 4 5 6 7
y 1 i 0 -1 X 3 2 5
2 3 3

0 x ^ y ^-4 xy^ + 3 y - - A ^ 0
Solucién
Sea E(x, y) =x ^y' - 4xy' + - 4 = O, la ecuación de la gráfica.
Intersección con los Ejes Coordenados.
Con el eje X, hacemos y = O, de donde al reemplazar se tiene:
E(x, 0) = x^ (0) - 4.r(0)+3(0) - 4 = -4 íí O => no existe intersección
Con el eje Y, hacemos x = O, de donde al reemplazar se tiene:
£ M = (0 )v --4 { 0 )v -+ 3 y -4 = 0 => y =^ , =
existe intersección.
Simetrías.
Con respecto al eje X:
¡Eix,y) =x^y^-4 xy ^ + 3 y ^ -4 ,
i E(x,y) = E(-x,y)
E { x - y ) =x - y ^ - 4 x y U 3 y - - 4
es simétrica respecto al eje X.
¡E{x,y) =x'-y^-4xy^-+3y^-4 ,
j ^ 1 ? 2 ^ E(x,y)?tE{-x,y)
E{-x, /) = x~y‘ + 4xy + 3 j - 4
no es simétrica respecto al eje Y
E(x,y) =x ^ y - - 4 x y ' +2y^-4. c/ ^ c/
, j , , => E(x,y)9tE(-x,-y)
E(-x, -j/) = x 'y + 4at* + 3y" + 4
no es simétrica respecto al origen.

Extensión.
Despejando Y: y = -
±2
de donde está definida si
•Jx~ -4.V+3
x ^ - 4 x + 3 > 0 x^-4.x:+4>l => ( x - 2 ) " > l
si ( x - 2 )^>l o x - 2 > l V x - 2 <-l
o x > 3 V x < 1
de donde =< -x ,l >U < 3,+oo >
^ ^ 2 v ± J y - + 4
Despejando x; x = — -------- , que estara definidas! y^^Ude
V
donde /?£ = /?- {0 ¡
Asíntotas.
Asíntotas Verticales: y =
±2
yjx--4 x +:
r, dedonue
X -4 x + 3 = 0 => ( x - 3 ) ( x - 1 ) = 0, de donde x = l , x = 3
son las asíntotas verticales.
Asíntotas Horizontales: .r =
asíntota horizontal.
Tabulación.
_ 2y±yJy^+4
, de donde y = 0 es la
X 0 4 -1 5
y
3
2
8

Solución
Sea E(x,y) = x^y-4y--x=QAa ecuación de la gráfica
Intersecciones con los ejes coordenados.
Con el eje X: hacemos y = O, que reemplazamos en la ecuación:
£(x,0) = x V -4 ;' + x = 0 => x = 0 que es la intersección.
Con el eje Y: hacemos x = O
, que reemplazamos en la ecuación:
^(0.>’) = (0 )j-4 )'+ 0 = 0 => x = 0 que es la intersección.
Simetrías.
Eíx,y) = x^y-Av + x
E(x,y);^E(x,-y)
E { x - y ) = -x^y^-Ay +x

E{x,y) = x ^ y - 4 y + x
, E(x,y) E(-x,y)
E{-x,y) = x - y - 4 y - x
no es simétrica con respecto al eje Y
E(x,y) = x 'v ~ 4 v +x
^ E(x,y)^E(-x,-y)
E (-x,-y) = - x - y + 4 y - x
no es simétrica con respecto al origen
Extensión.
Despejamos Y; v = -— de donde D ¿ = R - {-2,2}
A" - 4
Despejamos X: .v= —
í— , que es definida si y^^O el
2 y
rango de E(x,y) es /?£=/?, puesto que se verifica para x = y = 0.
Asíntotas.
X
Asíntotas Verticales: v = — ;— , dedonde
X - - 4
- 4 = 0 => X= -2, x = 2 son las asíntotas verticales.
Asíntotas Horizontales; .v= —
í— , de donde y = O es
una asíntota Horizontal.

Tabulación.
©
X -4 -2.5 -1.5 -1 0 1 1.5 2.5 4
y 0.3 1.1 -0.9 -0.3 0 0.3 0.9 -I.l -0.3
Solución
Sea E{x,y) = x ~ y - 4 y - x ~ =0a ecuación de la gráfica.
Intersección con los ejes coordenados.
Con el eje X: hacemos y = O, que reemplazamos en la ecuación;
E{x,Q) = X '(0) - 4(0) - V" = O X= O es la intersección con el
eje X.
Con el eje Y: hacemos x = O, que reemplazamos en la ecuación;
£(0, v) = (0).)’- 4 V- 0 = 0 y = Oes la intersección con el eje Y.

Simetrías.
Con respecto al eje X:
^E{x,y) = x ~ y - A y - x ‘
E(x,-y) = -x^y-ir4y-x
, => E(x,y) E(x,-y)
¡E{x,y) = x - y - 4 y - x ^
E(-x,y) = x ^ y - 4 y - x ^
E(x,y) = E(-x,y)
es simétrica con respecto al eje Y.
Con respecto al origen;
¡E{x,y) = x v - 4 y - x -
E(-x, - j ) = - x - y + 4 V- X'
no es simétrica respecto al origen
Extensión.
E(x,y) E(-x,-y)
Despejamos Y: y = — - , que está definida si * ± 2 por lo tanto
.r‘ - 4
D , = R - { - 2 2
Despejamos X; j
c= ± , que está definida si > O
V- 1 y -
de donde =< -<*,0]'^ < 1, +

Asíntotas.
Asíntotas Verticales: v - - - — , de donde
X - - 4
- 4 = O ^ X= -2, X= 2 son las asíntotas verticales.
Asíntotas Horizontales: x = ±
4v
—^ , de donde
v~l
y - 1 - 0 ^ y = 1 es la asíntota horizontal.
Tabulación.
X 0 ±1 ±1.5 ±2.5 i 3
y 0 -0.3 -1.2 2.7 1.8
@ x“ -xv' + >’= 0
Solución
Sea £*(x,};) = + = la ecuación de la gráfica

Intersección con los ejes coordenados.
Con el eje X; hacemos y = O, que reemplazamos en la ecuación:
E{xSS) = -V" - x{0) + 0 = 0 => x = 0 es la intersección con el eje X.
Con el eje Y: hacemos x *
=O, que reemplazamos en la ecuación;
£(0,y) = 0-(0) v + .v = 0 => y = 0 es la intersección con el eje Y.
Simetrías.
E(x, v) = ;(■ - -vv+ V
E(x.y)Ê(x,-y)
£ '( x ,- v ) = .x '+ j : j - - v
no es .simétrica con respecto al eje X.
Conrespectoal eje Y;
E{x,y) = .v‘ - -V
I’+ y
, ■ • E(x,y)Ê(-x,y)
E{-x,y) =x- +x): +y
es simétrica con respecto al eje Y.
Con respecto al origen
E(x, v) = -t" - x y +y
/ => fc(x.y)ÊK-y)
E ( - x ,- y ) ^ x - - x y - y
no es simétrica respecto al origen
Extensión.
2
Despejamos Y; v = ^ — , está definida si x l por lo tamo
.r- 1
D e = R - { -

y i-J y “ —
4v
Despejamos X: x = - — ^ ^ , que está definida si
-4_k > 0 => -2)* >4 => y - 2 > 2 v y - 2 < 2
y > 4 V y < 0
por lo tanto tenemos: R¿=< -oo,0]u [4,oo >
Asíntotas.
2
Asíntotas Verticales: y = — , de donde
,v-l
x - l = 0 = > x = l es la asíntota vertical.
y ± J y ^ ~4y
Asíntota Horizontal: .y = --------- de donde no hay asíntotas
horizontales.
Asíntotas Oblicuas: sea y = mx + b es la asíntota oblicua que
reemplazando en la ecuación - x{mx + b)+mx +b - O por lo
tanto l - m = O y m - b = 0 => m = l y m = b de donde m = 1
y b = 1 .
La asíntota Oblicua es: y - x + 1

3.5. EJERCICIOS PROPUESTOS.-
I) Discutir cada ejercicio determinando las intersecciones, simetría, extensión y
asíntotas. Construir las gráficas correspondientes.
x ^ y - 4 y - x = Q © x^ - x y +5y = 0
© x y - x + 2 y - = 0
© x y ^ - x - 2 y ^ + = 0
© x y - x - 4 y + 3 = 0
© x" ~xy +y^ = 1 2
® x ^ y - - x ' - y = 0
© x -y - +4.r‘ -4 y ^ =0
© y { x -3 )x = x - - Í x +2 @ x ^ y ^ - 4 x - - 4 y - = 0
x^'y - x~ -Axy + 4;; = 0 ® (x + 4)(x-l)j^- =x^
jc(x -l)y ” = x + l
® y - i 9 - x ^ ) = { x - ) -
© x y ^ - 3 y ^ - = 0
® y - { x - - 4 ) = x +2
x^y~ ~x^ + y ' + 1 = 0
® x - y ^ + 4 x - - 4 y ^ = 0
x y - 2 x - y - 2 = 0
@ x r - 4 x - - 3 r + 1 2 x = 0
® y x ^ - 2 5 y - x = 0 0 xy- + x y - 6 x - 3 = 0
II) Después de factorizar, trazar la gráfica de cada ecuación:
^ y ^ + y ' - x ' - x Rpta. +jc + l) = 0
^ - 4 x ' + Ax'y - 4xy + xy' +y^ = O
Rpta. (.V+ y)(x- + y- - 4.v) = O

( ^ _y^+xv^-4x>'-4.'= 0 Rpta. (x+v){>'^ -4a^
)= 0
@ 3x’ - 2,rV - 1 2x‘ + 8xj + 3xy- - 2>'^ = O
Rpta. (3x - 2jXx^ + - 4x) = O
0 x ^ - 2 x ^ - x ^ y - 3 x +2xy +xy-+3x}> -y^-^0
Rpta. (x-j;)(x^+>>^-2.v-3) = 0
0 ^x^y + xy*-9.x + 9_y = 0 Rpta. (x - yXx^ + y" - 9) = O
0 x ^ - x ^ y - x ^ - x } ^ - +y ^ + y ^ - x + y + l = 0
Rpta. ( x - v - l ) ( x - - r - l ) = 0
8 ) 3 y ^ + 6 y --2 x y ^ -3.v + 8x>- + 2 x -8 x - = 0
Rpta. (3 y -2 x X x ^ -4 x + j) = 0

CAPITULO IV
4. LA LINEA RECTA.-
Analíticamente, una recta es una ecuación de primer grado en dos variables y
recíprocamente, la gráfica de una ecuación de primer grado en dos variables es
una recta.
4.1. FORMAS DE LA ECUACION DE LA RECTA.-
a) FORMA PUNTO - PENDIENTE.-
TEOREMA,- La ecuación de la recta L que pasa por el punto
Pq(Jo ^J o ) y pendiente es mL, está dado por:
L: y - y a = m L ( x - X o )
Demostración
Consideremos la recta L, con pendiente mL, que pasa por el punto
^0 (-’^0>Jo ) y tomemos un punto genérico P(x,y) de la recta L.
Por definición de pendiente de una recta
que pasa por dos puntos se tiene:
de donde se tiene: y - vq = mL{x - a*q)
L: y-Vo

Ejemplo.- Hallar la ecuación de la recta L de pendiente 2, que pasa por el
punto A(l,3).
Solución
La ecuación de la recta es: L: y-yQ=mL(x-x^)
reemplazando los datos del problema se tiene:
L: y - 3 = 2 ( x - l) , simplificando
b) FORMA CARTESIANA.-
L: 2 x - y + l = 0
TEOREMA.- La ecuación de la recta L que pasa por los puntos
P-o(^0.>'0) y (^1 ->’i) está dado por:
X, - Xo
Demostración
Consideremos la recta L que pasa por los puntos Pq(xq ,7 o), , >’i)
entonces su pendiente es.
AÍ,-Xo
Se conoce la ecuación de la recta en su forma punto - pendiente, es decir:
L: ,v-Vo =»ii(x-X o)
al reemplazar ( 1 ) en (2 ) se tiene: i : y - y a = ——^ (Jr- Jfo)
X
j -Xo

Ejemplo.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-3.5) y
B{6,2).
Solucién
La ecuación de la recta es:
X
, -Xq
reemplazando los datos del problema se tiene:
L: v -2 = -~ -^ -(.r -6 ) simplificando L: x + 3 y -1 2 = 0
c) FORMA PENDIENTE - ORDENADA EN EL ORIGEN.-
TEOREMA.- La ecuación de la recta L de pendiente m y que corta al
eje Y en el punto P(,(0,h) (siendo b la ordenada en el
origen) está dado por:
L: y = mx + b
Bymostración
Sea L la recta no vertical de pendiente m, y que intercepta al eje Y en el
punto Po(0,¿)

Como la ecuación en su forma punto - pendiente es:
I ; y - y o = m ( x - X f¡ )
y como L pasa por el punto Pq(O, h) se tiene;
L: y - b = m(x - 0) simplificando z. L: y = mx + b
d) FORMA SIMÉTRICA.-
TEOREMA.- La ecuación de la recta L que corta a los ejes
coordenados X e Y en los puntos A(a,0) y B(0,b)
(a, abscisa en el origen y b ordenada en el origen), está
d&fcfnr;
Demostración
Consideremos una recta L no vertical que intercepta a los ejes en los
puntos.A(a,0)y B(0,b)

ahora utilizando la ecuación m m forma punto ~ pendiente se tiene:
L: y - 0 = m{x-a) simpíincando
b " ' ' ' ' ' '
L: y = — (a - a ) , de donde L: ~ ~ j
a a b
Ejemplo.“ Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P{1,1) e
intercepta en el ángulo cdordehEàionî triángtrK^ Üe área igual a 2
unidades cuadradas.
Solución

a + b = ab = 4 => b = 4 - a ...(2 )
ahora al reemplazar (2 ) en {1 ) se tiene;
ab = a(4-a) = 4 => a “ - 4 a + 4 = 0 => a = 2
como b = 4 - a = >b = 2
V V
Luego L: - + —= 1. dedonde; L; x + y = 2
2 2
4.2. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.-
TEOREMA.- La forma general de la ecuación de la recta L está dado por:
L: Ax + By + C = 0
Donde A,B,C son constantes con la condición que A, B y C no son
simultáneamente nulas.
Demostración
Consideremos la ecuación de la recta en su forma cartesiana
X|-Xo
a la ecuación ( 1) expresaremos en la forma;
¿ : (.'^1 - yo ){x-X o )-{xi-X Q ){y-yo ) = 0 , agrupando
¿ (.Vi - J'o ) ^ - (•’C) - -Vo ).v + ^'i>'o - •'o.Vi = O
de donde; L; Ax + By + C = O
OBSERVACIÓN.- De la ecuación general de la recta se presentan los
siguientes casos;

a) Si A = O, B 5^0 , 0 5^0 => v = - —, que es una recta paralela al eje X.
B
C
b) Si A?íO, B = 0,C?i0 => .V= , que es una recta paralela al eje Y.
A C
c) Si A O, B Oentonces y = — .v— , que es la ecuación de la recta en
B B
la forma pendiente ordenada en el origen, de donde «? = — , es decir; si
B
se tiene la ecuación general de la recta L: Ax + By + C = Osu pendiente
A
es; m = —
B
Ejemplo.- La pendiente de la ecuación de ia recta 3x + 4y + 9 = Oes - -
4
4.3. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES.-
Consideremos dos rectas L¡ y con pendientes mL¡ y mL^
respectivamente, entonces;
i) La recta L^ es paralela a la recta Z,, ( ¿ , / / ¿ i ) sí y sólo sí sus
pendientes correspondientes son iguales, es decir;
¿1 // ¿T o mL = mL-,

ii) La recta es perpendicular a la recta ¿2 ( ¿ 1 1 ¿ 2 ) V
producto de sus pendientes es igual a menos 1 , es decir:
Del gráfico se tiene 6 2 = 90° + ^j (ángulo exterior a un triángulo),
tg ^2 = tg(90° + é>,) = -c tg = —
tgé*,
tgé>,.tg¿'2
como w, =tgé^| y = tg <9
2
Luego al reemplazar (2) en (1) se tiene:
... (2)
m^Mi = - l
OBSERVACIÓN.- Consideremos dos rectas, cuyas ecuaciones son:
L : /4j.v+i5j 4-Cj = 0 y L-> A-tX-v = 0 .
Las relaciones siguientes son condiciones necesarias y
suficientes para que:
B
i) L J ! L-, <
=
> — = — ósea A ^ B . - Á ^ B ^ - ^
Aj B-,

ii) ¿ 1I I 2 A^B2+A2B^=0
iii) ¿I es coincidente a si A = kA2 , 5, = , C, = AC,, k O, o sea
A, B2 C, '
A B
iv) ¿I intercepta a I , *ólo punto sí y sólo sí: — —L o sea que
A2 5,
A^B^ -A2B¡ * O.
Ejemplo.- Hallar el valor ó valores de k para que las rectas de ecuación
L, : 2 y - k x - 3 = 0 y : {<
: + l)>’-4 x + 2 = 0 sean
perpendiculares.
Solución
í¿,: - ¿ . + 2 > -3 = 0
Sean:
Lj : ~4x + (A
' + 1)y + 2 = O
, k
' " 2
z
mL-, = •
k-¥l
Como L^lLj => mL^.mL2 ~ - , de donde
k 4 1
= 2 k = - k - l =í> k = —
2 ¿ + l 3
k = - ~
3
Ejemplo.- Determinar para qué valores de “a” la recta
L: (fl + 2).r + (a’ - 9) v + 3a" - 8a + 5 = O, es:
i) Paralela al eje X.
iii) Pasa por el origen de coordenadas.
Solución
ii) Paralela al eje Y.

Sea I : (a + 2)x+(¿i -9 ) y + 3¿z - 8a + 5 - O ^ m i - -
a + 2
a ^ - 9
Sean ' ^
U 2 : y e Y
fm¿ , = 0
ml'j = X
i) ¿ //1 | O m i - mil
a +2
a - - 9
= 0 a = -2
ii) L/f L jl
ü +2 'y
— = x => cr =9 :=
> a = ±3
a
iü) (0,0) e L 0+0+3fl--8a + 5 = 0 9=1, a = ^ .
Ejemplo.- Hallar la prpyección del punto P(-6,4) sobre la recta 4x-5y+3 =0
^ Solucién '
•P(-6,4) ; , f EI punto pedido es A y denotaremos por
proyección /5r(y;J 31/ í , para calcular el
punto A, trazaremos una recta I,
¿ L: 4x-5y+3=0 perpendicular a t, como Z.|ii,
i: - i ■
4 ^' 5
Además L: 4x - 5y,+3 = O ^ w¿ = —, de dqnde m£| = — , como ¿]
pasa por P(-6,4) entonces:
^ '.^ 4-
L, : y -V q =m¿,(x-^(j)

: y_4 = — (x + 6) => 5.t + 4 v t1 4 = 0
4
además A € L ¡ n L , entonces las coordenadas de A se determinan resolviendo
el sistema.
4jr-5v+3 = 0
5.v+4>’+ 14 = 0
.v = - 2
v = -l
A(-2,-l)
OBSERVACIÓN.- Una condición necesaria y suficiente para que tres
puntos de coordenadas diferentes
) sean colineales es que:
•V
| .V
, I
.V
-> V
-Ì 1
•V, .V, 1
Ejemplo.' Demostrar que los puntos (12.1). (-3,-2). (2,-1 ) son colineales, es
decir, que están sobre una misma linea recta.
Solución
Los tres puntos son colineales si el siguiente determinante es igual a cero.
12 1 1
-3 -2 I
2 -1 1
= 12(-2 + l ) - l ( - 3 - 2 ) + 1(3+ 4) =-12 + 5+7 = 0
como
12 1 1
-3 -2 l
2 -1 1
= O entonces los tres puntos son colineales.

4.4. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.-
TEOREMA.- Las distancias no dirigida de un punto /q(^0’>'o) a una recta
L: Ax + By + C = Oestá dada por la fórmula:
Demostración
Por el punto Pq(^o , Jo ) trazamos una recta L,, perpendicular a la recta L.
B
Como L L L => m L = —
' A
Luego la ecuación de la recta ¿| que pasa por el punto
por:
h - dedonde ¿| : Bx-Ay+Avr,-Bx(,
A
Sea A e L ¡ n L => A e L a ^ 6 , de donde las coordenadas del punto A
se obtienen resolviendo el sistema.
/Ia
-+ S>' + C = 0 ... (1)
Bx - Ay + AyQ - 8 x ^ = 0 ... (2)

Eduardo Esmnoza Ramos
mmmaaBKssestmmmaBamammmam
multiplicando a la ecuación (1) por B y a la ecuación (2) multiplicamos por A,
es decir:
¡ABx +B^y + BC = 0
A B x - Á ^ y + A-yf,-ABx^=Q
de donde se tiene; x =
.. B - A B y , - A C . A ^ y , - A B ^ - Í C
a ‘ * ¥ a U b '
por lo tanto las coordenadas del punto A es;
B^Xf,-AByQ-AC A-y^,-ABx^-BC ^
A^ + B'’
- ' A^ + B^
ahora calculamos d(P^^,L) = d(A,PQ) esdecjr;
J(P o ,D - + ()■.
! A^+B- A' + B'
(A'Xq + AB}’q+ AC)~ +(B~yQ + ABxn + BC)~
i
i
A~(Axq +By^ +C)~ + B~(Axq + 5vq + C)
{ A B - ) ( A x o + B yo + C f
iA- + B^} i
(Ax^ + Bya+ Q -
A- + B-
y¡A”+ B"

Ejemplo.- Hallar la distancia del punto P(2,2) a la recta L: 3x + y + 2 = O
Solución
V3‘ + 1- n/iO VIO
Ejemplo.- Hallar los valores de k para que la recta L; 4x - 3y + k - 2 = O
diste de! punto P(2,-3) 5 unidades
Solución
Como d(P,L) = 5, entonces 3 0 K ^ -I _ ^ ^ simplificando
V16 + 9
il5 + k | = 25 o 15 + k = 25 v 15 + k = -25
.-. k = 1 0 ó k = -40
OBSERVACIÓN.-Si dos rectas ; /íx + 5v + C = 0 y
¿ 2 : A.x+ By +D = 0. son paralelas, entonces la
distancia entre estas dos rectas está dada por la expresión.
d{L^,L2) =
C - D
5 '

Ejemplo.- Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la
recta L: 8x + 15y - 10 = O, que se encuentra a una distancia
numérica igual a 2 unidades del punto P(2,l).
Solucién
Sea L; 8 x + 1 5 y - 10 = 0 v ¿ | : 8jt+ 15>’+ D = 0
Condición del problema í/{P, i , ) = 2 , entonces:
=> I 3 I . D I - 3 4
x/64 + 225
como |3l + D| = 34 «• 31+D = 34 v 31 + D = -34
D = 3 V D = -65
Luego I , : 8x + 15y + 3 = 0 , • 8x + 15>'-65 = 0
4.5. FAMILIA DE RECTAS.-
a) DEFINICIÓN.- Todo conjunto de rectas que satisfacen una única
condición geométrica, se llama fpmilia de rectas o haz
de rectas.
Ejemplo.- Para ilustrar este nuevo concepto consideremos todas las rectas
que tiene por pendiente igual a 3, el conjunto de todas las rectas
forman una familia de rectas paralelas y lo representaremos
mediante la ecuación.
y = 3x+k

La familia de rectas que pasan por la intersección de dos rectas dadas son las
que tienen un especial interés, suponiendo que las dos rectas de ecuaciones.
¿j : + v+ C, = O
, se cortan en el punto Pq (xq , V
q)
¿ 2 : A2 X+ 8 2 }’+C2 = 0
La familia de rectas que pasan por el punto de intersección de I | y L2
dado por:
L : L ]+ kl2 = 0 . donde k es un parámetro, es decir:
L ‘ A ^ x B ^ y k { A 2 X B 2 y C2 ) —O ... (a)
La importancia de la ecuación (a) está en que nos permite obtener la ecuación
de una recta que pasa por la intersección de dos rectas dadas sin tener que
buscar las coordenadas del pumo de intersección.
Ejemplo.- Una recta pasa por el origen de coordenadas y por la intersección
de las rectas 3x 2y - 14 = O y x - 3y - 1 = 0. Hallar su
ecuación sin determinar el punto de intersección.
Solución

La recta pedida pertenece a la familia de rectas:
L: 3x + 2 y - 1 4 + k ( x - 3 y - l ) = 0
Como la recta L pasa por el origen (0,0) entonces
0 + 0 - 1 4 + k ( 0 - 0 - l ) = 0 =
s> k = -l4 L: x = 4y
Ejemplo.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de
intersección de las rectas : x +2 y - 4 = 0 y
¿ 2 ; 3 x - 2 v - 8 = 0 y es perpendicular a la recta
¿3 : 5a
- - v + l l = 0 .
Solución
La recta L que pasa por la intersección de las rectas y ¿ 2 corresponde a la
familia de rectas: L: x + 2 y - 4 + k ( 3 x - 2 y - 8 ) = 0
De donde L: (3k + l)x + (2 - 2k)y - 4 - 8k = O
L: (3;t + l)A- + ( 2 - 2 A ) v - 4 - 8 A = 0
...(»)
Además:
Ly : 5a-->' + 11 = 0
mL = -
Ík+
2 - 2 k ...(2 )
m
Ly=5
...(3)
Como i l ¿3 m L .m L j= -
Ahora reemplazamos (2) en (3)
- ^ ^ . ( 5 ) = - l => (3k+l)5 = 2 - 2 k => k = ~ —
2 - 2 k 17
que al reemplazar en (1) se tiene: L: ( - ^ + l).v + ( 2 + ^ ) j ; - 4 + “ = 0
L: 2 x + 1 0 y - l l - 0

4.6. ANGULO ENTRE DOS RECTAS.-
TEOREMA.- Consideremos dos rectas L, : /l,x + S,v + C, =0 y
¿ 2 : + + = 0 . el ángulo 0 = Z ( i | , ¿ 2 ), formado
por las rectas y I , está dado por la fórmula.
—'üh-- tnl^mL-, * -
l + m¿,.ml2
donde mi, es la pendiente de la recta inicial y w li es la pendiente de la recta
tlnal coiTcspondiente al ángulo 0 .
Demostración
Sean I, la recta inicial (recta a partir del cual se mide el ángulo), ^ccta
final (recta a la cual se dirige el ángulo) y 6 el ángulo correspondiente a la recta
L , y l 2 -
Sean /ni, y mZ., pendiente inicial y final correspondiente
de la figura se tiene; p = a + 0 (ángulo exterior de un triángulo) de donde
9 = P - a, aplicando la tangente, tenemos:

como mLy=iga y mL2 = tgfi ...(I)
ahora reemplazamos (2 ) en ( 1) resulta: tg ^
1 + mL .inLq
Ejemplo.* Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(2 ,-1 ) y
que forma cada una un ángulo de 45° con la recta L; 2x-3y+ 7 = 0
Solucién
Ilustraremos los datos del problema mediante el siguiente gráfico:
2
Como L: 2x - 3y + 7 = O mL= —
3
Sea mi, = m la pendiente de la recta L^
Aplicando la propiedad: tg ^ ^ . de donde
1+ mLjnL

, 2
l + -m
3
3+ 2m
m = 5
La ecuación de la recta L es; ; y +1 = 5(x - 2)
; S x - y - l U O
para el caso de la otra recta Ly se tiene mL-, = m
2 _
mL-mL-, , , , 3 ^ , 2-3/«
comotgft' = -;------- — f- dedonde tg45 — =>1 =
I+ mLmL-,
3
3 + 2m
=> m = -
La ecuación de la recta L-,_ es; ¿2 • J - 2)
¿ 1 ; ,r + 5V+ 3 = O
4.7. AREA DE UN TRIANGULO CONOCIENDO LAS
COORDENADAS DE SUS VÉRTICES.-
Sean Pj{xj,yj), A (-^2 >>’2 ) Y A (^3’.^3 ) los vértices de un triángulo.
El área del triángulo en ftinción de las coordenadas de los vértices es dado por:
en efecu

- área AP^PyB +áreñ BPyPiC- ^ 2. AP¡PjC
4 = ^ ( > ’1 + >
"3X^3 - ^ 1 )+ ^ (>"3 + >'2) ih - X i ) - ^ { y i + y 2 )(.V2 - ^ 1 )
Aa = - ( ^ 1V7 +-V2J 3 + X 3> '|- X ^ y 2 - x ^ y i - x ^ y ^ )
que expresado en forma de un determinante es:
•f| V
| I
Xz V2 I
^3 >'3 I
OBSERVACION.- La forma más práctica para calcular el deterromante de
tercer orden es:
2
X Jl 1
_ 1
A 'f-
r
X2 y2 1 f.
Xi yj 1
2
-»í j’ii<
I (jc,>-2 + x^yj + JTjy, - xjy, - Xjyj -x^y^)

4.8. FORMA NORMAL DE LA ECUACION DE UNA RECTA.-
TEOREMA.- La ìnnu nonnal de la ecuación de una recta es;
L: Xeos 0 ^ y sen 0 - p = 0
Donde p es un nùmero positivo numéricamente igual a la longitud de la normal
trazada desde el origen de coordenadas a la recta L y 0 es el ángulo positivo
menor de 360*^, medida a partir de la parte positiva del eje X a la noimal.
Demostración
Ilustraremos el teorema mediante el siguiente grátlco.
Del gráfico se tiene:
cos^ = -^
P I.Vo=/7COS^
^ i * . =/>-«■"»
p
además L L L ^ w = -!
como ri[ ~ tg a y ni¡ !<
j[0
PijipcosO^/isenO)
...(2 )

luego reemplazamos (2) en (1) se tiene:
A l C
C
K
S
Ó
^
tg a. te O“ '1 ^
sjL
(j( ~-cXzO - - -
sen t)
, eos O eos O
como m i = íg a = tiij --------
sen O senO
La ecuación de la recta L en su forma punto pendienie.
: v - jo =/?í. {.v-.v„)
co$ff
L: i' - psenu = -------[ x - p eos 0)
Sl’llf)
L : .Veos9 + yscn9 - psen'9 - pco%' 9 = i)
L: Xeos 0 + y sen B - p = O
Ejemplo.- Si 6 -- 3! 5’ Hallar ei valor de o en la ecuación
L; Xeos 8 - y sen 9 - p = Opara quela recta L pase por el punto
P(6,-2).
Solución
L: Xco.s 0^ y sen O- (i - 0. reemplazando 0 = 315^
L: Xeos 315° + y sen 315° - p = O
L; Xeos 45° - y sen 45° - p = O
L. — .V--— v - p = ()
2 2 ■
como P(6,-2) e L 3/2+ v2 -/) = O p -A^Jl

4.9. LA BISECTRIZ DE UN ANGULO.-
Consideremos dos rectas, cuyas ecuaciones son:
L^ : /í,.r+5|_v + C| = 0 , ¿ , : /Íj.v + Siv + Ci = 0 y demostraremos por y
¿ 2 a las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por ellos.
Por geometría elemental se conoce que cualquier punto P(x,y) de la bisectriz, la
distancia del punto P(x,y) a las rectas L^ y son iguales, es decir:
í/(P,L, ) = </(/>, ¿ 2 ). de donde
A ^ x + B ^ y + C ^ I ^ I ¿42-v+ B j y + C ,
^ A¡ + B^ yj A2 + B2
por medio de está fórmula se puede hallar las ecuaciones de las bisectriz de un
ángulo dado, aplicando la distancia dirigida de un punto a una recta, es decir:
para la recta bisectriz /, se tiene:
A¡x +B¡y +C¡ _ +
± J aj^ +BI ±y¡A¡ +B¡
y para la recta bisectriz /, se tiene:

AX + By-¥C +
± ^ A f + B l ±y¡A¡ +B:
OBSERVACIÓN.- El signo se elige de acuerdo al siguiente criterio.
Si L: Ax + By + C = O, es la ecuación general de la recta entonces;
= = dedonde
i) Si C ^ O, el signo de sI a ' + B~ es opuesto a C
il) Si C = O, B O, entonces 'Ja ' + B~ y B tienen el mismo signo.
iii) Si C = B‘= O entonces 'Ja ~+ 8^ y A tiene el mismo signo.
Ejemplo.- Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado por
lasrectas x - 2 y - 4 = 0, 4 x - y - 4 = 0
Solución
Como el origen O y P está a un mismo lado de L, y opuestos a Lj entonces
í/i =-</?
Como I , ; x - 2 / - 4 = 0 , i , • 4 .v - > - 4 = 0
•Jrix - lyjvjy - 4VÍ7 = -4>/5jr + S y +4>/s
(^/i7+4^/5)x-(2^/i7 + ^/5)y-4^/^7-4^/5=0

^ Se dan las ecuaciones de los lados de un rectángulo 5x + 2y - 7 = O,
5x + 2y - 36 = O y la ecuación de una de sus diagonales 3x + 7y - 10 = 0.
Hallar las ecuaciones de los otros lados y de la otra diagonal.
Solución
Consideremos el siguiente gráfico con sus respectivas ecuaciones
A £ L , n L =>
5x + 2>'-7 = 0
3x+7>--10 = 0
.v= l
v = I
A(l,l)
Í 3 I Í 1 => = - l donde mL^=~~
5 , , , 2
— m L ,= - => m L = -
2 ^ ^ 5
¿3 : >'-l = -(.v -l). dedonde ¿ 3 : 2x-5j^ + 3 = 0
B e -L ^ n L =>
5x + 2v-36 = 0
3x + 7>-10 = 0
,r = 8
v = -2
^ (8,-2)

L4 X ¿ 2 ^ •
'”¿ 2 = - 11 de donde mÍ2 =
5 , , , 2
— mLA=- => m L , = -
2 i 4 5
I 4 : y + 2 = - ( . r - 8) dedonde ¿4 : 2 x - 5 y - 2 6 = 0
ahora calculamos los puntos C y D.
5.y + 2>--36 = 0
2,y - 5 > + 3 = 0
x = 6
v = 3
: C(6,3)
5.v+ 2 v - 3 6 = 0
2a
- - 5 v + 3 = 0
a = 3
v = -4
; D(3,-4)
calculando la pendiente de la recta L '.
- 4 - 3 -7 1 "
3 -6 ~ - 3 ~ 3
L': y - 3 = - { x - 6 ) 7 ,r-3v-33 = 0
Luego ¿ 3 : 2 x -5 v + 3 = 0, ¿ 4 : 2,r-5,v-26 = 0 son los otros lados del
rectángulo y 7 x - 3 y - 3 3 = 0 es la otra diagonal.
0 Dada la recta L con ecuación 2y - 3x = 4 y el punto P(l,-3) encontrar la
ecuación de la recta que pasa por P y es perpendicular a L y la distancia más
corta de P a la recta L.
Solución

L: 2y - 3x = 4 =>
1 ¿ mL.mL^ = -1
3 , t . 2
- m L = - l => mL = —
2 ' ' 3
L,: v-vo =m¿,(jr-Ao)
: 2.T+ 3.V+ 7 - 0
La distancia más corta del punto P a la recta L es:
I - 3 - 6 - 4 L . 3 ^ ^ ^
d(P,L) = '
yÍ4+9 >/¡3
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-5,4), sabiendo que
la longitud de su segmento comprendido entre las rectas x + 2y + 1 = O,
X + 2y - 1= O es igual a 5.
Solucién
.P(-5.4)
A(x,,y,) '-r + Sí/í(x,,v,)e¿, => X |+ 2 7 , +1 = 0
Lj: X+ 2y -10 = O
Sí (;^,.V2 ) e ¿ 2 X, +2>'2 -1
Luego
Luego

Como los puntos P, A, B están en la recta L, entonces se tiene , de
donde
- Í L ± 1 _ 4
2 ■''1+9 2
= = -----'— = — = =
-------
X,+5 2(X|+5) ™ Xt +52(x2+5)
X .+ 9 x ,+ 7
Como nr= 2 = = > ------^
------ = ------ -------
2(x,+5) 2(x,+5)
De donde x¡x, + 5x¡ + 9xt + 45 = x, X2 + 7X| + Sxj + 35 simplificando se
tiene; x, = 5 + 2 x2 •••(*)
además d(A,B) = 5, entonces se tiene:
(X2 - X| )^ + = 5, elevando al cuadrado
(x ,-x ,)^ + (--^-'^ - ^ ) - = 2 5 ...(2 )
reemplazando (1 ) en (2 ) se tiene:
4(-X2 - 5 ) ‘ +(Xt + 7)" =100, desarrollando se tiene:
? 49
5x2 + 54x2 +49 = 0 entonces as = - I . x, = — —
para X2 = - l , Xj = 3, entonces los puntos son ^|(3 ,-2 ), 5|(-1,1)
l- (-2 ) 3
luego mL ■
■
-1-3 4
L: y - 4 = - - { x + 5 ) L :3x + 4 y + l = 0
4*

49 7? . , , 7 3 34,
para .v, = ------, .v,= ------entonces se tiene los puntos ---------
B i
5 ’ 5 ^
Luego mL'=
^ _ 2 4
5 ~ 7 1
73 24
5 y
5 5
r : > - 4 = - - ( x + 5 ) L': 7.r + 2 4 i - 6 1 = 0
Hallar la ecuación de la recta ¿ 2 paralela a la recta ¿¡ ; 2a* - y = 3 que forma
con los ejes coordenados un triángulo de área 9 ir
Solución
Como i-, // ¿1 : 2x - y - 3 = O U : 2x - v + D = 0
Interceptando con los ejes coordenados
v = 0, x = - -
2
x = 0. y = -D
D- -3(> => D = ±6
(F ) Hallar la ecuación de ia recta L que pasa por el punto Pq(,1) y es paralela a
la recta ¿ | : 8x + 5v + 40 = O.

©
S0 »M
C
k>B
Como ¿ //¿, => L: 8x + 5y + D = 0
Como Pq{í,1)€L => 8 + 35 + D = 0 = >D = -43
L: 8x + 5 y -4 3 = 0
El área de un triángulo es ,4 = 5 » dos de sus vértices son los puntos
A(3,l) y B(l,-3). Hallar el vértice C si éste se encuentra sobre la recta
L: 3x + 2 y - 1 4 = 0.
Solución
Interpretando los datos mediante un gráfico
El área de un triángulo mediante determinante
^ = - 1
^2 yi
h yí
X
1=5 =>
3 1
1 -3
14-3.r
2
3 1
, „ 14-3JT , , 3(!4-3x),
-9 + --------- + J -1 + 3.V------------------=10
' 2 2
|-10 + 4 x - 1 4 + 3x| = |7 x - 2 4 ¡ = 1 0

! 7 x - 2 4 l = 1 0 o 7 x - 2 4 - l 0 v 7 x -2 4 = -10
34
o V x = 2
7
para x = 2, y = 4, C|(2,4)
34 2 „ , 3 4 2^
- y .
Hallar las ecuaciones de la recta L que pasa por el punto M(12,3) y íomia con
los ejes de coordenadas un triángulo de 24 ir de área.
Solucién
X V
'
Sea L : - + —= 1, la ecuación pedida
a b
M(12,3)6L => — + - = 1
a b
3a + 12b = ab
además A = = 24
2
dedonde |a.b| = 48 o a.b = 48 v ab = -48
Si ab = 48 3a + 12b = 48 dedonde a = 1 6 -4 b
Comoab = 48 (16-4b)b = 48 => (4 -b )b = 1 2
6 - - 4 ¿ + 12 = 0. I b & R
Si ab = -48 =? 3a + 12b = -48 dedonde a = *16- 4 b
Como ab = -48 => (-16 - 4b)b = -48

©
160+46* = -4 8 =:> ¿>-+46-12 = 0
(b + 6) ( b - 2 ) = 0 => b = -6, b = 2
Sí b = -6,a = 8, L ; - - ^ = 1
8 6
Sí b = 2,a = -24, + ^ = 1
24 2
¿I : 6 x -8 > ' = 48
L, : .t-12y+ 24 = 0
Sean A(2,0) y B(3,3) la base de un triángulo. Hallar el vértice C, sabiendo que
el área del triángulo es 5 unidades cuadradas y que la línea que une el vértice C
con el origen es bisectriz de los ejes coordenados.
/
/ /
Solución
La bisectriz de los ejes coordenados es; L: y = x
Como C e L => C(x,x)
De las condiciones del problema se tiene;
Zl
A(2.0) T
.V X
3 3
2 O
.r X
= ^ 1 5 a- -3 ,t - 6 | = 5
| 2 x - 6 | = 1 0 « x = 8 V x = -2
para x = 8, y = 8 el vértice C| (8,8)
parax = -2 , y = -2 el vértice € , ( - 2 ,-2 )
Hallar un punto situado en la parte positivo del eje X, desde el cual se ve el
segmento A(-3,4), 3(3,8) bajo un ángulo de 45°

Solución
A(-3.4)
Uniendo el punto buscado P(x,0) con los
extremos del segmento dado, entonces se
tiene:
8 - 0 8 '
.V-+23
x + 3 3-.Y
4x+36 1 4 + ‘>í7
tg45° = : ^ i - ^ = l => .v--4.v-13 = 0 => x =
X' +23 2
com ox> 0 => P( 2 +y ñ j,0 )
Dadas las rectas L^: x - y +2 = ú y ' O= O, determinar la
ecuación de la recta que pasa por el punto P{6,4)de tal manera que la pane de
está recta comprendida entre las rectas dadas Z.,y queda dividida por el
punto P en dos segmentos iguales.
Solución
C om o.^ € ¿ 2 => Jt2 + 3_
V
2
Dedonde .V
2 = 1 0 - 3>s
.'. //(lO-S^s.^-v), además
S e ¿ I => ,V
| -y , + 2 = 0
de donde .v, = y, - 2 por lo tanto
fi{ y ,-2 .y,)
Y'
;L
/ p K . y , )
^ ^ ( X 2,y2)
/ 0

de la condición del problema P(6,4) es punto medio de A y B entonces:
.V
, +^ 2
2
= 6
2
X
| = 1 2
y ,+>-2 = 8
reemplazando .V
2 = 1 0 - 3>'2 . -V
| = j | - 2 en(l)
ÍJ i - 3 v2 = 4 >
■
, =7 =5
de donde
[y i+ > < , = 8 y, =1 .V, =7
Luego los puntos son A(7,l) y B{5,7)
Por lo tanto la ecuación de la recta que pasa por el punto P(6,4) es:
L: v -4 = — (.v-6)
s - r
L: 3x + y -2 2 = 0
Una recta pasa por el punto P(2,~) y forma con los ejes coordenadas un
triángulo de perímetro 12 unidades. Hallar su ecuación.
Solución
La ecuación de la recta que pasa por el
punto P es:
P (2.|)
a b
2 4
como P e L => —+ — = 1
a 3b
en el A AOB se tiene c/(A, B) = yja“ -f
de la condición del problema se tiene.

2 = a +b +^a^ +b^ .dedonde ¡a^ +b~ = 2 -{a +b)
elevando al cuadrado +b^ = ’ 4 4 -2 4 a -2 4 6 + a" +2ab +b~
■ vr A 72-120 -
simpliricando a = •••(!)
2 4 , 2 , 4
com o- + — = 1 => - = 1 -----
a 3b a 36
2 3Ò-4 6¿)
- = ------- => a = --------- ...( 2 )
a 3b 3 b -4 .
igualando (1) y (2) se tiene: ——— = - =:> 56"-326+ 48 = 0
12-6 3 6 -4
(b -4 )(5 b -1 2 ) = 0 => b = 4, 6 = y
^ 1 2 9 ^ 2x 5y ^
para6 = — , a = - => U : — + — = 1
5 2 ^ 9 12
Los vértices de un triángulo son A(3,3), B(i,-3) y C(-l,2). Hallar el valor del
ángulo agudo que forma la mediana que corresponde al lado AB con la
mediatriz del lado AC.
Solución

” 3f =
3 -2 1
3 - ( - l) 4
L ^ l A C => m l^ .m j^ = -
—mL - - 1 z:> mL = -4
4 '
mLy =
2 - 0 2
- 1 - 2 3
tg ^ = |Y de donde ^ = arctg(|j)
(13) Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto Po(^>®) Y fortpa
ángulos iguales con las rectas ; 2 .v->' = 0 y ¿ 2 ^ j r - 2 j = 0 .
Solución

m L i-m L 2 1 -2 «
tga = — -------- = -^— = ---------
1+ mío >nL j ^ m 2 + m
mL-mL^ m - 2
.(2)
(3)
1 + mLy mL +lm
como a = P => tg a = tgP dedonde
1—2/w m—2
=,------^ ^ ( l - 2 m )(l+ 2 m) = (m + 2 )( m -2 )
2 + m
+2m
l - 4 m ^ = m ^ - 4 => m ' = l => m = ± l
por lo tanto L: y - 0 = l ( x - 3 ) => L ; y = x - 3
L': > --0 = -{ x -3 ) => ¿': y = 3 - x
Hallar la ecuación de la recta mediatriz del segmento de recta determinado por
los puntos A(l,2) y B(5,2).
Solución
2 - 2 O .
= 0
5-1 4
L: y - 2 = m L (x-3)
A(1.2) M(3,2) 8 (5 ,2 ) L L A B => m L m ^ = - l
mL = — ■= — = -0 0
L: y - 2 = -oo(x-3) dedonde
y - 2
x - 3
= -oc =í> x - 3 = 0
por lo tanto L: ,x - 3 = 0

Hallar la ecuación de la recta L que pasa por la intersección de las rectas
¿I : 3 x - 4 y =0, ¿ 2 : 2.v - 5>’+ 7 = O y que forma con los ejes coordenados
un triángulo de área 8 h '
Solución
Mediante familia de rectas se tiene:
L: i|+Á rí,2 = 0 , dedonde L: 3 x -4 y + k(2 x -5 y + 7) = 0
L: (2k + 3)x-(5k + 4)y = -7k ...(1)
2k +3 5k +4
1 Tk Ik k^
dedonde A = - ( — i í ^ X - ^ ) l = 8 4 9 |----------------------------1=16
2 2k +3 5k +4 i2k +i){5k +4)
49*^ =16(2Jt + 3X5it + 4) v 49it-=-16(2il + 3X5)t+ 4)
4 9 /t-=16(10*^+23)1 + 12) V 49¿-=-16(10it-+23/t + 12)
lllit^ + 368^ + 192 = 0 V 209A--+368A' + 192 = 0
(3k + 8X37k + 24) = 0 v I k e R
8 , 24
porlotanto , k = ------
3 37
g
para k = - - , L; x -4 y + 8 = 0
k = i ’: 63x-260v = !68

El área de un triángulo ABC es 7 i r , si A{1,4), B(7,-l), hallar el tercer vértice
C, si el lado BC es paralelo a la recta x - 2y = 32.
Solución
i/7Li => L; x -2 y = D
= 32 (7 ,- l) e L ^ 7 + 2 = D => D = 9
.-. L; x - 2 y = 9
(a,b) e L => a -2 b = 9
dedonde a = 2b + 9
Luego el vértice c(a.b) = cí2b + 9, b)
Además, por condición del problema se tiene;
^ • 4
7 - 1 1 7 -1 1
1 4 1 i=7 => 1 1 4 1 1=14
26 + 9 b 1 26 + 9 6 1
desarrollando el determinante y simplificando:
|8b + 8| = 7 => 8b + 8 = 7 v 8b + 8 = 7 dedonde 6 = - - y b = - —
8 8
. 1 35
para 0 = - “ , ^ = “
^ 1 5 21 ^ ,2 1 15^
f - j . a - - => C,
Dadas las ecuaciones de dos lados de un rectángulo x - 2 y = 0,
X - 2y + 15 = O, y la ecuación de una de sus diagonales 7x + y - 15 = 0.
Determinar los vértices del rectángulo y calcular su área.

Solución
Calculando el vértice A se tiene:
íjr-2>' = -15 [jf = l
A
I7jr+>' = 15
rL-¡ -
calculando la recta ¿j» donde 1 L
v = !
=> A(l,8)
¿ I : X- 2 j = O => m l ^ = - además
- L Z.J tnLry — 1 /wZ, — ~ 2
La s ' y - 8 = -2 (x -I) dedonde L^g 2x + y = IO
Calculando el vértice B
„ , , Í2x + >' = 10 (x = 4
[ x - 2>' = 0 [y = 2
B(4,2)
Calculando el vértice C
^ , í x - 2 >' = 0
C e L in L - , => •!
' ^ [7x+y = I5
x = 2
y = l
C(2.1)

CalcDkndoel vértice D donde '■y = “ 2(a'-2 ) =í> L^c : lx + y = 5
D e L^(- n L j =>
2x + >' = 5
x -2 j; = -15
2x+>’= 5 x = - l
x - 2 y = - 5 U = 7
^ D(l,7)
Calculando el área del rectángulo.
A = d{A, C) = y¡(4-)-+ (2-Í)-.y¡(4-2)-+ {2-Y
= V9+36>/4+í = ^ Í 4 5 S = = 3.5 = 15ir
Sobre la recta x - y - 2 = O, hallar un punto P, tal que la suma de los
cuadrados de sus distancias a los puntos A(4,0) y B(0,2) sea 11.
Solución
(a,b) e L => a - b - 2 = 0 => a = b + 2
condición del problema; d(A,P)' +d(B,P)~ =11
( f l - 0)^ +(¿>-2 )^ + ( f l- 4 )‘ + ( b - O f = 1 1 , desarrollando
2<j^+26"-8 fl-4 ¿ + 9 = 0 como a = b + 2

2(b + 2)^ + 2í)^ - 8(¿ + 2) - 4fc + 9 = O, simplificando
4 6 ^ -4 ¿ + l = 0 => (26-1)^ =0 => b =^
a = ¿ + 2 = - + 2 = - => a = - porlotanto /* (-,-)
2 2 2 2 2
0 Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a 1a recta 3x - 4y - 10 = O, que se
encuentran a una distancia de ella 3 unidades.
Solución
Sea L / / ¿ |: 3 x -4 y -1 0 = 0 entonces L: 3 x -4 y + d = 0
De la condición del problema se tiene: d{L,L,) = 3 dedonde =3
ld+10| = 15 o d + 10=15 V d+ 10 = -15
de donde d = 5 v d = -25
porlotanto: L: 3 x -4 y + 5 = 0 y V: l x - 4 y - 2 5 = 0
Una recta pasa por el punto de intersección de las rectas 2x - 3y - 5 =0,
x + 2 y -1 3 = 0 ye! segmento que determina sobre el eje X es igual al doble de
su pendiente. Hallar la ecuación de dicha recta de su pendiente. Hallar la
ecuación de dicha recta.
Solucién
Mediante familia de rectas se tiene:
L: 2 x - 3 y - 5 + k(x + 2 y -13) = 0
L: (k + 2)x + (2 k -3 )y -5 -1 3 k = 0 — (I)

k +2
Dedonde mL = — ;— ..(2)
I k - i
Interceptando la recta L con el eje X, se tiene: y = 0, x = ...(3 )
k-¥l
5 + 13/t k +1
por condición del problema de (1 ) y (2 ) se tiene: ---------= - 2 :--------
^ + 2 I k - l
de donde (5 + 13k)(2k - 3) = -2(k + 2Kk + 2) simplificando
4 k ^ - 3 k - = 0 => k = l, k = - ~
4
Luego para k = 1, L |: 3 x -> '-1 8 = 0
k = - ~ , L, : x - 2 y - = 0
4
La distancia de una recta al origen es 3, la recta pasa por el punto (3V5,-3).
Hallar su ecuación.
Solución
La ecuación de la recta L que pasa por el punto -3) es,
L: v + 3 = m (x-3>/5), de donde
L : m x-y-3y¡5m - 3 = 0 , de la condición del problema se tiene: d(0,L) = 3
í/(0, L) =! — = 3, de donde 13V5m + 3 1= +1 , simplificando
+1
I-Jim + 31 = Vffi" +l . elevando al cuadrado 5m~ + 2^¡5m + 1 = w" + 1

Am~ +2y¡5m = O => m = 0, m = - - ^
por lo tanto las rectas pedidas son: ¿ |: y + 3 = 0 , I^ : •s/5.r+2j-9 = 0
Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-2,-4) y cuya suma de sus
intersecciones con los ejes coordenados es 3.
Solución
Como la recta intercepta a los ejes coordenados entonces es de la forma
a b
X y
simétrica L: —+ —= 1
2 4
como A(-2r4) e L ----------= 1 de donde 4a + 2b = -ab ... (1)
a b
además a + b = 3 condición del problema de donde b = 3 - a (2)
reemplazando (2 ) en (1 ) se tiene:
4a + 2(3 - a) = -a(3 - a), dedonde ¿/“ - 5 a -6 = 0 =>a = -l, a = 6
J
C y
para a = -l, b = 4 => L : — +—= 1
' - 1 4
a = 6, b = -3 L, - - ^ = 1
‘ 6 3
i j : 4jc->^ + 4 = 0, ¿2- . t - 2 v - 6 = 0
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(12,6) y forma con los
ejes coordenados un triángulo de área igual a 1 50 w^.
Solucién

La ecuación de la recta en su forma
simétrica es:
a b
como P(12,6) e L entonces
12 6
— + - = 1 => 6a + 12b = ab
a b
6a + 12b = ab
1
de la condición del problema se tiene: /í = - 1ai) |= 150 => Ia-b I= 300
|a b | = 300 =:> ab = 300 v ab = -300
S íab = 300 6a + 2b = -300 => a + 2b = -50 a = -2b-50
como ab = 300 => (50-2b)b = 300 dedonde
6 -2 5 6 + 1 5 0 = 0 b=10, b= 15
Sí
, 6 = 10, a = 30
6 = 15, a = 20
, . y ,
3 0 ^ 1 0 "
^ + ^ =
... (a)
20 15
S íab = 300 6a + 2b = -300 a + 2b = -50
como ab = -300 (-2b- 50)b =-300 dedonde
6-+ 256-150 = 0 => b = -30, b = 5
a = - 2 b - 50
Si
6 = -30, fl = 10
6 = 5, fl = -60
I . i . _ Z .
10 30
L :
X V
... (P
)

Por lo tanto de (a) y (p) se tiene:
¿I : x + 3 y - 3 0 = 0 , ¿ 3 : 3x + 4 y - 6 0 = 0
¿ 3 : 3 x - > - - 3 0 = 0 , ¿ 4 ; . v - 1 2 y + 6 0 ^ 0
Determinar el valor de k para que la recta k^x +ik +)y +i = 0
perpendicular a la recta 3 x - 2 y - 11 = 0 .
Solución
Sea L: k-x+{k +)x +3 = 0 , L, : 3 x - 2 y - ll = 0
De donde mL = — -— , mL = — ^ = -
k + ‘ - 2 2
sea
3 .- k ^
Como ¿ I i , => m ¿ .m l|= -l dedonde - ( ----- ) = - ! 3 k '= 2 k + 2
2 k +i
i k - - 2 k - 2 = 0 => k =
] ± y ñ
Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(5,3) y forma un
triángulo isósceles con las rectas jr - y - l = 0 y Lt'. x - l y - = 0 .

— m .
7 m - l
1 + m
^ 7
(1 - 7m)(l + m) = (m - IKm + 7)
dedonde 2m ^+3m -2 = 0 => (2m -l)(m + 2) = 0
entonces m = -2 , ffi = - por lo tanto
L: y - 3 = -2(x-5) o L': v -3 = -(.v -5 )
Es decir: L: 2x + y -1 3 = 0 o L’: x - 2 y + I = 0
Para el caso del triángulo A AB' C sea isósceles.
,g ^ = ,g C ^ _ 2 . Í L z l =, „.= 7
l +myin2 1 + /?)]/»' 1 + m'
7
:: V: 7 .v -/-3 2 = 0
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas
Z,|: 3a + 4> - 9 = 0, ¿ 2 • 4x-3>’+ l = 0 y cuya distancia al origen es u.
Solución
La recta L que pasa por la intersección de
¿I y ¿ 2 corresponde a la familia de rectas.
L: 3 x + 4 y -9 + k(4x-3y+ 1) = 0
L; (4k + 3)x + (4 - 3k)y + k - 9 = O
^ i ^ Por condición del problema se tiene:

d{0,L) = y¡2, dedonde
|0 + 0 + ¿ -9 !
V(3 + 4 ¿ )-+ (4 -3 í)-
=y¡2, sim p lifica n do
k - 9 = y¡2yjlSk^ +25 elevando al cuadrado k ' - m +i = 50k- +50
dedonde 49)t^+18A-31 = 0 => k = -l, —
49
porlotanto; para k = - l, L :x -7 y + 1 0 = 0
it = — . L': 271x + 103v-410 = 0
49
Un ángulo de 45° tiene uno de sus lados sobre el eje X, y su vértice en el
origen de coordeiiadas. Por el punto P(4,3) se traza un segmento que intercepta
a los lados del ángulo en el punto A (extremo del ángulo sobre el eje X) y B, de
1 p i
manera que O divida al segmento determinado, en la relación = = - .
PB 3
Determinar las coordenadas de un punto C sobre el eje X, de modo que el área
del triángulo ABC sea de 16m‘ .
Solución

1
4 = ------ ¿— ;:í> 16 = 3a|+,Y i
1+ -
3
0 + '
3 = -
1+ -
=> 12 = .V
-) => Jf, = -
Luego /í(-,0 ), B(12.12)
12 12 1 12 12 1
4 ^ 4
- 0 1 = 16 => - 0 1
3 3
jtj 0 1 .V
3 0 1
= 32
12(0-0)-12(--X 3) + 0 = 32 => -16+12.1-3 = 32 => 12.V3=48 .V3=4
Dados los vértices de un triángulo A(l.-l), B(-2,I), C(3,5), hallar la ecuación
de la perpendicular bajada desde el vértice A a la mediana, trazada desde el
vértice B.
Solución

BM
2-1 1 . j ..,1 +3 5-1
■= — donde M{—^ , —^ -) = M(l,2)
2 -(-2 ) 4 2 2
L L B M mL = -4
L: y - y o = m L ( x - X o ) => L; y + l = - 4 ( x - l )
L: y + 4 x -3 = 0
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y forma
con las rectas x - y - l = 0 y 2 x - y - 3 = 0 un triángulo de área 6 u ~ .
A(2,l)
^ . , ím x - j = 0
C e L n L entonces ^ =>
i.r-> = l
jir= -
1
1 -m
1

además se sabe que: = -
3
2 - m 2 - m
1 1
- m - m
1 I
‘ -3 1
-1 1
= 6 dedonde
16/71^-48m + 32 = - 8/n + 7 (4 m -5 )‘ =0 => m = -
4
(30)
Z.: y = - x de donde se tiene: L: 5x - 3y = O
Una recta pasa por la intersección de las rectas x + 4y = O, y x - 2 y - 6 = O y
forma un ángulo de 45° con la recta 2x - y + 2 =
=0. Hallar su ecuación.
Solución
Sea L: x + 4y + k(x - 2y - 6) = O la recta buscada
L; (k + l)x + (4 -2 k )y -6 k = 0 dedonde mL = -
Sea ¿ I : 2.r - V+ 2 = O => mi, = 2
k +] k +
4 - 2 k 2 k - 4
k +
- 2
tgA5° =
mL-mL 2 k - 4 k - Í
1+ mL .mL
1-2
A
-+ 1
2 k - 4
= 1 k = 5
.-. L: x - y - 5 = 0
Determinar las ecuaciones de los lados de un triángulo, conociendo uno de sus
vértices A(-1,6) y las ecuaciones de la altura 3x + 2y = 0 y de la mediana
X+ y = O trazado desde un vértice.

Solución
ÂC
:3 x + 2 >’= 0 => m L ^ = - -
- ~ ' ”ÂC = - => "<ÂC=Z
L^c : 2.x - 3 j + 20 = O
3x+2v = 0
B & U n L ... =>
x + .v-O
x + y = 0
2x -3 y + 20 = 0
M es punto medio de A y C donde:
-4 =
4 =
^
A
C' >'-6 = j(x + I)
=> x = y = 0 => B(0,0)
x = -4, y = 4, M(-4,4)
~ +a
~
6+b
a = - l
b=2
C(-7.2)
mL— = ^ , la ecuación será L„r '■ v- O= - (x - 0)
- 7 - 0 7 « - '
Lbc - 2x + 1y = 0
mLjg = = - 6 , la ecuación será L^g : y -O = - 6(x -0 )
L ^ B : 6 x + y=Q

0
33
Dos rectas pasan por el punto P(5,4) de manera que la suma de sus
coordenadas en el origen es -3. Hallar la ecuación de la recta de mayor
pendiente.
Solución
X y
Sea L : —-I-—= 1 de tal manera que a + b = -3
a h
5 4
Como (5,4) 6 L => - + - = 1 => 4a + 5b = ab
a b
Luego formando el sistema se tiene:
a - ^ h ~ - 3 b = - 3 - a
:=
> ^ de donde
4a + 5h = ab 4a + 5 (-3 -a ) = a (-3 -tí)
a “ +2tíí-15 = 0 => (a + 5)(a-3) = 0 =:> a = 3, a = -5
Lj : 2x - y = 6
¿2 '• 2a
'-53; + 10 = 0
V V
para a = 3, b = -6 => Z-,: - + — = 1
3 - 6
a = -5, b = 2 ^ L : — + ^ = 1
-5 2
Los vértices opuestos de un cuadrado son A(4,-3) y C(-3,-2). Hallar las
coordenadas de los otros vértices.

(a,b )eL b = 7 a -6 = > B (a,7 a-6 )
C B I B À ^ mCB.mBA = - de donde = .
a+ 3 a - 4
setiene: (7 a-4 )(7 a-3 ) = -(a + 3)(a-4)=i> a ^ - a = 0 => a = 0, a = l
para a = 0, b = ! => 8 ( 1,1 )
(c,d) 6 L => d = 7 c -6 => D(c, 7 c -6 ;
DB I C A => mCAjrtDB = - l
-3 + 2 7 C -6 -1 , 1 l c - 7 ,
----------------------= - l = ? . --------------= -
4+3 c - i 7 c - l
7 c -7 = 7 (c -l). =>c = Ü => d = -6 D(0,-6)
• B (l,l) y D(0,-6)
Si tres rectas se cortan en un punto común, se dice que son concurrentes, si las
tres rectas I, : ^iA^+ ^i^ + C, = 0 , ^ ^ 2^ + ^ 2>’+ C2 = 0 y
¿ 3 : A-¡x +B^y+Cy = 0 , son concurrentes, demuéstrese que sus coeficientes
satisfacen la condición.
C,
A¡ fi|
A, B, C,
A , By Cj
S o iiju ^
Por datos del problema se tiene:
AyX+Byy +C^ =0
/IjX + SiV + C, =0
= 0
...( 2 )

A^x +B^y +C^=Q ...(3 )
despejando x de ( 1 ) se tiene; a- = - ... (4)
+ B-,y +Ci -O dedonde ^ = — é i£ l
A, A^B^-A^B,
(5)
A^Bf ~ AÂyB^
reemplazando (6), (5) en (3) se tiene:
A + ^ (é2£ i l A ^ +(; =0
^ A¡B,-AÂ,B^ ' A^B,-A,B^ ^
/l3(/í,B,C3 -^fi|C | -/li^jC, +^5|C |) +,4|5,(/Í2C|- A ^ C j ) +
+Cj(v4i ¿2~ AÂ2B^) = 0
A
jA
^
B^
C
^
2 ~
~
-^2■^3 ~ A
A
^
B^
C
^ +A
2A
^B^C
^ + -^2*^3^1 ~B-^Cy +
simplificando y ordenando se tiene:
A 5, c,
= 0
A, fi, Q
-^3 53 Q
Hallar la ecuación de la recta quepasa por el punto P(a,b) y por la intersección
r X V , , A
' V .
de las rectas ¿ , : - + —= l y ¿ 2 ' - + - = !•
a b b a
Solución

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