TEMA II también.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación universitaria
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
BARQUISIMETO-LARA
Plano numérico
Alumna: Gabriela Yacobucci
30.759.826
Sección 0104-0113

2. Plano cartesiano
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en
un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o
de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes,
(y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de
puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares
ordenados.
Ubicación de puntos en el plano cartesiano
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las
equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un
punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como
base sus coordenadas, lo cual se representa como:

3. P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a
cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las
unidades correspondientes hacia la derecha si son
positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del
punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las
unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas)
hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas
y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas
coordenadas.

4. Distancia entre dos puntos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en
una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos
corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9
unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en
una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos
corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del
sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la
relación:

5. D: 5 unidades.
Comprobar un triángulo isósceles (Distancia entre 2 puntos)
Ej.
Demostrar que los puntos: A (3, 8); B (- 11, 3) y C (- 8, - 2) son
vértices de un triángulo
isósceles.
Como AB = AC es diferente de BC; el triángulo es isósceles

6. Comprobar que es un triángulo rectángulo (distancia entre 2
puntos)
Ej.
Demostrar que A (7, 5), B (2, 3) y C (6, - 7) son vértices de un
triángulo rectángulo.
El cuadrado de la hipotenusa (AC) es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos (AB y BC).
Punto medio.
Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la
misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de
un segmento.

7. Más generalmente punto equidistante en matemática, es el
punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos
geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc.
Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos
partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista
de los extremos del segmento. Por cumplir esta última
condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
Construcción geométrica
Se hace buscando puntos del eje de simetría de los elementos
dados en cada caso. Si no son simétricos se hacen
aproximaciones mediante arcos o paralelas para hallar los
puntos medios o equidistantes según el caso. por ejemplo
cuando sumas 3 x 93 es lo mismo que un punto medio porque
si haces una línea o raya y pones un circulito en medio o una
bolita en medio y eso es un punto medio
En otros casos:
En el triángulo
 La mediana une el punto medio de un lado con el vértice del
lado opuesto.
 Si se unen los tres puntos medios de un triángulo se
construye un triángulo semejante al original, cuya área es un
cuarto del área primitiva.
 En el punto medio de cada lado de un triángulo se levanta la
mediatriz respectiva de dicho lado.

8.  El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
es el centro de la circunferencia circunscrita a dicho
triángulo.
En las cónicas
 En la elipse: el centro es el punto medio de su eje mayor,
como también del segmento que une los focos.
 En la hipérbola: el centro es el punto medio de del segmento
que une los focos.
 El centro de una circunferencia es el punto medio de
cualquier diámetro.
En paralelogramos
 El punto medio de una diagonal de un rectángulo es centro
de simetría
 El punto medio de cualquier diagonal de un rombo es el
vértice del ángulo recto de los cuatro triángulos rectángulos
definidos por las dos diagonales.
 El punto medio de la diagonal de un cuadrado es centro de
simetría.
Ecuaciones y trazado de circunferencias
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano
que equidistan de un punto fijo llamado centro.

9. Determinación de una circunferencia
Una circunferencia
queda determinada
cuando conocemos:
a) Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
b) El centro y el radio.
c) El centro y un punto en ella.
d) El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También podemos decir que la circunferencia es la línea
formada por todos los puntos que están a la misma distancia de
otro punto, llamado centro .
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de
una circunferencia.
Nota: Los ejercicios sobre este, pueden hacerse en uno u otro
sentido.

10. Es decir, si nos dan la ecuación de una circunferencia , a partir
de ella podemos encontrar las coordenadas de su centro y el
valor de su radio para graficarla o dibujarla.
Y si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia y
el radio o datos para encontrarlo, podemos llegar a la ecuación
de la misma circunferencia.
Cuadrado del binomio: Aquí haremos una pausa para recordar
el cuadrado del binomio ya que es muy importante para lo que
sigue:
El binomio al cuadrado de la forma (a ─ b) 2 podemos
desarrollarlo como (a ─ b) (a ─ b) o convertirlo en un trinomio de
la forma a 2 ─ 2ab + b 2 .
Ecuación reducida de la circunferencia
Volviendo a nuestra ecuación ordinaria
(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2 , debemos consignar que si el centro de
la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la
ecuación queda reducida a:
( x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
(x ─ 0) 2 + (y ─ 0) 2 = r 2
x 2 + y 2 = r 2

11. Conicas, Circunferencias.
Se entiende por conicas o secciones conicas a las curvas planas
que se producen por la intersección de un plano con un cono.
Las intersecciones del plano con el cono dependen del modo
como éstas se produzcan. Cambiando el ángulo del plano y el
lugar donde éste corta al cono, se producirán secciones
diferentes.
Perpendicularmente al eje del cono y compruebas que la sección
es el círculo en azul, siempre que el corte no se produzca por el
vértice.
Si el plano corta oblicuamente al eje del cono y a todas sus
generatrices, sin pasar por el vértice, la sección que obtenemos
es una elipse:

12. Si el corte lo hacemos, de forma oblicua al eje del cono pero
paralela a la generatriz del mismo obtenemos una parábola:
Si el plano corta a las generatrices en ambos lados del vértice
del cono, obtenemos una hipérbola.

13. Si te fijas, las cónicas ya podemos clasificarlas teniendo en
cuenta el ángulo que forman según plano con el eje del cono.
Si el plano es perpendicular al eje, tenemos una sección circular
cuyo contorno es la circunferencia.
Si el ángulo que forma el plano con la base es menor que el
ángulo que forma el plano con la generatriz, tenemos que la
sección será una elipse.
Si el plano es paralelo a la generatriz tenemos la parábola.
Si el ángulo que forma el plano con la base es mayor del que
forma con la generatriz, tenemos la hipérbola.
Reseña historica
 https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/Pl
anoCartesiano.html
 https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/Di
stanciaEntreDosPuntos.html#:~:text=Cuando%20los%20puntos%20
se%20encuentran,4%20%2B%205%20%3D%209%20unidades.
 https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_medio
 https://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia
.html

14.  https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/conicas/conicas-
circunferencia-elipse-hiperbola-parabola-l10798