Este documento presenta información sobre la gravitación universal. En primer lugar, explica brevemente las ideas de Aristóteles sobre por qué los cuerpos caen y luego introduce la idea de Newton de que existe una fuerza de gravedad universal que atrae a todos los cuerpos. Finalmente, resume las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario y cómo Newton usó su ley de gravitación universal para explicar estas leyes.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA MINERA Y METALURGICA
TEMA: GRAVITACION UNIVERSAL
UNIDAD: VII
DOCENTE: ING. EFRAIN CASTILLO ALEJOS
23 DE MARZO DEL 2013
CURSO: Física I

2. Introducción
• La mejor respuesta de la
física a esta sencilla
pregunta...
...es el resultado de 2400 años de
reflexión y búsqueda!
• Pero, ¿conocemos todos esa
respuesta?...
...generalmente nuesta solución a
la pregunta es el resultado de
Ilustración (educación) + sentido
común! “Buenos días. Bienvenidos al
“Buenos días. Bienvenidos al
fascinante mundo de la física”
fascinante mundo de la física”
2

3. Un grave “deseo”
• ¿por qué caen los cuerpos?
• Intuición más simple: Algo los “atrae”
hacia abajo!
... ¿pero qué es ese “algo”?
• Aristoteles c. 330 a.c.
– Cuerpos “desean” estar en el piso!
– Universo: 4 elementos
– Elementos ocupan lugar natural en el
Universo
– Cuerpo hecho de elementos tiende a su
lugar natural
– Cuerpos “graves” hechos de Tierra
tienden a moverse hacia abajo!
3

4. Una atracción universal
• ¿y la caída de los cuerpos?...
– Cuerpo inicialmente en reposo...
... Caída debe ser producida por una “fuerza”:
gravedad!
– Características de esa fuerza:
• Para producir el mismo movimiento en cuerpos de
distinta masa...
4
(fuerza de gravedad) ~ (masa)

5. Una atracción universal
• ¿Por qué todas las cosas que rodean la
Tierra caen sobre ella y la Luna no?
Newton habría descubierto la ley
de gravitación Universal si William
Tell no hubiera intervenido
5

6. Una atracción universal
• La Luna SI cae sobre la Tierra
como los demás cuerpos...
• La Luna es atraída por la fuerza
de gravedad de nuestro
planeta...
• Los planetas son atraídos por la
gravedad que produce el Sol...
• Todos los cuerpos en el Universo
tienden a atrerse mutuamente...
... Los Cielos y la Tierra se rigen
con las mismas leyes! 6

7. LA VELOCIDAD DE LA LUZ
La velocidad de la luz es de 300.000 (km/s). A esta
velocidad:
• Se da la vuelta entera a la tierra en 0,02 (s).
• Se viaja a la luna en 1,3(s).
• Se llega al Sol en 8,3 (min).
• Se llega a la estrella más cercana en 4,2 (años).
Un año luz se denomina la distancia que recorre la luz
en un año, es decir,
1 año luz = 9,46 millones de millones de kilómetros
(9,46· 1012 km).
7

8. LA VÍA LÁCTEA
 Es nuestra galaxia. Los romanos la
llamaron "Camino de Leche".
Es grande, espiral y puede tener unos
100.000 millones de estrellas, entre
ellas, el Sol.
8

9. LA VÍA LÁCTEA
• Tipo de Galaxia: espiral.
• Cantidad de brazos: 2 centrales
con ramificaciones
• Luminosidad: 14.000 millones
de luminosidades solares.
• Masa total: 1 millón de millones
de masas solares
• Diámetro: 100.000 años luz.
• Espesor del disco: 2.000 años
luz.
• Espesor del bulto central: 6.000
años luz.
 Las estrellas del núcleo están más
agrupadas que las de los brazos. A su
alrededor hay una nube de hidrógeno,
algunas estrellas y cúmulos estelares.
9

10. EL SISTEMA SOLAR
• Está ubicado en uno de
los brazos de la espiral de
la vía láctea, a unos
30.000 años luz del centro
y unos 20.000 del
extremo.
Cada 225 millones de
años el Sistema Solar
completa un giro
alrededor del centro de la
galaxia. Se mueve a unos
270 (km) por segundo.
10

11. MODELOS DEL SISTEMA SOLAR
• GEOCÉNTRICO: La
Tierra está inmóvil en
el centro del universo y
todos los astros giran
en torno a ella.
• HELIOCÉNTRICO:
Todos los planetas
giran en torno al Sol.
11

12. LOS PLANETAS SISTEMA SOLAR
El sistema solar está formado por una estrella central, el sol, los cuerpos
que la acompañan y el espacio que queda entre ellos.
Existen ocho planetas en el sistema solar
Aquí se presentan numerados según su cercanía al Sol
1. Mercurio 2. Venus 3. Tierra
4. Marte 5. Júpiter 6. Saturno
7. Urano 8. Neptuno
El modelo del sistema solar es heliocéntrico, es decir, todos los
planetas giran en torno al Sol. 12

13. LEYES DE KEPLER
• 1ª LEY: Todos los planetas se mueven en
órbitas elípticas, con el Sol en uno de sus
focos.
13

14. LEYES DE KEPLER
• 2ª LEY: El vector posición de cualquier
planeta respecto del Sol, barre áreas
iguales de la elipse en tiempos iguales.
14

15. LEYES DE KEPLER
• 3ª LEY: El cuadrado del período (T) de
revolución de cada planeta es
proporcional al cubo de la distancia media
(R) del planeta al Sol. Siendo k una
constante, la misma para todos los
planetas.
T2 =κ
R3
15

16. LEY DE GRAVITACIÓN
UNIVERSAL
• La ley de gravitación universal establece
que todos los cuerpos interactúan entre sí.
G ⋅ M1 ⋅ M 2
F= 2
r
 Nm 2 
G = 6,67 ⋅ 10 −11  
 kg 2 
 
16

17. Leyes de Kepler
Primera: Los planetas se mueven en
órbitas elípticas, con el Sol en uno de los
focos.
Segunda: Una línea entre un planeta y el
Sol barre áreas iguales de una elipse en
tiempos iguales.
Notas: no hay nada en el otro foco o en
el centro. La Segunda Ley quiere decir
que los planetas giran alrededor del Sol
mas rápido cuando están mas cerca de
él. Estas leyes valen para cualquier
cosa que esté orbitando alrededor de
cualquier cosa debido a la gravedad.
17

18. Segunda Ley de Kepler Animada
18

19. Leyes de Kepler
Tercera: El periodo orbital de un planeta es proporcional a su semieje mayor
de acuerdo con la relación P2 ~ a3.
La forma mas general de esta ley (esencial para determinar todas las
masas en astronomía) es 3
a
P ∝
2
M central
Para los planetas del sistema solar (con el Sol como la masa central), si las
unidades del semieje mayor (a) están dadas en UA y el periodo (P) en
años, la constante de proporcionalidad es 1.
Por ejemplo, si Jupiter está a 5 UA, ¿cuál es su periodo orbital?
P 2 = 53 = 125; P = 125 = 11.2
Kepler no entendió las bases físicas de estas leyes (el sospechaba que
surgian debidoa a que el Sol atraía a los planetas posiblemente a través de
un magnetismo. 19

20. Leyes de Kepler
20

21. Leyes de Kepler
21

22. Isaac Newton 1642 - 1727
Newton: uno de los mas grandes científicos.
Profesor, Teólogo, Alquimista, Warde of the
Mint, Presidente de la Royal Society, miembro
del Parlamento. Coinventor del cálculo. Descubridor
de la ley de la Gravitación Universal y de las tres
leyes de Newton del movimiento. Formuló la teoría
Corpuscular de la luz y la ley de enfriamiento.
Perosnalmente algo obnoxious, pobres relaciones
con la mujeres, lost of odd stuff with the great stuff.
Hizo la mayor parte de su trabajo antes de los 25
años.
Trinity College,
Cambridge
22

23. Las Tres Leyes de Newton
Ley de la Inercia (Primera Ley): en ausencia de fuerzas (fuerza neta = 0) los
objetos se moverán a velocidad constante.
Ley de Fuerza (Segunda Ley): una fuerza producirá que un objeto cambie
su velocidad (aceleración) directamente proporcional a la fuerza aplicada e
inversamente proporcional a la masa del objeto. Esta ley puede se puede
expresar como F = m*a o bien, a = F/m.
23

24. Las Tres Leyes de Newton
Una fuerza mas grande produce una mayor aceleración
Una masa mas grande tendrá una aceleración menor y viceversa
24

25. Las Tres Leyes de Newton
Ley de la Reacción (Tercera Ley): a cualquier acción hay una reacción igual
y en dirección opuesta, es decir, las fuerzas ocurren en pares iguales y
opuestos.
25

26. Ley de Gravitación Universal
Newton, para completar su estudio del movimiento de los planetas, sus
leyes de movimiento con una descripción específica de la fuerza de
gravedad
Conociendo el comportamiento básico de los planetas
a partir de las leyes de Kepler, Newton pudo
determinar una ley de fuerzas apropiada, la Ley de la
Gravitación Universal:
F es la fuerza gravitacional
M y m son las masas de los dos objetos
R es la separación entre los dos objetos
G es la constante de gravitación universal
26

27. Ley de la Gravitación
La gravedad es una fuerza atractiva, y de acuerdo con la Tercera Ley de
Newton, las dos masas (cuerpos) sienten fuerzas iguales y opuestas.
La gravedad es relativamente débil debido al valor tan pequeño de la
constante de la gravitación G, en unidades métricas,
G = 6.7 x 10-11 Nm2/kg2
Por lo tanto, se requieren masas grandes para
poder sentir una fuerza apreciable, p.ej. La
masa de la Tierra es 6.0x1024 kg.
A pesar de la masa grande de la Tierra, la
fuerza gravitacional que sientes en la
superficie de la Tierra, tú peso, es solamente
unos cuentos cientos de Newtons.
27

28. Gravitación
28

29. Explicación de las Leyes de Kepler
Newton pudo explicar matemáticamente (usando su calculo) que las órbitas
de los planetas son elipses y obedecen las leyes de Kepler. El afirmo que
estos mismo aplica a todos los cuerpos celestes. En particular, pudo mostrar
que el periodo y tamaño de una orbita están dados por:
4π 2
P2 = a3
G ( M Sol + M Planeta )
Donde P es el periodo, a es el semieje mayor y G es la constante
gravitacional.
Esta ley, la Tercera Ley de Kepler, se puede usar para encontrar la masa de
cualquier cuerpo en el cual se pueda medir la distancia y el periodo del
cuerpo orbitando (iniciando con el sistema Tierra-Luna).
29

30. Cálculo de la Masa de la Tierra
Sabemos que el Sol está cerca de 400 veces mas lejos que la luna, y a la
luna le toma un mes orbitar la Tierra. Entonces, su semieje mayor es cerca
de 1/400 UA y su periodo es cerca de 1/12 años.
3
1
a3 400 = 144 = 2.25 x10 −6
M∝ 2∝ 2
P 1 64 x106
12
Ya que hemos usado UA y años, la masa está dada en masas solares. Así
que la Tierra es cerca de un millón de veces menos masiva que el Sol. Para
poder saber cuantos kilogramos tiene, debemos usar la forma de la Ley de
Kepler dada por Newton y poniendo todas unidades físicas [como P(sec), a
(metros), G (unidades mks).
30

31. Movimiento Orbital
La fuerza de gravedad siempre hace
que las cosas caigan. La pregunta es
si la trayectoria de la caída intersecta
cualquier superficie. La forma de la
órbita depende de la velocidad que el
cuerpo tenga en un punto dado.
Velocidades bajas recorrerán distancias
menores, mientras que velocidades
grandes recorrerán distancias mayores. En
estos casos se puede decir que las
trayectorias son cerradas. Sí la velocidad
es bastante grande (mayor o igual a la
velocidad de escape), la orbita será una
hipérbola en lugar de una elipse y el cuerpo
no regresará.
31

32. Velocidad de Orbital y de Escape
GM La velocidad de escape
Vcir =
R depende de la masa y del
tamaño del cuerpo. Para
la Tierra es cerca de 11
km/s. Cuando la velocidad
de escape es la velocidad
de la luz, el cuerpo central
será un agujero negro.
Es importante notar que
ninguna de estas
velocidades depende de la
masa del cuerpo que está
orbitando o escapando.
32

33. 1) Halle la fuerza de atracción entre la tierra y la luna
De la ecuación de la fuerza de gravitación :
mT mL
F =G
L2
sabemos que :
mT = 5.98 *10 24 Kg mL = 7.34 *10 22 Kg 
 F = 1.985 *10 N
20
L = 3.84 *108 m G = 6.67 *1011 Nm / Kg 2 

2) Dos esferas de hierro de masas de 2Kg y 3kg con radios de 2m y 3m
respectivamente, están en contacto, hallar la fuerza gravitatoria entre ambas
La distancia entre los centros de las esferas es : 7m
Reemplazando en la ecuación de la fuerza gravitatoria :
tenemos : F = 8.167 *10-11 N

34. 3) De la figura halle la dirección y magnitud de la fuerza resultante en la
esfera B.
Hallemos 1ro la fuerza entre A y B :
(3)(2)
FAB = (6.67 *10 −11 ) 2 = 40.02 *10 −11 N
1
hallemos ahora la fuerza resultante entre B yC :
(2)(1)
FBC = (6.67 *10 −11 ) 2 = 1.48 *10 −11 N
3
Luego la fuerza resultante es 3.854 *10-10 y su sentido es hacia la izquierda

35. 4) De la figura, halle el vector de la fuerza resultante en la esfera A, donde “O”
es el origen de coordenadas y el vector OO’, esta sobre el eje “x” positivo.
Sol :
(2)(2)
FAB = (6.67 *10 −11 ) 2
= 2.964 *10 −13 N → FAB = FAB u AB = 2.964 *10 −13 ( 1 , 23 ) N
ˆ 2
(30)
(2)(1)
FAC = (6.67 *10 −11 ) 2
= 0.833 *10 −13 N → FAC = FAC u AC = 0.833 *10 −13 (1,0) N
ˆ
(40)
Para hallar la fuerza resultante recurrimos a la suma vectorial :
FR = FAB + FAC
FR = (2.315,1482 3 )10 −13 N

36. 5) De la figura, halle la masa de A, si el sistema esta en equilibrio.
Sol :
Hallemos la fuerza centrifuga :
(2)(3) 2
Fc = = 3.6 N
5
Como el sistema está en equilibrio :
(2)(m A )
Fc = Fg ⇒ Fg = 3.6 N = (6.67 *10 −11 ) N
52
∴ m A = 6.746 *1011 Kg

37. 6) Un hombre pesa 70Kgf suponiendo que el radio de la tierra se duplicara,
¿Cuánto pesaría el hombre si la masa d la tierra permanece constante?
Sea P1 el peso de la persona antes de la expansión, y P2 el peso despues de
la expansión
m p mT
G
P1 R 2 = 4 ∴ P = P 1 = 17.5 N
= 2
P2 m p mT 4
G
4R 2
7) Se dispara una bala de cañón desde la superficie de la tierra. A que
distancia del centro de la tierra la bola se detiene. Sean: v = velocidad inicial
R=radio terrestre; mb = masa de la bola; M = masa de la tierra
Sabemos que la fuerza gravitatoria es conservativa. Por ley de conservación tenemos :
Ei = EF → EPGi + EKi = EPGf + EKf ⇒ EPGi + EKi = EPGf  (1)
/
En (1) tenemos que :
Mmb Mmb 1
G = + mb v 2
D R 2
M M v2 2GRM
G =G + →D=
D R 2 2GM − Rv 2

38. 8) Un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia del
centro de la tierra igual a 8 veces el radio terrestre (R). Halle la
velocidad con la que colisiona en la superficie.
Sabemos que la fuerza gravitatoria es conservativa. Luego, por ley de conservación de la
energía : Ei = E f → EKi + EPGi = EKf + EPGf → EPGi − EPGf = EKf  (1)
/
En (1) tenemos que :
mT mm  1  1 m 7
1 −  = mm v → G T ( ) = v
2 2
G
R2  8  2 R 4
⇒ v)3.31*10 2 m / s
7