El documento resume las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario y las deducciones de Newton sobre la gravitación. Las tres leyes de Kepler establecen que las órbitas planetarias son elípticas, con velocidad constante y un periodo cuadrado proporcional al cubo de la distancia media al sol. Newton dedujo que la fuerza gravitatoria es responsable de estas órbitas y mantiene estables los movimientos planetarios.

1. G R AV I TA C I Ó N
UNIDAD 6

2. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• Antiguamente, se tenía la concepción geocéntrica del
universo, es decir, la Tierra era el centro del universo y
todos los astros orbitaban a su alrededor.
• Las órbitas propuestas eran circulares aunque este
modelo fallaba al compararlo con la experimentación y
se complicaba dicho modelo.
• Esta teoría se conocía como modelo ptolemaico.

3. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• Aristarco, ya en su época, propuso un modelo
heliocéntrico del universo: el Sol ocupaba el centro del
universo y los planetas, la Tierra incluida, orbitaba
alrededor de dicha estrella.
• Dicho modelo se retomó con fuerza durante el
Renacimiento. Se suponía que las órbitas debían ser
circulares.
• Esta teoría era conocida como modelo copernicano.

4. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• Sin embargo, el uso de órbitas circulares no encajaba
del todo con las observaciones.
• Hipatia y Azarquiel postularon movimientos diferentes al
círculo ya en sus respectivas épocas.
• Las observaciones de Brahe y Copérnico y los estudios
con telescopio de Galileo dieron más luz al tema y se
consiguieron mediciones más precisas.
• Fue Kepler quien postuló una teoría que casase con los
experimentos.
• Newton dedujo dinámicamente los estudios de Kepler y
los consideró como efectos de la fuerza gravitatoria.

5. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• El movimiento de los cuerpos celestes únicamente
sometidos a fuerzas gravitatorias puede ser
comprendido a partir de las leyes de Kepler.
• 1ª Ley: los planetas poseen órbitas elípticas alrededor
del Sol, situado siempre en uno de los dos focos.
• Una elipse es una región del plano en la que todos sus
puntos poseen constante la suma de las distancias a
ambos focos.
• Toda elipse posee un semieje mayor y un semieje
menor.

6. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• La distancia que separa los
focos se conoce como
excentricidad.
• Si la distancia es nula los
focos coinciden y la forma
geométrica es una
circunferencia.
• La excentricidad de los
planetas del Sistema Solar es
muy baja, pudiéndose
simplificar los estudios
suponiendo órbitas circulares.
• Para la Tierra, e = 0,017.

7. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• La distancia más corta entre el Sol y la órbita elíptica se llama
perihelio.
• La mayor distancia entre el Sol y la órbita elíptica se llama
afelio.
• Newton demostró que solo circunferencias y elipses dan
órbitas gravitatorias cerradas.
• Además, se dedujo que todas las órbitas abiertas solo
podían describir o una parábola o una hipérbola.
• El conjunto de todas estas curvas toma el nombre de
cónicas.
• Se han de usar ecuaciones diferenciales para obtener la
expresión algebraica de las trayectorias. Esta complejidad de
derivación se dejará para otro curso.

8. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• 2ª Ley: la velocidad aerolar de los planetas es
constante, es decir, el segmento que une Sol y planeta
barre áreas iguales en tiempos iguales.
• Supongamos que, por ejemplo la Tierra, orbita durante
un diferencial de tiempo dt.
• El desplazamiento realizado se aproxima por una recta y
este valdrá v dt.

9. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• Si el segmento de partida Tierra-Sol es r al transcurrir un
dt se origina un diferencial de área con forma de
triángulo.
• Un área puede interpretarse como un vector
perpendicular al plano acotado de estudio, luego
• Tanto r como Fg son paralelos entre sí, así que la fuerza
no genera t y por 2ª Ley de Newton L permanece
constante en el tiempo.

10. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• Todo esto conlleva que la órbita debe estar contenida
siempre en el mismo plano y que la velocidad aerolar
es constante.
• Esto se interpreta como que la w de la Tierra será
máxima cuando pase por el perihelio y mínima cuando
pase por su afelio.

11. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• 3ª Ley: El periodo de órbita de un planeta, elevado al
cuadrado, es proporcional a la distancia media Sol-
planeta, elevada al cubo.
• Con esta ley, y conociendo la distancia y periodo de un
planeta de referencia r, se puede determinar la distancia
al Sol de cualquier otro planeta p, siempre y cuando su
periodo se haya determinado con anterioridad.

12. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• Esta ley se obtiene a partir de la ley de gravitación.
• Aproximemos las órbitas a circunferencias. La
distancia planeta-Sol es r y la velocidad lineal del
planeta es v.
• El movimiento está sometido a una aceleración
centrípeta. Por la 2ª ley de Newton tiene que haber una
fuerza centrípeta que mantenga el movimiento circular.
• Dicha fuerza centrípeta no es otra que la gravitatoria.

13. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• Se sabe que el periodo es la duración de un año
planetario, o sea, el tiempo necesario en completar una
revolución (2p rad) .
• Con esto se puede determinar la velocidad angular w del
planeta orbitando.
• Para una órbita circular se puede vincular la velocidad
lineal con la angular. Así

14. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• Elevando al cuadrado esta expresión e igualando con la
anterior se llega a que
• La constante de proporcionalidad es fácilmente
deducible, ya que la masa del Sol es conocida

15. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• Esta 3ª Ley es generalizable a órbitas elípticas, pero el
tratamiento matemático necesario para ello se vuelve
muy exigente.
• Por otro lado, esta 3ª Ley se puede generalizar para
conocer periodo y distancia de satélites con respecto
sus planetas.
• Para ello, se sustituye la masa del Sol por la masa del
planeta correspondiente.
• Cuidado, esto solo se puede hacer si la masa del
satélite es despreciable.

16. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• Si esto no es así, la masa del
Sol se sustituirá por la suma
de las masas del planeta y del
satélite.
• Esto se hace porque el centro
de masas del sistema no
estará cerca del centro de
masas del planeta y ambos
comenzarán a orbitar
alrededor de este punto.

17. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• Esto se debe a la 3ª Ley de Newton, puesto que la
fuerza de atracción del satélite por el planeta es la
misma (en módulo) que la de atracción del planeta por el
satélite.
• Si un planeta es muy masivo el centro de masas del
sistema planeta-estrella estará lejos del centro de masas
de la estrella, luego la órbita de la estrella con respecto
este centro cada vez será más evidente.
• Esto es válido para cualquier sistema estelar, luego se
pueden detectar planetas masivos de manera indirecta
si su observación es complicada.

18. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• Si un planeta orbita alrededor de una estrella (o un
satélite alrededor de un planeta) siguiendo una órbita
elíptica de baja excentricidad se puede aproximar la
órbita a un movimiento circular.
• Si la atmósfera, si existe, no influye solo actuará la
fuerza gravitatoria en el sistema.
• Se ha visto para la 3ª Ley de Kepler que el satélite cae
mientras se desplaza en la órbita, o sea, hay una fuerza
centrípeta que mantiene estable dicha órbita.

19. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• Se había deducido la velocidad lineal en esta condición
del satélite:
• Como esta velocidad es constante, también lo será w,
luego el movimiento circular es uniforme.
• Esta velocidad está establecida para cada radio orbital:
querer ubicar un satélite en cierta posición radial obliga
a la elección de una velocidad concreta.

20. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• Esta expresión de velocidad
no depende de la masa del
satélite.
• Es más, si esta velocidad se
aumenta un factor √2 se
obtiene la velocidad de
escape y el satélite escapará
del influjo gravitatorio del
planeta.
• Esto se cumple con cualquier
objeto masivo, galaxias
incluidas.

21. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• Como la velocidad lineal es constante toda parte del
satélite obedece la ley de inercia.
• Si estamos hablando de una estación espacial o
transbordador la velocidad relativa entre nave y
astronauta es cero y este flotará.
• Este efecto se conoce como ingravidez aparente.
• No es una ingravidez real, ya que los efectos
gravitatorios de la Tierra no pueden despreciarse a esas
distancias.

22. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO

23. 6.3. LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO
PLANETARIO
• Cuando el satélite orbita circularmente en un radio r con
una velocidad establecida v se puede calcular su
energía mecánica
• O sea, la energía mecánica que posee solo es la mitad
de la energía potencial gravitatoria que posee.