El documento presenta el análisis de una transformación lineal definida por la matriz A. Se calculan el vector genérico TX, el núcleo, los autovalores y autovectores de A. Luego se analiza si A es diagonalizable construyendo las matrices P y D, lo cual no es posible. Finalmente, se plantea la transformación inversa T-1.

1. Parte C
GRUPAL:CEBALLOS Y ARTIGAS
Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una
transformación matricial (transformación lineal –TL-) asociada. Luego explicite: (sea muy
cuidadoso con la simbología matemática):
a) El vector genérico TX.
b) El núcleo de esta TL.
c) Los autovalores de la TL.
d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.
Además:
e) Grafique cada vector de cada base y también grafique cada espacio generado.
f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera
la igualdad. Para pensar: ¿Cómo y con qué información se construyen dichas matrices?
g) Plantee la transformación inversa.
Elegimos la matriz número 27 de la lista.
𝐴 = [
0 −1
−6 −1
]
La transformación matricial con simbología matemática:
𝑇: ℝ2
→ ℝ2
𝑋 → 𝑇( 𝑋) = 𝐴𝑥
[
𝑥1
𝑥2
] → [
0 −1
−6 −1
] · [
𝑥1
𝑥2
]
VECTOR GENÉRICO TX:
𝑇( 𝑋) = 𝑇 ([
𝑥1
𝑥2
]) = 𝑥1 [
0
−6
] + 𝑥2 [
−1
−1
] = [
0 −1
−6 −1
] [
𝑥1
𝑥2
] = [
−𝑦
−6𝑥 − 𝑦]
NÚCLEO DE TRANSFORMACIÓN LINEAL.
𝑁𝑢𝑙𝑇 = { 𝑥 ∈ ℝ2
| 𝐴𝑥 = 0 }
Entonces, buscamos el vector X que satisfaga lo planteado. Calculamos el det(A) que es
igual a -6.

2. Al ser negativo el determinante, sabemos que el sistema admite una única solución. Por lo
cual el vector que buscamos es [
0
0
].
AUTOVALORESDE LA TRANSFORMACIÓN LINEAL:
“Dado un cierto escalar k, siempre existe un X tal que AX=kX. Ese X es únicamente nulo
o bien forma parte de un subespacio vectorial llamadoautoespacio o espacio propio
asociado a k. Tales X no nulos reciben el nombre de vectores propios o autovectores y
los correspondientes k valores propios o autovalores.”
( 𝐴 − 𝑘𝐿) 𝑋 = 0 ; 𝑐𝑜𝑛 𝑋 ≠ 0
det( 𝐴 − 𝑘𝐼) = 0
det ([
0 −1
−6 −1
] − 𝑘 · [
1 0
0 1
]) = 0
det ([
0 −1
−6 −1
] − [
𝑘 0
0 𝑘
]) = 0
𝑑𝑒𝑡 ([
−𝑘 −1
−6 −1 − 𝑘
]) = 0
(−𝑘) · (−1 − 𝑘) − (−1 ∗ (−6)) = 0
𝑘2
+ 𝑘 − 6 = 0
Resolvemos la ecuación cuadrática para obtener sus raíces:
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Los valores a reemplazar son:
a=1
b=1
c=-6
𝑥 =
−1 ± √12 − 4 · 1 · (−6)
2 · 1
Obtenemos k1=2 y k2=-3.
Ellos son los autovalores buscados.

3. BASE DE LOS AUTOVECTORES ASOCIADOS A CADA AUTOVALOR.
Utilizando k=2
𝐴 − 𝑘𝐼 = 𝐴 − 2𝐼 = [
0 −1
−6 −1
] − [
2 0
0 2
] = [
−2 −1
−6 −3
]
A partir de la definición planteada en el punto C:
( 𝐴 − 2𝐼) 𝑋 = 0 → [
−2 −1
−6 −3
] · [
𝑥1
𝑥2
] = 0
𝑆 = {[
𝑥1
𝑥2
] = 𝑋|( 𝐴 − 2𝐼) · 𝑋 = 0}
Utilizamos Online M School para operar:
Por ende: -2x1 = x2. Entonces concluimos:
𝑆 = {[
−𝑡
2𝑡
] |𝑡 = −𝑥1, 𝑥1 ∈ ℝ} = {[
−1
2
] · 𝑡|𝑡 = −𝑥1, 𝑥1 ∈ ℝ}

4. 𝐺𝑒𝑛 {[
−1
2
]} = 𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 [
−1
2
] 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑘 = 2
Ahora hacemos lo mismo para k = -3
𝐴 − 𝑘𝐼 = 𝐴 − (−3𝐼) = [
0 −1
−6 −1
] − [
−3 0
0 −3
] = [
3 −1
−6 2
]
Entonces tenemos:
( 𝐴 − (−3𝐼)) 𝑋 = 0 → [
3 −1
−6 2
] · [
𝑥1
𝑥2
] = 0
𝑆 = {[
𝑥1
𝑥2
] = 𝑋|( 𝐴 − (−3𝐼)) · 𝑋 = 0}
Utilizamos Online M School para operar:

5. Por ende: 3x1 = x2. Entonces concluimos:
𝑆 = {[
𝑡
3𝑡
] |𝑡 = 𝑥1, 𝑥1 ∈ ℝ} = {[
1
3
] · 𝑡|𝑡 = 𝑥1, 𝑥1 ∈ ℝ}
𝐺𝑒𝑛 {[
1
3
]} = 𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 [
1
3
] 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑘 = −3
Gráficos pedidos:

6. f) Analizar si A es diagonalizable. En caso de serloconstruya P y D que hacen verdaderala
igualdad. Para pensar: ¿Cómo y con qué informaciónse construyen dichas matrices?
Para empezar, si A es diagonalizablese debe cumplir:
𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1
𝐴 = [
1 −1
3 2
] · [
2 0
0 −3
] · [
1 −1
3 2
]
−1
El determinante de P es 5.
Como el determinante de P no es igual a 0, existe una P-1

7. Lo que es lo mismo que decir:
𝑃−1
= [
2/5 1/5
−3/5 1/5
]
Muy bien ahora es tiempo de verificar si se cumple con WIRIS:
𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1
𝐴 = [
1 −1
3 2
] · [
2 0
0 −3
] · [
2/5 1/5
−3/5 1/5
]

8. LA MATRIZ RESULTANTE A VERIFICAR NO ES LA MISMA QUE A.
POR LO TANTO, A NO ES DIAGONALIZABLE.
[
−1 1
6 0
] ≠ [
0 −1
−6 −1
]
Para terminar el trabajo, planteamos la transformación inversa de A:
𝑇−1:𝑅2 → 𝑅2
𝑋 → 𝑇−1( 𝑋) = 𝐴−1 𝑥
[
𝑥1
𝑥2
] → [
0 −1
−6 −1
]
−1
· [
𝑥1
𝑥2
]
Calculamos la Inversa de A con Online M School.

9. Entonces:
[
𝑥1
𝑥2
] → [
1
6
−
1
6
−1 0
] · [
𝑥1
𝑥2
] = [
1
6
𝑥1 −
1
6
𝑥2
−𝑥1
]