mate 1 act 5 parte,A, B, C, D

1. CORRECCIONES CON RESALTADOR “TURQUESA”

2. PARTE A:
Compr.I Compr.II Compr.III
VitA 2x1 3x2 0x3 = 19
VitB 3x1 0x2 1x3 = 21
VitC 2x1 2x2 2x3 = 18
1) Forma matricial AX = B
[
2 3 0
3 0 1
2 2 2
] * [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = [
19
21
18
]
2) Forma vectorial: A1X1 + A2X2 + A3X3 = B
x1 [
2
3
2
] + x2 [
3
0
2
] + x3 [
0
1
2
] = [
19
21
18
]
3) Conjunto solución:
S={(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)/ 𝑥1 = 6.875, 𝑥2 = 1.75, 𝑥3 = 0.375}
La matriz corresponde a un SEL consistente de solución única, es un vector fijo. Al ser
un espacio L.D. de otro vector no es necesaria una base.
{
𝑥1 = 6.875
𝑥2 = 1.75
𝑥3 = 0.375
Podemos escribir vectorialmente:
[
2
3
2
] 6.875 + [
3
0
2
] 1.75 + [
0
1
2
] 0.375 = [
19
21
18
]
El planteo vectorial del conjunto solución SEL:

3. 𝑆 = { [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] / 𝑥1 = 6.875, 𝑥2 = 1.75 𝑥3 = 0.375
5) No hay, para que no pertenezca a dicho espacio el vector B no debe ser
combinación lineal de ellos, pero al ser una matriz cuadrada 3x3, siempre habrá un
vector que sea combinación lineal de los otros 3 del espacio generado.
PARTE B:
Papelería Tizas Otros útiles
Marzo 5x1 10x2 15x3 = 240
Abril 80x1 65x2 55x3 = 1240
Mayo 15x1 25x2 55x3 = 520
Junio 1x1 1x2 1x3 = 20
1) Forma matricial AX=B
Es una matriz 4x3 pero dicho producto no existe, no se puede realizar. Debe ser matriz
3x3, 2x2 etc. O sea igual fila e igual columna para que dicho producto se pueda realizar
2) Forma vectorial:
Es una matriz 1x4 dicho producto no existe y no se puede realizar. Debe ser matriz 3x3,
2x2 etc. O sea igual fila e igual columna para la forma vectorial se pueda realizar
3) Conjunto solución:
Esta matriz no tiene solución.
PARTE C:
1) Primera trasformación lineal (T)

4. Siendo “K”= 3/5 entonces
T = [
3/5 0
0 1
]
2) Espacios de salida y llegada.
T: 2 2
Identificación del espacio de salida 2
Identificación del espacio de llegada 2
[
𝑥
𝑦] [
3/5 0
0 1
] [
𝑥
𝑦] = [
3/5
𝑦
]
3) Expresión genérica de un vector en el espacio de salida.
[
𝑥
𝑦]
4) Expresión genérica de un vector en el espacio de llegada.
[
3/5
𝑦
]
5)
S = [
3 0
0 1
]
T: 2 2
Identificación del espacio de salida 2
Identificación del espacio de llegada 2
[
𝒙
𝒚]  [
3 0
0 1
] [
𝒙
𝒚] = [
𝟑𝒙 + 𝒚
𝒚
]

5. Expresión genérica para un vector en el espacio de entrada se identifica como:
[
𝑥
𝑦]
Expresión genérica de un vector en el espacio de salida:
[
3𝑥
𝑦
]
6) Composición de trasformaciones lineales: S o T: 2 2
Siendo T = [
3/5 0
0 1
]
Siendo S = [
3 0
0 1
]
S o T = [
3/5 0
0 1
] [
3 0
0 1
] = [
9/5 0
0 1
]
Espacio de salida: 2
Espacio de llegada: 2
Identificamos un vector genérico del espacio de salida:
[
𝑥
𝑦]
Identificamos un vector genérico del espacio de llegada:
S o T= [
9/5 0
0 1
] [
𝑥
𝑦]= [
9
5
𝑥 + 0𝑦
𝑦
]
7)
Siendo T o S: 2 2
Siendo T = [
3 0
0 1
]
Siendo S = [
3/5 0
0 1
]
T o S = [
3 0
0 1
] [
3/5 0
0 1
]= [
9/5 0
0 1
]

6. Espacio de salida: 2
Espacio de llegada: 2
Identificación de un vector genérico del espacio de salida:
[
𝑥
𝑦]
Identificación de un vector genérico del espacio de llegada:
T o S = [
9/5 0
0 1
] [
𝑥
𝑦] = [
9
5
𝑥 + 0𝑦
𝑦
]
8)
Siendo T = [
3 0
0 1
]
Inversa utilizando el paquete informático “onlinemschool”
T-1 = [
1/3 0
0 1
]
Se identifica espacio de salida: 2
Se identifica espacio de llegada: 2
Identificación de un vector genérico del espacio de salida:
[
𝑥
𝑦]

7. Identificación de un vector genérico del espacio de llegada:
Siendo T-1 = [
1/3 0
0 1
] [
𝑥
𝑦]= [
1
3
𝑥
𝑦
]
Espacio de llegada:  [
1
3
𝑥
𝑦
]
PARTE D:
PIZARRON de la ACTIVIDAD 5D.
Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una
transformación matricial (transformación lineal –TL-) asociada. Luego explicite: (sea
muy cuidadoso con la simbología matemática):
a) El vector genérico TX.
b) El núcleo de esta TL.
c) Los autovalores de la TL.
d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.
Además:
e) Grafique cada vector de cada base y también grafique cada espacio generado.
f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen
verdadera la igualdad. Para pensar: ¿Cómo y con qué información se construyen dichas
matrices?
h) Plantee la transformación inversa.
MATRIZ SELECCIONADA Nº7
a) Vector genérico TX
A= [
0 −1
−6 −1
]
Transformación matricial, Multiplicación por A
T: ℝ2
ℝ2
X ⟼ T ( 𝑋) = 𝐴𝑋
T(x) = AX [
0 −1
−6 −1
] . [
𝑥
𝑦] = 𝑥 [
0
−6
] + 𝑦 [
−1
−1
]= [
𝑥 − 𝑦
−6𝑥 − 𝑦]
Por lo que:
[
𝑥
𝑦] → [
𝑥 − 𝑦
−6𝑥 − 𝑦]
Es una trasformación lineal ya que toda transformación matricial es lineal.

8. b)
T: ℝ 𝑛
⟶ ℝ 𝑚
X ⟼ T ( 𝑋) = 𝐴𝑋
𝐴 = [𝐴1 … 𝐴 𝑛 ]
𝑁𝑢𝑙 𝑇 = { 𝑋𝜖ℝ 𝑛
/ 𝐴𝑋 = 0} = 𝑛ú𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑑𝑒 𝑇
𝑁𝑢𝑙 𝑇 = {[
𝑥
𝑦] /[
𝑥 − 𝑦
−6𝑥 − 𝑦] = [
0
0
]}
Calculamos la inversa A
SELH AX=0 si “A” tiene inversa, la solución es “Nula”. Entonces “A” tiene inversa por la
cual la solución es:
𝑁𝑢𝑙 𝑇 = {[
0
0
]}
c) Autovalores TL
Transformación de proyección de ℝ2 sobre el plano (x, y).
Planteamos det(A-kI)=0:

9. 𝑑𝑒𝑡 ([
0 −1
−6 −1
] − 𝑘 [
𝑘 0
0 𝑘
]) = 𝑑𝑒𝑡 ([
0 − 𝑘 −1
−6 −1 − 𝑘
]) = 𝑘2
+𝑘 − 6
Usando el paquete wólfram los autovalores son:
𝑘 = {−3, 2}

10. d) Autovectores:
Comenzamos con el “-3”
𝐴𝑋 = −3𝑋 ⇒ 𝐴𝑋 – (−3) 𝐼𝑋 = 0 ⇒ ( 𝐴 + 3𝐼) 𝑋 = 0
([
0 −1
−6 −1
] + 3[
1 0
0 1
]) . [
𝑥
𝑦] = [
0
0
]
[
3 −1 0
−6 2 0
]
Resolvemos con el método gauss-jordan
𝑥 = 𝑦

11. [
1
3
𝑦
1𝑦
] = [
1/3
1
] 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟.
Ahoracon el “2”
𝐴𝑋 = 2𝑋 ⇒ 𝐴𝑋 – 2 𝐼𝑋 = 0 ⇒ ( 𝐴 − 2𝐼) 𝑋 = 0
([
0 −1
−6 −1
] − 2[
1 0
0 1
]) . [
𝑥
𝑦] = [
0
0
]
[
−2 −1 0
−6 −3 0
]
Resolvemos con el método gauss-jordan
𝑥 = 𝑦
𝐸𝑙 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑠: [
−0.5𝑦
1𝑦
] = [
−0.5
1
]

12. e) Grafico de vectores:

13. f) “A” no es diagonizable, porque no tiene 3 vectores propios linealmente
independientes.
g) Plantee la trasformación inversa:
𝑇−1
: ℝ2
⟶ ℝ2
𝑋 ⟶ 𝑇−1( 𝑋) = 𝐴−1
𝑋
[
𝑥
𝑦] → [
0 −1
−6 −1
]-1 . [
𝑥
𝑦] = [
1
6
𝑥 −
1
6
𝑦
−1𝑥 ]