Este documento presenta dos ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales. El primer ejercicio consiste en un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas. Se expresa el sistema en forma matricial y vectorial, y se identifica la solución como un vector fijo más otro vector variable. El segundo ejercicio presenta un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, cuya única solución es un vector fijo.

1. Actividad N° 5.
Alumno: NovilloPablo.
Parte A.
1. Escriba su forma matricial AX = B.
SEL Actividad 2 – Parte C.
{
𝟔𝟎𝒇𝟏 + 𝟔𝟎𝒇𝟐 + 𝟎𝒇𝟑 + 𝟎𝒇𝟒 = 𝟏𝟐𝟎𝟎
𝟔𝟎𝒇𝟏 + 𝟎𝒇𝟐 + 𝟔𝟎𝒇𝟑 + 𝟎𝒇𝟒 = 𝟏𝟓𝟎𝟎
𝟎𝒇𝟏 + 𝟎𝒇𝟐 + 𝟔𝟎𝒇𝟑 + 𝟔𝟎𝒇𝟒 = 𝟏𝟖𝟎𝟎
𝟎𝒇𝟏 + 𝟔𝟎𝒇𝟐 + 𝟎𝒇𝟑 + 𝟔𝟎𝒇𝟒 = 𝟏𝟓𝟎𝟎
En la forma matricial, la matriz A se llama matriz de coeficientes, X es el vector de variables y
B se llama vector de términos independientes. Entonces:
AX = B
Ecuación Matricial: [
𝟔𝟎 𝟔𝟎 𝟎 𝟎
𝟔𝟎 𝟎 𝟔𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟔𝟎 𝟔𝟎
𝟎 𝟔𝟎 𝟎 𝟔𝟎
][
𝒇𝟏
𝒇𝟐
𝒇𝟑
𝒇𝟒
] [
𝟏𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟎𝟎
𝟏𝟖𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟎𝟎
] , AX = B

2. 2. Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como está hecho en el material de
lectura obligatorio digital.
Ecuación Vectorial: [
𝟔𝟎
𝟔𝟎
𝟎
𝟎
] 𝒇𝟏 + [
𝟔𝟎
𝟎
𝟎
𝟔𝟎
] 𝒇𝟐 + [
𝟎
𝟔𝟎
𝟔𝟎
𝟎
] 𝒇𝟑 + [
𝟎
𝟎
𝟔𝟎
𝟔𝟎
] 𝒇𝟒 = [
𝟏𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟎𝟎
𝟏𝟖𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟎𝟎
]
A1 𝒇𝟏 + A2 𝒇𝟐 + A3 𝒇𝟑 + A4 𝒇𝟒 = B
El vector B es combinación lineal de los vectores columna de A, B pertenece al espacio
generado por los vectores columna de la matriz A.
Al vector B se lo obtiene como suma de múltiplos escalares de las columnas de A.
3. Exprese el conjunto solución en términos de vectores, identifique una base de vectores
para dicho conjunto.
S = {(f1, f2, f3, f4) / f1 = t - 5, f2 = -t + 25, f3 = -t + 30, f4 = t, t ∈ }
El SEL tiene a S por solución. Se trata de un conjunto de infinitas soluciones.
S = {[
𝒇𝟏
𝒇𝟐
𝒇𝟑
𝒇𝟒
] / 𝐟𝟏 = 𝐭 − 𝟓,𝐟𝟐 = −𝐭 + 𝟐𝟓, 𝐟𝟑 = −𝐭 + 𝟑𝟎, 𝐟𝟒 = 𝐭, 𝐭 ∈ } =
={[
𝐭 − 𝟓
−𝐭 + 𝟐𝟓
−𝐭 + 𝟑𝟎
𝐭
]/𝐭 ∈ } = {[
𝟏𝐭 − 𝟓
−𝟏𝐭 + 𝟐𝟓
−𝟏𝐭 + 𝟑𝟎
𝟏 𝐭 + 𝟎
]/ 𝐭 ∈ } = {[
− 𝟓
𝟐𝟓
𝟑𝟎
𝟎
]+ [
𝟏𝐭
−𝟏𝐭
−𝟏𝐭
𝟏𝐭
]/ 𝐭 ∈ }
={[
− 𝟓
𝟐𝟓
𝟑𝟎
𝟎
]+ 𝐭[
𝟏
−𝟏
−𝟏
𝟏
]/𝐭 ∈ }

3. El conjunto solución es un vector fijo más otro variable. Uno fijo más otro que pertenece al
Gen{[
𝟏
−𝟏
−𝟏
𝟏
]}.
Bases del conjunto solución.
[
− 𝟓
𝟐𝟓
𝟑𝟎
𝟎
] = -5 [
𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
]+ 25[
𝟎
𝟏
𝟎
𝟎
] + 30[
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎
] + 0[
𝟎
𝟎
𝟎
𝟏
]
[
𝟏
−𝟏
−𝟏
𝟏
] = 1[
𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
]+ (-1)[
𝟎
𝟏
𝟎
𝟎
] + (-1)[
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎
] + 1[
𝟎
𝟎
𝟎
𝟏
]
4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de A.
AX = B
[
𝟔𝟎 𝟔𝟎 𝟎 𝟎
𝟔𝟎 𝟎 𝟔𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟔𝟎 𝟔𝟎
𝟎 𝟔𝟎 𝟎 𝟔𝟎
][
𝟒
𝟑𝟔
𝟒𝟔
𝟏𝟒
] [
𝟐𝟒𝟎𝟎
𝟑𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟔𝟎𝟎
𝟑𝟎𝟎𝟎
]
5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.
AX = B
[
𝟔𝟎 𝟔𝟎 𝟎 𝟎
𝟔𝟎 𝟎 𝟔𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟔𝟎 𝟔𝟎
𝟎 𝟔𝟎 𝟎 𝟔𝟎
][
𝟒
𝟑𝟔
𝟎
𝟎
][
𝟒𝟎𝟎
𝟐𝟒𝟎
𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟒𝟎
]
Parte B.

4. SEL de la Actividad N° 4 – Parte B.
{
𝟐𝟎𝒙₁ + 𝟑𝟎𝒙₂ + 𝟒𝟎𝒙₃ = 𝟑𝟒
𝟑𝟎𝒙₁ + 𝟒𝟎𝒙₂ + 𝟓𝟎𝒙₃ = 𝟒𝟔
𝟒𝟎𝒙₁ + 𝟓𝟎𝒙₂ + 𝟗𝟎𝒙₃ = 𝟔𝟕
1. Escriba su forma matricial AX = B.
Ecuación Matricial: [
𝟐𝟎 𝟑𝟎 𝟒𝟎
𝟑𝟎 𝟒𝟎 𝟓𝟎
𝟒𝟎 𝟓𝟎 𝟗𝟎
][
𝒙₁
𝒙₂
𝒙₃
]=[
𝟑𝟒
𝟒𝟔
𝟔𝟕
],AX = B
2. Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como está hecho en el material de
lectura obligatorio digital.
Ecuación Vectorial: [
𝟐𝟎
𝟑𝟎
𝟒𝟎
] 𝒙₁+ [
𝟑𝟎
𝟒𝟎
𝟓𝟎
] 𝒙₂ + [
𝟒𝟎
𝟓𝟎
𝟗𝟎
] 𝒙₃ =[
𝟑𝟒
𝟒𝟔
𝟔𝟕
]
A1 𝒙₁+ A2 𝒙₂+ A3 𝒙₃ = B
El vector B es combinación lineal de los vectores columna de A, B pertenece al espacio
generado por los vectores columna de la matriz A.
Al vector B se lo obtiene como suma de múltiplos escalares de las columnas de A.
Exprese el conjunto solución en términos de vectores, identifique una base de vectores
para dicho conjunto.
S = {(𝐱₁, 𝐱₂, 𝐱₃) / 𝐱₁ = 𝟎. 𝟓, 𝐱₂ = 𝟎. 𝟒, 𝐱₃ = 𝟎. 𝟑}
S = {[
𝒙₁
𝒙₂
𝒙₃
]/ 𝐱₁ = 𝟎. 𝟓, 𝐱₂ = 𝟎.𝟒, 𝐱₃ = 𝟎. 𝟑} = {[
𝟎. 𝟓
𝟎. 𝟒
𝟎. 𝟑
]}
El conjunto solución es un vector fijo.
Base del conjunto solución.
[
𝟎. 𝟓
𝟎. 𝟒
𝟎. 𝟑
] = 0.5 [
𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
] + 0.4[
𝟎
𝟏
𝟎
𝟎
]+ 0.3[
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎
]

5. 3. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de A.
[
𝟐𝟎 𝟑𝟎 𝟒𝟎
𝟑𝟎 𝟒𝟎 𝟓𝟎
𝟒𝟎 𝟓𝟎 𝟗𝟎
][
𝟏
𝟎. 𝟖
𝟎. 𝟔
]=[
𝟔𝟖
𝟗𝟐
𝟏𝟑𝟒
]
4. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.
Det A es No Nulo significa que dado cualquier B mediante Cramer encuentro X tal que
B = AX.
[
𝟐𝟎 𝟑𝟎 𝟒𝟎
𝟑𝟎 𝟒𝟎 𝟓𝟎
𝟒𝟎 𝟓𝟎 𝟗𝟎
][
𝟏
𝟎
𝟎
]=[
𝟐𝟎
𝟑𝟎
𝟒𝟎
]

6. Parte C.
RESOLUCION:
1. Identifique la primera transformación lineal que identificaremos con T.
La matriz original.
B =[
0 0.5 6 5.5 0.5 0 5.5 6
0 0 0 1.58 6.42 8 8 8
]
Transformación lineal
T = [
𝟏 𝟎
𝟎 −𝟏
]
2. Identifique el Espacio de Salida y el Espacio de Llegada.
La dimensión de la Matriz T nos indica que tanto el espacio de salida como el de llegada son de
dimensión 2.
En símbolos: 𝑻:ℝ 𝟐 ⟶ ℝ 𝟐

7. 3. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de salida.
La expresióngenéricade un vectoren el espaciode salidaestá dada por dos componentesyaque
estamos hablando de ℝ 𝟐, por ello dicho vector será de dos componentes una asociada al eje x y
otra asociada al eje y:
𝑣𝑠 = [
𝑥 𝑠
𝑦𝑠
]
4. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de Llegada.
En este caso el espacio de llegada será el vector original luego de cada transformación por ello:
𝑣𝑙 = 𝑇 [
𝑥 𝑖
𝑦𝑖
] = [
1 0
0 −1
]. [
𝑥 𝑖
𝑦𝑖
] = [
1𝑥 𝑖 + 0𝑥 𝑖
0𝑦𝑖 − 1𝑦𝑖
] = [
𝑥 𝑖
−𝑦𝑖
]
5. Repita los pasos para la segunda transformación lineal.
5-1: La transformaciónesunareflexiónconrespectodel eje y(reflejandola“N”haciala izquierda)
Reflexión con respecto al eje y; 𝑆 = [
−1 0
0 1
]
5-2: Identifique el Espacio de Salida y el Espacio de Llegada.
En símbolos: 𝑆:ℝ 𝟐 ⟶ ℝ 𝟐
5-3: Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de salida.
𝑣𝑠 = [
𝑥 𝑠
𝑦𝑠
]
5-4: Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de Llegada.
𝑣𝑙 = 𝑆 [
𝑥 𝑖
𝑦𝑖
] = [
−1 0
0 1
] . [
𝑥 𝑖
𝑦𝑖
] = [
−1𝑥 𝑖 + 0𝑥 𝑖
0𝑦𝑖 + 1𝑦𝑖
] = [
−𝑥 𝑖
1𝑦𝑖
]
6. La composición de ambas transformaciones: S o T
Será aplicada a una Matriz de coordenadas D.
-Esto significa: Aplicar la transformación T a la matriz D, luego al resultado aplicarle la
transformación S.
S= [
−1 0
0 1
] ; 𝑆:ℝ2 ⟶ ℝ2

8. T= [
1 0
0 −1
] 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ2
En símbolos la composición:
𝑆 𝑜 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ2
𝐷 ⟼ 𝑇( 𝐷)
𝑇𝐷 ⟼ 𝑆( 𝑇𝐷) = ( 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) = ( 𝑆𝑇) 𝐷
6-2: Identifique el Espacio de Salida y el Espacio de Llegada.
𝑆 𝑜 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ2
6-3: Identifiquelaexpresióngenéricade unvectoren el espaciode salida.
Es cada vector de la matriz de coordenadas D:
𝑣𝑠 = [
𝑥 𝑠
𝑦𝑠
]
6-4: Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de Llegada.
𝑣𝑙 = 𝑇 [ 𝑆[
𝑥 𝑖
𝑦𝑖
]] = [
1 0
0 −1
] [[
−1 0
0 1
]. [
𝑥 𝑖
𝑦𝑖
]] = [[
1 0
0 −1
][
−1 0
0 1
]][
𝑥 𝑖
𝑦𝑖
] = [
−1 0
0 −1
][
𝑥𝑖
𝑦𝑖
] = [
−𝑥 𝑖
−𝑦𝑖
]
7. En el caso de lacomposiciónde ambas transformaciones,podemosobservarlosiguiente:
𝑇 𝑜 𝑆: ℝ2 ⟶ ℝ2
𝐷 ⟼ 𝑆( 𝐷)
𝑆𝐷 ⟼ 𝑇( 𝑆𝐷) = ( 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) = ( 𝑇𝑆) 𝐷
7-2: Identifique el Espacio de Salida y el Espacio de Llegada.
𝑇 𝑜 𝑆 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ2
7-3: Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de salida.
Como partimos de la misma matriz D, el espacio de salida será cada vector de esa matriz de
coordenadas:
𝑣𝑠 = [
𝑥 𝑠
𝑦𝑠
]

9. 7-4: Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de Llegada.
𝑣𝑙 = 𝑆 [ 𝑇[
𝑥 𝑖
𝑦𝑖
]] = [
−1 0
0 1
] [[
1 0
0 −1
]. [
𝑥 𝑖
𝑦𝑖
]] = [[
−1 0
0 1
][
1 0
0 −1
]][
𝑥 𝑖
𝑦𝑖
] = [
−1 0
0 −1
][
𝑥𝑖
𝑦𝑖
] = [
−𝑥 𝑖
−𝑦𝑖
]
8. Repita los pasos para la Transformación de la inversa de T:
𝑇. 𝐷 = 𝐻 → 𝑇−1
. 𝐻 = 𝐷
𝑇−1
= [
1 0
0 −1
]
8-2: Identifique el Espacio de Salida y el Espacio de Llegada.
𝑇−1
∶ ℝ2
⟶ ℝ2
8-3: Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de salida.
𝑣𝑠 = [
𝑥 𝑠
−𝑦𝑠
]
8-4: Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de Llegada.
𝑣𝑙 = 𝑇−1
[
𝑥 𝑖
𝑦𝑖
] = [
1 0
0 −1
]. [
𝑥 𝑖
−𝑦𝑖
] = [
𝑥 𝑖 + 0𝑥 𝑖
𝑦𝑖 + 0𝑦𝑖
] = [
𝑥 𝑖
𝑦𝑖
]
Parte D. Grupal. Bonet – Novillo.
Seleccione con su grupo una matriz de la lista.
Matriz: A= [
1 2 0
2 4 0
0 0 1
]
A partirde estamatrizconstruyaunatransformaciónmatricial (transformaciónlineal –TL-) asociada.
Luego explicite: (sea muy cuidadoso con la simbología matemática):
a) El vector genérico TX.
𝑇 ∶ ℝ 𝑛 ⟶ ℝ 𝑚
𝑿 ↦ 𝑻𝑿

10. [
𝑥
𝑦
𝑧
] ↦ [
1 2 0
2 4 0
0 0 1
][
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
𝑥 + 2𝑦
2𝑥 + 4𝑦
𝑧
]
b) El núcleo de esta TL.
𝑇 ∶ ℝ 𝑛 ⟶ ℝ 𝑚
𝑿 ↦ ( 𝑻𝑿) = 𝑨𝑿
𝑵𝒖𝒍 𝑻 = { 𝑿 ∈ ℝ 𝒏/ 𝑨𝑿 = 𝟎 }
[
𝑥
𝑦
𝑧
] [
1 2 0
2 4 0
0 0 1
] = [
0
0
0
] → {
𝑥 + 2𝑦 = 0
2𝑥 + 4𝑦 = 0
𝑧 = 0
Solución desde: http://es.onlinemschool.com/math/assistance/equation/gaus/

11. Obtenido desde Wiris:
Luego el núcleo de T es: Gen= {(
−2𝑦
𝑦
0
)}
c) Los autovalores de la TL. :
Para obtenerlosAutovaloresbastaráconaplicarel métodopropuestoenlateoríaeste es:hallarun
valor “k” de tal manera que se cumpla:
𝐷𝑒𝑡 ( 𝐴 − 𝑘. 𝐼) = 0
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑; 𝐼 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]
𝐷𝑒𝑡 [[
1 2 0
2 4 0
0 0 1
] − 𝑘 [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]] = 0
𝐷𝑒𝑡 [[
1 2 0
2 4 0
0 0 1
] − [
𝑘 0 0
0 𝑘 0
0 0 𝑘
]] = 0
𝐷𝑒𝑡 [
1 − 𝑘 2 0
2 4 − 𝑘 0
0 0 1 − 𝑘
] = 0
Nos da como resultado el Polinomio característico que igualamos a cero para hallar k:
Luego el Det A = 0 cuando: k=0; k=1; k=5

12. Desde: http://www.wiris.net/demo/wiris/es/
Luego los autovalores asociados Son: K=0; k=1 y k=5
d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor:
Partiendode laecuación:
( 𝐴 − 𝑘𝐼) 𝑋 = 0
[
1 − 𝑘 2 0
2 4 − 𝑘 0
0 0 1 − 𝑘
][
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
]
Para k=0, tenemos:
[
1 2 0
2 4 0
0 0 1
][
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
]
{
𝑥 + 2𝑦 = 0
2𝑥 + 4𝑦 = 0
𝑧 = 0
Luego coincide con el núcleo de T es: Gen= {(
−2𝑦
𝑦
0
)}
Una base del autovector asociado a k=0 es: [
−2
1
0
]
Para K=1 se tiene

13. [
0 2 0
2 3 0
0 0 0
][
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
]
{
2𝑦 = 0
2𝑥 + 3𝑦 = 0
0 = 0
Autoespacio = {(
0
0
𝑧
)}
Base asociada al autovalor= {(
0
0
1
)}
Para k=5 se tiene:
[
−4 2 0
2 −1 0
0 0 −4
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
]
{
−4𝑥 + 2𝑦 = 0
2𝑥 − 1𝑦 = 0
−4𝑧 = 0
Luego la Base asociada coincide con el: autoespacio Gen= {(
𝑦/2
𝑦
0
)}
Una base del autovector asociado es: [
1/2
1
0
]

14. e) Grafique cada vector de cada base y también grafique cada espacio generado.
f) Analice si A esdiagonalizable.Encaso de serloconstruyaPy D que hacen verdaderalaigualdad.
Para pensar: ¿Cómo y con qué información se construyen dichas matrices?
Aquítenemosque analizarel casode laMatrizA para cada autovalor:(recordamoslovalore de K=0,
K=1; k=5) e ir evaluando como se reduce la matriz en el caso de cada uno de ellose ir resolviendo
los sistemas compatibles indeterminados que se vayan formando para estudiar su Multiplicidad
Geométrica y Algebraica y concluir en cada caso si es DIAGONIZABLE:
Así para cada autovalor, apreciamos de la resolución del Polinomio Característico que poseen
Multiplicidad Algebraica = 1, luego tienen Multiplicidad Geométrica = 1, vimos arriba la
demostraciónal obtenerunAutovectorporcadaautovalor. Por tanto la matriz será Diagonizable.

15. Luego:
D= (
0 0 0
0 1 0
0 0 5
)
P= (
−2 0 1/2
1 0 1
0 1 5
)
Luego: se comprueba: que 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1
h) Plantee la transformación inversa.
𝑇−1 ∶ ℝ3 ⟶ ℝ3
T(x,y,z) ↦ X(abc)
{
𝑥 + 2𝑦 = 𝑎
0 = 𝑏
𝑧 = 𝑐
=> [
1 2 0
0 0 1
0 0 0
]
𝑎
𝑏
𝑐