Este documento presenta fórmulas para calcular derivadas de diferentes funciones como constantes, funciones potenciales, logarítmicas, exponenciales y trigonométricas. Explica cómo calcular la derivada de una suma, producto o cociente de funciones. Incluye ejercicios resueltos como ejemplos de aplicación de las fórmulas.

1. DERIVADAS (1)
Derivada de una constante
ℜ∈= KKxf )( 0)´( =xF
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero.
Ejercicio nº 1) Sol:
Ejercicio nº 2) Sol:
Ejercicio nº 3) Sol:
Ejercicio nº 4) Sol:
Ejercicio nº 5) Sol:
Ejercicio nº 6) Sol:
Derivada de una función potencial: Forma simple
ℜ∈= rxxf r
)( 1
.)´( −
= r
xrxf
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual al exponente por la
variable elevado a una unidad menos.
Ejercicio nº 7) Sol:
Ejercicio nº 8) Sol:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10) Sol:
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12) Sol:
1

2. Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
Ejercicio nº 21)
Sol:
2

3. Derivada de una función logarítmica: Forma simple
xxf ln)( =
x
xf
1
)´( =
Ejercicio nº 22) Sol:
Derivada de una función exponencial con base e: Forma simple
x
exf =)( x
exf =)´(
Ejercicio nº 23) Sol:
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e:
Forma simple
x
axf =)( aaxf x
ln)´( ⋅=
Ejercicio nº 24) Sol:
Ejercicio nº 25) Sol:
Ejercicio nº 26) Sol:
Ejercicio nº 27) Sol:
Ejercicio nº 28) Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
xsenxf =)( xxf cos)´´( =
Ejercicio nº 29) Sol:
3

4. Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
xxf cos)( = xsenxf −=)´(
Ejercicio nº 30)
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: Forma simple
xtgxf =)(
x
xxtgxf 2
22
cos
1
sec1)´( ==+=
Ejercicio nº 31)
Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: Forma simple
xsenarcxf =)( 2
1
1
)´(
x
xf
−
=
Ejercicio nº 32) Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo arco
tangente: Forma simple
xtgarcxf =)( 2
1
1
)´(
x
xf
+
=
Ejercicio nº 33) Sol:
4

5. DERIVADAS (2)
)(. xfky = )´(.´ xfky =
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN es igual a la
constante por la derivada de la función
Derivada de una función potencial: Forma simple
Ejercicio nº 1) Sol:
Ejercicio nº 2) Sol:
Ejercicio nº 3) Sol:
Ejercicio nº 4) Sol:
Ejercicio nº 5) Sol:
Ejercicio nº 6) Sol:
Ejercicio nº 7) Sol:
Ejercicio nº 8) Sol:
POTENCIAS
Sigue recordando:
Ejercicio nº 9)
Sol:
5

6. Ejercicio nº 10)
Sol:
Ejercicio nº 11) Sol:
Ejercicio nº 12) Sol:
Ejercicio nº 13) Sol:
Ejercicio nº 14) Sol:
Ejercicio nº 15) Sol:
Ejercicio nº 16) Sol:
Ejercicio nº 17) Sol:
Ejercicio nº 18) Sol:
Ejercicio nº 19) Sol:
Ejercicio nº 20) Sol:
Ejercicio nº 21) Sol:
6

7. )()( xgxfy += )´()´(´ xgxfy +=
LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma de las
derivadas de las funciones
Ejercicio nº 22) Sol
Ejercicio nº 23) Sol:
Ejercicio nº 24) Sol
Ejercicio nº 25) Sol:
Ejercicio nº 26) Sol:
Ejercicio nº 27) Sol:
Ejercicio nº 28) Sol:
Ejercicio nº 29) Sol:
)()( xgxfy ⋅= )´().()().´(´ xgxfxgxfy +=
LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de
la primera función por la segunda función mas la primera función por la derivada
de la segunda función
Ejercicio nº 30)
Solución:
Ejercicio nº 31)
Solución:
7

8. Ejercicio nº 32)
Solución:
Ejercicio nº 33)
Solución:
)(
)(
xg
xf
y =
)(
)´().()´().(
´ 2
xg
xgxfxfxg
y
−
=
LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de la
función del numerador por la función del denominador menos la función del
numerador por la derivada de la función del denominador, dividido todo ello por el
denominador al cuadrado
Ejercicio nº 34)
Solución:
Ejercicio nº 35)
Solución:
Ejercicio nº 36)
8

9. Solución:
Ejercicio nº 37)
Solución:
Ejercicio nº 38)
Solución:
Derivada de una función logarítmica: Forma simple: Recuerda:
xxf ln)( =
x
xf
1
)´( =
Ejercicio nº 39) Sol:
Ejercicio nº 40) Sol:
9

10. DERIVADAS (3)
AVISO
En las fórmulas de las derivadas que aparecen a continuación, cuando ponemos la letra , lo que
estamos representando es una función que depende de la variable x, y que realmente se debe
escribir
Derivada de una función logarítmica: Forma compuesta simple
( )xuy ln=
u
u
y
´
´=
LA DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO DE UNA FUNCIÓN DE x es
igual a la derivada de la función de x dividida entre dicha función
Ejercicio nº 1) Sol:
Ejercicio nº 2) Sol:
Ejercicio nº 3) Sol:
Ejercicio nº 4) Sol:
Ejercicio nº 5) Sol:
Ejercicio nº 6) Sol:
10

11. Ejercicio nº 7) Sol:
LOGARITMOS
Recuerda de la ESO:
El LOGARITMO DE “a” ELEVADO A “b” es igual al exponente b multiplicado
por el logaritmo de a
Ejercicio nº 8) Sol:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12)
Sol:
11

12. Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
12

13. Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
Ejercicio nº 21)
Sol:
Ejercicio nº 22)
Sol:
Ejercicio nº 23)
Sol:
Ejercicio nº 24)
Sol:
Ejercicio nº 25)
Sol:
Ejercicio nº 26)
Sol:
13

14. Ejercicio nº 27)
Sol:
Ejercicio nº 28)
Sol:
Ejercicio nº 29)
Solución:
Ejercicio nº 30)
Solución:
Ejercicio nº 31)
Solución:
Ejercicio nº 32)
Solución:
Ejercicio nº 33)
Solución:
Derivada de una función exponencial con base e: Forma compuesta
( )xu
ey = ( )xu
euy ´=
14

15. LA DERIVADA DEL NÚMERO “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual
al número “e” elevado a dicha función de x multiplicado por la derivada de dicha
función
Ejercicio nº 35) Sol:
Ejercicio nº 36) Sol:
Ejercicio nº 37) Sol:
Ejercicio nº 38) Sol:
Ejercicio nº 39) Sol:
Ejercicio nº 40) Sol:
DERIVADAS (4)
Derivada de una función potencial:
Ejercicio:
( )
( )1142.)1(7)´(:
1)(
262
72
−=+=
+=
xxxxxfSolución
xxf
Ejercicio:
( ) 8/78/1
8
1
)´(;:
)(
−
==
=
xxfxxfSolución
xxf
Ejercicio:
15
( )[ ] ℜ∈= rxuy
r
( )[ ] 1
´´
−
=
r
xuuy

16. ( )
( ) ( )[ ] )24(2)12cos().12(412cos.2.12.2)´(:
12)( 2
+=++=++=
+=
xsenxxsenxxsenxfSolución
xsenxf
Ejercicio:
( )
( )[ ] ( ) ( )[ ] )(
)cos()24(
cos.12..2)´(:
)(
23
2
232
22
xxsen
xxx
xxxxxsenxfSolución
xxsenxf
+
++−
=+++−=
+=
−
−
Ejercicio:
( )
( ) ( )[ ] )15().15(cos1515.5.15cos.3)´(:
15cos)(
22
3
++−=+−+=
+=
xsenxxsenxxfSolución
xxf
Ejercicio:
( )
( ) 3
4
23
4
2
3/12
1
3
2
2.)1(
3
1
)´(:
1)(
−−
−
−−=+
−
=
+=
xxxxxfSolución
xxf
Ejercicio:
( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )12sec1212sec212
2
1
)´(:
12)(
22
3
22
3
2/1
+⋅+−=++
−
=
+=
−
−
−
xxtgxxtgxfSolución
xtgxf
Ejercicio:
( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )13cos13cot
2
3
13cos313cot
2
1
)´(:
13cot)(
22
1
22
1
2/1
+⋅+−=+−+=
+=
−
−
xecxgxecxgxfSolución
xgxf
Ejercicio:
[ ] xecxgxecxgxfSolución
xgxf
22
3
22
3
2/1
coscot
2
1
coscot
2
1
)´(:
cot)(
⋅=−−=
=
−
−
−
Derivada de una función logarítmica
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
16

17. Solución:
Ejercicio
Solución:
Derivada de una función exponencial con base el número e
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
17

18. Derivada de una función trigonométrica tipo seno
Ejercicio:
( )
( )( ) ( ) 22
2
)63cos().63(663cos363.2)´(:
63)(
+−+−−=+−−+−=
+−=
xxxxxfSolución
xsenxf
Ejercicio:
( )( )
( )( )6lncos.
6
1
)´(:
6ln)(
+
+
=
+=
x
x
xfSolución
xsenxf
Ejercicio:
( )
( )tgx
x
xfSolución
xtgsenxf
cos.
cos
1
)´(:
)(
2
=
=
Ejercicio:
( )
( )xg
xsen
xfSolución
xgsenxf
2cotcos.
2
2
)´(:
2cot)(
2
−=
=
Ejercicio:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )7272462
6272724
725
1cos1.170
2171cos.15)´(:
1)(
+⋅++
=⋅+⋅++=
+=
xxsenxx
xxxxsenxfSolución
xsenxf
Ejercicio:
( )( )
( )( )xxL
xx
x
xfSolución
xxLsenxf
3cos.
3
33
)´(:
3)(
3
3
2
3
+
+
+
=
+=
Ejercicio:
( )
( ) ( ) ( )42424242
42
3cos3323cos.33.2)´(:
3)(
++++
+
⋅=⋅=
=
xxxx
x
LLxfSolución
senxf
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
18

19. Ejercicio:
( )
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )222
22
22
63263663)63cos().63(12
63363263cos.2)´(:
63cos)(
+−+−=+−⋅+−+−
=+−⋅−+−−⋅+−=
+−=
xsenxxsenxx
xsenxxxfSolución
xxf
Ejercicio:
( )( )
( )( )xxsen
xx
x
xfSolución
xxxf
+
+
+
−=
+=
2
2
2
4ln.
4
18
)´(:
4lncos)(
Ejercicio:
( )( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( ) ( )xsenxsenxsen
xsenxsenxsenxfSolución
xxf
⋅⋅−
=−⋅−⋅−=
=
coscoscos
coscoscos)´(:
coscoscos)(
Ejercicio:
( )
( ) ( ) ( )33223
33
2.2323)´(:
2cos)(
xxsenxxxxfSolución
xxxf
+++−=
+=
Ejercicio:
( )
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )6262352
5262623
624
11cos.148
2161.1cos4)´(:
1cos)(
+⋅++−
=⋅+⋅+−+=
+=
xsenxxx
xxxsenxxfSolución
xxf
Ejercicio:
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )xxLsenxxL
xx
x
xxLsen
xx
x
xxLxfSolución
xxLxf
33cos
3
66
3.
3
33
3cos2)´(:
3cos)(
33
3
2
3
3
2
3
32
++





+
+
−
=+





+
+
−+⋅=
+=
Ejercicio:
19

20. ( )
( ) ( ) ( )4444
4
2222
2
33323.33.2)´(:
3cos)(
++++
+
⋅−=⋅−=
=
xxxx
x
senxLsenLxxfSolución
xf
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Derivada de una función trigonométrica tipo cotangente
Ejercicio:
( ) xecxgxfSolución
xgxf
2cos222cot1)´(:
2cot)(
22
−=⋅+−=
=
Ejercicio:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )726726
7
63cos632163cos3637)´(:
63cot)(
+−+−=+−−+−−=
+−=
xecxxecxxfSolución
xgxf
Ejercicio:
223
2
cos2)´(:
cot)(
−−
−
⋅−=
=
xecxxfSolución
xgxf
Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
20

21. Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
21