Teoremas y Ejemplos

2. Cálculo Multivariable
Marcelo Fernando Valdiviezo C.
Carrera de Telecomunicaciones
Octubre - 2020

3. UNIDAD 2: DIFERENCIACIÓN
VECTORIAL
TEMA: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

4. DEFINICIÓN
( ) 2
,z f x y x xy= = +
DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
x y y son las variables independientes y z es la variable dependiente

5. EJEMPLO 1: DOMINIO DE FUNCIONES
DE VARIAS VARIABLES
Hallar el dominio de la función ( ) 2 2 2
, ,
9
x
g x y z
x y z
=
− − −
2 2 2
2 2 2
2 2 2
9 0
9
9
x y z
x y z
x y z
− − − 
− − −  −
+ + 

6. COMBINACIÓN DE FUNCIONES DE
VARIAS VARIABLES
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )( )
, , , Suma o Diferencia
, , , Producto
,
, , , 0 Cociente
,
, , Composición
f g x y f x y g x y
fg x y f x y g x y
f x yf
x y g x y
g g x y
g h x y g h x y
 = 
=
= 
=

7. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS
VARIABLES

8. EJEMPLO 2: DESCRIPCIÓN DE LA GRÁFICA
DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
¿Cuál es el rango de ? Describir la gráfica de f( ) 2 2
, 16 4f x y x y= − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
16 4 0
4 16
4 16
1
4 16
1
4 16
x y
x y
x y
x y
x y
− − 
− −  −
+ 
+ 
+ =
( )
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
,
0 4
16 4
16 4
4 16
1
4 16 16
z f x y
z
z x y
z x y
x y z
x y z
=
 
= − −
= − −
+ + =
+ + =

9. DIBUJO DE UN MAPA DE CONTORNO
( ) 2 2
, 64f x y x y= − −

10. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS
VARIABLES
DEFINICIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

11. EJEMPLO 3: VERIFICAR UN LÍMITE A
PARTIR DE LA DEFINICIÓN
Mostrar que
( ) ( ), ,
lim
x y a b
x a
→
=
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
,
,
, ,
0
,
f x y x y L a
f x y L x a
x y a b
x a y b
f x y L x a
x a


= =
− = − 

 − + − 
− = −
= −
( ) ( ) ( )
2 2
,f x y L x a y b

−  − + −

 =

12. EJEMPLO 4: CÁLCULO DE UN LÍMITE
Calcular
( ) ( )
2
2 2, 1,2
5
lim
x y
x y
x y→ +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2, 1,2
5 1 2 10
lim 2
51 2x y →
= =
+

13. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE
DOS VARIABLES
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

14. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE
DOS VARIABLES
FUNCIONES CONTINUAS DE DOS VARIABLES

15. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
COMPUESTA
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

16. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE
TRES VARIABLES
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE TRES VARIABLES

17. PREGUNTAS