Este documento trata sobre el cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables. Explica conceptos como funciones de dos variables, gráficas, curvas de nivel, límites, continuidad, derivadas parciales y extremos locales. El documento contiene ejemplos y definiciones de estos temas fundamentales del cálculo multivariable.

1. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Funciones de Varias
Variables
Demetrio Ccesa Rayme

2. Cálculo diferencial e integral de una variable
Contenidos
 Función de dos variables.
 Gráfica de una función real de dos
variables.
 Curvas de nivel.
 Límite.
 Continuidad.
 Derivadas Parciales.
 Mínimos y máximos relativos
2

3. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Gráfica de una función real de dos variables.

4. Cálculo diferencial e integral de una variable
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ii) Secciones transversales:

5. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Ejemplo
inicio
2. Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y la
imagen.
2 2
4a) f (x,y ) y x  
 2 2
9b) z x y  

6. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Curvas de nivel.

7. Cálculo diferencial e integral de una variable
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2 2
( , )x y y x 

8. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Interpretación geométrica de los límites

9. Cálculo diferencial e integral de una variable
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10. Cálculo diferencial e integral de una variable
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11. Cálculo diferencial e integral de una variable
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12. Cálculo diferencial e integral de una variable
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13. Cálculo diferencial e integral de una variable
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14. Cálculo diferencial e integral de una variable
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15. Cálculo diferencial e integral de una variable
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16. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Continuidad
Definición: Una función f de dos variables, se denomina
continua en (a,b) si
Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto
(a,b) de D
   
   bayxf
bayx
,,lim
,,


Nota:
Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio
   
   
2 2
1 2
2 2
2 21 0
x ,y ,
x ,y ,
lim x xy y
x y
lim
x y


   



17. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Definición: La derivada direccional de la función de varias variables f en el
punto P en la dirección del vector unitario u es:
 
   

 
 0 0 1 2 0 0
0 0
0u h
f (x ,y h(u ,u )) f x ,y
D f x ,y lim
h

18. Cálculo diferencial e integral de una variable
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   
   0 0 0 0
0 0 0 0
0
y
y
f x ,y y f x ,yf
f x ,y x ,y lim
y y 
  
 
 
Definición de derivada parcial con respecto a x e y.
 
   0 0 0 0
0 0
0x
f x x,y f x ,yf
x ,y lim
x x 
  

 

19. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Ejemplos
1. Si f(x,y)=4-x2-2y2, encuentre fx(1,1), fy (1,1), e
interprete estos números como pendientes.
3 2 2
a) f (x,y) (x y ) 
2y
b) f (x,y) xe ysenx
 
3 2x
c) f (x,y, z) xe z xz ln(yz)  
2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f

20. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Derivadas parciales respecto a x y a y.

21. Cálculo diferencial e integral de una variable

22. Cálculo diferencial e integral de una variable
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23. Cálculo diferencial e integral de una variable
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EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

24. Cálculo diferencial e integral de una variable
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25. Cálculo diferencial e integral de una variable
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26. Cálculo diferencial e integral de una variable
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27. Cálculo diferencial e integral de una variable
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28. Cálculo diferencial e integral de una variable
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29. Cálculo diferencial e integral de una variable
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30. Cálculo diferencial e integral de una variable
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31. Cálculo diferencial e integral de una variable
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32. Cálculo diferencial e integral de una variable
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33. Cálculo diferencial e integral de una variable
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34. Cálculo diferencial e integral de una variable
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35. Cálculo diferencial e integral de una variable
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36. Cálculo diferencial e integral de una variable
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37. Cálculo diferencial e integral de una variable
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38. Cálculo diferencial e integral de una variable
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