calculo integral

1. Universidad de Valparaiso
Ingeniería Ambiental
Cálculo Diferencial e Integral
Guía de Trabajo 16
Ecuaciones Diferenciales
Prof. Juan Carlos Morgado.1
1. Determine a solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables
dy
(a) = sin (5x)
dx
1
Respuesta: y = C 5 cos (5x)
(b) (1 + x) dy ydx = 0
Respuesta: y = c (1 + x)
dy
(c) ey t t3 = 0
dt
1 4
Respuesta: y = ln 4t + 1 t2 + C
2
dy
(d) x y = 2x2 y
dx
2
Respuesta: y = Cxex
(e) 1 + y 2 dx + xydy = 0
2
Respuesta: x2 + (xy) = c
(f) ey (1 + x2 )dy 2x(1 + ey )dx = 0
1 + ey
Respuesta: =c
1 + x2
p p
(g) x 1 y 2 dx + y 1 x2 dy = 0
p p
Respuesta: 1 x2 + 1 y 2 = c
dy
(h) (ex + e x
) = y2
dx
2
Respuesta: y =
c 2 arctan (ex )
(i) 1 + x2 + y 2 + x2 y 2 dy y 2 dx = 0
Respuesta: y y 1 = arctan (x) + c
dy xy + 3x y 3
(j) =
dx xy 2x + 4y 8
Respuesta: y 5 ln jy + 3j = x 5 ln jx + 4j + c
2. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por ( 1; 4) si la ecuación de la tangente a la curva en dicho
d2 y
punto es 2x 6y + 9 = 0 y = x2 ln (x + 2) en cualquier punto (x; y) de la curva.
dx2
1 Este material se puede obtener desde http://www.mateuv.blogspot.com/

2. 3. Si la tasa de cambio de la esperanza de vida L al nacer puede modelarse por:
dL 12
=
dt 2t + 50
en donde t es el número de años a partir de 1940 y la esperanza de vida fue de 63 años en 1940.
Encuentre la esperanza de vida para las personas que nacieron en 2008.
4. Un grupo de biólogos estudió los efectos alimenticios en ratas a las que alimentó con una dieta en la
que era 10% era proteína. La proteína consistió en levadura y harina de maíz. El grupo encontró en
cierto periodo, la razón de cambio aproximada del aumento del peso G (en gramos) de una rata, con
respecto al porcentaje P de la levadura en la mezcla proteínica fue:
dG P
= + 2; 8p 2 [0; 100]
dP 25
Si G = 38 cuando P = 10. Encuentre G
5. Supongamos que una población experimental de mosca de la fruta (P) tiene un ritmo de crecimiento
proporcional a P.
Si hay 100 moscas al segundo día y 300 al cuarto día. Estimar ¿Cuántas moscas había al comienzo del
experimento?
6. La tasa de crecimiento de una inversi´on es proporcional al monto de la inversión, en cada instante t.
(a) Plantear y resolver la ecuación diferencial que modela la situación planteada.
(b) Encontrar la solución particular de (a) si la inversión inicial (capital inicial) es $1000 y 10 años
después el monto acumulado es de $3000.
7. La Ley de enfriamiento de Newton a…rma que la tasa de cambio de la temperatura de un objeto es
proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente que lo rodea. Suponer que
una habitación se mantiene a una temperatura constante de 70o y que un objeto se enfría de 350o a
150o en 45 minutos. ¿Qué tiempo se necesitará para enfriar dicho objeto hasta una temperatura de
80o ?
8. Un termómetro se lleva al exterior de una casa donde la temperatura ambiente es de 70 grados Fahren-
heit. Al cabo de 5 minutos, el termómetro registra 60 grados Fahrenheit y, 5 minutos después, registra
54 grados Fahrenheit. ¿Cuál es la temperatura del exterior?
9. Las moléculas de una sustancia A se descomponen en moléculas más pequeñas. La velocidad de
descomposición es proporcional a la cantidad sustancia que no ha experimentado descomposición. Si
la cantidad inicial de sustancia A era A0 , calcular la constante de proporcionalidad si transcurridos 30
días sólo queda la mitad de la cantidad inicial.
10. Midamos el tiempo en siglos, y supongamos que la población se duplica cada siglo, y que la población
en el siglo XVI era 1.000.000 de personas.
(a) ¿Cuál es la ecuación que regula el crecimiento de la población?
(b) ¿Cuál será la población en la mitad del siglo XXII?
11. Si una habitación se mantiene a temperatura constante de 70 F y un objeto que estaba a 350 F pasa
a 150 F en 45 minutos, ¿qué tiempo se necesita para que el objeto adquiera una temperatura de 80
F?
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3. 12. Un método para frenar el crecimiento de una población de insectos sin usar pesticidas es el de introducir
machos estériles en la población. Si P representa el número de insectos hembras, S el número de machos
estériles que entran cada generación y R la tasa natural de crecimiento de la población, entonces la
población de hembras se relacionan con la variable t, de tiempo por
R P +S
t= dP:
P [(R 1) P S]
Suponga que la población de insectos con 10000 hembras crece a razón de r = 0:10 y 900 machos
estériles son agregados.
Evalúe la integral para dar una ecuación que relacione población de hembras y tiempo.
13. Suponga que la población P de bacterias en un cultivo al tiempo t cambia a una razón proporcional a
P 2 P . Asuma que P 2 P > 0. Encuentre la función P (t) sabiendo que al inicio hay 1000 bacterias
y a los 5 minutos hay 500.
14. Se coloca un objeto con una temperatura de 90 grados Fahrenheit en un medio con una temperatura
de 60 grados. Diez minutos después, el objeto se ha enfriado a 80 grados Fahrenheit. ¿Cuál será la
temperatura del cuerpo después de estar en este ambiente durante 20 minutos? ¿En cuánto tiempo
llegará a 65 grados Fahrenheit la temperatura del cuerpo?
15. Un detective de la Policia de Investigaciones, mientras pasea por una calle a 22 C, encuentra un
cadáver cuya temperatura es de 35 C. Si al cabo de una hora su temperatura ha descendido a 33 C,
y suponiendo que en el momento de la muerte la temperatura del cuerpo era de 37 C, ¿a qué hora se
produjo el crimen?
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