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Saúl Olaf Loaiza Meléndez
#AlgebraLinealUPTx versión: Octubre 2015
1
El método de Gauss-Jordan es una generalización del proceso de Gauss, y consiste en
encontrar la matriz escalonada reducida de una dada.
Veamos los pasos a seguir de acuerdo a este método. Consideremos la misma matriz
(
2 1 −4
1 2 2
2 2 −1
2
1
1
)
Paso 1 Consiste en hacer que el primer elemento del primer renglón sea 1 (a este elemento
se le conoce como pivote).
Para esto podríamos multiplicar por 1/2 este
renglón, sin embargo será más fácil
intercambiar los renglones 1 y 2 para obtener
(
1 2 2
2 1 −4
2 2 −1
1
2
1
)
Paso 2 Debemos de hacer cero los elementos que están por debajo del pivote, esto lo
hacemos cambiando el renglón por una combinación lineal del propio renglón con el primero.
En este caso el nuevo renglón dos será igual
a el propio renglón dos, menos dos veces el
renglón uno, denotado por 𝑅2
′
= 𝑅2 − 2𝑅1,
para el nuevo renglón tres hacemos
𝑅3
’
= 𝑅3 − 2𝑅1.
𝑅2 − 2𝑅1 →
𝑅3 − 2𝑅1 →
(
𝟏 2 2
𝟎 −3 −8
𝟎 −2 −5
1
0
−1
)
Paso 3 Ahora se hace que el segundo elemento del segundo renglón (𝑎22) sea igual a 1,
(este será nuestro nuevo pivote).
Para esto el nuevo renglón 2 será
𝑅2
′
= −𝑅2 + 𝑅3, es decir tenemos
−𝑅2 + 𝑅3 → (
1 2 2
0 𝟏 3
0 −2 −5
1
−1
−1
)
Paso 4 Se hace cero los elementos que están por debajo y por arriba del pivote.
Para hacer cero el elemento del primer
renglón usamos la regla 𝑅1
′
= 𝑅1 − 2𝑅2 y
para el de la fila 𝑅3
′
= 𝑅3 + 2𝑅2.
𝑅1 − 2𝑅2 →
𝑅3 + 2𝑅2 →
(
𝟏 𝟎 −4
𝟎 𝟏 3
𝟎 𝟎 1
3
−1
−3
)
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE TLAXCALA
ALGEBRA LINEAL
GUÍA UNIDAD II
Saúl Olaf Loaiza Meléndez
#AlgebraLinealUPTx versión: Octubre 2015
2
Paso 5 Repetir el proceso hasta lograr que la diagonal principal sea de unos, y los elementos
por debajo y encima de esta diagonal sea cero.
Observemos que ya hay un uno en la tercer
posición de la diagonal, por lo que solo resta
hacer ceros los elementos superiores de
éste. Para esto hagamos 𝑅1
′
= 𝑅1 + 4𝑅3 y
también 𝑅2
′
= 𝑅2 − 3𝑅3.
𝑅1 − 4𝑅3 →
𝑅2 − 3𝑅3 → (
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
−9
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)
Considera la matriz 𝐴 = (
1 2 3
2 1 0
−1 0 2
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)
Aplicando el Método de Gauss-Jordan a la matriz dada A, obtener la matriz escalonada
reducida.

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Guia Matriz Escalonada Reducina

  • 1. Saúl Olaf Loaiza Meléndez #AlgebraLinealUPTx versión: Octubre 2015 1 El método de Gauss-Jordan es una generalización del proceso de Gauss, y consiste en encontrar la matriz escalonada reducida de una dada. Veamos los pasos a seguir de acuerdo a este método. Consideremos la misma matriz ( 2 1 −4 1 2 2 2 2 −1 2 1 1 ) Paso 1 Consiste en hacer que el primer elemento del primer renglón sea 1 (a este elemento se le conoce como pivote). Para esto podríamos multiplicar por 1/2 este renglón, sin embargo será más fácil intercambiar los renglones 1 y 2 para obtener ( 1 2 2 2 1 −4 2 2 −1 1 2 1 ) Paso 2 Debemos de hacer cero los elementos que están por debajo del pivote, esto lo hacemos cambiando el renglón por una combinación lineal del propio renglón con el primero. En este caso el nuevo renglón dos será igual a el propio renglón dos, menos dos veces el renglón uno, denotado por 𝑅2 ′ = 𝑅2 − 2𝑅1, para el nuevo renglón tres hacemos 𝑅3 ’ = 𝑅3 − 2𝑅1. 𝑅2 − 2𝑅1 → 𝑅3 − 2𝑅1 → ( 𝟏 2 2 𝟎 −3 −8 𝟎 −2 −5 1 0 −1 ) Paso 3 Ahora se hace que el segundo elemento del segundo renglón (𝑎22) sea igual a 1, (este será nuestro nuevo pivote). Para esto el nuevo renglón 2 será 𝑅2 ′ = −𝑅2 + 𝑅3, es decir tenemos −𝑅2 + 𝑅3 → ( 1 2 2 0 𝟏 3 0 −2 −5 1 −1 −1 ) Paso 4 Se hace cero los elementos que están por debajo y por arriba del pivote. Para hacer cero el elemento del primer renglón usamos la regla 𝑅1 ′ = 𝑅1 − 2𝑅2 y para el de la fila 𝑅3 ′ = 𝑅3 + 2𝑅2. 𝑅1 − 2𝑅2 → 𝑅3 + 2𝑅2 → ( 𝟏 𝟎 −4 𝟎 𝟏 3 𝟎 𝟎 1 3 −1 −3 ) UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE TLAXCALA ALGEBRA LINEAL GUÍA UNIDAD II
  • 2. Saúl Olaf Loaiza Meléndez #AlgebraLinealUPTx versión: Octubre 2015 2 Paso 5 Repetir el proceso hasta lograr que la diagonal principal sea de unos, y los elementos por debajo y encima de esta diagonal sea cero. Observemos que ya hay un uno en la tercer posición de la diagonal, por lo que solo resta hacer ceros los elementos superiores de éste. Para esto hagamos 𝑅1 ′ = 𝑅1 + 4𝑅3 y también 𝑅2 ′ = 𝑅2 − 3𝑅3. 𝑅1 − 4𝑅3 → 𝑅2 − 3𝑅3 → ( 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 −9 8 −3 ) Considera la matriz 𝐴 = ( 1 2 3 2 1 0 −1 0 2 0 −1 4 ) Aplicando el Método de Gauss-Jordan a la matriz dada A, obtener la matriz escalonada reducida.