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CONCEPTOS BASICOS DE
ECUACIONES
DIFERENCIALES
Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez
Introducción a las Ecuaciones
Diferenciales.
OBJETIVO:
Conocer las características y propiedades de una
Ecuación Diferencial para que el estudiante se familiarice
con los tipos de Ecuaciones Diferenciales.
Aprender a identificar la solución de una Ecuación
Diferencial.
COMPETENCIA A DESARROLLAR:
Conocimiento y habilidad para identificar el tipo de
una Ecuación Diferencial.
Introducción a las Ecuaciones
Diferenciales.
Conocimiento Previos:
• Definición de la derivada
• Reglas de diferenciación
• Derivada como una variación de cambio.
• La primera derivada como el incremento/decremento
• La segunda derivada como su concavidad.
Actividad #2: Introducción a las
Ecuaciones Diferenciales.
En un cuarto hoja blanca, realizar el
siguiente esquema:
Donde en cada pregunta deberán colocar el
inciso que crean sea el correcto, de acuerdo a la
presentación de las cuatro preguntas.
Cada pregunta tiene un duración de un
minuto.
Nombre Completo Fecha:
Pregunta 1 Pregunta 2
Pregunta 3 Pregunta 4
Pregunta 1
Pregunta 2
Pregunta 3
Pregunta 4
1.1 ¿Qué es una Ecuación Diferencial?
• La derivada
𝑑𝑦
𝑑𝑥
de un función 𝑦 = 𝜙(𝑥) es la
transformación de si misma en otra función 𝜙′(𝑥) por una
apropiada regla.
• Ahora el problema básico de este curso es encontrar una
función que cumpla con la identidad de la ED.
1.2 Notación de una EDO
En general, si una ecuación diferencial es ordinaria de
orden n, se denota por:
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, 𝑦′′′, … , 𝑦 𝑛−1 , 𝑦 𝑛 = 0
O bien resolviendo la derivada de mayor orden:
𝑦(𝑛)
= 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′
, 𝑦′′
, … , 𝑦 𝑛−1
)
Teorema de la función implícita
Sea 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 una función implícita de dos variables, si
las derivadas parciales
𝜕𝐹
𝜕𝑥
y
𝜕𝐹
𝜕𝑦
existen y son continuas,
entonces:
𝑑𝐹 =
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝑑𝑦 = 0
En el caso en que
𝜕𝐹
𝜕𝑦
≠ 0, se cumple que:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= −
𝐹𝑥
𝐹𝑦
1.3 ¿Cuál es la función de una ED?
Verificar que la función
𝑦3
= 𝑐𝑒−3𝑥2
+ 3
Es una solución de la ecuación diferencial.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑥𝑦 =
6𝑥
𝑦2
Solución:
1. Consideramos la función en su forma general
2. Usamos el teorema de la función implícita
3. Sustituimos 𝑐𝑒−3𝑥2
= 𝑦3 − 3 en el paso 2
4. Simplificamos
5. Reordenamos
Actividad #3 Verificación de una ED
Verificar si la función indicada es solución de la Ecuación
Diferencial (ED) correspondiente (suponer que 𝑐1, 𝑐2 son
constantes arbitrarias)
ED:
3𝑥2
𝑦2
+ 2 𝑑𝑦 + 2𝑥𝑦3
− 3 𝑑𝑥 = 0
Función:
𝑥2 𝑦3 − 3𝑥 + 2𝑦 = 𝑐
1.4 Tipos de Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias
Tipo
Parciales
La ecuación diferencial contiene
derivadas de una o más
variables dependientes con
respecto a una sola variable
independiente.
La ecuación diferencial contiene
derivadas parciales de una o
más variables dependientes con
respecto a dos o más
variables independientes

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U1 Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

  • 2.
  • 3. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales. OBJETIVO: Conocer las características y propiedades de una Ecuación Diferencial para que el estudiante se familiarice con los tipos de Ecuaciones Diferenciales. Aprender a identificar la solución de una Ecuación Diferencial. COMPETENCIA A DESARROLLAR: Conocimiento y habilidad para identificar el tipo de una Ecuación Diferencial.
  • 4. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales. Conocimiento Previos: • Definición de la derivada • Reglas de diferenciación • Derivada como una variación de cambio. • La primera derivada como el incremento/decremento • La segunda derivada como su concavidad.
  • 5. Actividad #2: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales. En un cuarto hoja blanca, realizar el siguiente esquema: Donde en cada pregunta deberán colocar el inciso que crean sea el correcto, de acuerdo a la presentación de las cuatro preguntas. Cada pregunta tiene un duración de un minuto. Nombre Completo Fecha: Pregunta 1 Pregunta 2 Pregunta 3 Pregunta 4
  • 10. 1.1 ¿Qué es una Ecuación Diferencial? • La derivada 𝑑𝑦 𝑑𝑥 de un función 𝑦 = 𝜙(𝑥) es la transformación de si misma en otra función 𝜙′(𝑥) por una apropiada regla. • Ahora el problema básico de este curso es encontrar una función que cumpla con la identidad de la ED.
  • 11. 1.2 Notación de una EDO En general, si una ecuación diferencial es ordinaria de orden n, se denota por: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, 𝑦′′′, … , 𝑦 𝑛−1 , 𝑦 𝑛 = 0 O bien resolviendo la derivada de mayor orden: 𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′ , 𝑦′′ , … , 𝑦 𝑛−1 )
  • 12. Teorema de la función implícita Sea 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 una función implícita de dos variables, si las derivadas parciales 𝜕𝐹 𝜕𝑥 y 𝜕𝐹 𝜕𝑦 existen y son continuas, entonces: 𝑑𝐹 = 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝑑𝑦 = 0 En el caso en que 𝜕𝐹 𝜕𝑦 ≠ 0, se cumple que: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑦 = − 𝐹𝑥 𝐹𝑦
  • 13. 1.3 ¿Cuál es la función de una ED? Verificar que la función 𝑦3 = 𝑐𝑒−3𝑥2 + 3 Es una solución de la ecuación diferencial. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 = 6𝑥 𝑦2 Solución: 1. Consideramos la función en su forma general 2. Usamos el teorema de la función implícita 3. Sustituimos 𝑐𝑒−3𝑥2 = 𝑦3 − 3 en el paso 2 4. Simplificamos 5. Reordenamos
  • 14. Actividad #3 Verificación de una ED Verificar si la función indicada es solución de la Ecuación Diferencial (ED) correspondiente (suponer que 𝑐1, 𝑐2 son constantes arbitrarias) ED: 3𝑥2 𝑦2 + 2 𝑑𝑦 + 2𝑥𝑦3 − 3 𝑑𝑥 = 0 Función: 𝑥2 𝑦3 − 3𝑥 + 2𝑦 = 𝑐
  • 15. 1.4 Tipos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Tipo Parciales La ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. La ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes