El documento habla sobre los fundamentos del cálculo. Explica que el concepto clave es el límite de una función, el cual depende del comportamiento de la función cuando se acerca a un punto y permite definir la continuidad, derivada e integral. Luego presenta la noción de límite basada en la convergencia de sucesiones y define funciones continuas como aquellas que preservan dicha convergencia. Finalmente, introduce conceptos como sucesiones reales, convergencia de sucesiones y el criterio de Cauchy para determinar la convergencia sin conocer el

1. Los fundamentos del
calculo

2. El lımite de una función real de variable real y = f(x) en un punto x0 de su dominio es el concepto
fundamental del cálculo. Es esta una noción asociada al comportamiento de los valores de la función
en los puntos vecinos del punto x0, que permite definir la idea de continuidad y los conceptos
fundamentales de derivada e integral de una función. La definición de limite es reconocida como una
de las máximas expresiones del discurso matemático moderno y su manejo es imprescindible para
una clara comprensión del calculo y sus aplicaciones. En este capitulo se presenta y se estudia la
noción de limite a partir del concepto de convergencia de sucesiones, definiéndose luego las
funciones continuas como aquellas que preservan precisamente la convergencia de sucesiones. La
diferencia entre los conceptos y métodos del calculo y los que usualmente se manejan en el algebra y
la geometría, radica en que los primeros se definen en términos de propiedades o procesos con
conjuntos infinitos. Este capitulo incluye las demostraciones de los resultados básicos del análisis
matemático y se presentan así para ir introduciendo al estudiante en el manejo de las técnicas de
argumentación y prueba propias de esta área de las matemáticas.

3. Sucesiones reales
Una sucesión real es un conjunto de números reales ordenado mediante el conjunto de los números naturales.
En otras palabras, una sucesión es un conjunto de números reales etiquetados con números naturales, de tal
manera que la etiqueta especifica el lugar o el orden que ocupa cada elemento en la sucesión. La etiqueta, al ser
un numero natural, nos señala cual es el primer elemento de la sucesión, cual el segundo, cual el tercero, etc. Para
definir una sucesión real, se necesita especificar los números que la integran y el lugar que ocupan según el orden
de sus etiquetas.
Asociado al concepto de sucesión, se tiene de manera natural el concepto de subsucesion de una sucesión,
entendida como una nueva sucesión cuyos elementos forman un subconjunto de la primera y su orden como
elementos de la subsucesion preserva el orden que esos mismos elementos tenían en la sucesión inicial. Es decir, si
en la subsucesion un elemento es posterior a otro, como elementos de la sucesión inicial también el primer
elemento era posterior al segundo.

4. Convergencia de sucesiones
Se denota con (L − r, L + r) y se llama intervalo abierto con centro en el numero real L y radio r > 0, al conjunto
(L − r, L + r) = {x ∈ R tales que |x − L| < r} . Se dice que una sucesión {si} ∞ i=1 de números reales es
convergente a un numero real L si los elementos de la sucesión se aproximan al número L “tanto como se
quiera” a medida que crece la magnitud de las etiquetas de esos elementos.
Propiedades de las sucesiones convergentes
Enseguida enunciaremos y demostraremos algunas de las propiedades más importantes de las sucesiones
convergentes. Una sucesión de números reales {ai} ∞ i=1 se dice acotada si todos sus elementos se encuentran
dentro de un intervalo cerrado de la forma [−M, M] con M algún número mayor que cero, es decir, si −M < ai
< M para toda i = 1, 2, . . .
 -
 .
 .
 .
 .

5. Criterio de convergencia de Cauchy
El criterio de convergencia de Cauchy proporciona una manera de constatar la convergencia de una sucesión sin
que necesariamente se conozca su limite. Este es un resultado de gran utilidad en el análisis matemático y aquí lo
presentamos en los términos siguientes.