Este documento presenta una unidad sobre funciones de varias variables. Incluye ejercicios para determinar el dominio de funciones, trazar curvas de nivel, y expresar funciones como funciones de otras variables. También cubre aplicaciones como calcular la producción de madera aserrada y el costo de construir una caja, e incluye gráficos de isotermas para una placa de acero.

1. CÁLCULO 3
UNIDAD I: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
SESIÓN 01: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.DOMINIO, GRÁFICA Y CURVAS DE
NIVEL
NIVEL I:
1. Determine de forma analítica y gráficamente el dominio de las siguientes funciones:
a) f ( x, y)  ln( y 2  x 2 )  arcsen( y  2)  9  x 2  y 2
b) f ( x, y ) 
16  x 2  y 2
ln( x 2  y 2  4)

y2 1
x2  y2
c) f ( x, y )  ln( x  y 2 )  8  x 2  y 2 
d) f ( x, y) 
x2
y2  9
y 2  x  arccos( x  2)  ln( x 2  y)
2. Si f ( x  y, x  y)  xy  y 2 Halle f ( x, y)
3. Para cada una de las funciones trace las curvas de nivel. Correspondientes a:
f ( x, y)  1; f ( x, y)  2; f ( x, y)  3
a) f ( x, y)  y  x
b) f ( x, y)  4 x 2  9 y 2
d) f ( x, y)  x 2  y 2
c) f ( x, y ) 
y
x2
c) f ( x, y)  yx
d) f ( x, y)  9  x 2  y 2
NIVEL II:
1. En los problemas, relacione el conjunto de puntos dados en la figura con el dominio de una
de las funciones desde la a) hasta la h).
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
1
JUAN CARLOS BRONCANO TORRES

2. 2.
3. Exprese z como función de las variables x e y.
 z 
z
a) ln    ln 5  3 ln  
 2y 
 x
 
b) xe z  3 y  2
c) yz  x  z 2
d)
x
y
z 3
y
x
4. Señala en cada caso el interior y la frontera también da una representación gráfica:
NIVEL III:
1. La regla de troncos de Doyle es uno de los varios métodos para determinar el rendimiento
en madera aserrada (en tablones-pie) en términos de su diámetro d (en pulgadas) y su
Longitud L ( en pies). El número de tablones-pie es:
d 4
N (d , l )  
 L
 4 
2
a) Halle el número de tablones-pie de madera aserrada producida por un tronco de 22
pulgadas de diámetro y 12 pies de longitud
b) Evaluar N(30,12)
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
2
JUAN CARLOS BRONCANO TORRES

3. 2. Una caja rectangular abierta por arriba tiene x pies de longitud y pies de ancho y z pies de
alto. Construir la base cuesta $1.20 por pie cuadrado y construir los lados $0.75 por pie
cuadrado. Expresar el costo C de construcción de la caja en función de x,y,z
3. La temperatura T ( en grados Celsius ) en cualquier punto (x,y) de una placa circular de
acero de 10metros de radio es T  600  0.75x 2  0.75 y 2 , donde x e y se miden en
metros. Dibujar algunas de las curvas isotermas y si es posible interprete la distribución de
temperatura de la placa.
4. Cuando el agua fluye de un grifo, como se muestra en la FIGURA , se contrae a medida que
se acelera hacia abajo. Eso ocurre debido a que la tasa de flujo Q, la cual se define como la
velocidad por el área de la sección transversal de la columna de agua, debe ser constante
en cada nivel. En este problema suponga que las secciones transversales de la columna de
fluido son circulares.
Considere la columna de agua que se muestra en la figura. Suponga que v es la velocidad
del agua en el nivel superior, V es la velocidad del agua en el nivel inferior a una distancia h
unidades por debajo del nivel superior, R es el radio de la sección transversal en el nivel
superior y r es el radio de la sección transversal en el nivel inferior. Muestre que la tasa de
flujo Q como una función de r y R es
donde g es la aceleración de la gravedad. [Sugerencia: Empiece expresando el tiempo t que
tarda la sección transversal del agua en caer una distancia h en términos de u y V. Por
conveniencia considere la dirección positiva hacia abajo.]
Bibliografía:
#
[1]
[2]
[3]
CÓDIGO-L
515 THOM
2007
515 CLA PITA
2009
515 LARS
2008
AUTOR
TÍTULO
PÁGINAS
Calculo en Varias Variables
973-974
CLAUDIO PITA.
Cálculo Vectorial
111-112
LARSON, RON
Cálculo II
895-896
THOMAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
3
JUAN CARLOS BRONCANO TORRES