Este documento presenta los conceptos básicos de ingeniería económica. Explica términos como valor del dinero en el tiempo, inflación, interés, tasa de interés y equivalencia. También describe los diferentes tipos de interés como simple y compuesto, así como flujos de efectivo y diagramas de flujo de efectivo. El objetivo es valorar la importancia del conocimiento teórico básico sobre ingeniería económica para la toma de decisiones financieras.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
AREA DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE GERENCIA
UNIDAD CURRICULAR: INGENIERÍA ECONÓMICA
TEMA 1. Elementos Básicos de Ingeniería Económica
Elaborado por:
Ing. Duno Ruth
Ing. Ferrer Karina
Ing. Henríquez Aracely
Ing. Medina Lourdes
Ing. Navas Vilexi
Ing. Núñez Juan Carlos
Ing. Sánchez Nailet
Punto Fijo, Abril de 2017

2. OBJETIVO DIDÁCTICO: Valorar la importancia del conocimiento teórico básico
sobre la ingeniería económica.
CONTENIDO:
1. Bases de los análisis económicos. (Conceptos básicos de la Ingeniería
económica.
2. Factores básicos en los cálculos económicos.
2.1.Factores de Pago único (F/P y P/F).
2.2.Factor de Valor presente, y Factor de recuperación de capital en series
uniformes (P/A y A/P)
2.3.Factor de Fondo de Amortización, y el Factor de cantidad compuesta en
series uniformes (F/A y A/F)
2.4.Factores de Gradientes Aritméticos y Geométricos.
3. Tasas de Interés efectivo e Interés nominal. (Definición, diferencia y
ecuaciones).
4. Factores económicos en situaciones complejas de flujo de caja.

3. 1. Bases de los análisis económicos. (Conceptos básicos de la
Ingeniería económica.
1.1 Ingeniería Económica:
Es una técnica, metodología o herramienta que le permite a los ingenieros evaluar
económicamente un proyecto de inversión, a fin de garantizar la rentabilidad del
mismo, haciendo uso óptimo de los recursos.
1.2 Importancia de la Ingeniería Económica:
En el ámbito de los negocios, es importante y necesaria la ingeniería económica
por dos razones fundamentales:
1. Proporciona las herramientas analíticas para tomar las mejores decisiones
económicas.
2. Nos da una clara visión de que el valor del dinero cambia a través del tiempo,
esto se logra visualizar si se comparan las cantidades de dinero que se tiene en
diferentes períodos de tiempo, a su valor equivalente en un solo instante de
tiempo.
1.3 La Ingeniería Económica en la Toma de Decisiones:
Las técnicas y herramientas de la ingeniería económica, ayudan a tomar
decisiones que afectan lo que se llevara a cabo en un futuro. Es por ello, que la
ingeniería económica desempeña un papel muy importante en la toma de
decisiones, para la cual se deben considerar los siguientes criterios de decisión:
 Decisión de Inversión: Se decide si se debe realizar o no una inversión,
es decir; se decide si invertir o no en un proyecto, tomando en
consideración la recuperación de capital a corto, mediano o largo plazo.
 Decisión Financiera o de Financiamiento: Se decide de donde se van a
obtener los fondos (capital) que se necesitan para desarrollar el
proyecto.
 Decisión de Dividendos: Se decide qué hacer con las ganancias que se
obtuvo de la inversión de un proyecto. (Se puede reinvertir o repartir).
1.4 Pasos en el Análisis Económico:
1. Entender el problema y la meta
2. Recopilar información
3. Definir soluciones y alternativas
4. Evaluar cada alternativa
5. Seleccionar la mejor alternativa
6. Implementar la solución y hacer seguimiento.

4. 1.5 Términos Básicos:
Valor del Dinero en el Tiempo: Es la Variación de la cantidad de dinero en un
periodo de tiempo dado. Es el concepto más importante en la ingeniería
económica. Es el cambio que se genera en el dinero, no en la cantidad sino en lo
que se puede adquirir con esa cantidad. Este cambio se debe al fenómeno
económico conocido como inflación, mientras que la manifestación del valor del
dinero en el tiempo se conoce como interés.
Inflación: Es el incremento generalizado de los bienes y servicios con relación a
una moneda sostenida durante un periodo de tiempo determinado. La inflación
refleja la pérdida del poder adquisitivo del dinero con el paso del tiempo. Se mide
por el Índice de Precio al consumidor (IPC).
Interés: Es la retribución económica que devuelve el capital inicial por periodo
transcurrido, que compensa la desvalorización de la moneda. Desde otro punto de
vista, es la diferencia entre una cantidad final de dinero y la cantidad original. Es
decir, es la cantidad adicional que se tiene sobre la cantidad original. Existen dos
variables del interés: el interés ganado (cuando se ahorra, se invierte o se da un
dinero prestado y recibe una cantidad mayor) y el interés pagado (cuando se
solicita un préstamo y se cancela una cantidad mayor al préstamo original). Por lo
tanto:
Dónde:
I = Interés.
F = Valor o suma de dinero en un tiempo futuro
P = Valor o suma de dinero en un tiempo presente.
“Si el resultado es negativo, la persona ha perdido dinero y no hay interés”
Tasa de Interés: Es el porcentaje de incremento que se aplica a un monto fijo. Es
decir, el interés expresado como un porcentaje de la cantidad original por unidad
de tiempo. Se calcula:
Ec2:i=
I
P∗n
∗100
Ec. 1: I = F – P

5. El periodo más común en el cual se expresa una tasa de interés es 1 año. Sin
embargo, dado que las tasas de interés pueden estar expresadas en periodos de
tiempo menores de 1 año, por ejemplo, 1% mensual, la unidad de tiempo utilizada
al expresar una tasa de interés debe ser identificada. Estos periodos se denotan
con la letra “n”.
Equivalencia: Cuando se consideran juntos, el valor del dinero en el tiempo y la
tasa de interés ayudan a desarrollar el concepto de equivalencia, el cual significa
que sumas diferentes de dinero en momentos diferentes son iguales en valor
económico. Por ejemplo, si la tasa de interés es de 15% anual, y se tiene 1000 Bs.
Hoy (tiempo presente), esto sería equivalente a 1150 Bs. en un año a partir de
hoy.
Cantidad causada = 1000 + 1000*(0,15) = 1150 Bs dentro de un año
Es decir; que tener 1000 Bs hoy es lo mismo que tener 1150 Bs dentro de un año,
considerando una tasa de 15% anual. Ahora bien, para conocer una cantidad
equivalente un año después se tiene: suponga los mismo 1000 Bs de hoy
Cantidad causada = 1000 / 1000*(0,15) = 869,57 Bs hace un año
Por lo tanto estas cantidades son equivalentes a una tasa de interés de 15%
anual:
869,57 Bs hace un año ≈ 1000 Bs hoy (presente) ≈ 1150 Bs dentro de un año
Ejercicios de Equivalencias:
1. Con una tasa de interés de 8% anual. A cuánto equivalen $10000 de hoy. a)
dentro de un año, y b) hace un año.
2. ¿A qué tasa de interés son equivalente 2500bsf dentro de 2 años y 3500
dentro de 5 años?
“Los términos interés, periodo y tasa de interés son útiles para el cálculo de sumas
equivalentes de dinero para un periodo de interés en el pasado y un periodo en el
futuro. Sin embargo, para más de un periodo de interés, los términos interés
simple e interés compuesto resultan importantes.”

6. Interés Simple: se calcula utilizando sólo el principal, ignorando cualquier interés
causado en los periodos de interés anteriores. El interés simple total durante
diversos periodos se calcula de la siguiente manera:
Dónde:
I= Monto por interés
n= Número de periodo de interés
i = Tasa de interés (expresada en forma decimal)
P = Cantidad prestada o Valor Presente
Ejercicios de Interés Simple:
1. La empresa Soluciones Falcón hizo un préstamo de Bs. 100000 a una
compañía para la construcción de un edificio ecológico, el préstamo es de 3
años con una tasa de interés simple de 10%. ¿Cuánto dinero pagará la
compañía al final de los 3 años?
2. La empresa Iselt Welding tiene fondos adicionales para invertir en una
expansión de capital futura. Si la inversión seleccionada paga interés
simple, ¿Qué tasa se requerirá para que la cantidad aumentara de Bs.
60000 a Bs.90000 en cinco años?
Interés Compuesto: El interés acumulado para cada periodo de interés, se
calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los
periodos anteriores (es un interés sobre el interés). Este interés refleja el efecto
del cambio del valor del dinero a través del tiempo y se calcula de la siguiente
manera:
Ec4. F=P(1+i)
n
Dónde:
F= Valor Futuro
P = Valor Presente
n= Número de periodo de interés
i = Tasa de interés (expresada en forma decimal)
1. Ejercicios de Interés Compuesto:
2. Se invierte la suma de Bs. 50000 a una tasa de 8% trimestral durante un
año. Determine el valor de la inversión al final del tiempo establecido.
3. ¿Qué interés producirá 40000bsf en cinco años colocados al 8,5% anual?
Ec. 3: I = P × n × i

7. Flujo de Efectivo: Los flujos de efectivo se describen como las entradas y salidas
reales de dinero. Las entradas se representan con un signo positivo y las salidas
con uno negativo. Los flujos de efectivos ocurren durante periodos de tiempo
específicos, tales como: 1 mes o 1 año. Ejemplos de entradas y salidas de
efectivo:
Al desarrollar las estimaciones de entradas y salidas de efectivo, el flujo de
efectivo neto durante un determinado periodo de tiempo puede calcularse como:
“Para mejor apreciación de las entradas y salidas de efectivo se emplean los
Diagramas de flujo de efectivos”
Diagrama de flujo de efectivo: Es una herramienta útil en los análisis
económicos, empleado para representar los flujos de efectivo trazados en una
escala de tiempo. Estos diagramas ayudan a visualizar como cambia el dinero a
través del tiempo. En el diagrama de flujo de efectivo, el tiempo t = 0 es el
presente y t =1 es el final del periodo de tiempo 1. Ejemplos:
Flujo de efectivo neto (FEN)= Ingresos - Egresos

8. Consideraciones:
 La línea horizontal representa la escala de tiempo, la dirección de las
flechas en el diagrama de flujos es importante. Una flecha vertical que
señale hacia arriba indica un flujo de efectivo positivo, en sentido contrario,
indica un flujo de efectivo negativo.
 Para los cálculos en Ingeniería económica, se suponen que todos los flujos
de efectivos ocurren al final de un periodo de interés esto se conoce como:
“La convención de final de periodo”. Por lo que en el periodo 0, se asume
que es el comienzo del periodo 1, y la flecha en el periodo 1 representa el
final del periodo 1 y el comienza del periodo 2 y así ocurre en todos los
periodos.
 Un diagrama de flujo de efectivo se debe graficar de acuerdo a una
perspectiva o punto de vista.
Anualidad: Es una serie de pagos que cumplen con las siguientes condiciones:
 Todos los pagos son de igual valor.
 Todos los pagos se realizan a iguales intervalos de tiempo.
 A todos los pagos se le aplica las misma tasa de interés
 El número de pagos es igual al número de periodos.
Tipos de Anualidad
Anualidad Ordinaria o Vencida: Es aquella en que los pagos se efectúan al final de
periodo, comenzando desde el periodo uno.
Anualidad Anticipada: Se denomina de esta forma debido a que los pagos se
efectúan al principio del primer periodo (n=0).
Anualidad Diferida: Se llama anualidad diferida cuando el primer pago se realiza
después del primer periodo (n= 2, n=3 u otro periodo).
.

9. 2. Factores básicos en los cálculos económicos.
2.1. Factores de Pago único (F/P y P/F)
Se desarrolla una fórmula que permite la
determinación de cantidades futuras de dinero F que
se acumulan después de n periodos a partir de una inversión única P con interés
compuesto por periodo.
Derivación: Suponga que se invierte una suma de dinero P en algún momento t=0,
la suma de dinero F, que se habrá acumulado en un periodo (n=1) a partir del
momento de la inversión a una tasa de interés de i% por periodo será:
F1=P+Pi
Aplicando Factor común a P, queda que:
F1=P(1+i)
n
Al final del segundo periodo, la suma acumulada F2; es la cantidad acumulada
después del primer periodo más el interés desde el final del periodo 1 hasta el final
del periodo 2, por lo tanto:
F2=F1+F1 i ≈ F2=P(1+i)+P(1+i)
n
Resolviendo y aplicando factor común P, queda que:
1+2i+i
2
F2=P¿
)
Factorizando:
F2=P(1+i)
2

10. De forma similar, la cantidad de dinero acumulada al final del periodo 3, será:
F3=F2+F2i
Sustituyendo y Resolviendo:
F3=P(1+i)
3
La fórmula puede ser generalizada para n periodos, quedando como resultado la
Ec. 4:
Ec.4 F=P(1+i)
n
En notación F= P* (F/P, i%, n)
Donde (1+i)
n
es el factor de cantidad compuesta o factor, F/P
Para determinar una suma de dinero P, para una cantidad futura F que ocurre en n
periodos a una i% dada, se tiene entonces:
Ec.5 P=F
[ 1
(1+i)
n
]
En notación P= F* (P/F, i%, n)
Donde [ 1
(1+i)
n
] es el factor del Valor presente de pago único a o factor, P/F
2.2. Factor de Valor presente, y Factor de recuperación de capital en series
uniformes (P/A y A/P)
El diagrama de flujo de efectivo, incluye una
serie de entradas uniformes, cada una con una
una anualidad “A”, que ocurre al final de cada
uno de los n periodos, con una tasa de interés
dada, donde el valor presente se encuentra un
periodo antes que la primera anualidad.

11. Derivación: El valor de P, equivalente a una serie uniforme A, puede determinarse
considerando cada valor de A como un valor fututo F, calculando su presente con
el factor P/F, para luego sumar los resultados, se tiene entonces:
P=F
[ 1
(1+i)
n
] , Si se aplica esta ecuación a cada anualidad
del diagrama de flujo de efectivo se tiene:
(1)
Los términos dentro del corchete representan los factores F/P durante el periodo 1
hasta el periodo n. Ahora bien, para simplificar la ecuación (1), se multiplica ambos
lados por 1/(1+i):
(2)
Restando (2) – (1), Simplificando y resolviendo:
P
1+i
−P=A∗
[ 1
(1+i)n+1
−
1
(1+i)]
(−i
1+i)∗P=A∗
[(1+i)−(1+i)n+1
(1+i)n+2
]
Despejando P y resolviendo:
P=A∗
[1−(1+i)n
−i (1+i)n
]
Sacando Factor común el negativo “-“
         
          



































n
n
n
n
i
i
i
i
i
A
P
i
A
i
A
i
A
i
A
i
A
P
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
1
3
2
            



















 1
4
3
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 n
n
i
i
i
i
i
A
i
P

12. Ec.6P=A∗
[(1+i)n
−1
i∗(1+i)n
](i≠0)
En notación P= A* (P/A, i%, n)
Donde
[(1+i)n
−1
i∗(1+i)n
] es el factor del Valor presente de una serie uniforme, P/A
Para determinar la cantidad equivalente “A” de una serie uniforme, donde el primer
valor de A ocurre al final del primer periodo (n=1), después de que ocurra P, se
puede despejar de la ecuación 6, quedando:
Ec.7 A=P∗
[i∗(1+i)n
(1+i)n
−1](i ≠0)
En notación A= P* (A/P, i%, n)
Donde
[i∗(1+i)n
(1+i)n
−1 ] es el factor de recuperación de capital, A/P
2.3. Factor de Fondo de Amortización, y el Factor de cantidad compuesta en
series uniformes (F/A y A/F)
Derivación: El Factor Fondo de Amortización se
Obtiene sustituyendo el factor de Valor Presente
de pago único P/F, en el factor de recuperación
de capital, es decir:
Ec.5 P=F
[ 1
(1+i)
n
]y Ec.7 A=P∗
[i∗(1+i)n
(1+i)n
−1 ]
Sustituyendo Ec 5 en Ec 6:

13. A=F
[ 1
(1+i)
n
]∗
[i∗(1+i)n
(1+i)n
−1]
Resolviendo:
Ec.8 A=F
[ i
(1+i)
n
−1 ]
En notación A= F* (A/F, i%, n)
Donde [ i
(1+i)
n
−1 ] es el factor de Fondo de Amortización, A/F
Ahora bien, la Ec. 8, se puede reordenar para encontrar el valor de F de una serie
de valor anual uniforme A, despejando se obtiene:
Ec.9F=A[(1+i)
n
−1
i ]
En notación F= A* (F/A, i%, n)
Donde [(1+i)
n
−1
i ] es el factor de cantidad compuesta, serie uniforme, F/A
2.4. Factores de Gradientes Aritméticos y Geométricos.
Aritmético o Uniforme: Un gradiente uniforme es una serie de flujos de efectivo
que aumenta o disminuye en forma uniforme. Es decir, el flujo de efectivo, bien
sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo
de interés. La cantidad del aumento o de la disminución se conoce como el
gradiente y se denota con la letra “G”.
+

14. =
El flujo de efectivo al final de cada periodo, es diferente en caso de gradientes, el
flujo de efectivo que ocurre al final del primer año (n=1) y se extiende hasta el
periodo n, no forma parte de la serie del gradiente, sino que es una cantidad base
“A”, por lo tanto, el gradiente empezaría entre el periodo 1 y 2 denominándose
gradiente convencional.
Derivación: Considerando que el valor presente en el año 0 del pago de gradiente,
es igual a la suma de los valores presentes de los pagos individuales (P/F):
Ahora, si se multiplica ambos lados por el factor (1+i):
Restando la Ec (2) – Ec (1):
(2)
(1)
     
 
 
 
 
     
 
 
 
  







































n
n
n
n
i
n
i
n
i
i
i
G
P
i
G
n
i
G
n
i
G
i
G
i
G
P
1
1
1
2
1
3
1
2
1
1
´´
1
1
1
2
1
3
1
2
1
´´
1
4
3
2
1
4
3
2
 
     
 
 
 
  





















 
 1
2
3
2
1
1
1
2
1
3
1
2
1
1
1
´´ n
n
i
n
i
n
i
i
i
G
i
P
 
     
 
 
 
  



























 
 1
2
3
2
1
1
1
2
1
1
2
3
1
1
2
1
1
´´
1
´´ n
n
i
n
i
n
n
i
i
i
G
P
i
P
 
           n
n
n
i
nG
i
i
i
i
i
G
i
P























 
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
´´ 1
3
2

15. Por ser la misma ecuación de donde se deriva P/A se
sustituye el factor, se despeja P, y sacando factor común G, se tiene:
PG=
G
i
∗
[(1+i)n
−1
i∗(1+i)n
−
n
(1+i)n
]
En notación P= G* (P/G, i%, n)
Donde
[(1+i)n
−1
i∗(1+i)n
−
n
(1+i)n
] es el factor de Valor Presente, Gradiente uniforme
P/G
“El valor presente del Gradiente, se encuentra dos periodos antes de que
ocurra la serie del gradiente”
 Cuando el gradiente es creciente: la cantidad gradiente debe sumarse a
la cantidad de la serie uniforme (P/A)
PT =PA+PG
Ec.10 PT =A∗
[(1+i)n
−1
i∗(1+i)n
]+
G
i [(1+i)n
−1
i∗(1+i)n
−
n
(1+i)
n
]
En notación PT= A* (P/A, i%, n) + G* (P/G, i%, n)
 Cuando el gradiente es decreciente: la cantidad gradiente debe restarse
a la cantidad de la serie uniforme (P/A)
PT =PA−PG
Ec.11 PT =A∗
[(1+i)n
−1
i∗(1+i)n
]−
G
i [(1+i)n
−1
i∗(1+i)n
−
n
(1+i)
n
]

16. En notación PT= A* (P/A, i%, n) - G* (P/G, i%, n)
Factor A/G para una serie anual:
La serie anual equivalente “A” se obtiene al multiplicar el valor presente del
gradiente (PG) por la expresión A/P. por lo tanto:
AG=
G
i
∗
[(1+i)n
−1
i∗(1+i)n
−
n
(1+i)n
]∗
[i∗(1+i)n
(1+i)n
−1]
Resolviendo:
AG=G∗
[1
i
−
n
(1+i)n
−1]
En notación AG= G* (A/G, i%, n)
Donde [1
i
−
n
(1+i)n
−1] es el factor Serie Anual, Gradiente Uniforme, A/G
 Cuando el gradiente es creciente:
AT =AA+ AG
Ec.12 AT =AA+G∗
[1
i
−
n
(1+i)n
−1]
En notación AT= AA+ G* (A/G, i%, n)
Donde AA es la cantidad base anual que se da en el primer periodo y se extiende
hasta el periodo n.
 Cuando el gradiente es decreciente:
AT =AA−AG
Ec.13 AT =AA−G∗
[1
i
−
n
(1+i)n
−1 ]

17. En notación AT= AA- G* (A/G, i%, n)
Factor F/G para Valor Futuro:
El factor de valor futuro, gradiente uniforme, se puede obtener al multiplicar por los
factores P/G y F/P para igual tasa de interés e igual número de periodos
FG=
G
i
∗
[(1+i)n
−1
i∗(1+i)n
−
n
(1+i)n
]∗(1+i)n
Resolviendo:
FG=
G
i
∗[(1+i)n
−1
i
−n]
En notación FG= G* (F/G, i%, n)
Donde [(1+i)n
−1
i
−n] es el factor del Valor Futuro, Gradiente Uniforme, F/G
 Cuando el gradiente es creciente:
FT =FA+FG
(1+i)n
−1
¿
Ec.14 FT =A∗[(1+i)
n
−1
i ]+
G
i
[¿¿i−n]
En notación FT= A* (F/A, i%, n)+ G* (F/G, i%, n)
 Cuando el gradiente es decreciente:
FT =FA−FG
(1+i)n
−1
¿
Ec.15 FT=A∗[(1+i)
n
−1
i ]−
G
i
[¿¿i−n]

18. En notación FT= A* (F/A, i%, n) - G* (F/G, i%, n)
Series Geométricas: Con frecuencia los flujos de efectivos cambian por un
porcentaje constante en periodos de pagos consecutivos. Este tipo de flujos de
efectivo, es llamado serie geométrica, la cual son una serie de pagos consecutivos
que aumentan o disminuyen en un porcentaje fijo. En el diagrama “D” representa
la cantidad inicial en el año 1 (primer pago) y E representa la tasa de crecimiento
geométrico en forma decimal.
Derivación: La ecuación para calcular el valor presente PE de una serie
geométrica se encuentra al calcular el valor presente de los flujos de efectivos
utilizando el factor P/F, 1/(1+i)n
Si se multiplica ambos lados por (1+E) / (1+i), se tiene:
Restando Ec (2) – Ec (1), se tiene:
(1)
(2)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 n
n
n
n
E
i
E
D
i
E
D
i
E
D
i
E
D
i
E
D
i
D
P
























1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
4
3
3
2
2
   
 
 
 
 
 
 
 
 






























n
n
n
n
E
i
E
i
E
i
E
i
E
i
E
i
D
P
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
4
3
3
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  































1
1
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
E
i
E
i
E
i
E
i
E
i
E
i
E
D
i
E
P
 
 
 
   
  












































1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
E
n
n
E
E
i
E
i
D
i
i
E
P
i
E
i
D
P
i
E
P

19. Resolviendo y despejando PE:
Ec.16 PE=
D∗
[(1+E)n
(1+i)n
−1
]∗1
E−i
E≠i
Valor presente de la serie del gradiente geométrico creciente
 Cuando el gradiente es decreciente se debe restar (cambia a signo
negativo) la tasa de cambio E, por lo tanto:
Ec.17 PE=
D∗
[(1−E)n
(1+i)n
−1
]∗1
−E−i
E≠i
Valor presente de la serie del gradiente geométrico decreciente
 Cuando la tasa de crecimiento geométrico es igual a la tasa de interés E=i,
se sustituye i por E en la ecuación (1), quedando:
Ec.18 PE=D∗
[ n
1+E ]
Factor de Valor Futuro FE: Se debe determinar la cantidad PE y se multiplica por
el factor F/P
FE={D∗
[(1+E)
n
(1+i)n
−1
]∗1
E−i
}∗(1+i)n
Resolviendo:
Ec.19 FE=D∗[(1+E)n
−(1+i)n
E−i ]E≠i
Valor futuro de la serie del gradiente geométrico creciente
 Cuando el gradiente es decreciente se debe restar (cambia a signo
negativo) la tasa de cambio E, por lo tanto:

20. Ec.20FE=D∗[(1−E)n
−(1+i)n
−E−i ]E≠i
 Cuando la tasa de crecimiento geométrico es igual a la tasa de interés E=i:
Ec.21FE=D∗
[ n
(1+ E)
1−n
]
“Para los gradientes geométricos, el valor presente PE ocurre en el periodo
anterior al flujo de efectivo D. por lo tanto, PE es la cantidad total de la serie
geométrica, y no solamente la del gradiente”
Ejercicios aplicación de los factores:
1. Un aparato eléctrico se compra bajo las siguientes condiciones: interés
mensual de 3%, pago de seis mensualidades iguales de Bs. 2493,20,
cubriendo la primera mensualidad al final del quinto mes después de hacer
la compra. Determine el precio de contado de dicho aparato.
2. Para la compra de una máquina que mejorara su rendimiento, una empresa
realiza depósitos mensuales de Bs. 25000 en un fondo al 10% mensual
desde enero 2016 hasta diciembre del mismo año. ¿De cuánto dispondrá la
empresa para la compra de la maquina en abril de 2017?
3. Por la compra de un automóvil que vale Bs. 6000000 se exige una cuota
inicial de del 40% y el se cancela en 35 cuotas mensuales, a cuánto
ascenderá la cuota, si la tasa de interés es de 4% mensual. Ahora bien si se
ofrecen dos cuotas extraordinarias, la primera de Bs. 350000 en el mes 5 y
la segunda de Bs. 500000 en el mes 18 ¿Cuál será el valor de la cuota
ordinaria?
4. Una persona ahorro durante 10 años, al finalizar cada uno de ellos $125 en
un banco que pagaba 10% de interés anual, inmediatamente después de
hacer su cuarto deposito, el banco bajo su tasa de interés a 8%, luego de
hacer su quinto depósito y hasta el décimo, el banco mantuvo la tasa inicial
de 10% ¿De cuánto dispondrá la persona al final de los 10 años?
5. Una comercializadora vende computadoras personales bajo las siguientes
condiciones: se hace un primer pago de Bs. 90000 un mes después de la
fecha de adquisición y nueve pagos adicionales mensuales, cada uno de
los cuales disminuye en Bs. 5000 el pago del mes anterior, si el interés que
carga la comercializadora es de 1% mensual ¿Cuál será el valor a pagar de
contado por la compra de la computadora?

21. 6. Durante 10 años una persona ahorro cierta cantidad, de tal forma que el
depósito del siguiente año siempre fue superior en $1000 a la cantidad
depositada el año anterior. El interés que se pagó por este tipo de ahorro
fue de 6% anual. Si al final de los 10 años se contaba con $66193 ¿Cuál
fue la cantidad que se depositó el primer año?
7. Determine el valor presente de un contrato de mantenimiento que tiene un
costo de $30000 el primer año y aumento de 6% por año durante 10 años.
Utilice una tasa de interés de 6% anual.
8. Se realizan depósitos trimestrales crecientes en un 5%, en una cuenta que
paga 5,25% trimestral, con el fin de tener disponible $500000 el primero de
enero de 2017, si el primer deposito se hace el primero de abril de 2014 y el
ultimo el primero de julio de 2016. Determine el valor del primer depósito.
3. Tasas de Interés efectivo e Interés nominal.
Tasa de interés nominal: es una tasa de interés que no considera la capitalización
de interés. Esta tasa ignora el valor del dinero en el tiempo, por lo que deben
pasarse a efectivas, debido a que no son tasas reales. Se denotan con la letra “j”
Tasa de interés efectiva: es la tasa real aplicable a un período de tiempo
establecido. Toma en cuenta la acumulación del interés durante el período de la
tasa nominal correspondiente. Se expresa como tasa anual efectiva “i”, pero se
puede utilizar cualquier período como base. El periodo fundamental es de un año,
mientras que el periodo de composición o capitalización puede ser cualquier
periodo menor a un año.
Ec.22i=
j
m
Dónde:
i = tasa efectiva por periodo de capitalización
j = tasa nominal por periodo
m = periodo de composición por tiempo
Periodo de Tiempo: Es el periodo en el que se expresa el interés. Representa el
periodo de tiempo “t” cuando se da la tasa de interés.
Ejemplo: 15% anual, entonces t = 1 año (cuando no se especifica se asume un
tiempo de un año)
Periodo de Capitalización o Composición “PC”: Es la unidad de tiempo más corta
durante la que se paga o se gana interés, el cual se identifica por el término
capitalización (o composición) en el enunciado de la tasa.

22. Ejemplo: 15% Anual capitalizable mensual, entonces PC es Mensual (se gana o
paga interés mensualmente)
Frecuencia de Capitalización: Es el número de veces que la capitalización m
ocurre dentro del periodo de tiempo t. Si los periodos de capitalización PC y de
tiempo t son los mismos, la frecuencia de capitalización es 1.
Ejemplo: 15% Anual capitalizable mensual, entonces m = 12 (el interés se
capitaliza 12 veces al año).
Tasas equivalentes Efectivas: Son tasas con diferentes periodos de capitalización
que actuando sobre el mismo capital, producen el mismo valor futuro, en un
tiempo determinado.
Derivación: Para determinar la tasa de interés efectiva equivalente, se determina
el valor futuro de la siguiente manera:
(1)F=P∗(1+i1)
n
(2)F=P∗(1+i2)
nk
Igualando:
P∗(1+i1)
n
=P∗(1+i2)
nk
Elevando ambos miembros a la 1/n se tiene:
Ec.23(1+i1)
n
=(1+i2)
k
i1>i2
k= número de periodos de i2 en i1
Interpretación de las tasas de interés:
Tasa efectiva: Tasa nominal:

23. Cuando no se especifica un periodo de
tiempo, que por lo general se asume un
tiempo de 1 año
i= 15%, i= 20 %
Cuando se dan con “nombre” y
“apellido”, (se especifica el periodo de
capitalización), donde el “nombre” es
diferente del “apellido”, por ejemplo:
i= 15% anual capitalizable semestral
(ACS)
i= 20% Trimestral capitalizable mensual
(TCM)
Cuando no se especifica un periodo de
capitalización, se asume que es igual al
tiempo especificado:
i= 15% anual (capitaliza anual)
i= 20% mensual (Capitaliza mensual)
Cuando se da con “nombre” y “apellido”
y éstos son iguales; por ejemplo: 15%
anual capitalizable anual (ACA), 20%
mensual capitalizable mensual (MCM).
Ejercicios tasa de interés efectivas y tasas nominales
1) A que tasa efectiva trimestral es equivalente 14% semestral capitalizado:
a. Trimestral
b. Mensual
c. Semanal
d. Diario.
2) Se pide un préstamo de $2500 a un banco que cobra un interés de 9% anual
capitalizado mensualmente. El préstamo deberá cubrirse en cinco pagos anuales
iguales cada fin de año, comenzando un año después de recibir el préstamo.
Determine a cuanto ascenderán los pagos anuales.
4. Factores económicos en situaciones complejas de flujo de caja.
Existen casos donde las series de flujo de efectivo estimados, no se ajustan
exactamente a las series para las cuales fueron desarrollados los factores, por lo
que es necesario combinar las ecuaciones para una secuencia de flujo dada, en
general, hay distintas formas correctas para determinar el valor presente
equivalente, el valor futuro y el valor anual, entre los casos se pueden encontrar:
 Series Uniformes Diferidas: Cuando una serie uniforme se inicia en un
momento diferente al final del periodo uno.
 Series Uniformes y Cantidades Únicas colocadas Aleatoriamente: Cuando
el flujo de efectivo incluye tanto una serie uniforme como cantidades únicas
colocadas aleatoriamente a lo largo del diagrama y en cualquier periodo.

24.  Gradientes Diferidos: Cuando el gradiente inicia en algún otro momento que
no sea entre los periodos 1 y 2 de una secuencia de flujo de efectivo.
Ejercicios en situaciones complejas de flujo de caja:
1. Un padre de familia ha pensado en ahorrar $80 al mes durante cierto
periodo de la vida de su hijo pequeño, en un banco que paga un interés de
12% anual capitalizado mensualmente. Los ahorros se harían hasta que el hijo
cumpliera 17 años. Un año después, es decir, cuando el joven tuviera 18 años,
empezaría su educación universitaria, la cual el padre ha calculado que costara
$4500. Costará $5000 cuando cumpla 19 y $5500 a los 20 años, $6000 a los
21 y $6500 a los 22 años. ¿Qué edad debe tener el hijo para qué el padre
empiece ahorrar $80 al mes, desde ese momento y hasta que cumpla 17 años,
para que pueda disponer de las cantidades mencionadas en esa fecha?
2. Una fábrica tiene costos fijos de $600000 mensuales y costos variables de
$150 por unidad. Durante los primeros 6 meses no hay producción porque este
tiempo se dedicará a pruebas y ajustes. En el mes de 7 se iniciará la
producción con 300 unidades y cada mes la producción aumentará en 200
unidades hasta llegar al tope de 2500 al mes. Si se espera vender la fábrica al
final de 3 años, calcular el costo total de la producción en estos 3 años en
dólares de hoy, suponga una tasa de 3% efectiva mensual.
Bibliografía recomendada:

25.  Anthony Tarquin & Leland Blank Ingeniería Económica. 7ma
edición.
 Baca Currea, G. Ingeniería Económica. 8va
edición.
 Baca Urbina. Fundamentos de la Ingeniería Económica. 4ta
edición.
 Sullivan Willian & otros. Ingeniería Económica.10ma edición.