Este documento presenta los métodos de integración numérica de Newton-Cotes, en particular la regla del trapecio y las reglas de Simpson. Explica que la regla del trapecio aproxima el área bajo una curva mediante el área de un trapecio, mientras que las reglas de Simpson usan polinomios de grado superior. Luego detalla la regla del trapecio simple y compuesta, así como la regla de Simpson 1/3 simple, indicando cómo aproximan la integral reemplazando la función con una función polinómica más fácil

1. Guía de estudio Matemática V
37
TEMA 4
INTEGRACION NUMERICA
En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función con
alguna de las siguientes características:
(a) Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar
directamente.
(b) Una función tabulada en donde los valores de x y f(x) se dan en un conjunto
de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.
En estos dos casos, se deben emplear métodos aproximados. Las fórmulas de
integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la
integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función
complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que
sea más fácil de integrar. La integral se puede aproximar usando una serie de
polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de
longitud constante.
Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las
formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los
límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de
integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de
Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se
usan extensamente para evaluar integrales impropias y en la solución de
ecuaciones diferenciales ordinarias.
4.1. REGLA DEL TRAPECIO (SIMPLE Y COMPUESTA)
La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas cerradas de
Newton-Cotes.
4.1.1. Regla del trapecio simple:
Considérese la función f(x), cuya gráfica esta entre los extremos x=a y x=b como
se muestra en la figura. Si utilizamos un polinomio P(x) de primer grado como una
aproximación de f(x) tenemos:
a
b
a
x
b
f
b
a
b
x
a
f
x
P
−
−
+
−
−
= )
(
)
(
)
( , el cual es equivalente a:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( a
x
a
b
a
f
b
f
a
f
x
P −
−
−
+
=
El área bajo esta línea recta será una aproximación del área bajo la curva entre los
límites a y b

2. Guía de estudio Matemática V
38
Integrando este polinomio:
⎟
⎞
− dx
a
x )
(
)
∫
∫ ⎜
⎝
⎛
−
−
+
≅
b
a
b
a a
b
a
f
b
f
a
f
dx
x
f
(
)
(
)
(
)
(
f(x)
⎠
f(a)
b
a
a
x
a
b
a
f
b
f
x
a
f
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
−
−
−
+
≅
f(b)
2
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
a
b
a
f
b
f
a
b
a
f
−
−
+
−
≅
2
a
b −
2
)
(
))
(
)
(
(
)
)(
(
a
b
a
f
b
f
a
b
a
f
−
−
+
−
≅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
−
≅
2
)
(
)
(
)
(
)
(
a
f
b
f
a
f
a
b
2
)
(
)
(
)
(
b
f
a
f
a
b
+
−
≅
Que es la conocida Regla del Trapecio Simple. Geométricamente, la Regla del
trapecio aproxima el área bajo una curva mediante el área del trapecio bajo la
línea recta que une f(a) y f(b)
h
b
B
A
2
+
=
)
(
)
(
)
(
a
b
b
f
a
f
A −
2
+
=
Ejemplo:
Utilizar la regla del trapecio simple para aproximar la integral ∫
1
2
/
1
)
( dx
x
arcsen
Solución:
∫
1
2
/
1
)
( dx
x
arcsen
2
)
2
/
1
(
)
1
(
)
2
/
1
1
(
f
f +
−
≅
5235988
.
0
6
4
=
=
6
/
2
/ +
≅
π
π
π
La solución exacta de esta integral es:
4429715
.
0
3
6
5
≈
−
π
12
a b
b-a
f(b)
f(a)
B
b
h
−1 1
−1
1

3. Guía de estudio Matemática V
39
El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la regla del trapecio simple
esta dado por:
%
2
.
18
100
4429715
.
0
5235988
.
0
4429715
.
0
100
*
≈
⋅
−
=
⋅
−
p
p
p
Er =
El error de la estimación es muy alto.
4.1.2. Regla del trapecio compuesta:
Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n
segmentos de ancho y aproximando el área de cada segmento
mediante un trapecio, como se indica en la figura:
n
a
b
h /
)
( −
=
}
,
,
{ 1
0 n
x
x
x
P L
Sea = la partición que se
forma al hacer dicha subdivisión. Usando
propiedades de la integral tenemos que:
f(a)
f(x)
L
+
+
= ∫
∫
∫ 1
0
)
(
)
(
)
(
x
x
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
∫
+
n
x
dx
x
f )
(
2
1 x
x
b
−
n
x 1
Aplicando la regla del trapecio en cada una
de las integrales, obtenemos:
L
+
+
+
+
≅
2
2
h
h
a b
f(b)
)
(
)
(
)
(
)
( 2
1
1
0 x
f
x
f
x
f
x
f
2
)
(
)
( 1 n
n x
f
x
f
h
+
+ −
Agrupando términos:
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎛
+
+
=
+
+
+
+
≅ ∑
∫
−
)
(
)
(
2
)
(
2
))
(
)
(
2
)
(
2
)
(
(
2
)
(
1
0
2
1
0 n
n
i
n
b
a
x
f
x
f
x
f
h
x
f
x
f
x
f
x
f
h
dx
x
f L
⎠
⎝ =1
i
x
f
x
f
x
f n
n
i
b
)
(
)
(
2
)
(
1
0 +
+ ∑
−
n
a
b
dx
x
f i
a 2
)
(
)
( 1
−
≅
∫
=
∫
1
2
/
1
)
( dx
x
arcsen
Que es la conocida como la Regla del Trapecio múltiple o compuesta.
Ejemplo:
Utilizar la regla del trapecio compuesta con n=5 subintervalos para aproximar la
integral

4. Guía de estudio Matemática V
40
Solución:
1
.
0
5
2
/
1
1
=
−
=
−
=
n
a
b
h
P= {0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1}
∫
1
2
/
1
)
( dx
x
arcsen +
+
+
≅ )
7
.
0
(
2
)
6
.
0
(
2
)
5
.
0
(
(
2
1
.
0
f
f
f
))
1
(
)
9
.
0
(
2
)
8
.
0
(
2 f
f
f +
+
+ =0.4513161
La solución exacta de esta integral es:
4429715
.
0
12
≈
3
6
5 −
π
El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la regla del trapecio
compuesta esta dado por:
Er = %
884
.
1
100
4513161
.
0
4429715
.
0
100
*
≈
⋅
−
=
⋅
− p
p
4429715
.
0
p
Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este
método, reduciendo el error relativo verdadero de un 18.2% hasta un 1.884%.
−1 1
−1
1
Si aumentamos el valor de n obtendremos los siguientes resultados:
n Snumérica Er%
10 0.4460196420 0.688%
50 0.4432559383 0.0642%
100 0.4430730772 0.0229%
200 0.4430076838 0.00816$
250 0.4429974465 0.00585%
1000 0.4429747968 0.000736%
Se ha obtenido una mejor aproximación al aumentar el número de subdivisiones.
ACTIVIDAD No. 11
1. Aplique la regla del trapecio compuesta con los valores indicados de n para
aproximar las siguientes integrales:
a) , n=5 b) , n=4
dx
e x2
2
2
−
−
∫ xdx
xln
2
1
∫

5. Guía de estudio Matemática V
41
c) , n=4 d) , n=6
dx
e
x x
3
2
∫ dx
x
x )
cos(
2
π
∫
2
− 0
e) dx
x 4
1
2
5
3 −
∫
dx
x 4
2
2
2
0 +
∫ , n=8 f) , n=8
2. Utilizar la regla del trapecio compuesta para aproximar el trabajo W realizado
por una fuerza , en el intervalo
1
3
)
( 2
+
+
−
= −
x
x
e
x
f x
3
0 ≤
≤ x . Utilice n=1, 2, 3
y 5 subintervalos. Resuelva analíticamente y determine el error relativo
porcentual de la aproximación en cada caso.
3 La velocidad de un paracaidista que cae esta dada por:
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎛
−
=
− t
m
c
e
c
gm
v 1
⎠
⎝
a) Aplicando la regla del trapecio simple, aproxime la distancia recorrida al
cabo de 9s del lanzamiento si la masa m es de 68,1 kg y su velocidad v es de
35 m/s. Tome g=9,8 m/s2
y el coeficiente de arrastre c=15 kg/s. [Sugerencia:
dt
dx
v = ]
b) Utilice la regla del trapecio compuesta con n=2, 3 y 5 subintervalos.
4 En estadística, la probabilidad de que un valor aleatoriamente seleccionado
descrito por la Distribución Normal se encuentre en [a, b] está dada por:
2
2
1
2
1 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∫
σ
π
σ
x
b
e
a
con media 0
=
μ y desviación estándar σ .
Utilice la regla del trapecio compuesta con n=2, 3 y 5 subintervalos para
aproximar la probabilidad de que un valor aleatoriamente seleccionado descrito
por la Distribución Normal se encuentre en:
a) [ ]
σ
σ,
− b) [ ]
σ
σ 2
,
2
− c) [ ]
σ
σ 3
,
3
−
5. Utilice la regla del trapecio para aproximar el desplazamiento de un móvil si la
velocidad en cada intervalo de 6 seg se muestra en la siguiente tabla:
t (s) 0 6 12 18 24 30
v (m/s) 124 134 148 156 147 133

6. Guía de estudio Matemática V
42
4.2. REGLAS DE SIMPSON
A través de la Regla de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) se
puede obtener una estimación más exacta de la integral. El método consiste en
usar polinomios de grado superior para aproximar la curva de la función y tomar
las integrales bajo tales polinomios.
4.2.1. Regla de Simpson 1/3 simple:
Considérese la función integrando f(x), cuya gráfica está entre los extremos x0 = a
y x2 = b, si hay otro punto a la mitad x1 = (x0+ x2)/2 como se muestra en la figura.
Si utilizamos un polinomio de lagrange P2(x) de segundo grado como una
aproximación de f(x):
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
0
2
2
2
1
0
1
1
2
0
1
0
0
2
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
P
−
⋅
−
+
−
⋅
−
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 1
0
2
0
2
1 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x −
−
−
−
+
−
⋅
−
=
−
−
El área bajo este polinomio será una aproximación del área bajo la curva entre los
límites a y b
Integrando este polinomio:
f(x)
dx
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
b
⎥
⎦
⎤
−
−
⋅
+
−
−
⎡
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
1
2
1
1
2
2
2
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
dx
x
f
x
a
−
−
+
−
−
⋅
−
−
−
⋅
−
⎢
⎣
≅ ∫
∫
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
0
2
0
2
2
1
2
0
1
0
0
1
0
1
0
0
Después de la integración y manipulación
algebraicas, se obtiene la siguiente formula:
6
1
2
a
)
(
)
(
4
)
(
)
(
)
( 2
1
0 x
f
x
f
x
f
x
x
dx
x
f
b +
+
−
≅
∫
))
(
)
(
4
)
(
(
)
( 2
1
0 x
f
x
f
x
f
h
dx
x
f
b
+
+
≅
∫
x0 x2
f(x2)
3
a
∫
1
2
/
1
)
( dx
x
arcsen
Que es la conocida Regla de Simpson 1/3 Simple donde h = (b − a)/2.
Geométricamente, la Regla de Simpson 1/3 simple aproxima el área bajo una
curva mediante el área bajo una parábola que une tres puntos.
Ejemplo:
Utilizar la regla de Simpson 1/3 simple para aproximar la integral
P(x)
x1
f(x0)

7. Guía de estudio Matemática V
43
Solución:
4429715
.
0
12
3
6
5
≈
−
π
La solución exacta de esta integral es:
∫
1
/
1 2
)
( dx
x
arcsen ))
2
/
1
(
)
4
/
3
(
4
)
1
(
(
6
)
2
/
1
1
(
f
f
f +
+
−
≅
4572203
.
0
)
5235988
.
0
8480621
.
0
5707963
.
1
(
12
1
=
+
+
≅
El error relativo porcentual que se cometió al aplicar
la regla del trapecio simple esta dado por:
Er = 100
*
⋅
−
p
p
p
%
22
.
3
100
4429715
.
0
4572203
.
0
4429715
.
0
≈
⋅
−
El error de la estimación es menor que el obtenido
con la Regla del Trapecio simple.
4.2.2. Regla de Simpson 1/3 compuesta:
En el caso de que el intervalo [a, b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al
calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula
compuesta de Simpson 1/3. Dividiremos el intervalo [a, b] en n subintervalos
iguales, de manera que xi = a + ih, donde h = (b − a) / n para i = 0,1,...,n.
−1 1
−1
1
L
+
+
= ∫
∫
∫
4
2
2
0
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
f(x)
∫ −
+
n
n
x
x
dx
x
f
2
)
(
Aplicando la regla de Simpson 1/3 en cada
una de las integrales, obtenemos:
)
(
4
)
(
(
3
))
(
)
(
4
)
(
(
3
3
2
2
1
0 x
f
x
f
h
h
x
f
x
f
x
f
h
+
+
+
+
≅
))
(
)
(
4
)
(
(
3
))
( 1
2
4 n
n
n x
f
x
f
x
f
h
x
f +
+
+
+
+ −
−
L
a b
f(b)
f(a)
Agrupando términos:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
≅ ∑
∑
∫
=
−
−
=
)
(
)
(
4
)
(
2
)
(
3
)
(
2
/
1
1
2
1
2
/
1
2
0 n
n
i
i
n
i
i
b
a
x
f
x
f
x
f
x
f
h
dx
x
f

8. Guía de estudio Matemática V
44
n
a 3
∫
1
2
/
1
)
( dx
x
arcsen
x
f
x
f
x
f
x
f
a
b
dx
x
f
n
n
i
i
n
i
i
b
)
(
)
(
4
)
(
2
)
(
)
(
)
(
2
/
1
1
2
1
2
/
1
2
0 +
+
+
−
≅
∑
∑
∫
=
−
−
=
Que es la conocida como la Regla del Trapecio múltiple o compuesta. Se debe
utilizar un número par de divisiones para implementar el método.
Ejemplo:
Utilizar la regla de Simpson 1/3 compuesta con n=4 subintervalos para aproximar
la integral
Solución:
125
.
0
4
=
2
/
1
1
−
=
n
h
−
=
a
b
∫
1
)
( dx
x
arcsen
P= {0.5, 0.625, 0.75, 0.875, 1}
2
/
1
+
+ )
75
.
0
(
2
)
625
.
0
( f
+
≅ 4
)
5
.
0
(
(
3
125
.
0
f
f
))
1
(
)
875
.
0
(
4 f
f +
+ =0.4480329
La solución exacta de esta integral es:
4429715
.
0
12
3
6
5
≈
−
π
El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la regla de Simpson 1/3
compuesta esta dado por:
%
14
.
1
100
4429715
.
0
4480329
.
0
4429715
.
0
100
*
≈
⋅
−
=
⋅
−
p
p
p
Er =
−1 1
−1
1
Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este
método, reduciendo el error relativo verdadero de un 3.22% hasta un 1.14%.
Si aumentamos el valor de n obtendremos los siguientes resultados:
n Snumérica Er%
10 0.4442541593 0.2895500498
50 0.4430863307 0.02591491573

9. Guía de estudio Matemática V
45
100 0.4430121240 0.009162891245
200 0.4429858860 0.003239711554
250 0.4429818040 0.002318207647
1000 .4429728180 0.0002896348633
Se ha obtenido una mejor aproximación al aumentar el número de subdivisiones.
ACTIVIDAD No. 12
1. Resuelva aplicando la regla de Simpson los ejercicios de la ACTIVIDAD No.
11.
2. El trabajo producido por un proceso termodinámico a temperatura constante
esta dado por dW = P(v)dv. A continuación están tabulados los resultados
obtenidos experimentalmente:
v (m3) 2 3 4 5 6 7
P (kPa) 294.4 266.4 260.8 249.6 193.6 165.6
Utilice la regla de Simpson para estimar el trabajo en kJ.
3. El estudio de la difracción de la luz en una apertura rectangular implica el uso
de las integrales de Fresnel
dw
w
t
c
t
2
0
2
cos
)
(
π
∫
= y dw
w
sen
t
2
0
2
π
∫
t
s )
( =
Aplique la regla de Simpson compuesta para aproximar c(1) y s(1).
4. La fuerza total del viento ejercida sobre un mástil de un bote de
vela de carreras se expresa como la integral de una función
contínua:
dw
e
z
z
F
z
L
L 2
0
5
200
−
+
= ∫
Si la longitud del mástil es de 30 pies Aplique la regla de
Simpson compuesta para aproximar F, utilizando n=1 y 5.
5. La raíz media cuadrática de la intensidad de una corriente alterna esta dada
por:
dt
t
i
T
I
T
RMC )
(
1 2
0
∫
= , donde
T
t
sen
t
i
π
2
)
( = , T=1 s
Aplique la regla de Simpson compuesta para aproximar IRMC, utilizando n=1 y 5.

10. APENDICE No 7
Calculadora fx-570ES ó 991 ES
Utilizando la regla del trapecio compuesta, aproxime
la integral
1
∫ 2
/
1
)
( dx
x
arcsen , con n=5 subintervalos
1
.
0
5
5
.
0
1
=
−
=
h
Presiona las teclas [ Mode ], [ 7 ] para trabajar con
TABLE. Presione [shift] , [sin] , [alpha] , [X] , [ ) ].
Presione [=] y escriba en Start?0.5 End?1 Step?0.1
X F(X)
1 0.5 0.5235
2 0.6 0.6435
3 0.7 0.7753
4 0.8 0.9272
5 0.9 1.1197
6 1 1.5707
Presione [Mode] , [1] , y escriba:
(0.5235+2(0.6435+ 0.7753+0.9272 +1.11
97)+1.5707)x0.1 ÷2
presione [=]
0.45128

11. APENDICE No 8
Calculadora fx-570ES ó 991 ES
Utilizando la regla de Simpson compuesta,
aproxime la integral
1
∫ 2
/
)
( dx
x
arcsen , con n=4 subintervalos
125
.
0
4
5
.
0
1
=
−
=
h
1
Presiona las teclas [ Mode ], [ 7 ] para trabajar
con TABLE. Presione [shift] , [sin] , [alpha] , [X] ,
[ ) ]. Presione [=] y escriba en Start?0.5 End?1
Step?0.125
X F(X)
1 0.5 0.5235
2 0.625 0.6751
3 0.75 0.848
4 0.875 1.0654
5 1 1.5707
Presione [Mode] , [1] , y escriba:
(0.5235+4(0.6751+ 1.0654)+2(0.848) + 1.5
707)x0.125 ÷3
presione [=]
0.4480