Integrar conocimientos, habilidades y actitudes en la formación inicial de profesores de matemática

1. Ximena Colipan Uribe
Facultad de Educación
Integrar conocimientos, habilidades
y actitudes en la formación inicial de
profesores de matemática
Miércoles 10 de Agosto,

12. ¿Qué significa hacer matemática ?

14. ¡Tratar de resolver problemas!
Lakatos I., 1984, Nimier J., 1989; Godot K., 2005

15. ¿Qué es un problema en matemática?

16. • Un problema es una situación de la cual no conocemos la
respuesta.
• El problema debe ser motivante.
• Un problema puede ser difícil.
• El enunciado del problema puede no estar definido.
Nimier J., 1989 ….; Godot, 2005; Grenier, 2012; Colipan, 2016; ARPA, 2017.

17. • Una fase individual
“Sea cual se la especialidad en matemática, hablan de juego, de
placer, de ensayos, de errores, de hipótesis, de curiosidad, de
perseverancia, de imaginación, de intuición…”
• Una fase colectiva, la dimensión social
“interacción o intercambios entre colegas, el aspecto
comunicacional se sitúa en el proceso de investigación y
participa en su avance, induce criticas, diálogos, debates.”
Nimier J., 1989 ….; Godot, 2005; Grenier, 2012; Colipan, 2016; ARPA, 2017).

18. • Cada de una de estas fases esta compuesta de “momentos”
“experimentar, elaborar conjeturas, probar las conjeturas,
elaborar nuevas conjeturas”.
• A partir de las entrevistas realizadas por Godot (2005) se
agregan:
• imaginar utilizar la intuición,
• ser perseverante,
• divertirse.

19. La actividad de un matemático
consistiría en:
Tratar de resolver un problema (objeto central de la actividad) a través
de la puesta en marcha de diferentes acciones, tales como: Proponer
nuevos problemas, experimentar, conjeturar, modelar, probar,
comunicar, entre otros. (no en ese orden y pudiendo repetirse.
(Grenier y Payan, 2002; Godot 2006; Durrant-Guerrier 2010; Colipan y Grenier, 2017)

20. ¿Hacer hacer matemática?

21. ¿Hacer hacer matemática?
• Ponerse en el lugar de quien desarrolla esta
disciplina

22. ¿Hacer hacer matemática?
• Ponerse en el lugar de quien desarrolla esta disciplina
• Proponer problemas, herramientas y las condiciones de
gestión que conduzcan a una práctica de actividad de
investigación en matemática.

23. ¿Hacer hacer matemática?
• Ponerse en el lugar de quien desarrolla esta disciplina
• Proponer problemas, herramientas y las condiciones de
gestión que conduzcan a una práctica de actividad de
investigación en matemática.
• Los saber-hacer asociados a estas actividades son aquellos
que constituyen el método científico y que no pueden ser
reducidos a técnicas o recetas.

24. ¿Hacer hacer matemática?

25. Las Bases curriculares en Chile…

26. • Resolver
problemas
• Representar
• Modelar
• Argumentar
y comunicar
• Números
• Álgebra y
funciones
• Geometría
• Probabilidad y
estadística
• Flexible y creativo en la
búsqueda de soluciones a
problemas
• Curiosidad e interés por el
aprendizaje de las matemáticas
• Actitud positiva frente a sí
mismo y sus capacidades
• Actitud de esfuerzo y
perseverancia
• Expresar y escuchar ideas de
forma respetuosa

30. ¿Cómo lo hacemos?
¿Qué hacemos?
¿Cómo evaluamos?

31. EQUIPO
DE
INVESTIGACIÓN
Crear problemas y estudiar
su puesta en escena en
diversos contextos
institucionales, experimentar
y analizar sus efectos.

32. • No existe necesariamente una respuesta final al problema
inicial.
• Los conceptos matemáticos que están en juego no están
programados y no son restrictivos, a priori.
• No existe necesariamente una noción o concepto matemático
específico a enseñar, ni la ejercitación de un técnica o método
visto durante una clase.
• La prueba o demostración será el único medio de validación.
Características que buscamos en la
elección de un problema (SiRC)
Grenier y Payan, 2002; Gravier y Ouvrier-Buffet, 2009; Grenier, 2012; Colipan, 2016

33. ¿Cómo sabremos que se está haciendo
matemática?
Consideraremos que una persona (alumno o público en general)
está haciendo matemática si:
- Elige los sub-problemas que desea estudiar, si el problema es
propuesto de manera abierta.
- Si no se contenta solo con jugar, y abandona el ensayo-error
para poner en práctica una estrategia de investigación.
- Valida/invalida sus estrategias

34. Problema
Conjetura
Prueba

35. Problema- conjetura
Reformular el problema con sus propias palabras, plantearse preguntas,
representar la situación, estudiar casos particulares, modificar datos del
enunciado, crear restricciones, buscar regularidades, formular hipótesis, crear
notaciones pertinentes.
Conjetura - Prueba
Desarrollar argumentos, estudiar las relaciones de dependencia entre los objetos
del problema, estudiar todos los casos, utilizar contra-ejemplos, razonar por
deducción, razonar por inducción, probar por exhaustividad de casos, efectuar
demostraciones por lo absurdo, contrastar las pruebas con las conjeturas, crear
extensiones y restricciones.
Prueba - Problema
Controlar los resultados obtenidos evaluando pertinencia en función del
problema estudiado, verificar que se han contemplado todas las soluciones, dar
forma a una solución, comunicar y y justificar resultados, utilizar resultados para
resolver otros problemas, plantear. extensiones y restricciones.

36. Ejemplos de situaciónes

37. El juego del chocolate

38. El juego del chocolate

39. Maths à Modeler – Colipan Ximena.
https://www.researchgate.net/publication/304005031_Desarrollo_de_la_Actividad_Cientifica_en_Clases_a_traves_del_Estudio_de_Juegos_C
ombinatorios_el_Ejemplo_del_Juego_del_Chocolate

40. El juego del chocolate
En una primera instancia, la resolución de la situación “El
juego del Chocolate, se puede desarrollar en dos etapas:
• La búsqueda de casos particulares fácilmente abordables.
• La validación de las conjeturas encontradas en el estudio de
estos casos particulares.

41. El juego del chocolate
Para comenzar a encontrar pistas de solución y avanzar en la
resolución podemos:
• Fijar la posición del cuadrado de jabón. Por ejemplo fijarlo
en una esquina.
• Fijar las dimensiones de la barra de Chocolate. Por ejemplo
trabajar con un chocolate de dimensión a×1.
• Fijar las dos variables, es decir la posición del cuadrado de
jabón y las dimensiones de la barra de chocolate.

42. Supongamos que el chocolate es un Toblerone

52. El juego del chocolate
Como fases para la formulación de conjeturas podemos
encontrar:
o Experimentaciones aleatorias
o Experimentaciones inductivas

53. Experimentaciones aleatorias
• Definición de objetos: Estrategia ganadora, posición ganadora,
posición perdedora.
“según lo que quede de chocolate, yo tengo la posibilidad de
hacer una jugada con la que ganaré o no”
(alumnos de primer año de Ped en mat)

54. Experimentaciones aleatorias

55. Experimentaciones aleatorias
Descubrir características como por ejemplo:
• Las posiciones perdedoras sobre un chocolate de dimensión
a×1 y con el cuadrado de jabón en una esquina, son todas
simétricas.
• Los casos particulares de dimensiones a×1 y a×a con el
cuadrado de jabón situado en una esquina pueden ser
probadas usando argumentos de simetría.
• El caso de dimensiones a×2 puede ser analizada con ayuda de
la resolución del caso a×1.

56. Experimentaciones inductivas
Etapa que depende fuertemente de las propiedades
identificadas durante la fase aleatoria

57. Experimentaciones inductivas
• Los alumnos que remarcan que las posiciones simétricas de
tallas pequeñas son perdedoras pueden analizar las
posiciones más grandes para después hacer conjeturas en
relación a la simetría de posiciones.

58. Experimentaciones inductivas
• Los alumnos que remarcan que las posiciones simétricas de
tallas pequeñas son perdedoras pueden analizar las
posiciones más grandes para después hacer conjeturas en
relación a la simetría de posiciones.
• Los alumnos que remarcan directamente que las posiciones
simétricas son perdedoras pueden estudiar las posiciones que
tienen una opción simétrica para enunciar una conjetura.

59. Elementos de Validación
 Contraejemplos
 Experimentaciones repetitivas y validativas
 Prueba por exhaustividad de casos
 Recursividad

60. a) Estudio del chocolate de dimensiones 𝑎×1:
• Si una de las posiciones es simétrica, con respecto al cuadrado de jabón, entonces
ella es perdedora. La estrategia ganadora es para el segundo jugador que tiene como
opción imitar las jugadas del primero.
“Para 𝑎 impar y jabón en el centro. El jugador 2 puede siempre hacer la misma jugada
que el primero. El segundo gana” (grupo A).
• Si 𝑎 es un número par, la posición es ganadora con la estrategia de hacer una jugada
que de una posición simétrica a nuestro adversario.
“Para 𝑎 par: siempre habrá más chocolate a un lado del jabón que del otro. El primero
tiene la opción de igualar la cantidad de chocolate y así hacer jugadas idénticas al
segundo jugador” (grupo C).
• Una posición es perdedora si y solamente si ella es simétrica.
“El segundo siempre gana a menos que el número de filas a cada uno de los lados del
jabón sea igual” (grupo A).

61. • Una posición es perdedora si y solamente si ella es simétrica. Si la posición no
es simétrica, la jugada ganadora es jugar la única opción simétrica.
“El caso de que la barra sea una columna partido por 𝑛 filas siempre gana
el primero igualando el número de filas a cada uno de los lados del jabón, a
menos que ya estén igualados (y siempre y cuando el jabón no esté en los
extremos)” (grupo B).
b) Estudio del chocolate de dimensiones 𝑎×2: conjeturas.
• La posición (2,2,1,1) es perdedora.
“En un chocolate de 2×2, por simetría, gana el segundo” (grupo D).
• Reducción a la dimensión 𝑎×1:
“Hay que tratar de dejar el chocolate a una columna (siempre y cuando el jabón
no esté en una esquina)” (grupo B).
“No importa la cantidad de cuadrados que hayan, siempre hay que llegar al caso
a×1" (grupo A).

62. • Las posiciones (2𝑠−1,2,𝑠,1) y (𝑎,2,1,1) son ganadoras.
“Gana si se deja al segundo jugador una figura de la forma: a×1 con el jabón al medio y
a×1 con el jabón en la esquina” (grupo C).
c) Estudio del chocolate con el cuadrado con jabón en una esquina.
• Si la forma del chocolate no es cuadrada, la posición es ganadora. La jugada ganadora
es volverla cuadrada.
“En el caso de que el chocolate sea un rectángulo y el jabón esté en uno de los extremos
siempre gana el primero si es que logra hacer un cuadrado en el que esté incluido el
jabón” (grupo A).
“En cuadrilátero de a×b, el jugador debe forzar un cuadrado para ganar, cada vez que el
contrincante desarme el cuadrado el jugador debe volver a formarlo, hasta llegar a un
cuadrilátero de 2×2, obligando al contricante a perder” (grupo B).

63. • Si el chocolate no es cuadrado, la posición es ganadora.
“Cuando se dé el caso en que los lados son desiguales gana el segundo” (grupo D).
• La posición (2,2,1,1) es perdedora.
“Si el jabón está en una esquina, gana el que trata de dejar un cuadrado de 2×2” (grupo A).
• Las opciones (𝑎,1,1,1) son siempre ganadoras (𝑎≥2 ).
“Pierde el jugador que deja una columna y el jabón en una esquina” (grupo D).

64. Recubrimiento de poliminós (géométrie combinatoire)
¿Es posible cubrir un poliminó con poliminos más pequeños, idénticos entre si?

65. Embaldosado de la cocina

66. Para comenzar a buscar soluciones al problema, una buena estrategia consiste en
tomar casos particulares del problema general por ejemplo:
¿Qué pasa si la cocina es cuadrada? ¿Es siempre posible el recubrimiento? ¿Para
cuales sí y para cuales no? ¿Y por qué?

67. Tomemos por ejemplo, dos cocinas cuyo suelos son de talla 8x8 y 7x7 y están
subdividos en pequeños cuadrados de talla 1x1, tales como muestran las siguientes
figuras
En ambos casos, se puede observar, que queda una casilla de 1x1 sin cubrir
en la cocina. En efecto, el número de casillas necesarias para cubrir toda la
cocina debe ser múltiplo de 3

68. Para cubrir la casilla vacía, utilizaremos una baldosa de dimensiones 1x1
Tenemos entonces un nuevo problema:
¿En qué casillas podremos utilizar la baldosa de 1x1 para que el embaldosado de la
cocina siempre quede completo?
En el caso de cocinas 7x7 y 8x8, la baldosa 1x1 se puede colocar en cualquier lugar.
Usando argumentos de simetría y de rotación, es posible reducir el testeo de casos.
Conocimientos accesibles en estudiantes desde 5to básico,.
Por otra parte, también en estudiantes de enseñanza media es posible trabajar
pruebas que demuestran que: por cada cuadrado cuyo lado es una potencia de 2, la
pequeña pieza 1x1 se puede poner en cualquier lugar, es decir siempre hay una forma
de completar la cocina con las baldosas.

69. ¿Que pasa ahora si la cocina es de 5x5, que también necesita una cuadradito de 1x1
para cubrir toda la cocina ?
En este caso, si el cuadradito de 1x1 se coloca en ciertas partes, no es posible
embaldosar la cocina por completo!
El siguiente diagrama muestra donde es posible (en verde), y aquellos en los que esto
no es posible (en rojo):

70. Involucrar a los estudiantes en la búsqueda de respuestas a estas situaciones, permite
trabajar conocimientos matemáticos tales como:
- Conservación del área (siempre quedará una casilla vacía, sea cual sea la disposición
del las baldosas)
- Argumentos de simetría
- Razonamiento y pruebas por inducción
- abstracción sobre n, nociones de modulo 2 et 3…
Además de todas las habilidades habilidades y las actitudes descritas en el
curriculum nacional.

72. Bibliografía
• Arnold, V, (1990). Sur l'éducation mathématiques, Gazette SMF, vol.78, pp.19-29, 1998.
• Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble, Francia: La pensée sauvage
éditions.
• Campanario, J., Moya, A. (1999). ¿Cómo enseñar ciencias? Principales tendencias y propuestas.
Enseñanza de las ciencias. 17, 179-192.
• Cartier, L. (2008). Le graphe comme outil pour enseigner la preuve et la modélisation. Tesis de.
• Colipan, X. (2014). Étude didactique des situations recherche pour la classe concernant des jeux
combinatoires de type Nim, Université Joseph Fourier, Grenoble, Francia.
• Colipan, X. (2016). Desarrollo de la actividad científica en clases a través del estudio de juegos
combinatorios, el ejemplo del juego del chocolate. Boletim de Educação Matemática, 30(55), 691 –
712. http://dx.doi.org/00.1590/1980-4415v30n55a19
• Colipan, X. (2018). Mathematical research in the classroom via combinatorial games. En Hart, E.;
Sandefur, J. (eds). Monograph on the Teaching and Learning of Discrete Mathematics. Berlin,
Alemania: Springer.
• Colipan, X.; Grenier, D. (2017). Desarrollo de habilidades asociadas a la actividad matemática. Una
propuesta para la formación inicial y continua de profesores. En Pino-Fan, L.; Poblete A.; Diaz, V.
(eds). Perspectivas de la investigación sobre la formación de profesores de matemáticas en Chile.
Osorno, Chile: Cuadernos de Sofía.
• Dias, T. (2014). Des mathématiques expérimentales pour révéler le potentiel de tous les élèves. La
nouvelle revue de l’adaptation et de la scolarisation, 65, 151-161.
• Hart E.W., Martin W.G. (2018) Discrete Mathematics Is Essential Mathematics in a 21st Century
School Curriculum. In: Hart E., Sandefur J. (eds) Teaching and Learning Discrete Mathematics
Worldwide: Curriculum and Research. ICME-13

73. Bibliografía
• Houdement, C. (2008). Experimentación y prueba: Dos Dimensiones de las Matemáticas desde la Escuela
Primaria. Paradigma, Vol. XXIX, 2, 173 – 185
• Ferrarello, D., & Mammana, M. F. (2017). Teoria dei grafi: Come e perchè.L’insegnamento Della Matematica
E Delle Scienze Integrate, 40, 249–271.
• Douady. R. (1984). Jeux de cadre et dialectique outil-objet dans l’enseignement des mathématiques, Tesis
de doctorado no publicada, Université de Paris VII, Paris, Francia.
• Durand-Guerrier, V. (2010). Expérimenter des problèmes de recherche innovants en mathématiques à
l’école. Dans: INRP, Cédérom. Chap. La dimension expérimentale en mathématiques. Enjeux
épistémologiques et didactiques.
• Godot, K. (2006). La roue aux couleurs: une situation recherche pour apprendre à chercher dès le cycle 3.
Grand N, 78, 31-52.
• Grenier, D.; Payan, C. (2002). Situations de recherche en classe: essai de caractérisation et proposition de
modélisation. Paris. Actes du séminaire national de didactique de mathématiques. Paris, Francia. p.189-205.
• Grenier, D. (2012). Rô le des situations de recherche dans la vulgarisation des mathématiques.
Enseignement des mathématiques et contrat social : enjeux et défis pour le 21e siècle. Actes du colloque
EMF2012. Ginebra:Suiza, pp. 1905–1913.
• Gravier, S.; Ouvrier-Buffet, C. (2009). Research-Situations for Teaching Mathematics. ICMI STUDY 16,
2009, Toronto. Challenging Mathematics in and beyond the Classroom. In Barbeau, Toronto: Canada. pp.
23-29.
• Hall, O. (2012). La Desafección de los Jóvenes por la Ciencia y la Tecnología: Una Tendencia Peligrosa.
Documento UNESCO, Paris, Francia.

74. Bibliografía
• Lockwood, E., & Gibson, B. (2016). Combinatorial tasks and outcome listing: Examining productive listing
among undergraduate students.Educational Studies in Mathematics,91(2), 247–270. doi: 10.1007/s10649-
015-9664-5.
• Mayring, P. (2000). Qualitative Content Analysis. Forum Qualitative Sozialforschung / Forum: Qualitative
Social Research, 1(2), Art. 20, http://nbnresolving.de/urn:nbn:de:0114-fqs0002204.
• Ouvrier-Buffet, C. ; Perrin, M. (2009): Apprendre à faire des mathématiques du primaire au supérieur-Quoi
de neuf ? Approches plurielles en didactique des mathématiques. Colloque DIDIREM, Paris : Francia. pp.
132–143.
• Ouvrier-Buffet, C. (2011). A mathematical experience involving defining processes: in-action definitions and
zero-definitions. Educational Studies in Mathematics, Vol. 76, n°2, 165-182.
• Tisseron, C. (1996). Développer la recherche scientifique à travers l'étude de situations mathématiques. Université
d’été. Lyon. Actes de l'université d’été. Lyon : Ed. Magnard ,1996. P. 29-39.

75. Muchas gracias

76. Problemas derivados de la
Matemática discreta

77. Matemática Discreta
• Los “objetos” de estudio privilegiado de la matemática
discreta, son los objetos discretos.
• Estudian estructuras cuyos elementos pueden contarse uno
por uno separadamente. Es decir, los procesos en
matemáticas discretas son contables.
• Estos objetos inducen problemáticas específicas y,
aprovechando su carácter discreto, se pueden obtener nuevos
medios de estudiar estas problemática.

78. Matemática Discreta
• Estas diferentes problemáticas da nacimiento a numerosas
teorías tales como: la teoría de grafos, la teoría de nudos, la
geometría combinatoria, teoría de distribuciones de
probabilidad discretas así como también la teoría de juegos,
la teoría de las filas de espera, la teoría de códigos etc.

79. Qué es un problema en matemática
discreta
Cuando un problema se basa:
– en el estudio, la búsqueda de configuraciones particulares,
– Si los grafos o la coloración aparecen como pertinentes
para resolver un problema
Diremos que estamos frente a un problema de mats discreta

80. Ventajas
. La matemática discreta es el origen de situaciones que se contemplan en
actividades de divulgación, en olimpiadas o concursos matemáticos.
Ofrece la posibilidad de proponer problemas que implican conceptos y
nociones de fácil acceso para todos.
Ella se sirve de otras áreas de la matemática tales como geometría, álgebra,
lógica, teoría de conjuntos, teoría de números, combinatoria, entre muchas
otras

81. La matemática discreta se encuentra casi ausente en gran parte de los
programas de estudio a nivel mundial, y Chile no es la excepción, pero esto
le da un estatus especial.
En efecto, tal como señaló Rolland (2000) “El hecho que las matemáticas
discretas no sean estudias en el plano escolar pueden jugar a su favor, de
esta manera no es posible amarrar el problema a una noción ya estudiada,
por lo que guarda un atractivo por su carácter novedoso, que pude ser
incluso considerado como lúdico”
Rosenstein (2014); Lockwood y Gibson (2016); Ferrarello y Mammana (2017); Colipan (2018); Hart y Martin (2018)